2024-2025學(xué)年遼寧省錦州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z=白，貝吻的虛部為（）

1111

A.？B.一》C,-D.--

2.下列四個命題正確的是（）

A.a〃S，aua,6ca//bB.alS，Ica,mu0nIJ.m

C.a八0=a,b//a=b//aD.I1a,muB,仇〃SIIm

3.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）

A.y=\tanx\B.y=x—sinxC.y=%+cosxD.y=xsinx

4.已知2=（3,3）,b=（—2,5）,則向量五在另上的投影的數(shù)量為（）

A9/297^3017/3「4<3

'?FDc亍D.—

5.如圖，攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱為攢尖，通常有圓形攢尖、

三角形攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分多見于亭閣式建筑，某個園林建筑為六角攢尖，它的頂部的

輪廓可近似看作一個正六棱錐，若此正六棱錐高為1且側(cè)棱長為，I,則棱錐側(cè)面積為（）

A耳A

B.嬰.滓

等

D.苧m

6.AABC中，48=45。，。是BC邊上一點(diǎn)，AD=5,AC=7,DC=3,則AB的長為（）

A.5/2B.3<6C.苧D.4<3

7.已知函數(shù)/'（x）=2cos2a）x+yT3sin2（i）x-l（a）>0）的最小正周期為兀，則下列說法正確的有（）

A.3=2

B.函數(shù)/0）在［0幣上為減函數(shù)

C.直線x=提函數(shù)y=/（x）圖象的一條對稱軸

D.點(diǎn)第,0）是函數(shù)y=/（久）圖象的一個對稱中心

8.在正三棱柱力BC-a/16中，AB=2,外接球表面積為與兀，P為&Q的中點(diǎn)，Q為側(cè)面BCQB1內(nèi)（含邊

界）一點(diǎn)，若PQ〃平面48G，則點(diǎn)Q運(yùn)動軌跡的長度為（）

A.<5C.AAIO

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)Z1滿足i?⑵-2i）=1,則（）

A.zi的共物復(fù)數(shù)為-i

B.㈤=1

C.z?=i

D.若復(fù)數(shù)Z2滿足㈤=1,則|Z1-Z2I的最大值為2

10.已知函數(shù)/0）=25出（3%+9）（3>0,|勿<少的部分圖象如圖所示，其中M6,2）,N尚兀,0）,則（）

A./（久）的最小正周期為4兀斗

B.xe[0,爭時，B%）的最大值是門

c.fo）的圖象向右平移年個單位后為奇函數(shù)\/

D./（久）與g（x）=2s譏：久有相同的零點(diǎn)

11.如圖，線段4B為圓。的直徑，點(diǎn)E,F在圓。上，EF//AB,矩形ABCD所在平面和圓。所在平面垂直,

且AB=2,EF=AD=1,則下述正確的是（）c

A.OF//^BCE/M

B.BF，平面ZDF

C.點(diǎn)4到平面CDFE的距離為手J

D.三棱錐C-BEF外接球的體積為，

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.化簡：sin40°（tanl0°-V-3）=.

13.函數(shù)y=￡的圖象與函數(shù)y=2si/OTX（-24%W4）的圖象所有交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)之和等于,夕------今B

14.如圖，在三棱錐P—ABC的平面展開圖中，AC=1,AB=AD=73，/

ABVAC,ABLAD,Z.CAE=30°,貝UcosNFCB=./

網(wǎng)P)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知向量五==2/2.

(1)若方〃石，求3的坐標(biāo)；

(2)若(51—23)，0+3),求3與B的夾角.

16.(本小題15分)

如圖，直三棱柱ABC—A/G中，AA±=AC=BC=^AB,若G,F分別是4C,的中點(diǎn).

(1)求證：GF〃平面ABC；

(2)求證：平面BCC/i1平面AC/；

(3)設(shè)M是4C中點(diǎn)，求直線與平面2BC所成角的正弦值.

17.(本小題15分)

已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角4B,C的對邊，向量記=(a,6+c),n—(\TisinC+cosC,1),m-

n—2(b+c).

⑴求4

(2)若c=20,麗=2標(biāo)，4M=2.求△ABC的面積.

18.(本小題17分)

如圖，在三棱錐A—BCD中，平面4BD1平面BCD,AB=AD,。為BD的中點(diǎn).

