高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市2026屆高三摸底考試（零診）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．雙曲線(xiàn)x22-A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．【答案】A【解析】x22-即2x±y=故選：A2．在等差數(shù)列an中，a3=3，a4A．-2 B．-1 C．1 D【答案】B【解析】在等差數(shù)列an中，a4+故選：B3．已知甲、乙兩批袋裝食鹽的質(zhì)量（單位：g）分別服從正態(tài)分布Nμ甲,σ甲A．μ甲>μ乙，σ甲>C．μ甲<μ乙，σ甲>【答案】C【解析】從圖總可以看出乙的對(duì)稱(chēng)軸大于甲的對(duì)稱(chēng)軸，故甲的平均數(shù)小于乙的平均數(shù)，即μ甲且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙數(shù)據(jù)更加集中，方差比甲小，即σ甲故選：C4．函數(shù)fx=x+sinx的圖象在點(diǎn)A．x+y-π-1=0B．x+y-1=0【答案】C【解析】因?yàn)閒x=x+sin所以f'π2所以切線(xiàn)方程為y-π2-故選：C.5．已知圓錐的高為1，母線(xiàn)與底面所成角的大小為30°，則該圓錐的體積為（

A．π B．3π C．2π D【答案】A【解析】如圖所示，因?yàn)槟妇€(xiàn)與底面所成角的大小為30°所以∠SBO=30°，所以該圓錐的體積為13故選：A.6．記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S9+7A．2 B．12 C．-12 【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，S9-S又S9+7S6解得q=-2故選：D.7．在連續(xù)五天時(shí)間里，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別到夕陽(yáng)紅敬老院參加志愿者活動(dòng)，每天一人，其中甲參加兩天，其余三人各參加一天，則甲不在相鄰兩天的安排方法有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．60種【答案】B【解析】先排乙、丙、丁三名同學(xué)共有A3再?gòu)娜怂a(chǎn)生的四個(gè)空中選兩個(gè)空給甲，有C4所以共有A33故選：B.8．已知a為常數(shù)，函數(shù)fx=x-alnxA．0,a B．1,a C．a(chǎn),1 【答案】D【解析】因?yàn)榇嬖趌nx，所以要求x>0，故函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)fx=x-a求導(dǎo)得：f'令f'x=0，即ln當(dāng)a≥0時(shí)，f''x=x+ax2≥0在定義域當(dāng)a<0時(shí)，f''x=x+ax故f'x在區(qū)間(0,-a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-a,+∞若函數(shù)fx=x-alnx存在極大值，則ln又因?yàn)閤>0，所以x-a>0，故x-alnx<0故選：D.二、多選題9．設(shè)函數(shù)fx=xA．fx在-1,1上單調(diào)遞減 B．x∈C．fx有三個(gè)零點(diǎn) D．曲線(xiàn)y=fx關(guān)于點(diǎn)【答案】AD【解析】f'x=3x2-3<又x∈0,1時(shí)，fx單調(diào)遞減，所以x∈0,2時(shí)，fx的值域?yàn)閒x在-1,1上單調(diào)遞減，在fx極大=f-1因?yàn)閒x+f-x=x3-故選：AD.10．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球……設(shè)第n層有an個(gè)球，則（

A．a(chǎn)5=15 BC．a(chǎn)2025為偶數(shù) D．【答案】ABD【解析】根據(jù)題意，當(dāng)n≥2時(shí)，a累加得an∴an=nn+∴a5=an+1-a2025=2025∵an=1a∵n∈N即1≤1a故選：ABD.11．眼睛是心靈的窗戶(hù)，保護(hù)視力從青少年開(kāi)始.“近視”（設(shè)為事件A）和“老花”（設(shè)為事件B）是影響中老年人學(xué)習(xí)與生活質(zhì)量的重要視力因素.設(shè)PA=12，PBA．A與B互為對(duì)立 B．A與B相互獨(dú)立C．PA+B=PB 【答案】BCD【解析】因?yàn)镻A=12，則PBA=所以PA-PBA=PAB=得到PAB=PAPB，A而PA+B=PA+PBPA所以PAB=P故選：BCD.三、填空題12．(x2+1x)【答案】10【解析】(x2+1令10-3r=1，故(x2+1x故答案為：1013．若函數(shù)fx=ax-cosx在R上單調(diào)遞增，則【答案】1【解析】因?yàn)閒x=ax-cos要使函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，則f即a+sin因?yàn)?1≤sin故答案為：[114．袋中裝有大小相同的三個(gè)小球，其編號(hào)分別為1，2，3.