高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單選題（共8小題，每題5分，共40分）1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，則，故，因?yàn)?，所以，故A正確.故選：A2.在的展開式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是（）A.8 B.5 C.3 D.2【答案】C【解析】的展開式通項(xiàng)公式為，，要想系數(shù)為整數(shù)，需為整數(shù)，顯然當(dāng)時(shí)，滿足要求，故系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)為3.故選：C3.若直線與冪函數(shù)的圖象依次交于不同的三點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.以上說法都不正確【答案】D【解析】因?yàn)椋傻?；得；?則.因?yàn)椋允顷P(guān)于的減函數(shù).因?yàn)?，所以，則.故以上選項(xiàng)都不對.故選：D.4.函數(shù)（為自然常數(shù)）的大致圖像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榈亩x為，所以，所以為奇函數(shù)，排除D，又因?yàn)?，所以排除B，當(dāng)趨近正無窮時(shí)，趨近，故C錯(cuò)誤.故選：A.5.小明新買的儲蓄罐有5位密碼，他決定在“斐波那契數(shù)列”的前6項(xiàng)中隨機(jī)抽取5個(gè)數(shù)字設(shè)置為儲蓄罐的密碼，且密碼的第3位是偶數(shù)，已知“斐波那契數(shù)列”的前6項(xiàng)依次為“1、1、2、3、5、8”，則可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為（）A.144 B.120 C.84 D.116【答案】B【解析】若選的數(shù)字只有一個(gè)1，此時(shí)有兩個(gè)偶數(shù)，則不同的排列方法有種；若選的數(shù)字有兩個(gè)1，則不同的排列方法有種.故共有種不同的設(shè)置方法.故選：B.6.為了考查一種新疫苗預(yù)防某X疾病的效果，研究人員對一地區(qū)某種動物進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)群中隨機(jī)進(jìn)行了抽查，已知抽查的接種疫苗的動物數(shù)量是沒接種疫苗的2倍，接種且發(fā)病占接種的，沒接種且發(fā)病的占沒接種的，若本次抽查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防某X疾病有關(guān)”的結(jié)論，則被抽查的沒接種動物至少有（）只0.100.050.010.0050.00127063.8415.6357.87910.828A.35 B.36 C.37 D.38【答案】B【解析】設(shè)沒接種只數(shù)為k，依題意，得2×2列聯(lián)表如下：

發(fā)病沒發(fā)病合計(jì)接種2k沒接種k合計(jì)3k則的觀測值為：，因?yàn)楸敬握{(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜愛足球與性別有關(guān)的結(jié)論，于是，即，即∴，∴故選：B．7.如圖所示，5顆串珠用一根細(xì)線串起，現(xiàn)將它們依次取出（只允許從兩邊取出），一次取一顆，兩顆☆☆串珠被連續(xù)取出的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，前4次取珠，每次可取左或取右兩種選擇，最后1次取只有1種情況，因此不同取法種數(shù)為，第1，2次取“☆☆”，再取另3顆珠有4種方法；第2，3次取“☆☆”，則第1次取右起第一顆，共有2種方法；第3，4次取“☆☆”，則第1，2次取右起兩顆，有1種取法；第4，5次取“☆☆”，則第1，2，3次取右起三顆，有2種取法，因此兩顆☆☆串珠被連續(xù)取出的方法種數(shù)是，所以所求概率為.故選：D8.已知函數(shù),若為方程的解,則=（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】由函數(shù)，則方程，可得，則，即，即，所以，兩邊同取自然對數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，即，所以，即，且，所以.故選：A.二、多選題（共3小題，每題6分，共18分，選對部分得部分分，錯(cuò)選或不選不得分）9.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如下所示，若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列說法正確的是（）012340.40.10.2A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于A，由分布列的性質(zhì)有，可得，故A對；對于B，由，故B對；對于C，，，故C對；對于D，所以，故D錯(cuò).故選：ABC10.已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為，且，剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)后，得到新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn).則下列說法正確的是（）A.相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系B.剔除該異常點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大C.剔除該異常點(diǎn)后回歸直線經(jīng)過點(diǎn)D.剔除該異常點(diǎn)后，回歸直線斜率是【答案】BCD【解析】對于A，由回歸直線方程的斜率為，可知相關(guān)變量x，y具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；對于B，剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)后，成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度更強(qiáng)，故樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，B正確；對于C，因原回歸直線方程為，且，則，剔除異常點(diǎn)后，得到新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，則得到新的，，故剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過點(diǎn)，C正確；對于D，新的回歸直線過點(diǎn)，列出方程，解得，則新的回歸方程為，故D正確；故選：BCD11.已知函數(shù)，若非空集合，且，則下列說法中正確的是（）A.的取值與有關(guān) B.為定值C. D.【答案】BD【解析】令，則可化為，不妨設(shè)的解集為，即，，即，故，又，且，，且，，且，由，解得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；，，有解，，即或，又是方程的兩個(gè)根，即是方程的兩個(gè)根，故，即，，又，則，解得：，又或，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.