2021北京初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編

四邊形章節(jié)綜合2

一、解答題

1.（2021?北京昌平?八年級(jí)期中）如圖，Rt/XABC中，zXCF=90°,CO是斜邊A8上的中線，分別過點(diǎn)A,C作

AEUDC,CEaAB,兩線交于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形AECD是菱形；

⑵若/B=45。，CD=2,求四邊形AECD的面積.

2.（2021.北京昌平?八年級(jí)期中）如圖，矩形ABC。中，AB=8,BC=10,△ABB的面積是24,點(diǎn)E為DC邊上的

一點(diǎn)，將△ADE沿直線AE折疊，點(diǎn)。剛好落在8C邊上的點(diǎn)E處，求AE的長(zhǎng).

3.（2021?北京昌平.八年級(jí)期中）如圖，在口ABC。中，E、尸分別是邊A2,。。上的點(diǎn)，DELAB,BF1CD.求

4.（2021.北京大興?八年級(jí)期中）已知：如圖，點(diǎn)F在A/IBC的邊力C上，過點(diǎn)F、B分別作4B、AC的平行線相交于

點(diǎn)E,連接BF,AB=AF.

求證：四邊形4BEF是菱形.

Ne----------------0

B

E

5.（2021?北京大興.八年級(jí)期中）己知：如圖，在AABC中，。是4B邊上任意一點(diǎn)，E是BC邊中點(diǎn)，過點(diǎn)C作的

平行線，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF,CD.

求證：四邊形CDBF是平行四邊形.

6.（2021?北京朝陽?八年級(jí)期中）已知：如圖，點(diǎn)A是直線/外一點(diǎn)，B,C兩點(diǎn)在直線/上，ZBAC=90°,BC=

2BA.

（1）按要求作圖：（保留作圖痕跡）

①以A為圓心，BC為半徑作弧，再以C為圓心，為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)

②作出所有以4B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形；

（2）比較在（1）中所作出的線段8。與AC的大小關(guān)系.

7.（2021?北京昌平.八年級(jí)期中）如圖，已知在正方形A3C。中，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接在2M左

側(cè)，以為邊作正方形連接AE

.M

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

⑵猜想AF與CM的關(guān)系，并證明.

（3）若正方形A8C。邊長(zhǎng)是4,CM=3五,求正方形8MEF邊長(zhǎng).

8.（2021?北京昌平?八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若P,Q為某個(gè)矩形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊

均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P,Q的“關(guān)聯(lián)矩形”.圖1為點(diǎn)P,Q的“關(guān)聯(lián)矩形”的示意圖，已知點(diǎn)4的坐標(biāo)

為（1,2）.

⑴如圖2,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(h0).

①若b=2,則點(diǎn)力，B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是；

②若點(diǎn)4,B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是10,貝昉的值為.

(2)如圖3,點(diǎn)C在直線y=5上，若點(diǎn)力，C的“相關(guān)矩形”是正方形，求直線4C的表達(dá)式；

(3)如圖4,等邊△DEF的邊DE在y軸上，頂點(diǎn)尸在％軸的正半軸上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,1).點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,根)，若在

△DE尸的邊上存在一點(diǎn)N,使得點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍.

9.(2021?北京昌平?八年級(jí)期中)下面是小李設(shè)計(jì)的“做菱形ABCD”的尺規(guī)作圖過程.

已知：線段AC,如圖.

/C

求作：以線段AC為對(duì)角線的一個(gè)菱形A3CD

作法：(1)作線段AC的垂直平分線交AC點(diǎn)于O；

(2)以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線MN于點(diǎn)B,。；

(3)順次連結(jié)點(diǎn)A,B,C,D.則四邊形ABCD即為所求作的菱形.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明：..?直線”N是AC的垂直平分線，

OA=OC,MN1AC

???=①

???四邊形ABC。是平行四邊形（）②

，平行四邊形ABCD是菱形（）③

10.（2021?北京大興.八年級(jí)期中）將矩形紙片4BCDG48<AD）沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)4落在BC邊上的點(diǎn)尸處,

折痕為BE（如圖①）；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)。落在BE上的點(diǎn)。處，折痕為EG（如圖②）；再展平紙片

（2）用等式表示圖③中NBEF與NFEG之間的數(shù)量關(guān)系是：.