(1)證明：。力，C。；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱4D上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45。，求

三棱錐4-BCD的體積.

19.(本小題17分)

已知AABC中，角a,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中磯tan600。+sin(：+C)]=cs譏6+4).

5

a

2-求cosB的值;

(2)當(dāng)tcmA取最大值時，記M=2或&譏A,求M；

(3)在(2)的條件下設(shè)/(久)=MsM(2x+》若te(0,+s)時，對于任意的xe?5)均有小上一9一

+>2恒成立，求t的取值范圍.

答案解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z得答案.

【解答】

上,11-t1-i11.

解：Z~T+i=(l+i)(l-i)=~=2~21'

則Z的虛部為"4.

故選：D.

2.【答案】D

【解析】解：若仇〃S，qua,buB，貝!Ja與b平行或異面，所以/選項(xiàng)錯誤；

若al/7,Zua,mu0,則與/平行或相交或異面，所以B選項(xiàng)錯誤；

若ad/?=a,b//a,貝必〃a或bua,所以。選項(xiàng)錯誤；

若11a,aj",則Z±S，又mu°,貝Ij/lm,所以。選項(xiàng)正確.

故選：D.

由空間中直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐一分析四個選項(xiàng)即可.

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：函數(shù)y=的定義域?yàn)閧久|%WEZ},關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又f(—%)=|tan(—x)|=|—tanx\—\tanx\=/(%),所以y=是偶函數(shù),故A不符合題意；

函數(shù)y=x—sin%的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又/(—%)=(―x)—sin(—x)=—x+sinx=—(%—sinx)=—/(x),

所以y=%-s譏%是奇函數(shù)，故8符合題意，

函數(shù)y=/(%)=%+cos%的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又/(一%)=(-%)+cos(-x)=一%+cosx。/(%),所以y=%+cos%是非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意;

y=%s譏％的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，又(-%)sin(-%)=%s譏%,所以y=%s譏%是偶函數(shù)，不符合題意.

故選：B.

利用函數(shù)奇偶性的定義，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解，

本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：向量a在向量3上的投影的數(shù)量為普=需1|=

網(wǎng)V4+2529

故選：A.

根據(jù)題意，由投影向量的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

本題主要考查投影的公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：設(shè)正六棱錐底面邊長為a,由正六邊形的性質(zhì)可知，底面中心到底面頂點(diǎn)的距離為a,

因?yàn)檎忮F高為1且側(cè)棱長為

由正六棱錐的性質(zhì)得，I=Va2+12,

解得a=1,

所以側(cè)面等腰三角形的高可根據(jù)勾股定理得：h=J6—（扔=*

所以棱錐側(cè)面積為S=6x|xa/i=6x1xlx^=^.

故選：A.

設(shè)底面邊長為a,根據(jù)側(cè)棱長和高求出a=1,進(jìn)而求出棱錐的斜高，最后求出側(cè)面積即可.

本題考查正六棱錐側(cè)面積的計(jì)算，涉及棱錐的結(jié)構(gòu)特征和空間想象能力，屬于簡單題.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了利用正弦、余弦定理求三角形中的邊長和角的問題，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)余弦定理求出乙4DC的值，再求乙4DB的值，根據(jù)正弦定理求得48的長.

【解答】

解：如圖所示，

△4DC中，AD=5,AC=7,DC=3,

由余弦定理得C0SZ2DC=4。2+。。2-"2=25+9-49=_1，

2AD-DC2x5x32

???乙ADC=120°,^ADB=60°；

在△48。中，AD=5,=45。，^ADB=60°,

由正弦定理得號京=告，

smZ.ADBsinB

.門5xsin60°5V-6

???ZB=—s1m45。=2

故選：c.

7.【答案】D

【解析】解：由題意得/(%)=cos2a)x+yf3sin2ojx=2sin(2a>x+

根據(jù)/'(x)的周期T=|^=兀=>3=1,可得4項(xiàng)不正確；

對于f(x)=2s譏(2%+?),當(dāng)％€[0幣時,2x+,嗚加U

結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可知/(久)在［0,芻上為增函數(shù)，所以B項(xiàng)不正確；

當(dāng)％=與時，/6)=2s譏(2=1,不是f(x)的最大值或最小值，

所以直線久=號不是y=/(x)圖象的一條對稱軸，可得C項(xiàng)不正確；

當(dāng)“需時，A§)=2sin(2x§+1)=0,

可知點(diǎn)(瑞,0)是y=f(x)圖象的一個對稱中心，所以D項(xiàng)正確.

