深圳坪地街道坪地中學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案一、壓軸題1．（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥l，過點(diǎn)B作BE⊥l，垂足分別為D、E．求證：AD＝CE，CD＝BE．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板MON放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3），求點(diǎn)N的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線y＝﹣3x+3與y軸交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，將直線PQ繞P點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后，所得的直線交x軸于點(diǎn)R．求點(diǎn)R的坐標(biāo)．解析：（1）見解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判斷出∠ACB=∠ADC，再判斷出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而判斷出△ACD≌△CBE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出MF=NG，OF=MG，進(jìn)而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出結(jié)論；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，進(jìn)而得出Q（1，0），OQ=1，再判斷出PQ=SQ，即可判斷出OH=4，SH=0Q=1，進(jìn)而求出直線PR的解析式，即可得出結(jié)論.【詳解】證明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如圖2，過點(diǎn)M作MF⊥y軸，垂足為F，過點(diǎn)N作NG⊥MF，交FM的延長(zhǎng)線于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M(jìn)（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，2），（3）如圖3，過點(diǎn)Q作QS⊥PQ，交PR于S，過點(diǎn)S作SH⊥x軸于H，對(duì)于直線y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），設(shè)直線PR為y＝kx+b，則，解得∴直線PR為y＝﹣x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.2．探究發(fā)現(xiàn)：如圖①，在中，內(nèi)角的平分線與外角的平分線相交于點(diǎn)．（1）若，則；若，則；（2）由此猜想：與的關(guān)系為(不必說明理由)．拓展延伸：如圖②，四邊形的內(nèi)角與外角的平分線相交于點(diǎn)，．（3）若，，求的度數(shù)，由此猜想與，之間的關(guān)系，并說明理由．解析：（1）40°25°；（2）(或)（3）=【解析】【分析】（1）先根據(jù)兩角平分線寫出對(duì)應(yīng)的等式關(guān)系，再分別寫出兩個(gè)三角形內(nèi)角和的等式關(guān)系，最后聯(lián)立兩等式化解，將的角度帶入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在與的平分線相交于點(diǎn)，可知，又因?yàn)?，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，再根據(jù)三角形一外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得出，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出，最后在中：，代入整理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由題可知：BE為的角平分線，CE為的角平分線，=2=2，=2，，三角形內(nèi)角和等于，在中：，即：，①，在中：，即：，②，綜上所述聯(lián)立①②，由①-②×2可得：，，，，當(dāng)，則；當(dāng)，則；故答案為，；（2）由（1）知：(或)；（3）∵與的平分線相交于點(diǎn)，∴，，又∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵是的一個(gè)外角，∴（三角形一外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），在四邊形中，四邊形內(nèi)角和為，，，∴，∴①，∴，即，在中：，，由上可得：，②，又∵，∴，，，由①②可得，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用和角平分線的定義，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．3．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是．（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)位于線段的垂直平分線上時(shí)，求出的值；（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，求出的值；（3）是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：（1）時(shí)，點(diǎn)位于線段的垂直平分線上；（2）；（3）不存在，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，CQ，結(jié)合圖形用含t的代數(shù)式表示CP的長(zhǎng)度，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CP＝CQ，列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算；（3）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算，判斷即可．【詳解】解：（1）由題意得，則，當(dāng)點(diǎn)位于線段的垂直平分線上時(shí)，，∴，解得，，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于線段的垂直平分線上；（2）∵為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，解得，，則當(dāng)時(shí)，；（3）不存在，∵，∴，則解得，，，∴不存在某一時(shí)刻，使．【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．4．已知，如圖1，直線l2⊥l1，垂足為A，點(diǎn)B在A點(diǎn)下方，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B、C不與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D在直線11上，點(diǎn)A的右側(cè)，過D作l3⊥l1，點(diǎn)E在直線l3上，點(diǎn)D的下方．（1）l2與l3的位置關(guān)系是；（2）如圖1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，則∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如圖2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分線，交BD于F，交AD于G．試說明：∠DGF＝∠DFG；（4）如圖3，若∠DBE＝∠DEB，點(diǎn)C在射線AM上運(yùn)動(dòng)，∠BDC的角平分線交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，探索∠N:∠BCD的值是否變化，若變化，請(qǐng)說明理由；若不變化，請(qǐng)直接寫出比值．