11.（2021?北京大興?八年級(jí)期中）如圖，菱形4BCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DE//2C且DE=號(hào)4（7,

求證：OE=CD.

12.（2021?北京大興?八年級(jí)期中）在正方形4BCD外側(cè)作直線AP,點(diǎn)B關(guān)于直線力P的對(duì)稱點(diǎn)為E連接BE,DE,其

中DE交直線4P于點(diǎn)F.連接4E,若NP4B=20°,求N4DF的度數(shù).

13.（2021?北京大興?八年級(jí)期中）在矩形ZBCD中，AB=4,BC=3,E是4B邊上一點(diǎn)，連接CE,過點(diǎn)E作EF1

CE交AD于點(diǎn)F,作N4EH=NBEC,交射線FD于點(diǎn)兒交射線CD于點(diǎn)N.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)尸重合時(shí)，求BE的長(zhǎng)；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)H在線段FD上時(shí)，用等式表示線段BE與。N之間的數(shù)量關(guān)系（其中2<BEW3）,并證明.

14.(2021?北京朝陽?八年級(jí)期中)四邊形A8CD中，/A=/B=90。，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)下在的延長(zhǎng)線上,

且點(diǎn)E與點(diǎn)尸關(guān)于直線C。對(duì)稱，過點(diǎn)E作EG//A/交CD于點(diǎn)G,連接尸G,DE.

(1)求證：四邊形。EG尸是菱形；

(2)若A2=10,AF=BC=8,求四邊形DEG尸的面積.

15.(2021?北京朝陽?八年級(jí)期中)我們?cè)O(shè)定，當(dāng)一條直線與一個(gè)正方形的邊有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)，稱這條直線

與這個(gè)正方形相交.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABC。的頂點(diǎn)為A(2,1)、B(2,2)、C(1,2).D

(1,1).

(1)判斷直線y=+J與正方形OA8C是否相交，如果是，求出交點(diǎn)，否則說明原因；

(2)若直線y=+b與正方形OA8C相交，求b的取值范圍.

16.(2021?北京房山.八年級(jí)期中)如圖1,在口ABC。中，AEL8C于E,即合為BC的中點(diǎn)，,=2.

BE

(1)求證：AD=AE-,

(2)當(dāng)點(diǎn)尸為線段BE上任意一點(diǎn)，連接。P,作EfUOP于點(diǎn)兄連接AF.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②求證：DF-EF=&AF.

圖1備用圖

17.(2021?北京房山?八年級(jí)期中)已知：如圖，口/8(7。中，E,尸是AB,CD上兩點(diǎn)，且AE=CF.求證:

DE=BF.

18.(2021?北京大興?八年級(jí)期中)定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形PQRS的一邊PQ平行于x軸，點(diǎn)M為RS

(不與點(diǎn)R、S重合)上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到PQ的距離為1時(shí)，稱M為PQ的“單位高點(diǎn)”，稱此時(shí)MP+MQ為PQ的“單位

高距離”，已知(2(4,1).

(1)在(2,0),(|,4),(3,2)所表示的點(diǎn)中，表示PQ的“單位高點(diǎn)”的坐標(biāo)是.

(2)要使PQ的“單位高距離”的值最小，“單位高點(diǎn)”M(t,0)應(yīng)在什么位置，在圖上標(biāo)出它的位置，并求出這個(gè)“單位

高距離”的最小值.

19.(2021?北京房山?八年級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(制，山)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(垃，

>2),且無#X2,經(jīng)分2.若尸，。為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P,Q

的“相關(guān)矩形"，如圖①為點(diǎn)P,。的“相關(guān)矩形''的示意圖.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),

(1)若點(diǎn)2的坐標(biāo)為(4,0),直接寫出點(diǎn)42的“相關(guān)矩形”的面積；

(2)若點(diǎn)C在y軸上，且點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達(dá)式；

(3)若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,2),當(dāng)直線>=丘-2與點(diǎn)A,。的“相關(guān)矩形”沒有公共點(diǎn)時(shí)，求上的取值范圍；

(4)若點(diǎn)P在直線y=-2x+2上，且點(diǎn)A,尸的“相關(guān)矩形”為正方形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)

備用題備用題

圖①

20.(2021?北京朝陽?八年級(jí)期中)如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)后在邊CD上(點(diǎn)E與點(diǎn)。、。不重合)，過點(diǎn)石

作尸bG與邊相交于點(diǎn)凡與邊5C的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.