故選：D.

根據(jù)三角恒等變換公式化簡得〃久)=2s出(23X+*,利用三角函數(shù)的周期公式算出3=1,可得人久)的解

析式，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性判斷各項(xiàng)的正誤，可得本題答案.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)正三棱柱ABC-4/iG的外接球半徑為R,

貝加R2=答兀，解得R=手，

設(shè)B1G，BC的中點(diǎn)分別為F,H,連接&F,AH,

在4#,上分別取G,M,使得&G=2GF,AM=2MH,

故G,M分別為等邊三角形力iBiG和等邊三角形ABC的中心，

連接GM,貝UGM的中點(diǎn)即為正三棱柱4BC-A/?的外接球球心0,

即04=苧，設(shè)正三棱柱力^。一公%前的高為h,貝UGM=h,0M=

h

2,

AB=2,AH=ABsin6Q°=73,AM=1AH=~，

則（勺2+&M2=。人2,解得％=4,

???P為41cl的中點(diǎn),:.PF//A、Bi,又AB〃A、B\,PF//AB,

???u平面ABC1，PFU平面4BG，PF〃平面48Q,

取BBi的中點(diǎn)E,連接EF,貝|EF〃C]B,同理可證EF〃平面ABC1，

???PFCtEFF,PF,EFu平面PEF,平面PEF//平面48c「

故當(dāng)Q在線段EF上時，PQu平面PEF,故PQ〃平面SBC],

2222

故點(diǎn)Q運(yùn)動軌跡的長度為EF的長，EF=7BiF+BrE=Vl+2=<5.

故選：A.

先求出外接球半徑R=竽，作出輔助線，根據(jù)外接球半徑求出正三棱柱ABC-&BiG的高h(yuǎn)=4,取B2

的中點(diǎn)E,連接EF,證明出面面平行，從而當(dāng)Q在線段EF上時，PQu平面PEF,故PQ〃平面2BQ,故點(diǎn)

Q運(yùn)動軌跡的長度為EF的長，求出

本題主要考查線面平行的性質(zhì)，空間幾何體中軌跡問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABCD

【解析】解：i?（Z]-2i）=10Z1=:+2i=\+2i=i.

因?yàn)閦i的共軌復(fù)數(shù)為-i,故A正確；

因?yàn)閨z1|=1,故B正確；

因?yàn)閆：=/'4+l=3故C正確；

設(shè)復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為P,設(shè)復(fù)數(shù)Z1在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為Q（0,l）,

因?yàn)閼?|=1,所以點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，

則氏-z2|表示復(fù)平面內(nèi)P,Q兩點(diǎn)的距離，

因止匕|Zi-Z2|的最大值為J(0-0尸+(1-0尸+1=2,故。正確.

故選：ABCD.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模公式、復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)模的幾何

意義逐一判斷即可.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：由題意得/(%)的周期T滿足/=9杯二苧4=3兀，解得7=4必可知A正確；

結(jié)合3>0,可得3=Y

1

根據(jù)7rX

-2-2kn,kEZ,結(jié)合解得0=所以/(%)=2s譏(5%+勺,

3三乙+乙D乙D

1(

當(dāng)

叱+27T

Xe273T-X7r-e-3

[o,23所以/(%)的最大值是4)=2s2W=2,故3錯誤;

3L

將/Q)的圖象向右平移竽個單位，得到g。)的圖象，

所以g(X)=2sin(2%-§+目)=2sin2無，根據(jù)正弦函數(shù)為奇函數(shù)，可知g(x)為奇函數(shù)，故C正確;

令+§=ku,kG.Z,解得x=2/OT——,fc6Z,BPf(x)的零點(diǎn)為x=2kir——,kGZ,

1

令%-

對于g(%)=2sin-x,2-即g(%)=2si7i,%的零點(diǎn)為％=2kmk￡Z,

根據(jù)％=2Mr--,keZ與久=2/CTT,keZ表示的元素不相同，

-1

可知/(x)與g。)=2$出］%沒有相同的零點(diǎn)，故。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖求出/0)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式判斷a項(xiàng)的正

誤；根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域，即可判斷出B項(xiàng)的正誤；求出平移后的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的奇

偶性判斷出C項(xiàng)的正誤；分別求出函數(shù)/(尤)與g(x)的零點(diǎn)，并加以比較，即可判斷出。項(xiàng)的正誤.