故答案選：BD.非選擇題部分三、填空題（共3小題，每題5分，共15分）12.已知隨機(jī)變量的分布列，則______．【答案】【解析】已知（），則由分布列的性質(zhì)可得，解得，故答案為：.13.甲、乙、丙3人做傳球游戲，游戲規(guī)則為：一人隨機(jī)將球傳到另外兩人中的一人手里，接到球的一人再將球隨機(jī)傳到另外兩人中的一人手里，如此循環(huán)傳遞下去，如果由甲先傳球，則連續(xù)傳球五次后，球在甲手里的概率為______.【答案】【解析】每次傳球都有兩種選擇，所以5次傳球共有種傳球結(jié)果.因?yàn)閺募组_始，最后回到甲手上，所以第一次傳球后不可能是甲接到球，第四次傳球后不可能是甲接到球.如果第二次傳球是甲接到球，則第三次傳球后不是甲接到球，所以共有種傳球結(jié)果；如果第二次傳球不是甲接到球，第三次傳球后也不是甲接到球，則有種傳球結(jié)果；如果第二次傳球不是甲接到球，第三次傳球后是甲接到球，則有種傳球結(jié)果；所以甲先傳球，則連續(xù)傳球五次后，球在甲手里共有種傳球的結(jié)果，所以甲先傳球，則連續(xù)傳球五次后，球在甲手里得概率為.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，已知對任意，若、滿足，，則，則正實(shí)數(shù)的最大值為_____.【答案】【解析】顯然，由對任意，若、滿足，，可得，對于，恒成立，即為，化簡可得，即，即恒成立，由，，可得，即對恒成立，可得，設(shè)，則，當(dāng)，即，上式取得等號，由，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差．（）（1）若，候鳥每分鐘的耗氧量為8100個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？（2）若雄性候鳥的飛行速度為，雌性候鳥的飛行速度為，那么此時(shí)雄性候鳥每分鐘的耗氧量是雌性候鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？解：（1）將代入函數(shù)式可得：，故此時(shí)候鳥飛行速度為．（2）設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘的耗氧量為，依題意可得：，兩式相減可得：，于是．故此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的9倍；16.已知函數(shù)．（1）若的解集為，求a，b的值；（2）若方程在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）由的解集為，可知為的兩個(gè)根，故，解得；（2）方程在上有解，即在上有解，即在上有解，令，則，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.17.航天事業(yè)是國家綜合國力的重要標(biāo)志,帶動著一批新興產(chǎn)業(yè)和新興學(xué)科的發(fā)展.2022~2023學(xué)年全國青少年航天創(chuàng)新大賽設(shè)航天創(chuàng)意設(shè)計(jì)、太空探測、航天科學(xué)探究與創(chuàng)新三個(gè)競賽單元及載人航天主題專項(xiàng)賽．某校為了激發(fā)學(xué)生對航天科技的興趣，點(diǎn)燃學(xué)生的航天夢，舉行了一次航天創(chuàng)新知識競賽選拔賽，從中抽取了10名學(xué)生的競賽成績，得到如下表格：序號i12345678910成績（分）38414451545658647480記這10名學(xué)生競賽成績的平均分與方差分別為，．經(jīng)計(jì)算，．（1）求與；（2）規(guī)定競賽成績不低于60分為優(yōu)秀，從這10名學(xué)生中任取3名，記競賽成績優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列；（3）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，航天創(chuàng)新知識選拔賽成績服從正態(tài)分布，用，的值分別作為，的近似值，若科創(chuàng)中心計(jì)劃從全市抽查100名學(xué)生進(jìn)行測試，記這100名學(xué)生的測試成績恰好落在區(qū)間的人數(shù)為Y，求Y的均值．附：若，則，，．解：（1），；（2）競賽成績“優(yōu)秀”的學(xué)生有3人，則X的可能取值為0，1，2，3，則，，，．則X的分布列為：X0123P（3）由題意，，，記抽查學(xué)生的測試成績?yōu)?，則，∴這100名學(xué)生的測試成績恰好落在區(qū)間的入數(shù)為，∴．18.人工智能在做出某種推理和決策前，常常是先確定先驗(yàn)概率，然后通過計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策．我們利用這種方法設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)：有完全相同的甲、乙兩個(gè)袋子，袋子內(nèi)有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球．我們首先從這兩個(gè)袋子中隨機(jī)選擇一個(gè)袋子，假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗(yàn)概率），再從該袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，稱為一次試驗(yàn)．經(jīng)過多次試驗(yàn)，直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束；若試驗(yàn)未結(jié)束，則將摸到的球放回原袋，每次試驗(yàn)相互獨(dú)立．（1）求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；（2）在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整．（i）求選到的袋子為甲袋的概率；（ii）求選到的袋子為乙袋，且第二次試驗(yàn)就結(jié)束的概率．解：（1）設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為紅球”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為白球”為事件．則，所以試驗(yàn)一次結(jié)果為紅球的概率為.（2）（i）因?yàn)槭菍α⑹录?，所以，所以選到的袋子為甲袋的概率為.（ii）由（i）得，設(shè)為第次獨(dú)立試驗(yàn)結(jié)束的概率，則所以設(shè)題設(shè)概率為，則.19.小明同學(xué)在課外學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)以下定義：設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，若、，都有，則稱為區(qū)間上的下凸函數(shù)．例如，函數(shù)在上為下凸函數(shù).通過查閱資料，小明同學(xué)了解到了琴生（Jensn）不等式：若是區(qū)間上的下凸函數(shù)，則對任意的、、、，不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)