(1)BE與尸G有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論：―；

(2)DF、CG、CE的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？并證明你所得到的結(jié)論.

(3)如果正方形的邊長(zhǎng)是1,FG=1.5,直接寫出點(diǎn)4到直線BE的距離.

參考答案

1.(1)證明見解析

(2)4

【分析】

(1)先根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行，證明四邊形AEC。是平行四邊形，然后再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半證明CZ)=AD,進(jìn)而得到一組鄰邊相等，四邊形AEC。是菱形；

⑵根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到/AOC=90。，進(jìn)而得到四邊形AEC。變?yōu)檎叫渭纯汕蟪銎涿娣e.

(1)

證明：",-AE/DC,CE/AB,

二四邊形AECD是平行四邊形，

??,RtZXABC中，AACB=90°,CD是斜邊A8上的中線，

CD=ADf

二四邊形AEC。是菱形.

(2)

解：??,RtZvlBC中，乙4cB=90。，CO是斜邊AB上的中線，

：.CD=AD=DB=2,

；./B=/BCD=45°,

.,.ZCDA=ZB+ZBCD=90°,

四邊形AECQ是正方形，

S正方形AECD=CD2=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形、正方形的判定定理及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形及正方形

的判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.AE=5V5

【分析】

由題意易得即=6,則有C/=4,設(shè)EF=OE=x,貝|CE=8-x,然后根據(jù)勾股定理可建立方程求解x,最后問題可求

解.

【詳解】

解：..泗邊形ABC。是矩形，AB=8,BC=10,

：.AB=CD=8,BC=AD=IQ,ZB=ZC=Z0=90°,

?；人鉆尸的面積是24,

』"=24,

BF=6,

/.CF=4,

由折疊的性質(zhì)可得：DE=EF,

設(shè)EF=DE=x,則CE=8-x,

在Rt^EC尸中，由勾股定理可得：42+(8—%)2=x2,

解得：x=5,即DE=EF=5,

在RtAAZ)￡中，4E=y/AD2+DE2=5西.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.證明見解析

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)，DELAB,證明四邊形8FDE為矩形，即可得證結(jié)論.

【詳解】

證明：???四邊形A8CD是平行四邊形

AB\\CD

:./CDE+/DEB=180°

,:DELAB,BF1CD

.,.ZDEB=ZDFB=ZCDE=90°

???四邊形BEDE為矩形

：.BE=DF

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵在于熟練掌握這些知識(shí).

4.見解析

【分析】

先由已知條件證得四邊形48EF是平行四邊形，再由48=2F可得回ABEF是菱形.

【詳解】

證明：-：EFI/AB,BE//AF,

???四邊形4BEF是平行四邊形，

AB=AF,

：.回4BEF是菱形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的判定，熟悉菱形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵.

5.見解析

【分析】

由已知E是BC邊中點(diǎn)，再證明ACEF三ABED,得DE=FE,根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即

可.

【詳解】

證明：rCF〃4B,

.,./-ECF=Z.EBD.

??E是BC中點(diǎn),

,.CE=BE.

?.,乙CEF=乙BED,

「.△CEF三ABED

.'.DE=EF.

二四邊形CDBF是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

6.(1)見解析；(2)在四邊形A8OC中，BD=AC；在四邊形ABCD'中，BD'>AC

【分析】

(1)根據(jù)要求作出圖形即可.

(2)有兩種情形，分別求解.

【詳解】

解：(1)如圖，四邊形ABOC或四邊形4BCD'即為所作.

■：AB=CD=CD',AD=AD'=BC,

二四邊形ABAC和四邊形力BCD'是平行四邊形，

,.?/BAC=90。，

四邊形是矩形，

：.BD=AC,BD'>BD=AC,

.?.在四邊形A3DC中，BD=AC；在四邊形力中，BD'>AC

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了作圖一復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定，及三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意作出符合題意的圖形是解題

的關(guān)鍵.