本題主要考查由y=4s譏(3久+9)的部分圖象確定其解析式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔

題.

11.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查空間中直線與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求點(diǎn)到

面的距離，考查多面體外接球體積的求法，屬于較難題.

利用直線與平面平行的判定判斷4證明直線與平面垂直判斷B；利用等體積法求B到平面CDFE的距離，

可得點(diǎn)4到平面CDFE的距離判斷C；找出三棱錐C-BEF外接球的球心，求出半徑，進(jìn)一步求得外接球的

體積判斷D.

【解答】

解：???EF//AB,：.EF//OB,

又28=2,EF=1,EF=0B=1,則四邊形OFEB為平行四邊形，

得OF//EB,而。FC平面8%,BEu平面BCE,

???OF〃平面BCE,故A正確；

???AD1AB,平面4BCD1平面力FEB,且平面4BCDCl平面4FEB=AD,

AD_L平面AFEB,BFu平面4FEB,

貝IjADlBF,由BF1&F,ADHAF=A,4。u平面4DF,4Fu平面4DF,

??.BF_L平面4DF,故8正確；

由2B〃EF,ABC平面CEF,EFu平面CEF,可得AB〃平面CEF.

則點(diǎn)4到平面CDFE的距離等于B到平面CDFE的距離.

在AOEF中，由已知可得。E=OF=EF=1,則AOEF為等邊三角形，

由對稱性可知NBOE=N力。F=60°,而。A=0F=0E=OB,

則△4。尸與△BOE也是等邊三角形，且邊長均為1.

可知BE=EF=1,BF=0，^BEF=120°,

由已知結(jié)合勾股定理求得CE=CF=2,EF=1,

貝!Jcos/CEF=)=—W，sinzCFF=

2xV2xl44

c1"1V14W01dV_3y/~3

???S^CEF=5xV2x1x——=—，S^BEF=?XX=

設(shè)B到平面CDFE的距離為九，由%_BEF=VB-CEF，

得,x苧xl=gx苧x/i,h=故C正確；

△BEF外接圓的圓心為。，則矩形4BCD對角線長的一半為三棱錐C-BEF外接球的半徑.

等于亭則三棱錐c-BEF外接球的體積為展存)3=半兀，故。錯誤.

故選：ABC.

12.【答案】-1

【解析】【分析】

本題主要考查了三角函數(shù)的切化弦及輔助角公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式在化簡求值中的應(yīng)用，屬于中檔

題.

利用三角函數(shù)的切化弦及輔助角公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式等對函數(shù)式化簡即可求解.

【解答】

解：sin40°(tanl00-<3)=sin40。黑書-73)

sinlO°-V_3cosl0o

=sin40°------------------

coslO°

2sm40°(^sinl0°—^^coslO°)

coslO0

2s出40s山(1。-60°)

cos10°

—2sin40°sin50°

cos10°

—2sin40°cos40°

cos10°

sin800coslO°4

故答案為-1.

13.【答案】8

【解析】解：由y=/(%)=2sinnx,則f(2—%)=2sinn(2—%)=-2sinnx=-/(%),即y=2s譏7％關(guān)于

(1,0)對稱；

由y=g(久)=占在(一8,1)上遞增且值域?yàn)?0,+8)、(1,+8)上遞增且值域?yàn)?一8,0),且關(guān)于(1,0)對稱；

又用)=2s嗚=2=潟)=a，根據(jù)對稱性知:/(|)=-2=g(|),

所以y=g(%)、y=/(%)且％c[-2,4]的圖象如下,

所以在x=1的兩側(cè)各有4個交點(diǎn)，且4對交點(diǎn)分別關(guān)于(1,0)對稱，

故任意兩個對稱的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為2,所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8.

故答案為：8.

