高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省G5聯盟2024-2025學年高二上學期期中聯考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.不存在【答案】B【解析】解：直線即為軸，軸和軸垂直，又知傾斜角的范圍是，∴由定義可知直線傾斜角為.故選：B.2.已知直線：，：，若，則（）A. B. C.4 D.1【答案】C【解析】若，則滿足，解得，故選：C3.曲線：，則“”是“曲線表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，顯然，即曲線表示雙曲線，充分性成立；而時，，此時也是雙曲線，必要性不成立；所以“”是“曲線表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A4.若，為兩條直線，為一個平面，則下列結論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則與相交【答案】C【解析】根據題意，依次分析選項：對于A，若，，則與平行或異面，A錯誤；對于B，若，，則與異面、平行或相交，B錯誤；對于C，設直線，滿足且，若，則，而，則，C正確；對于D，若，，則與相交或異面，D錯誤.故選：C.5.把一個圓錐分割成兩個側面積相等的小圓錐和圓臺，則小圓錐和圓臺的高之比為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】設圓錐與圓臺的母線分別為、，圓臺的上下底面半徑分別為、，小圓錐和圓臺的高之比為，則有，即，，則，，有，即，整理得，解得或（負值，舍去）.

故選：D.6.已知，均為正實數，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據題意，，由于，均為正實數，則，當且僅當，即時，等號成立，所以，即的最大值為.故選：B7.曲線與在內有3個交點，則可能的值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】令，則，則，易知，，所以，設，則，令，因為，故，因為與在x∈0,π內有3個交點，所以問題轉化為與在內有3個交點，作出與的大致圖象，雖然不好確定的正負情況，但數形結合可知，當時，不管的值為正還是為負，與在內都恰有3個交點，故B正確；其他選項都不正確.故選：B.8.已知拋物線：（）的焦點到的距離為1，是拋物線上的動點，到的距離與之和的最小值為1，則點的軌跡圍成的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】拋物線：的焦點，由到的距離為1，得，而，解得，則拋物線的焦點，準線方程為，直線與準線的距離為1，由到的距離與之和的最小值為1，得到準線的距離與之和的最小值為2，因此的最小值為2，顯然，當且僅當點在線段上時取等號，則，此時點的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，由點在線段上，得點在圓內，又直線與的距離為1，當點在直線上，點在直線及下方的拋物線弧上，且垂直于直線時，到的距離與之和為1，符合題意，因此點的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓在直線及下方的圓弧與弦組成，而點到直線的距離是1，則，所以點的軌跡圍成的面積扇形的面積減去的面積，即.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，，且，則以下四個命題正確的是（）A. B.為純虛數C.純虛數 D.為虛數【答案】AB【解析】因為復數，，且，對于A選項，，A對；對于B選項，為純虛數，B對；對于C選項，為實數，C錯；對于D選項，，當時，為實數，D錯.故選：AB.10.已知雙曲線：（，）的離心率為，焦距為，直線與雙曲線交于、兩點，點位于第一象限，過點作軸的垂線，垂足為，點為雙曲線的左焦點，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.【答案】ABD【解析】設雙曲線的右焦點為，因為直線過原點，所以為平行四邊形，對于A：因為，所以為矩形，所以，故A正確；對于B：若，由漸近線的性質可知：，所以，故B正確；對于C：，由漸近線的性質可知，在中，，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：ABD11.已知正方體的棱長為1，，是棱、的中點，動點滿足，其中，，，則下列命題正確的是（）A.若，，則平面B.若，則與所成角的取值范圍為C.若平面，則D.若，則【答案】C【解析】如圖，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則可得，則，即.