7.(1)補(bǔ)畫圖形見解析；

(2)71F=CM,CMLAF,證明見解析；

⑶VTU

【分析】

(1)根據(jù)題意補(bǔ)畫圖形即可；

(2)首先借助正方形的性質(zhì)證明與△BBA全等，進(jìn)而可證力F=CM；由正方形的性質(zhì)及三角形全等，可證

NBAC與/8AF均為45。，可證NFAC=90。，即CM14F.

(3)過點(diǎn)歹作交A3于點(diǎn)G,由小問(2)的證明過程可知，aAPG為等腰直角三角形，又因?yàn)?F=

CM=342,易得線段尸G、8G長(zhǎng)度，在直角三角形8PG中，根據(jù)勾股定理可得長(zhǎng)度，即正方形8MEF邊長(zhǎng).

(1)

如圖：

⑵

猜想：AF=CM,CM1AF

證明：..?四邊形ABC。與四邊形為正方形,

AB=CB,乙ABC=/.FBM=90°,BM=BF,

:.乙MBC+4ABM=/.FBA+4ABM,

:.乙MBC=^FBA

在三角形△AffiC與△尸54中，

-BM=BF

Z.MBC=/-FBA

BC=BA

:.△MBCLFBA(SAS)

：.AF=CM,

.'.^FAB=ZBCM=90°,

又???四邊形ABC。為正方形，

.'.^.BAC=ZBCX=/.BAF=45°,

：./-FAC=AFAB+ABAC=90°,

.-.CM1AF.

(3)

如圖2,過點(diǎn)尸作尸G,AB交AB于點(diǎn)G,

^LAGF=乙BGF=90°,

在放A4G尸中，^FG2+AG2=AF2,

'"FAB=45°,AF=CM=3/，

.,.AG=FG=3,

-：AB=4,

：.BG=4B—2G=4—3=1,

在MABG尸中，F(xiàn)G2+BG2=BF2,

-'-BF=VBG2+FG2="2+32=Tio，

即正方形BMEF邊長(zhǎng)為同.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是綜合運(yùn)用幾何知識(shí)逐步推

斷和計(jì)算最終結(jié)果.

8.⑴①2；②6或一4

(2)y=x+1或y=—%+3

(3)—3<m<V3—2或2一百WmW3

【分析】

(1)①根據(jù)題意可得點(diǎn)3(2,0),再由“關(guān)聯(lián)矩形”的定義，即可求解；②分兩種情況討論：當(dāng)b>l時(shí)，當(dāng)

時(shí)，即可求解；

(2)過點(diǎn)4(1,2)作直線y=5的垂線，垂足為點(diǎn)G,可得4G=3.再由點(diǎn)4C的“相關(guān)矩形ZGCH是正方形，可得正

方形4GCH的邊長(zhǎng)為3.然后分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在直線x=1右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在直線x=1左側(cè)時(shí)，利用待定系數(shù)

法，即可求解；

(3)根據(jù)題意可得OF=舊，然后分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)N在斯邊上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)N在。尸邊上時(shí)，即可求解.

(1)

解：①如圖，

?「b=2,

?,?點(diǎn)B(2,0),

.??點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,2),

二點(diǎn)4B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是2X(2-1)=2；

故答案為：2；

②當(dāng)b>l時(shí)，點(diǎn)A,B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是2x(b-1)=26-2,

■.?點(diǎn)4B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是10,

：.2b-2=10,解得：b=6,

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)4,8的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是2x(1—6)=2—2b,

???點(diǎn)a,B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是10,

??-2—26=10,解得：b=-4,

綜上所述，b的值為6或-4；

故答案為：6或-4；

(2)

解：過點(diǎn)2(1,2)作直線y=5的垂線，垂足為點(diǎn)G,則4G=5—2=3.

.??點(diǎn)C在直線產(chǎn)5上，點(diǎn)4,C的“相關(guān)矩形ZGCH是正方形，

正方形4GCH的邊長(zhǎng)為3.

如圖，當(dāng)點(diǎn)C在直線x=1右側(cè)時(shí)，CG=3,

-：CG=3,

???C(4,5).