解析：（1）互相平行；（2）35，20；（3）見解析；（4）不變，【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（4）根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）直線l2⊥l1，l3⊥l1，∴l(xiāng)2∥l3，即l2與l3的位置關(guān)系是互相平行，故答案為：互相平行；（2）∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE＝BCD，∵∠BCD＝70°，∴∠DCE＝35°，∵l2∥l3，∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案為：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠BCF+∠AGC＝90°，∵CD⊥BD，∴∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠AGC＝∠CFD，∵∠AGC＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG；（4）∠N:∠BCD的值不會(huì)變化，等于；理由如下：∵l2∥l3，∴∠BED＝∠EBH，∵∠DBE＝∠DEB，∴∠DBE＝∠EBH，∴∠DBH＝2∠DBE，∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，∵∠N+∠BDN＝∠DBE，∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，∴∠BDC＝2∠BDN，∴∠BCD＝2∠N，∴∠N:∠BCD＝．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合題，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在中，軸交軸于點(diǎn)．（1）求和的度數(shù)；（2）如圖，在圖的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)為一銳角頂點(diǎn)作，，交于點(diǎn)，求證：；（3）在第（）問的條件下，若點(diǎn)的標(biāo)為，求四邊形的面積．解析：（1）∠OAD=∠ODA=45°；（2）證明見解析；（3）18．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）通過“ASA”可證得△ODB≌△OAP，進(jìn)而可得BO=OP；（3）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FP交BC于N，過點(diǎn)A作AQ⊥BC于Q，由“AAS”可證△OBM≌△OPF，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面積和差關(guān)系可求四邊形BOPC的面積．【詳解】（1）∵點(diǎn)A的坐為（2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2），∴OA=OD，∵∠AOD=90°，∴∠OAD=∠ODA=45°；（2）∵∠BOE=∠AOD=90°，∴∠BOD=∠AOP，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，AB=AC，∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ODB=135°=∠OAP，在△ODB和△OAP中，，∴△ODB≌△OAP（ASA），∴BO=OP；（3）如圖，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FP交BC于N，過點(diǎn)A作AQ⊥BC于Q，∵BC∥x軸，AQ⊥BC，PF⊥x軸，∴AQ⊥x軸，PN⊥BC，∠AOM=∠BMO=90°，∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為2，∵∠BAC=90°，AB=AC，AQ⊥BC，∴BQ=QC，∵點(diǎn)B的標(biāo)為（-2，-4），∴BM=2，OM=4，BQ=4=QC，∵PF⊥x軸，∴∠OFP=∠OMB=90°，在△OBM和△OPF中，，∴△OBM≌△OPF（AAS），∴PF=BM=2，OF=OM=4，∵BC∥x軸，AQ⊥x軸，NF⊥x軸，∴OM=AQ=FN=4，∴PN=2，∵∠PNC=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠CPN=45°，∴CN=PN=2，∵四邊形BOPC的面積=S△OBM+S梯形OMNP+S△PNC，∴四邊形BOPC的面積=×2×4+×4×（2+4）+×2×2=18．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，難度較大，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．6．在等邊△ABC的頂點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)時(shí)，另一只也停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請(qǐng)問：（1）如圖1，在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎，請(qǐng)證明？（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長(zhǎng)線爬行”，EB與CD交于點(diǎn)Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變，請(qǐng)利用圖2說明：∠CQE=60°；（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長(zhǎng)線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖3，則爬行過程中，證明：DF=EF解析：（1)相等，證明見解析；（2)證明見解析；（3)證明見解析．【解析】【分析】（1）先證明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性質(zhì)即可證得CD=BE；（2）先證明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如圖3，過點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的三邊相等，可以證得AD=DG=CE；進(jìn)而證明△DGF和△ECF全等，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）解：CD和BE始終相等，理由如下：如圖1，AB=BC=CA，兩只蝸牛速度相同，且同時(shí)出發(fā)，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD與△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始終相等；（2）證明：根據(jù)題意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行過程中，DF始終等于EF是正確的，理由如下：如圖，過點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG為等邊三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)；題弄懂題中所給的信息，再根據(jù)所提供的思路尋找證明條件是解答本題的關(guān)鍵．7．在中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度，是另外一個(gè)內(nèi)角角度的倍（為大于1的正整數(shù)），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．（1）在中，，，則為________倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另外一個(gè)內(nèi)角的余角的度數(shù)的，求的最小內(nèi)角．（3）若是2倍角三角形，且，請(qǐng)直接寫出的最小內(nèi)角的取值范圍．