2024-2025學(xué)年江西省九江市都昌縣八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.在代數(shù)式，，，，中，屬于分式的有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個3.下列不等式的變形正確的是（）A.若a＞b,則c+a＜c+b B.若a＜b,且c≠0，則ac＜bc

C.若a＞b,則ac2＞bc2 D.若ac2＜bc2，則a＜b4.如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周長是(

)

A.6

cm B.7

cm C.8

cm D.9

cm5.下列各式由左邊到右邊的變形中，屬于分解因式的是（）A.a（x+y）=ax+ay B.x2-4x+4=x（x-4）+4

C.10x2-5x=5x（2x-1） D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x6.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=120°，AD=8，AB=4，點H、G分別是邊CD，BC上的動點.連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF.則EF的最大值與最小值的差為（）

A. B. C. D.2二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.式子有意義，則實數(shù)a的取值范圍是______.8.若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為______.9.一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的比是4：1，它的邊數(shù)是______．10.因式分解：2x2-4x═______．11.如圖，點P為△ABC三邊垂直平分線的交點，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，則∠APB的度數(shù)為______.

???????12.正方形ABCD的邊長為3，點P、Q在正方形不同的邊上與點A構(gòu)成等腰三角形，若等腰△APQ的底邊長為，則等腰△APQ的腰長是______.三、解答題：本題共11小題，共84分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。13.(本小題6分)

（1）解不等式組；

（2）解方程：=1.14.(本小題6分)

化簡：，下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運算過程：解：原式=[+]?…解：原式=?+?…（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是______，乙同學(xué)解法的依據(jù)是______；（填序號）

①等式的基本性質(zhì)；

②分式的基本性質(zhì)；

③乘法分配律；

④乘法交換律.

（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程.15.(本小題6分)

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BD=DF．求證：BE=FC．16.(本小題6分)

圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，小正方形的頂點稱為格點，點A在格點上.用直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點在格點上.

（1）在圖①中以點A為頂點，畫一個面積為6的平行四邊形.

（2）在圖②中以點A為對角線交點，畫一個面積為6的平行四邊形.17.(本小題6分)

如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到△AEF，點E落在BC邊上，EF與AC交于點G．

（1）求證：△ABE是等邊三角形；

（2）若∠ACB=28°，求∠FGC的度數(shù)．18.(本小題8分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為AD的中點，延長CE交BA的延長線于點F．

（1）求證：AB=AF；

（2）若BC=2AB，∠BCD=100°，求∠ABE的度數(shù)．19.(本小題8分)

某服裝店用6000元購進一批襯衫，很快售完，服裝店老板又用2800元購進第二批該款式的襯衫，進貨量是第一次的一半，但進價每件比第一批降低了10元.

（1）這兩次各購進這種襯衫多少件？

（2）若第一批襯衫的售價是200元/件，老板想讓這兩批襯衫售完后的總利潤不低于2600元，則第二批襯衫每件至少要售多少元？20.(本小題8分)

已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x-y＜0．

（1）求k的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，若不等式（2k+1）x-2k＜1的解為x＞1，請寫出符合條件的k的整數(shù)值．21.(本小題9分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，A（0，12），B（a,c），C（b,0），且a,b滿足（b-16）2+|a-21|=0.一動點P從點A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點B運動；動點Q從點O出發(fā)，在線段OC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動.點P，Q分別從點A、O同時出發(fā)，當(dāng)點P運動到點B時停止運動，點Q隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒.

（1）求B，C兩點的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCB是平行四邊形？請求出此時P，Q兩點的坐標(biāo).