設(shè)直線4C的表達(dá)式為y=k1x+瓦(七豐0),

把4(1,2),C(4,5)代入,得：

借道;3解得:窗二；，

直線/C的表達(dá)式為y=x+l.

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在直線1=1左側(cè)時(shí)，

'：CG=3,

/.C(-2,5).

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=k2x+b2(/c2W0),

把A(l,2),C(-2,5)代入，得：

[-2k++b=-5,解得:售=~~3

???直線ac的表達(dá)式為產(chǎn)-尤+3.

綜上所述，直線4C的表達(dá)式為y=x+1或y=-久+3；

(3)

解：,??點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,機(jī))，

二點(diǎn)M在直線x=2上，

???△OE尸是等邊三角形，且頂點(diǎn)F在久軸的正半軸上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,1).

：.OD=OE=-DE=1,

2

：.DE=DF=EF=2,

-'-OF=V3,

當(dāng)點(diǎn)N在斯邊上時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)M、N的的“相關(guān)矩形”為正方形，則該正方形的邊長(zhǎng)為2,

二點(diǎn)M(2,-3)或M(2,l),

若點(diǎn)N與尸重合時(shí)，點(diǎn)M、N的的“相關(guān)矩形”為正方形，則該正方形的邊長(zhǎng)為2-舊,

???點(diǎn)M(2,V3-2)或M(2,2-V3),

???當(dāng)點(diǎn)N在EF邊上時(shí)，m的取值范圍為一3<m<V3-2或2-百W爪W1;

當(dāng)點(diǎn)N在。F邊上時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)。重合，點(diǎn)M、N的的“相關(guān)矩形”為正方形，則該正方形的邊長(zhǎng)為2,

M

，點(diǎn)M(2,3)或

若點(diǎn)N與點(diǎn)尸重合時(shí)，點(diǎn)M、N的的“相關(guān)矩形”為正方形，則該正方形的邊長(zhǎng)為2-百,

???點(diǎn)M(2,2-百)或M(2,V3-2),

當(dāng)點(diǎn)N在。尸邊上時(shí)，山的取值范圍為2—3或—1<m<V3-2;

當(dāng)點(diǎn)N在DE邊上時(shí)，小的取值范圍為一3<m<-1或1<m<3

綜上所述，機(jī)的取值范圍為一3<m<V3-2或2-gWznW3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，理解新定義，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論

思想解答是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見解析

Q)OB=0D,對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

【分析】

(1)根據(jù)題意作圖即可；

(2)根據(jù)平行四邊形的判定、菱形的判定方法解題.

(1)

解：菱形A8C。就是所求作圖形.

(2)

OB=OD；

對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

【點(diǎn)睛】

本題考查尺規(guī)作圖一作菱形、平行四邊形的判定、菱形的判定等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

10.(1)等腰三角形，理由見解析；(2)答案不唯一，如NBEF=2NFEG

【分析】

(1)根據(jù)折疊，可知4BEG=NDEG,由8c可知NBEG=NDEG,等量代換即可得ABEG=NBGE,根據(jù)等角

對(duì)等邊即可判斷4EBG為等腰三角形；

(2)由折疊，可知力E=￡T=4B,^AEB=Z.BEF=45°,則NDEG=Z_GEB=45。+a,由平角的定義，列方程

即可求得a,進(jìn)而即可求得NBEF與NFEG之間的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】

(1)等腰三角形；

證明：..泗邊形48CD是矩形，

：.AD〃BC.

??"GE=乙DEG,

由點(diǎn)。落在BE上，折痕為EG知,

Z-BEG=Z-DEG,

."BEG=乙BGE,

??.BG=BE,

即AEBG為等腰三角形.