解析：（1）4；（2）的最小內(nèi)角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)倍角三角形的定義判斷即可得到答案；(2)根據(jù)△DEF是3倍角三角形，必定有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個(gè)角之間的關(guān)系，分情況進(jìn)行解答即可得到答案；(3)可設(shè)未知數(shù)表示2倍角三角形的各個(gè)內(nèi)角，然后列不等式組確定最小內(nèi)角的取值范圍．【詳解】解：(1)∵在中，，，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故為4倍角三角形；(2)設(shè)其中一個(gè)內(nèi)角為x°，3倍角為3x°，則另外一個(gè)內(nèi)角為：①當(dāng)小的內(nèi)角的度數(shù)是3倍內(nèi)角的余角的度數(shù)的時(shí)，即：x=（90°-3x），解得：x=15°，②3倍內(nèi)角的度數(shù)是小內(nèi)角的余角的度數(shù)的時(shí)，即：3x=（90°-x），解得：x=9°，③當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)：=，因此為最小內(nèi)角，因此，△DEF的最小內(nèi)角是9°或15°或．(3)設(shè)最小內(nèi)角為x，則2倍內(nèi)角為2x，第三個(gè)內(nèi)角為（180°-3x），由題意得：2x＜90°且180°-3x＜90°，∴30°＜x＜45°，答：△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍是30°＜x＜45°．8．在等腰中，,為邊上的高，點(diǎn)在的外部且，,連接交直線于點(diǎn)，連接．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖③，當(dāng)時(shí),求證：．解析：（1）見解析；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得AE垂直平分BC，F(xiàn)為垂直平分線AE上點(diǎn)，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得AE平分∠BAC，∠BAF=20°，由AB=AC=AD，推出，根據(jù)外角性質(zhì)可得計(jì)算即可；（3）在CF上截取CM=DF，連接AM，證明△ACM≌△ADF（SAS），進(jìn)而證得△AFM為等邊三角形即可．【詳解】（1）證明：∵AE為等腰△ABC底邊BC上的高線，AB=AC，，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE，∴AE垂直平分BE，F(xiàn)在AE上，；(2)，，，，由（1）知，AE平分∠BAC，，，故答案為：60°；(3)在CF上截取CM=DF，連接AM，由（1）可知，∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，，，，，在△ACM和△ADF中，∴△ACM≌△ADF（SAS），，，∴△AFM為等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．已知和都是等腰三角形，，，．（初步感知）（1）特殊情形：如圖①，若點(diǎn)，分別在邊，上，則__________．（填＞、＜或=）（2）發(fā)現(xiàn)證明：如圖②，將圖①中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在外部，點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，求證：．（深入研究）（3）如圖③，和都是等邊三角形，點(diǎn)，，在同一條直線上，則的度數(shù)為__________；線段，之間的數(shù)量關(guān)系為__________．（4）如圖④，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)、、在同一直線上，為中邊上的高，則的度數(shù)為__________；線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為__________．（拓展提升）（5）如圖⑤，和都是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、．當(dāng)，時(shí)，在旋轉(zhuǎn)過程中，與的面積和的最大值為__________．解析：（1）=；（2）證明見解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7【解析】【分析】（1）由DE∥BC，得到，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出結(jié)論；（4）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（5）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中△ADE的面積始終保持不變，而在旋轉(zhuǎn)的過程中，△ADC的AC始終保持不變，即可．【詳解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為：=，（2）成立．理由：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如圖③，設(shè)AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE都是等腰直角三角形，AM為△ADE中DE邊上的高，∴AM=EM=MD，∴AM+BD=CM；故答案為：90°，AM+BD=CM；【拓展提升】（5）如圖，由旋轉(zhuǎn)可知，在旋轉(zhuǎn)的過程中△ADE的面積始終保持不變，△ADE與△ADC面積的和達(dá)到最大，∴△ADC面積最大，∵在旋轉(zhuǎn)的過程中，AC始終保持不變，∴要△ADC面積最大，∴點(diǎn)D到AC的距離最大，∴DA⊥AC，∴△ADE與△ADC面積的和達(dá)到的最大為2+×AC×AD=5+2=7，故答案為7．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)過程中面積變化分析，解本題的關(guān)鍵是三角形全等的判定．10．（閱讀材科）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的項(xiàng)角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．（深入探究）（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．(將所有正確的序號(hào)填在橫線上)．（延伸應(yīng)用）（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）證明見解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進(jìn)而得出∠AOE=60°，再判斷出BF＜CF，進(jìn)而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正確，∠ADB=∠AEC，記AD與CE的交點(diǎn)為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點(diǎn)F，使OF=OC，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正確，連接AF，要使OC=OE，則有OC=CE，∵BD=CE，∴CF=OF=BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長(zhǎng)DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點(diǎn)睛】此題考查三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．11．已知在△ABC中，AB＝AC，射線BM、BN在∠ABC內(nèi)部，分別交線段AC于點(diǎn)G、H．（1）如圖1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于點(diǎn)D，分別交BC、BM于點(diǎn)E、F．