線性代數(shù)矩陣運算詳解與練習一、矩陣的基本概念1.1矩陣的定義矩陣是m行n列的數(shù)表，記作：\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\]或簡化為\(A=(a_{ij})_{m\timesn}\)，其中\(zhòng)(a_{ij}\)是矩陣第\(i\)行第\(j\)列的元素，\(m\)稱為行數(shù)，\(n\)稱為列數(shù)。若\(m=n\)，則稱\(A\)為n階方陣；若\(m=1\)，則稱\(A\)為行向量（1×n矩陣）；若\(n=1\)，則稱\(A\)為列向量（m×1矩陣）。1.2特殊矩陣零矩陣：所有元素均為0的矩陣，記作\(O_{m\timesn}\)或\(O\)；單位矩陣：主對角線（從左上到右下）元素均為1，其余為0的n階方陣，記作\(E_n\)或\(E\)，如：\[E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quadE_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\]對角矩陣：主對角線以外元素均為0的方陣，記作\(\text{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)\)，如：\[\text{diag}(2,-1,3)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&3\end{pmatrix}\]對稱矩陣：滿足\(A^T=A\)的方陣（\(A^T\)表示\(A\)的轉(zhuǎn)置，即行與列交換），如：\[A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix},\quadA^T=A\]反對稱矩陣：滿足\(A^T=-A\)的方陣，其主對角線元素必為0，如：\[A=\begin{pmatrix}0&2&-3\\-2&0&5\\3&-5&0\end{pmatrix},\quadA^T=-A\]二、矩陣的基本運算2.1矩陣的加減定義：設(shè)\(A=(a_{ij})_{m\timesn}\)，\(B=(b_{ij})_{m\timesn}\)（同型矩陣，即行數(shù)和列數(shù)均相同），則：\[A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{m\timesn},\quadA-B=(a_{ij}-b_{ij})_{m\timesn}\]性質(zhì)（設(shè)\(A,B,C\)為同型矩陣，\(O\)為零矩陣）：1.交換律：\(A+B=B+A\)；2.結(jié)合律：\((A+B)+C=A+(B+C)\)；3.零元律：\(A+O=A\)；4.負元律：\(A+(-A)=O\)（\(-A=(-a_{ij})\)為\(A\)的負矩陣）。2.2數(shù)乘矩陣定義：設(shè)\(A=(a_{ij})_{m\timesn}\)，\(k\)為實數(shù)（或復(fù)數(shù)），則數(shù)乘矩陣為：\[kA=(ka_{ij})_{m\timesn}\]性質(zhì)（設(shè)\(A,B\)為同型矩陣，\(k,l\)為實數(shù)）：1.分配律：\(k(A+B)=kA+kB\)，\((k+l)A=kA+lA\)；2.結(jié)合律：\((kl)A=k(lA)\)；3.單位律：\(1\cdotA=A\)；4.零律：\(0\cdotA=O\)，\(k\cdotO=O\)。2.3矩陣乘法定義：設(shè)\(A=(a_{ij})_{m\timess}\)，\(B=(b_{ij})_{s\timesn}\)（\(A\)的列數(shù)等于\(B\)的行數(shù)），則乘積\(AB=(c_{ij})_{m\timesn}\)，其中：\[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\]即\(AB\)的第\(i\)行第\(j\)列元素等于\(A\)的第\(i\)行與\(B\)的第\(j\)列對應(yīng)元素乘積之和。示例：計算\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)與\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)的乘積：\[AB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\]\[BA=\begin{pmatrix}5\times1+6\times3&5\times2+6\times4\\7\times1+8\times3&7\times2+8\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}23&34\\31&46\end{pmatrix}\]結(jié)論：\(AB\neqBA\)，即矩陣乘法不滿足交換律。性質(zhì)（設(shè)運算合法）：1.結(jié)合律：\((AB)C=A(BC)\)；2.左分配律：\(A(B+C)=AB+AC\)；3.右分配律：\((B+C)A=BA+CA\)；4.數(shù)乘結(jié)合律：\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)；5.單位律：\(E_mA=AE_n=A\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣）。注意：矩陣乘法不滿足消去律，即若\(AB=AC\)且\(A\neqO\)，不能推出\(B=C\)。例如：\[A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quadB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quadC=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\]則\(AB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\(AC=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)，顯然\(AB\neqAC\)，但\(B\neqC\)。2.4矩陣的轉(zhuǎn)置定義：將矩陣\(A=(a_{ij})_{m\timesn}\)的行與列交換，得到的\(n\timesm\)矩陣稱為\(A\)的轉(zhuǎn)置，記作\(A^T\)，即：\[A^T=(a_{ji})_{n\timesm}\]例如：\[A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix},\quadA^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}\]性質(zhì)：1.\((A^T)^T=A\)；2.\((A+B)^T=A^T+B^T\)；3.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為實數(shù)）；4.\((AB)^T=B^TA^T\)（逆序法則，推廣到多個矩陣：\((A_1A_2\cdotsA_n)^T=A_n^T\cdotsA_2^TA_1^T\)）。三、逆矩陣3.1逆矩陣的定義設(shè)\(A\)為n階方陣，若存在n階方陣\(B\)，使得：\[AB=BA=E_n\]則稱\(A\)為可逆矩陣（或非奇異矩陣），\(B\)為\(A\)的逆矩陣，記作\(A^{-1}=B\)。3.2逆矩陣的性質(zhì)1.唯一性：若\(A\)可逆，則其逆矩陣唯一；2.逆的逆：\((A^{-1})^{-1}=A\)；3.轉(zhuǎn)置的逆：\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)；4.乘積的逆：\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)（推廣到多個矩陣：\((A_1A_2\cdotsA_n)^{-1}=A_n^{-1}\cdotsA_2^{-1}A_1^{-1}\)）；5.