高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1新疆維吾爾自治區(qū)喀什地區(qū)英吉沙縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知∠BAC=30°，ABA′B′，ACA′C′，則∠B′A′C′=（）A.30° B.150° C.30°或150° D.大小無法確定【答案】C【解析】解：已知，，，當(dāng)角方向相同時(shí)，，當(dāng)角的方向相反時(shí)，，故選：．2.某個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩，兩個(gè)都是男孩的概率是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，有兩個(gè)小孩的家庭，其小孩性別構(gòu)成的所有基本事件共有{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，共有4個(gè)，設(shè)A＝“第一個(gè)男孩”，B＝“第二個(gè)也是男孩”，所以P(AB)＝.故選：C.3.為了了解學(xué)生們的視力狀況，某學(xué)校決定采用分層抽樣的方法，從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)共抽取60人進(jìn)行視力檢測.已知高三年級(jí)有500人，高二年級(jí)有700人，高一年級(jí)有800人，則高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）A.25 B.24 C.21 D.15【答案】C【解析】依題意，，所以高二年級(jí)抽取的人數(shù)為21.故選：C4.有張卡片，上面分別寫有數(shù)字，，，，從這張卡片中隨機(jī)抽取張，則取出的張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的所有基本事件數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取出的張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)所包含的基本事件為：，，，故選：D5.如圖，正方體中，直線與平面所成角的正切值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示：連接，因平面，故線與平面所成角，設(shè)正方體棱長為1，則，.故選：C6.已知在高考前最后一次模擬考試中，高三某班8名同學(xué)的物理成績分別為84，79，84，86，95，84，87，93，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.86，84 B.84.5，85 C.85，84 D.86.5，84【答案】D【解析】將樣本數(shù)據(jù)按升序排列為79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均數(shù)，因?yàn)?4出現(xiàn)了三次，且次數(shù)最多，所以眾數(shù)為84.故選：D7.北京冬奧會(huì)已于2022年2月4日至2月20日順利舉行，這是中國繼北京奧運(yùn)會(huì)，南京青奧會(huì)后，第三次舉辦的奧運(yùn)賽事．之前，為助力冬奧，提高群眾奧運(yùn)法律知識(shí)水平和文明素質(zhì)，某市有關(guān)部門開展冬奧法律知識(shí)普及類線上答題，共計(jì)30個(gè)題目，每個(gè)題目2分滿分60分，現(xiàn)從參與線上答題的市民中隨機(jī)抽取1000名，將他們的作答成績分成6組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表，可估計(jì)這次線上答題成績的平均數(shù)為（）A.33 B.34 C.35 D.36【答案】B【解析】由題圖，.故選：B8.已知某圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.π C. D.π【答案】B【解析】設(shè)圓錐的母線長為，則由題意有，得，所以側(cè)面積為.故選：B二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法中正確的是（）A.若，，則直線a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線B.若，，，則a與b是異面直線C.若，，則D.若，，則一定相交【答案】AC【解析】A中，，，則或，所以不管在平面內(nèi)還是平面外，都有結(jié)論成立，故A正確；B中，直線與b沒有交點(diǎn)，所以與b可能異面，也可能平行，故B錯(cuò)誤；C中，直線與平面沒有公共點(diǎn)，所以，故C正確；D中，直線與平面有可能平行，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.下列結(jié)論正確的是（）A.已知向量，則在上的投影向量為B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有則P，A，B，C四點(diǎn)共面C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D.若直線的方向向量為平面的法向量，則直線【答案】ABC【解析】因?yàn)?，所以在上的投影向量為，故A對(duì)；因?yàn)?，且，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，因?yàn)?，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B對(duì)；是空間的一組基底，若，所以兩向量之間不共線，所以也是空間的一組基底，故C對(duì)；因?yàn)橹本€的方向向量為平面的法向量，且，則直線或，故D錯(cuò)；故選：ABC11.下列事件中，是必然事件的是（）A.明天北京市不下雨B.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰C.早晨太陽從東方升起D.，則的值不小于0【答案】CD【解析】A為隨機(jī)事件，B為不可能事件，C，D為必然事件．故選:CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.12.已知向量，，且，則___________．【答案】【解析】由可得，又因?yàn)?，，所以，解?故答案為：13.有40個(gè)數(shù)據(jù)，其中最大值為35，最小值為14，若取組距為4，則分成的組數(shù)是______【答案】【解析】因?yàn)樽畲笾禐?5，最小值為14，所以在樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差為，又因?yàn)榻M距為，所以應(yīng)該分的組數(shù)為，所以應(yīng)該分成組.故答案為:14.已知二面角的大小為60°，若直線，直線，則異面直線，所成的角是______【答案】60°【解析】如圖，，，作于，于，作于，則，所以為二面角的平面角，則，所以，所以所成角為，則異面直線，所成的角為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.在空間四邊形中，連接，設(shè)M，G分別是的中點(diǎn)，化簡下列各向量表達(dá)式：（1）；（2）.解：（1），∵G是的中點(diǎn)，∴；（2）∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∴.16.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體，，，．求：（1）向量，，的坐標(biāo)；（2），的坐標(biāo)．解：（1）由已知，則，，；（2），.17.在棱長為1的正方體上，用過同一頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面分別截該正方體，截去1個(gè)三棱錐.求剩下的幾何體的體積.解：由題意知，正方體的體積，又截去的三棱錐可看作是：底面是邊長為的等腰直角三角形，高為的三棱錐.則截去的三棱錐的體積為，故剩余幾何體的體積為，故剩下的幾何體的體積為.18.甲、乙兩人每下一盤棋，甲獲勝的概率是0.4，甲不輸?shù)母怕蕿?.9．（1）若甲、乙兩人下一盤棋，求他們下成和棋的概率；（2）若甲、乙兩人連下兩盤棋，假設(shè)兩盤棋之間的勝負(fù)互不影響，求甲至少獲勝一盤的概率．解：（1）設(shè)事件表示甲獲勝，事件表示和棋，事件表示甲不輸．則．因?yàn)楹推迮c獲勝是互斥的，由概率的可加性，得．因?yàn)椋裕?）設(shè)事件表示甲獲勝，則表示甲未獲勝.設(shè)下兩次棋至少有一次獲勝的事件為，則，因?yàn)閮杀P棋之間的勝負(fù)互不影響，且至少有一次獲勝包括的三種情況是互斥的.所以19.從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如下的頻率分布直方圖．由于一些數(shù)據(jù)丟失，試?yán)妙l率分布直方圖求：（1）這50名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；（2）這50名學(xué)生的平均成績．解：（1）由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中高度最高的小長方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求，所以眾數(shù)應(yīng)為．由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將所有小矩形的面積一分為二的垂直于橫軸的