（3）當(dāng)t為何值時，△PQC是以PQ為腰的等腰三角形？22.(本小題9分)

【閱讀材料】形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式，有些多項式雖然不是完全平方式，但可以通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法，配方法在因式分解、代數(shù)最值等問題中都有著廣泛的應(yīng)用

（1）用配方法因式分解：a2+6a+8

解：原式=a2+6a+9-1

=（a+3）2-1

=（a+3-1）（a+3+1）

=（a+2）（a+4）

（2）用配方法求代數(shù)式a2+6a+8的最小值

解：原式=a2+6a+9-1

=（a+3）2-1

∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2-1≥-1，∴a2+6a+8的最小值為-1

【解決問題】（1）若代數(shù)式x2-10x+k是完全平方式，則常數(shù)k的值為______，

（2）因式分解：a2-12a+32

【拓展應(yīng)用】（3）用配方法求代數(shù)式4x2+4x+5的最小值23.(本小題12分)

【課題研究】旋轉(zhuǎn)圖形中對應(yīng)線段所在直線的夾角（小于等于90°的角）與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系．

【問題初探】線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得線段CD，其中點A與點C對應(yīng)，點B與點D對應(yīng)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為α，且0°＜α＜180°．

（1）如圖（1）當(dāng)α=90°時，線段AB、CD所在直線夾角為______；

（2）如圖（2）當(dāng)α=60°時，線段AB、CD所在直線夾角為______；

（3）如圖（3），當(dāng)90°＜α＜180°時，直線AB與直線CD夾角與旋轉(zhuǎn)角α存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

【形成結(jié)論】旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時，對應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角______；

【運用拓廣】運用所形成的結(jié)論求解下面的問題：

（4）如圖（4），四邊形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AB=BC，AD=2，CD=，試求BD的長度．

1.

解：A、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意，

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，

故選：A．

2.

解：分式有：，+x共有2個．

故選：A．

3.

解：A．∵a＞b,

∴c+a＞c+b,故本選項不符合題意；

B．當(dāng)c＜0時，由a＜b能推出ac＞bc,故本選項不符合題意；

C．當(dāng)c=0時，由a＜b能推出ac2=bc2，故本選項不符合題意；

D．∵ac2＜bc2，

∴不等式的兩邊都除以c2，得a＜b,故本選項符合題意；

故選：D．

4.

解：∵DE是AB的垂直平分線，

∴AD=BD，

∵AC=5cm，BC=4cm，

∴△DBC的周長是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）．

故選D．5.

解：A、是多項式乘法，故選項錯誤；

B、右邊不是積的形式，x2-4x+4=（x-2）2，故選項錯誤；

C、提公因式法，故選項正確；

D、右邊不是積的形式，故選項錯誤．

故選：C．6.

解：如圖：取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD=120°，

∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=4，

∴AM=DM=DC=4，

∴△CDM是等邊三角形，

∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，

∴∠MAC=∠MCA=30°，

∴∠ACD=90°，

∴AC=4，

在Rt△ACN中，AC=4，∠ACN=∠DAC=30°，

∴AN=AC=2，

∵AE=EH，GF=FH，

∴EF=AG，

∴AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長，

∵AG的最大值為4，最小值為2，

∴EF的最大值為2，最小值為，

∴EF的最大值與最小值的差為2-=．

故選：C．

7.

解：∵式子有意義，

∴a+1≥0且a-2≠0，

解得：a≥-1且a≠2，

故答案為：a≥-1且a≠2．

8.

解：方程兩邊乘以x-3，得2x+1=5（x-3）+m；

當(dāng)x-3=0時，x=3，即方程的增根為3，

把x=3代入2x+1=5（x-3）+m中，得：2×3+1=5×（3-3）+m,

∴m=7，

故答案為：7．

9.

解：∵一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的比是4：1，

∴這個多邊形的內(nèi)角和為4×360°=1440°，

設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，

則（n-2）?180°=1440°，

解得：n=10，

即邊數(shù)為10，

故答案為：10．

10.

解：2x2-4x=2x（x-2）．

故答案為：2x（x-2）．11.

解：∵點P為△ABC三邊垂直平分線的交點，

∴PA=PC=PB，

∴∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°，

∵∠ACB+⊥ABC+∠BAC=180°，

∴∠PCA+∠PCB+∠PAC+∠PBC+∠PAB+∠PBA=180°，

∴∠PAB+∠PBA=80°，

∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=100°，

故答案為：100°．

12.