①求證：∠1＝∠2；②如圖2，若BF＝2AF，連接CF，求證：BF⊥CF；（2）如圖3，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，AE交BM于點(diǎn)F，連接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．解析：（1）①見解析；②見解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要證明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解決問題；②只要證明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，連接AK．只要證明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再證明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解決問題；【詳解】（1）①證明：如圖1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②證明：如圖2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，連接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．12．在中，，是直線上一點(diǎn)，在直線上，且．（1）如圖1，當(dāng)D在上，在延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在上時(shí)，作，求證：；（3）在（2）的條件下，的平分線交于點(diǎn)，連，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)度．解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）3【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過E作EF∥AC交AB于F，根據(jù)已知條件得到△ABC是等邊三角形，推出△BEF是等邊三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）連接AF，證明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再證明DH=AH=CF=3．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF與△CAD中，，∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）連接AF，如圖3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，，△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=AF=CF=3，∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．13．在中，，，是的角平分線，于點(diǎn).（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）如圖2，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以為一邊，在下方作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證：；（3）如圖3，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，以為一邊，在的下方作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn).直接寫出，與數(shù)量之間的關(guān)系.解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）結(jié)論：，證明見解析．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）如圖（見解析），延長(zhǎng)ED使得，連接MF，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定得出是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、角的和差得出，然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)、等量代換即可得證；（3）如圖（見解析），參照題（2），先證是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、角的和差得出，然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)、等量代換即可得證．【詳解】（1）是的角平分線，在和中，是等邊三角形；（2）如圖，延長(zhǎng)ED使得，連接MF，是的角平分線，是等邊三角形，即在和中，，即即；（3）結(jié)論：，證明過程如下：如圖，延長(zhǎng)BD使得，連接NH由（2）可知，是等邊三角形，即在和中，，即即．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）和（3），通過作輔助線，構(gòu)造一個(gè)等邊三角形是解題關(guān)鍵．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)、在軸上且關(guān)于軸對(duì)稱．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）動(dòng)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)到直線的距離的長(zhǎng)為，求與的關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)到的距離為時(shí)，連接，作的平分線分別交、于點(diǎn)、，求的長(zhǎng)．解析：（1）C（4，0）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)知為等邊三角形，利用直角三角形中30度角的性質(zhì)即可求得答案；（2）利用面積法可求得，再利用坐標(biāo)系中點(diǎn)的特征即可求得答案；（3）利用(2)的結(jié)論求得，利用角平分線的性質(zhì)證得，求得，利用面積法求得，再利用直角三角形中30度角的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）∵點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：；（2）連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即：；（3）∵點(diǎn)到的距離為，∴，∴，∴，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、，∵為的角平分線，為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，設(shè)，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，涉及的知識(shí)有：含30度直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理、靈活運(yùn)用面積法求線段的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．15．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，M為線段DB上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)N在直線AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如圖①．（1）求證：∠ACN=∠AMC；（2）記△ANC得面積為5，記△ABC得面積為5．求證：；（3）延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)P，使BP=BM，如圖②．探究線段AC與線段DB滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)對(duì)于滿足條件的任意點(diǎn)M，AN=CP始終成立？