高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濰坊市四市聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，若，則（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】向量，，由，得，所以.故選：B.2.設(shè)直線分別是長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線，則a與b（）A.平行 B.相交C.是異面直線 D.可能相交，也可能是異面直線【答案】D【解析】如圖，長(zhǎng)方體中，當(dāng)所在直線為a，所在直線為b時(shí)，a與b相交；當(dāng)所在直線為a，所在直線為b時(shí)，a與b異面.故選：D.3.已知直線：與直線：平行，則（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】由于兩直線平行，所以，此時(shí)，符合題意.故選：B.4.已知直線與平面相交，點(diǎn)，在上，，且線段在內(nèi)的射影長(zhǎng)為，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)與所成角為，因?yàn)辄c(diǎn)，在上，，且線段在內(nèi)的射影長(zhǎng)為，依題意作圖如下，則，所以與所成角的大小為.故選：B.5.如圖，在四面體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別滿(mǎn)足，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知.故選：D．6.已知一條光線從點(diǎn)發(fā)出被直線反射，若反射光線過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，因此反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)，方程為，即.故選：A.7.已知圓：，直線：，若與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】直線：過(guò)定點(diǎn)，圓：的圓心，半徑，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最短，所以的最小值為，故選：C.8.已知球是正三棱柱的內(nèi)切球，，是球表面上一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等邊三角形內(nèi)切圓的半徑為，則，則正三棱柱的內(nèi)切球半徑，則正三棱柱的高為.設(shè)等邊三角形外接圓半徑為，則，所以，設(shè)是等邊三角形的中心，是的中點(diǎn)，連接，則，，是球表面上一點(diǎn)，則，，（同向是為，反向時(shí)為），所以，所以的取值范圍是.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)直線外一點(diǎn)，可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與該直線平行B.過(guò)直線外一點(diǎn)，可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與該直線垂直C.如果兩個(gè)平面不相交，則它們就沒(méi)有公共點(diǎn)D.若一條直線與一個(gè)平面不垂直，則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的任何直線都不垂直【答案】AC【解析】對(duì)于A，過(guò)直線外一點(diǎn)可作一條直線與這條直線平行，經(jīng)過(guò)所作直線有無(wú)數(shù)個(gè)平面與該直線平行，A正確；對(duì)于B，過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與該直線垂直，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩個(gè)平面不相交，則它們平行，沒(méi)有公共點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，正四面體相對(duì)棱垂直，而任意棱都不垂直于對(duì)棱所在的平面，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知圓：和圓：，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（）A.的圓心在直線上B.和相離C.的最小值為D.若，則四邊形面積最大值為【答案】BC【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，對(duì)于A，點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，和相離，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，，四邊形的面積，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.如圖所示，正四棱錐與正三棱錐的棱長(zhǎng)均為1，一凸多面體是由該四棱錐與該三棱錐組合而成，其中點(diǎn)，，分別與點(diǎn)，，重合，在該多面體中（）A.二面角的余弦值為B.，，，四點(diǎn)共面C.平面D.三棱錐的外接球體積為【答案】BCD【解析】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，設(shè)，連接，則平面.由于三角形、三角形都是等邊三角形，所以，所以是二面角的平面角，，所以，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于，所以是二面角的平面角，，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，B選項(xiàng)正確.，所以四邊形是菱形，所以，由于平面平面，所以平面，所以C選項(xiàng)正確.由于，所以是三棱錐外接球的球心，且外接球的半徑為，所以外接球的體積是，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知是直線的一個(gè)方向向量，則的傾斜角為_(kāi)______.【答案】【解析】依題意，直線的斜率，其傾斜角為.13.已知圓：，寫(xiě)出一條過(guò)點(diǎn)且與相切的直線方程______.【答案】或（只寫(xiě)一條即可）【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為5，過(guò)且斜率不存在的直線為，它與圓相切，過(guò)且斜率存在的直線設(shè)其方程為，即，由，解得，直線方程為，即，故答案為：或（只寫(xiě)一條即可）．14.在四面體中，點(diǎn)，分別為，的重心，過(guò)作直線與棱，交于點(diǎn)，已知，，則_______.若四面體的體積為3，則四棱錐的體積最大值為_(kāi)______.【答案】【解析】設(shè)是的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，，，所以，由于三點(diǎn)共線，所以.依題意，..由于，所以到平面的距離是到平面的距離的三分之一，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以四棱錐的體積最大值為.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，.（1）求邊的高所在直線方程；（2）求的面積.解：（1），邊的高所在直線的斜率為，所以邊的高所在直線方程為.（2），直線的方程為，到直線的距離為，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：由于為棱的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）解：依題意可知平面，而平面，所以，，所以.而，由此可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，所以.17.已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求的方程；（2）設(shè)直線：與交于，兩點(diǎn).①證明：直線與平行；②求四邊形的面積.（1）解：設(shè)圓心為，由，則，所以，解得.且，，所以圓的方程為.（2）證明：①直線的方程為，直線：，即，所以直線與平行；②由，解得，即，則三點(diǎn)共線，所以是圓的直徑，，，所以四邊形的面積為.18.在四棱臺(tái)中，平面，平面平面.（1）證明：平面；（2）已知四邊形為梯形，，，，二面角的大小為.①求點(diǎn)到平面的距離；②求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.（1）證明：作，垂足為，作，垂足為，∵平面，平面，所以，又∵，平面，所以平面，∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∴與重合，即為平面與平面的交線，∴平面;（2）解：由題意，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）平面，平面，∴，在直角梯形中，，，所以，∴，是棱臺(tái)，則，因此，則，，，設(shè)，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，可得，，則為平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量是，二面角的大小為，則，解得（負(fù)值舍去），①∴，，，又，點(diǎn)到平面的距離為，②，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，，則為平面的一個(gè)法向量，，∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．19.已知圓：，圓：，若平面內(nèi)一點(diǎn)到的切線長(zhǎng)與到的切線長(zhǎng)之比為定值（，且），則稱(chēng)點(diǎn)為“型切圓關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，記時(shí)，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交于，兩點(diǎn).①求四邊形面積的最大值；②設(shè)為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn).解：（1）圓：的圓心為，半徑為，圓：的圓心為，半徑為，設(shè)Px,y，點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)為，點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)為，所以，兩邊平方并化簡(jiǎn)得（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）.所以的方程為（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）.（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，不