解：當(dāng)P、Q分別在AD、AB上，AP=AQ，△APQ為等腰直角三角形，如圖所示：

∵，

∴；

當(dāng)P、Q分別在CD、BD上，AP=AQ，如圖所示：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AC=BD=CD=3，∠B=∠C=90°，

∴Rt△ABQ≌Rt△ACP，

∴BQ=CP，

∴BD-BQ=CD-CP，即DP=DQ，

∴△DPQ為等腰直角三角形，

∵，

∴，

∴BQ=3-2=1，

∴此時腰長為；

當(dāng)AP=PQ，點P在CD上，點Q在AB上，過點P作PM⊥AB于點M，如圖所示：

∵AP=PQ，PM⊥AB，，

∴，

∵∠AMP=∠CAM=∠C=90°，

∴四邊形AMPC為矩形，

∴MP=AC=3，

∴．

綜上分析可知：等腰△APQ的腰長是2或或．

故答案為：2或或．

13.

（1），

解不等式①得，3x＜x+2，

解得：x＜1，

解不等式②得，2x+4≥x+1，

解得：x≥-3，

∴不等式組的解集為-3≤x＜1；

（2），

2（x-3）+x2=x（x-3），

2x-6+x2=x2-3x,

解得：，

經(jīng)檢驗，是原方程的解．

14.

解：（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，乙同學(xué)解法的依據(jù)是乘法分配律，

故答案為：②；③；

（2）若選擇甲同學(xué)的解法：

=[+]?

=?

=?

=2x；

若選擇乙同學(xué)的解法：

=?+?

=?+?

=x-1+x+1

=2x.

21.

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，a,b滿足（b-16）2+|a-21|=0．

由題意得：，

解得：，

∵AB∥OC，A（0，12），B（a,c），C（b,0），

∴c=12，

∴B（21，12），C（16，0）；

（2）如圖1：

∵動點P從點A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點B運動；動點Q從點O出發(fā)，在線段OC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，設(shè)運動時間為t秒，

∴AP=2t,QO=t,

則：PB=21-2t,QC=16-t,

∵AB∥OC，

∴當(dāng)PB=QC時，四邊形PQCB是平行四邊形，

∴21-2t=16-t,

解得：t=5，

故當(dāng)t=5時，四邊形PQCB是平行四邊形，

此時，P點的坐標(biāo)為P（10，12），Q點的坐標(biāo)為Q（5，0）；

（3）∵△PQC是以PQ為腰的等腰三角形，

∴分兩種情況：PQ=CQ或PQ=PC，

①當(dāng)PQ=CQ時，如圖2，過Q作QN⊥AB于N，

∵∠AOQ=∠OAN=∠ANQ=90°，

∴四邊形AOQN是矩形，

∴AN=OQ=t,NQ=OA=12，

∴PN=AP-AN=2t-t=t,

在Rt△PQN中，由勾股定理得：PQ2=PN2+NQ2=t2+122，

∵PQ=CQ，

∴PQ2=CQ2，即

122+t2=（16-t）2，

解得：，

②當(dāng)PQ=PC時，過P作PM⊥x軸于M，如圖3，

∴QM=MC，

由題意得：QM=t,CM=16-2t,

則t=16-2t,

解得：，

∴，

綜上所述，當(dāng)或

時，△PQC是以PQ為腰的等腰三角形．

22.

解：（1）∵（x-5）2=x2-10x+25，

∴k=25，

故答案為：25；

（2）原式=（a-6）2-4

=（a-6+2）（a-6-2）

=（a-4）（a-8）；

（3）4x2+4x+5=4x2+4x+1+4=（2x+1）2+4，

∵（2x+1）2≥0，

∴（2x+1）2+4≥4，

∴4x2+4x+5的最小值為4．

23.

解：（1）如圖1，延長DC交AB于F，交BO于E，

∵α=90°

∴∠BOD=90°

∵線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得線段CD，

∴AB=CD，OA=OC，BO=DO

∴△AOB≌△COD（SSS）

∴∠B=∠D

∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF

∴∠BFE=∠EOD=90°

故答案為：90°

（2）如圖1，延長DC交AB于F，交BO于E，

∵α=60°

∴∠BOD