數(shù)乘的逆：\((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)（\(k\neq0\)）；6.行列式性質(zhì)：\(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\)（\(|A|\neq0\)，可逆矩陣的行列式非零）。3.3逆矩陣的求法方法1：伴隨矩陣法設(shè)\(A=(a_{ij})_{n\timesn}\)，其代數(shù)余子式為：\[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\]其中\(zhòng)(M_{ij}\)是\(A\)去掉第\(i\)行第\(j\)列后的n-1階行列式（稱為余子式）。伴隨矩陣\(A^*\)是代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置，即：\[A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}\]逆矩陣公式：若\(|A|\neq0\)，則：\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\]示例：求\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。解答：1.計算行列式：\(|A|=1\times4-2\times3=-2\neq0\)，故\(A\)可逆；2.求代數(shù)余子式：\(A_{11}=(-1)^{1+1}\times4=4\)，\(A_{12}=(-1)^{1+2}\times3=-3\)，\(A_{21}=(-1)^{2+1}\times2=-2\)，\(A_{22}=(-1)^{2+2}\times1=1\)；3.構(gòu)造伴隨矩陣：\(A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)；4.求逆矩陣：\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。方法2：初等變換法原理：可逆矩陣可通過初等行變換化為單位矩陣，且對\(A\)施行初等行變換的同時，對單位矩陣\(E\)施行相同的變換，當\(A\)變?yōu)閈(E\)時，\(E\)變?yōu)閈(A^{-1}\)。步驟：構(gòu)造增廣矩陣\((A|E)\)，通過初等行變換將左半部分化為\(E\)，右半部分即為\(A^{-1}\)，即：\[(A|E)\xrightarrow{\text{初等行變換}}(E|A^{-1})\]示例：用初等變換法求\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。解答：\[(A|E)=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{pmatrix}\]1.第二行減3倍第一行：\(R_2-3R_1\toR_2\)，得：\[\begin{pmatrix}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\end{pmatrix}\]2.第二行乘以-1/2：\(-\frac{1}{2}R_2\toR_2\)，得：\[\begin{pmatrix}1&2&1&0\\0&1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\]3.第一行減2倍第二行：\(R_1-2R_2\toR_1\)，得：\[\begin{pmatrix}1&0&-2&1\\0&1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\]故\(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)，與伴隨矩陣法結(jié)果一致。四、矩陣的秩4.1秩的定義設(shè)\(A\)為m×n矩陣，其秩（記作\(r(A)\)）是\(A\)中非零子式的最高階數(shù)。若\(A=O\)，則\(r(A)=0\)；否則\(r(A)\geq1\)。4.2秩的性質(zhì)1.\(0\leqr(A)\leq\min(m,n)\)；2.\(r(A)=r(A^T)\)（轉(zhuǎn)置不改變秩）；3.\(r(kA)=r(A)\)（\(k\neq0\)，數(shù)乘非零常數(shù)不改變秩）；4.\(r(AB)\leq\min(r(A),r(B))\)（乘積的秩不超過各因子的秩）；5.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)（和的秩不超過秩的和）；6.若\(A\)可逆，則\(r(AB)=r(B)\)，\(r(BA)=r(A)\)（可逆矩陣左乘或右乘不改變秩）。4.3秩的求法方法：通過初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣（每行第一個非零元素的列位置嚴格遞增），非零行的數(shù)量即為矩陣的秩。示例：求\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}\)的秩。解答：1.第二行減2倍第一行：\(R_2-2R_1\toR_2\)，得：\[\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&-1\\3&5&6\end{pmatrix}\]2.第三行減3倍第一行：\(R_3-3R_1\toR_3\)，得：\[\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&-1\\0&-1&-3\end{pmatrix}\]3.交換第二行和第三行：\(R_2\leftrightarrowR_3\)，得行階梯形矩陣：\[\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-3\\0&0&-1\end{pmatrix}\]非零行數(shù)量為3，故\(r(A)=3\)。五、練習與解答5.1基礎(chǔ)題題1：設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}\)，計算\(AB\)和\(BA\)。解答：\[AB=\begin{pmatrix}1\times2+0\times0&1\times3+0\times1\\2\times2+1\times0&2\times3+1\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\4&7\end{pmatrix}\]\[BA=\begin{pmatrix}2\times1+3\times2&2\times0+3\times1\\0\times1+1\times2&0\times0+1\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&3\\2&1\end{pmatrix}\]結(jié)論：\(AB\neqBA\)，再次驗證交換律不成立。題2：用伴隨矩陣法求\(A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\)的逆矩陣。解答：1.行列式：\(|A|=2\times2-1\times3=1\neq0\)，可逆；2.代數(shù)余子式：\(A_{11}=2\)，\(A_{12}=-3\)，\(A_{21}=-1\)，\(A_{22}=2\)；3.伴隨矩陣：\(A^*=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\)；4.逆矩陣：\(A^{-1}=\frac{1}{1}A^*=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\)。驗證：\(AA^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E\)，正確。題3：求\(A=\begin{