(2)如圖，設(shè)NFEG=a,

AEP

BFGC

1.四邊形4BCD是矩形，

/.A=90°,NABF=90°,

?.?折疊,

AE—EF,乙BFE—Z.A,

.?.四邊形力BFE是正方形，

???4AEB=乙BEF=45°,

Z.BEG=Z.BEF+Z.FEG=45°+a,

由(1)可知N8EG=乙DEG,

???LAEB+乙BEG+乙DEF=180°,

即45°+2(45°+a)=180°,

解得a=22.5°,

???乙BEF=2/.FEG,

故答案為：答案不唯一，如乙BEF=2乙FEG.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的折疊問題，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

11.見解析

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可得NCO。=90。，根據(jù)等量關(guān)系可得OC=DE,再根據(jù)平行四邊形的判定，矩形的判

定可得四邊形OCED是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到OE=CD.

【詳解】

證明：???四邊形4BCD是菱形，

1

/.Z.COD=90°,OC=-AC,

2

1

???DE=-AC,

2

OC=DE,

???DE//AC,

??.DE//OC,

.?.四邊形。CED是平行四邊形，

，四邊形OCED是矩形，

???0E=CD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明四邊形。CED是矩形.

12.25°

【分析】

由對(duì)稱的性質(zhì)可得=NP4E=20。，從而NEAB=40。，即可求得/胡。的度數(shù)，再證明進(jìn)而

可求解.

【詳解】

解：.??點(diǎn)8關(guān)于直線2P的對(duì)稱點(diǎn)為E,

???4P是對(duì)稱軸，

=^PAE=20°,

；"AB=2NBAP=40°,AE=AB,

???四邊形4BCD是正方形，

：2BAD=90°,AB=AD

：.AE=AD,^EAD=130°,

：./-ADF=^AED,

：.^ADF=180°~130°=25°.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，證得是解題的關(guān)鍵.

13.(1)3；(2)DN=2BE—4,證明見解析

【分析】

(1)求出N8EC=45。，由矩形的性質(zhì)推出BE=8C,即可得出答案；

(2)過點(diǎn)E作EG1CN,垂足為點(diǎn)G,推出BE=CG,求出NN=NECN,得出EN=EC,推出CN=2CG=2BE,

即可得出答案.

【詳解】

解：(1)如圖，

???EF1EC,

：.乙NEC=90°,

???^AEF+乙BEC=90°,

/-AEF=/.BEC,

???乙BEC=45°,

,?,四邊形ZBCD是矩形，

???Z-B=90°,

BE=BC,

???BC=3,

BE=3；

(2)線段BE與DN之間的數(shù)量關(guān)系為DN=2BE-4.

證明：如圖，過點(diǎn)E作EG1CN,垂足為點(diǎn)G,

???四邊形力BCD是矩形，

-.AB//CN,

???乙B=4BCG=90°=AEGC,

二四邊形BEGC是矩形，

BE=CG,

???AB//CN,

???^AEH=乙N,乙BEC=乙ECN,

???^AEH=乙BEC,

???乙N=乙ECN,

??.EN=EC,

CN=2CG=2BE,

CD=AB=4,

??.CN=2CG=2BE=ON+4,

DN=2BE-A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，熟練掌握矩形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.(1)見解析；(2)20

【分析】

(1)由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得ED=ED,FG=EG,可證△EDG^AEDG,可得/EDG=/FDG,由平行線的性質(zhì)可得

NEGD=2FDG=4EDG,可得ED=EG,可得結(jié)論；

(2)連接尸C,EC,先證四邊形ABC尸是矩形，可得AB=CE由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CE=CE=10,由勾股定理可

求BE,AE,。尸的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】

證明：(1)..?點(diǎn)E與點(diǎn)廠關(guān)于直線C。對(duì)稱,

:.FD=ED,FG=EG,且。G=OG,

AFDG^AEDG(SSS),

；.4EDG=4FDG,

?：EGl/AF,

；"EGD=4FDG,

：.AEGD=AEDG,

:.ED=EG,

.-.FD=ED=FG=EG,

二四邊形。EG尸是菱形；

(2)連接尸C,EC,則CE=CP

.-.AF/ICB,且AP=BC=8,

..?四邊形ABC尸是平行四邊形，且/A=90。，

二?四邊形ABC「是矩形，

...CE=CF=AB=10,

^RtABCE中，

-'-BE=yJCE2-BC2=V102-82=6,

-'-AE=4,

設(shè)FD=ED=FG=EG=x,貝ljAZ)=8-x,

在放△AOE中，42+(8-x)2=/,

「?x=5.