根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷y=2s譏兀x的對稱性，由丫=占解析式判斷單調(diào)性、值域、對稱性，并確定兩

函數(shù)的交點(diǎn)情況，畫出它們的圖象，根據(jù)對稱性求交點(diǎn)坐標(biāo)之和.

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

14.【答案】―,

【解析】【分析】

根據(jù)條件可知E、F三點(diǎn)重合，分別求得BC、CF、BF即可.

本題考查三棱錐展開圖，涉及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

【解答】

解：由已知得4B=逐，BC=2,

因?yàn)?。、E、尸三點(diǎn)重合，所以4E=aD=C，BF=BD=y/l,AB=<6,

則在△?!￡1￡1中，由余弦定理可得C￡2=AC2+AE2-2AC-AE-cos^CAE=1+3-2<3X=1,

所以CE=CF=1,

則在△BCF中，由余弦定理得COSNFCB=才>2=芫W(wǎng)=一｝

故答案為：-寺.

15.【答案】解：(1)由題意，設(shè)3=4方=(4,4),

因?yàn)榫W(wǎng)=2，—2,所以11+乃=2，"^,所以2=±2,

所以3=(2,2)或3=(—2,-2).

(2)因?yàn)?53—2石)l(a+b),

所以(5萬—23)-(a+K)=0,所以5/+317—2片=0,

即10+3五?另一2X8=0,

設(shè)立與石的夾角為。，則cos。=尚《=下；尸=號

\a\\b\V2x2V22

又8€[0,初，所以”（所以匯與另的夾角?

【解析】（1）根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求解即可；

（2）利用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積及向量夾角公式得解.

本題主要考查向量共線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】證明見解析；

證明見解析；

2

3,

【解析】（1）證明：法一：取BBi中點(diǎn)H,連接HG,HF,

因?yàn)镚,H,F分別為BiC,和中點(diǎn),

所以HG〃BC,HF//BrAr,

因?yàn)閺亩?/p>

HGC平面ABC,BCu平面ABC,

所以HG〃平面ABC,

同理可證得“F〃平面4BC,

而HGu平面HGF,HFu平面HGF,

且HGCHF=H,

所以平面HGF〃平面ABC,

而GFu平面"GF,

所以GF〃平4BC；

法二：連接當(dāng)4

c

因?yàn)槭瑸锽4中點(diǎn)，可得F為名4中點(diǎn)，

又因?yàn)镚為BiC中點(diǎn)，

所以FG〃C4,

又因?yàn)镃4u平面力BC,GF，平面ABC,

所以FG〃平面ABC；

(2)證明：在直棱柱力BC中，BBi_L平面ABC,

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以8B114C,

設(shè)A4i=1，因?yàn)锳4i=AC==苧48，

可得AC=BC=1,AB=71,

S^JCA2+CB2=AB2,所以ACIBC,

又因?yàn)锽CGBBi=B,

所以AC_L平面BC/C1,

因?yàn)榱u平面ZCBi，

所以平面AC%1平面BCBiG；

(3)解：連接MB,MBr,

By-------------------^C.

因?yàn)锽Bi1平面力BC,所以直線BM為直線在平面ABC內(nèi)的射影,

可得NBiMB是4M與平面ABC所成的角，

在4B/M中，BM=VBC2+CM2=J1+[=?,

B]M=7BB1+BM2=J1+|=I，

故克29=靛=|.

(1)法一：取BP1中點(diǎn)H,連接HG,HF,利用線面平行的判定定理證得HG〃平面48C,HF〃平面48C,進(jìn)

而利用面面平行的判定定理得平面HGF〃平面4BC,最后利用面面平行的性質(zhì)定理證明即可；

法二：連接B/1,根據(jù)中位線的性質(zhì)得FG//C4然后利用線面平行的判定定理證明即可；

(2)利用棱柱性質(zhì)得BBi1AC,根據(jù)勾股定理得力C1BC,進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)定理得AC1平面

BCBG，最后利用面面垂直的判定定理證明即可；

(3)連接MB,MB.,利用線面角的定義得ZB】MB即為所求的線面角，在直角三角形中求解正弦值即可.