每次從袋中隨機(jī)地摸出一個(gè)小球，記下編號(hào)后放回袋中，攪拌均勻再進(jìn)行摸取.設(shè)第n次摸取小球的編號(hào)為an（n=1,2,?,7），則在Ek:x2a【答案】2；32【解析】Ek:x則符合的ak,ak+1又X～B6,1首項(xiàng)Ek:x2a則符合的ak,ak+1所以只有E6是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率P=故答案為：2；32729四、解答題15．如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D（1）證明：BB1//（2）求平面ACD1與平面BC（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)E，連結(jié)D1B1因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以E是BD的中點(diǎn).又DC=2D1C1由棱臺(tái)的定義，DD1與BB1共面，因?yàn)槔馀_(tái)的上、下底面平行，所以它們與平面所以四邊形EBB1D又因?yàn)锽B1?平面ACD1，ED1（2）解：以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z則D0,0,0，A2,0,故AC=-2,2,0設(shè)平面ACD1的法向量m=x1取x1=1，得平面AC設(shè)平面BCC1B1的法向量n=取y2=1，得平面BC故cosm所以平面ACD1與平面BCC16．以“‘智’在必得”為主題的人工智能知識(shí)挑戰(zhàn)賽預(yù)賽由6道正誤判斷題組成，每位選手從中隨機(jī)抽取3道，若能全部回答正確，則通過(guò)預(yù)賽.已知選手甲會(huì)做其中的4道題.（1）設(shè)X表示選手甲抽到會(huì)做題目的道數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和方差；（2）假設(shè)選手甲會(huì)做的題全部答對(duì)；不會(huì)做的題隨機(jī)判斷，答對(duì)的概率為12.若各題作答結(jié)果互不影響，求他通過(guò)預(yù)賽的概率解：（1）根據(jù)題意X=1PX=PX=PX=所以X的分布列為故隨機(jī)變量X的期望EX所以X的方差DX（2）設(shè)事件Ai=“選手甲抽到i道會(huì)做的題目，i=1,2,3則Ω=A1∪A2∪A3由（1）知，PA又PB所以PA同理，PAPA由全概率公式得，選手甲通過(guò)預(yù)賽的概率PB17．記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2（1）求S1，S2，（2）在下列兩個(gè)結(jié)論中，任選一個(gè)加以證明；（若兩個(gè)都證明，以首選計(jì)分）①Snn是等比數(shù)列；②a（3）記Tn為數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和，求（1）解：令n=1，得3S1=a2S2令n=2，得4S2=2a故S3（2）證明：若選擇①：由已知，得n+2故2n+1Sn=n故Snn是首項(xiàng)和公比均為2若選擇②：由已知，Sn=nn+2a兩式相減，得an化簡(jiǎn)并整理，得an+1n+2=2又a12=1，故ann+1是以1為首項(xiàng)，（3）解：若選擇①：由（2）知，Snn=若選擇②：由（2）知，ann+1所以Sn所以Tn則2T兩式錯(cuò)位相減，得-Tn=所以Tn=18．過(guò)點(diǎn)P-1,0作直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C:y2（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OA?（2）若以線(xiàn)段AB為直徑的圓與y軸相切，求l的方程；（3）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l'（不同于l）與C交于M，N兩點(diǎn)，且直線(xiàn)AM與y軸交于點(diǎn)Q，證明：△PBN與△QBN的面積相等（1）解：由題意，直線(xiàn)l不與x軸重合，設(shè)l的方程x=ty-1代入y2=4由Δ=16t2-16設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，B所以O(shè)A?（2）解：由弦長(zhǎng)公式，得AB=線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離r=x又xi=ty由AB=2r，得4t4-所以直線(xiàn)l的方程為2x±（3）證明：設(shè)點(diǎn)My324,又直線(xiàn)BN的斜率k1由y2=4y1設(shè)點(diǎn)Q0,m，由A，M，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，得化簡(jiǎn)，得m=y又直線(xiàn)PQ的斜率k2=0所以BN//PQ，故△PBN與△QBN的面積相等.19．已知函數(shù)fx（1）求fx（2）若fx≤2（3）證明n∑（1）解：由fx=x由f'x>0可得x<1所以fx在-∞,1所以fx有極大值f1（2）解：由題意，k2x+1≥f當(dāng)x=-12時(shí)，k2x+