（寫出探究過程）解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當(dāng)AC=2BD時(shí)，對(duì)于滿足條件的任意點(diǎn)N，AN=CP始終成立，證明見解析．【解析】【分析】（1）由三角形的內(nèi)角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM；（2）過點(diǎn)N作NE⊥AC于E，由“AAS”可證△NEC≌△CDM，可得NE=CD，由三角形面積公式可求解；（3）過點(diǎn)N作NE⊥AC于E，由“SAS”可證△NEA≌△CDP，可得AN=CP．【詳解】（1）∵∠BAC=45°，∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM．∵∠NCM=135°，∴∠ACN=135°﹣∠ACM，∴∠ACN=∠AMC；（2）過點(diǎn)N作NE⊥AC于E，∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC，CM=CN，∴△NEC≌△CDM（AAS），∴NE=CD，CE=DM；∵S1AC?NE，S2AB?CD，∴；（3）當(dāng)AC=2BD時(shí)，對(duì)于滿足條件的任意點(diǎn)N，AN=CP始終成立，理由如下：過點(diǎn)N作NE⊥AC于E，由（2）可得NE=CD，CE=DM．∵AC=2BD，BP=BM，CE=DM，∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM，∴AE=BD+BP=DP．∵NE=CD，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP，∴△NEA≌△CDP（SAS），∴AN=PC．【點(diǎn)睛】本題三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．二、選擇題16．如圖，實(shí)數(shù)﹣3、x、3、y在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N、P、Q，這四個(gè)數(shù)中絕對(duì)值最小的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（）A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q解析：B【解析】【分析】【詳解】∵實(shí)數(shù)-3，x，3，y在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N、P、Q，∴原點(diǎn)在點(diǎn)P與N之間，∴這四個(gè)數(shù)中絕對(duì)值最小的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是點(diǎn)N．故選B．17．下列判斷正確的是（）A．3a2bc與bca2不是同類項(xiàng)B．的系數(shù)是2C．單項(xiàng)式﹣x3yz的次數(shù)是5D．3x2﹣y+5xy5是二次三項(xiàng)式解析：C【解析】【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的定義解答．【詳解】A．3d2bc與bca2所含有的字母以及相同字母的指數(shù)相同，是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B．的系數(shù)是，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．C．單項(xiàng)式﹣x3yz的次數(shù)是5，故本選項(xiàng)正確．D．3x2﹣y+5xy5是六次三項(xiàng)式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)，多項(xiàng)式以及單項(xiàng)式的概念及性質(zhì)．需要學(xué)生對(duì)概念的記憶，屬于基礎(chǔ)題．18．當(dāng)x取2時(shí)，代數(shù)式的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3解析：B【解析】【分析】把x等于2代入代數(shù)式即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可得：把代入中得：，故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是代入求值問題，解題關(guān)鍵就是把x的值代入進(jìn)去即可.19．下列方程中，以為解的是（）A． B． C． D．解析：A【解析】【分析】把代入方程，只要是方程的左右兩邊相等就是方程的解，否則就不是．【詳解】解：A中、把代入方程得左邊等于右邊，故A對(duì)；B中、把代入方程得左邊不等于右邊，故B錯(cuò)；C中、把代入方程得左邊不等于右邊，故C錯(cuò)；D中、把代入方程得左邊不等于右邊，故D錯(cuò).故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查方程的解的知識(shí)，解題關(guān)鍵在于把x值分別代入方程進(jìn)行驗(yàn)證即可.20．如圖，直線AB直線CD，垂足為O，直線EF經(jīng)過點(diǎn)O,若，則()A．35° B．45° C．55° D．125°解析：C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得：,進(jìn)而可得的度數(shù).【詳解】解：根據(jù)題意可得：，.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角和互余的知識(shí)，解題關(guān)鍵在于等量代換.21．如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中∠α與∠β不相等的圖形是（）A． B． C． D．解析：C【解析】【分析】根據(jù)余角與補(bǔ)角的性質(zhì)進(jìn)行一一判斷可得答案..【詳解】解:A,根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠α=∠β=45;B,根據(jù)同角的余角相等可得∠α=∠β；C,由圖可得∠α不一定與∠β相等；D,根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠α=∠β.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的計(jì)算及余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，其中等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等.22．若關(guān)于的方程與的解相同，則的值為（）A． B． C． D．解析：D【解析】【分析】根據(jù)同解方程的定義，先求出x-2=0的解，再將它的解代入方程2k-3x=4，求得k的值．【詳解】解：∵方程2k-3x=4與x-2=0的解相同，∴x=2，把x=2代入方程2k-3x=4，得2k-6=4，解得k=5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程的概念和方程的解法，關(guān)鍵是根據(jù)同解方程的定義，先求出x-2=0的解．23．將方程去分母得（）A． B．C． D．解析：C【解析】【分析】方程兩邊都乘以2，再去括號(hào)即可得解．【詳解】方程兩邊都乘以2得：6-(3x-5)=2x，去括號(hào)得：6-3x+5=2x，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，注意在去分母時(shí)，方程兩端同乘各分母的最小公倍數(shù)時(shí)，不要漏乘沒有分母的項(xiàng)．24．如圖，數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為1，點(diǎn)A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，若數(shù)軸上有一點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離為2個(gè)單位，則點(diǎn)C表示的數(shù)是（）A．-1或2 B．-1或5 C．1或2 D．1或5解析：D【解析】【分析】如圖，根據(jù)點(diǎn)A、