本題考查線面平行的判定定理的應(yīng)用及線面垂直的判定定理，性質(zhì)定理的應(yīng)用，面面垂直的判定定理的應(yīng)

用，線面所成的角的正弦值的求法，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)根據(jù)記=(a,b+c),n=(y[~?>sinC+cosC,1),可得布,元=+cosC)+b+

結(jié)合題意記?n=2(b+c),化簡得asinC+acosC=b+c,

根據(jù)正弦定理得4sbic+sinAcosC=sinB+sinC,

因?yàn)椤?BC中，sinB=sin(/I+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以，+sinAcosC—sinAcosC+cosAsinC+sinC,整理得，譏C=sinC(cosA+1).

結(jié)合△ABC中，sinC#：0,化簡得—cosA=1,即2s譏(4—3)=1,

在AZBC中，2—"(一為巧，所以4—=%4=芻

o66o63

⑵由前=2而，可得箱—通=2函—俞)，化簡得宿=力荏+|宿

所以|德|2=(|AB+|^C)2=^AB2+^AC2+^AB-AC,

因?yàn)閆B=c=2^J~3,AC—b,AM—2,

所以4=12，?2+[爐+[“2，^85點(diǎn)整理得爐+，^?一6=0,解得b=J百(舍負(fù)).

所以SMBC=bcsinA=

【解析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，算出V^asinC+acosC=6+c,結(jié)合正弦定理化為角的關(guān)

系式，然后利用兩角和的正弦公式與輔助角公式算出答案；

(2)利用平面向量的線性運(yùn)算法則，可得病=彳四+|前，結(jié)合題意可知|前|2=4,根據(jù)平面向量數(shù)量

積的運(yùn)算性質(zhì)與三角形的面積公式加以計(jì)算，可得A4BC的面積.

本題主要考查正弦定理與余弦定理、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角形的面積公式等知識，考查了計(jì)算

能力、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：因?yàn)榱=4D,。為BD的中點(diǎn)，所以

AOLBD,

又平面力BD_L平面BCD,平面ABDn平面BCD=BD,力。u平面

ABD,

所以力。1平面BCD,又CDu平面BCD,

所以2。1CD；

(2)方法一：

取。D的中點(diǎn)尸，因?yàn)锳OCD為正三角形，所以CF1OD,

過。作OM〃CF與BC交于點(diǎn)M,貝IJOMIOD,

所以。M,0D,。4兩兩垂直,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。M,0D,。力所在直線為無軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則B(0,—1,0),c(容3,0)，￡>(0,1,0),

設(shè)4(0,0/)(￡>0),則%點(diǎn)芻,

因?yàn)椤1平面BCD,故平面BCD的一個法向量為方=(0,0,t)，

設(shè)平面8CE的法向量為元=Q,y,z),

又就=（苧1,0）,屁=（02片），

一「門J門

前=0得三乂+'=。

所以由

m-配=。'+yz=0

13J3

令％=則y=—l,z=：,故記=（V3,—1,今,

因?yàn)槎娼荅-BC-。的大小為45。,

_\n-OA\/2

所以|cos<n,OA>

=\n\\OA\~，

解得七=1,所以。4=1,

又S4oco=^xlxlx苧=苧，所以S^BCD=苧

故KI-BCO-JS^BCD-OA=^x^-x1=

方法二：

過E作EF1BD,交BD于點(diǎn)F,過F作FG1BC于點(diǎn)G,連結(jié)EG,

由題意可知，EFIIA0,又4。1平面BCD

所以EF_L平面BCD,又BCu平面BCD,

所以EF1BC,又8clFG,FGnEF=F,FG、EFu平面￡TG,

所以8c1平面EFG,又EGu平面EFG,

所以8c1EG,

則NEGF為二面角E-BC-D的平面角，即NEGF=45°,

又CD=DO=OB=OC=1,

所以N80C=120。，則N0C8=NOBC=30。，

故/BCD=90°,

所以FG〃CD,

因?yàn)槿?竺=里=2,

7ADODAO3

則4。=25尸,。尸=W，D尸=W，

所嚼哈，則GF=^=|，

7Q

所以EF=GF=I，則4。=|￡F=1,

所以匕-BCD=I^ABCDSO-|X|XV-3X1X1=今.

【解析】本題考查了面面垂直和線面垂直的性質(zhì)，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般要建立合適的空間

直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，屬于中檔題.

(1)利用等腰三角形中線就是高，得到401BD,然后利用面面垂直的性質(zhì)，得到4。，平面BCD