對于選項A：因為若，，即，可得，因為不恒為0，即與不一定垂直，所以與平面不一定垂直，故A錯誤；對于選項B：若，即，可得，，設與所成角為，則當且僅當時，等號成立，令，則，可得，當且僅當，即或時，等號成立，綜上所述：，所以，故B錯誤；對于選項C：因為，設平面的法向量，則，令，則，可得，若平面，則，可得，整理可得，故C正確；對于選項D：若，則點在以的中點為球心，半徑的球面上，例如，符合題意，但，故D錯誤；故選：C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在G5聯盟考試成績中，從某班隨機抽取8名同學的數學成績，分數從低到高為：70，77，90，101，115，119，138，149，則第70百分位數為______.【答案】119【解析】由題可知，，進一位為，第六個數為.故答案為：13.已知橢圓（）的左焦點為F-c,0，直線與橢圓交于點、，的周長最大值為，則橢圓離心率的最大值為______.【答案】【解析】取右焦點，連接，由于的周長為當且僅當共線時取等號，故周長的最大值為，因此，故，當時取等號，故，故離心率的最大值為.故答案為：14.已知正四面體的棱長為6，是棱的中點，是棱上一動點，若在上，使得與平面所成的角為，則線段的長度的最小值是______.【答案】【解析】如圖將該正三棱錐補全為一個正方體，建立空間直角坐標系，點為點在平面的投影，易知，平面的一個法向量，顯然點在平面上，設易知由題可知，得，整理得易知到點的距離,所以在以為球心，半徑為的球面上；由題易知，,所以，所以，點在平面上是以點為圓心的圓上，所以線段的長度的最小值是.故答案為：四、解答題：（共5大題，共77分，其中第15題13分，第16題、第17題每題15分，第18題、第19題每題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.15.在中，內角，，的對邊分別為，，，且（1）求角的大?。唬?）已知，，求.解：（1），即，即，由得：，∴，∴.∵，∴.（2）.∵，①∴②.由①②得：或.16.已知為坐標原點，直線過定點，設圓的半徑為2，圓心在直線：上.（1）若圓心也在直線上，求過點與圓相切的直線方程；（2）若圓上存在點，使得，求圓心的橫坐標的取值范圍.解：（1）因為直線可化為，令，則，故，聯立，解得，則圓心，因為圓的半徑為2，所以圓的方程為，當所求直線斜率不存在時，此時直線方程為，易知與圓相切，符合題意；當所求直線斜率存在時，設所求圓的切線方程為y=kx-1，即,所以圓心到直線的距離為，解得,所以切線方程為，即,綜上所述，所求圓的切線方程為或.（2）因為圓的圓心在直線：上，故設圓心為，則圓的方程為，又因為，故，所以設為，則，設為圓，圓心，半徑為，則點應該既圓上又在圓上，即圓和圓有交點，所以，所以，由，解得，由，解得，綜上，的取值范圍為.17.如圖，等腰直角三角形中，，是中點，、分別是、邊上的動點，且，將沿折起，將點折至點的位置，得到四棱錐.（1）求證：；（2）若，二面角是直二面角，求平面與平面夾角的余弦值；（3）當時，是否存在這樣的點，使得二面角為，且直線與平面所成角為，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.（1）證明：∵，，∴，即，，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴.解：（2）∵二面角是直二面角，∴平面平面，∵平面平面，，平面，∴平面，如圖，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，，∴，.設平面法向量為，，令，則，，故，由題意得，平面法向量為，設平面與平面的夾角為，則.（3）分別以、所在直線分別為軸、軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖空間直角坐標系，設，則，，，，由（1）得，二面角的平面角為，即，故，∴，.由題意得，平面的法向量為，，解得，∴存在點，.18.已知為坐標原點，橢圓：（）的左焦點為，且經過點，過點的直線與橢圓相交于、兩點，且、在軸的同側.（1）求橢圓的標準方程；（2）為的重心，直線、分別交軸于、兩點，記和的面積分別為，，求的取值范圍.解：（1）∵，∴.又∵，，.∴橢圓的標準方程為.（2）設直線的方程：，由軸同側可得，設Ax1,y1，Bx2則，，，.∵的重心在原點，∴，且.∴.∵，因為，所以，∴，∴.19.若存在滿足，且，則稱為函數的次不動點.已知為常數且.（1）當時，判斷是否為函數的次不動點，并說明理由；（2）已知有兩個次不動點，，①求的取值范圍；②若對任意，且，，，，求△的面積的取值范圍.解：（1）當時，因為，但，所以不是函數的次不動點.（2）①當時，當時，單調遞增，所以，故；當時，單調遞減，所以，故，所以所以只有一個解，又，故0不是次不動點.當時，所以有