.-.5=5x4=20.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.

15.⑴交點(diǎn)為(1,9,(2,|)；(2)l<b<^

oz33

【分析】

(1)當(dāng)尤=2、x=l時(shí)求出對(duì)應(yīng)的y的值就可以求出直線與正方形的交點(diǎn)坐標(biāo)而得出結(jié)論；

(2)分別求出直線經(jīng)過A、B、C、。時(shí)6的值即可求得.

【詳解】

解：(1)'.-A(2,1)、2(2,2)、C(1,2).D(1,1).

把尤=2代入y=%+|得，X2+|=|,

363oz

把x=l代入y=3+W得，y=?xl+|=，

3o3oo

.??直線y=+X與正方形。48c相交，交點(diǎn)為(1,：),(2,；

(2)直線y=1X+b經(jīng)過A(2,1)時(shí)，b=E，

直線y=：%+b經(jīng)過3(2,2)時(shí)，b=^f

直線V=1%+b經(jīng)過。(1,4)時(shí)，b=g,

直線y=：%+b經(jīng)過。(1,1)時(shí)，》=|

-1_

.?.直線y=-%+b與正方形04BC相交，

.?.6的取值范圍為：<6<￡.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的圖像上的點(diǎn)的特征，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，正方形的性質(zhì)，求得一次函數(shù)的解析式是

解題的關(guān)鍵.

16.(1)見詳解；(2)①圖見詳解；②見詳解

【分析】

(1)由題意易得AD=BC=2BE,然后由笠=2可求證；

BE

(2)①根據(jù)題意畫出圖形即可；②在線段。尸上截取連接AH,由題意易得乙4EP=/瓦4。=NEFP=

90°,乙EPF=LADH,則有NEPF=N2EF=乙4。小進(jìn)而可證△AEF三△然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得

△以反是等腰直角三角形，最后問題可求證.

【詳解】

(1)證明：,??四邊形A3。是平行四邊形，

-'-AD=BC,

?.?點(diǎn)E恰為的中點(diǎn)，

：.AD=BC=2BE,

V—=2,

BE

..AD=AE；

②證明：在線段。尸上截取連接AH,如圖所示:

：EF1DP,AE1BC,AD//BC,

.'.^.AEP=/LEAD=乙EFP=90°,4EPF=4ADH,

：2PEF+乙EPF=乙PEF+^AEF=LEAH+ADAH=90°,

."EPF=^AEF=乙ADH,

?：AD=AE,

--.AAEF=AADH(SAS),

：2DAH=Z-EAF,AF=AH,

.,.^.EAF+LEAH=Z.FAH=90°,

△E48是等腰直角三角形，

■■FH=41AF,

■：FH=DF-DH=DF-EF,

■■DF-EF=V2AF.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及等腰直角三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

17.見解析

【分析】

要證。只需證四邊形。EBB是平行四邊形，證得BE=DF,BE//OR根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是

平行四邊形即可得證.

【詳解】

在平行四邊形ABC。中，

AB//CD,AB^CD,

?：AE=CF,

■■.BE=DF,BEUDF.

二四邊形OEBE是平行四邊形.

：.DE=BF.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì).利用平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等是解題的關(guān)鍵.

18.⑴(2,0)、(3,2)；(2)圖見解析,V13.

【分析】

(1)根據(jù)“單位高點(diǎn)”的定義結(jié)合尸、。兩點(diǎn)坐標(biāo)，可求得M的縱坐標(biāo)，由矩形性質(zhì)結(jié)合M點(diǎn)的位置可求得M點(diǎn)的

坐標(biāo)；

(2)作點(diǎn)P關(guān)于%軸的對(duì)稱點(diǎn)P,連接PQ,與％軸的交點(diǎn)即為“單位高點(diǎn)”M(t,0),

此時(shí)PQ的長(zhǎng)是“單位高距離”的最小值，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】

(1)??.尸(1,1),。(4,1),如圖

點(diǎn)尸，Q在直線產(chǎn)1上

???/到尸。的距離為1時(shí)，M是尸。的“單位高點(diǎn)”

在直線產(chǎn)2或產(chǎn)0上

點(diǎn)縱坐標(biāo)為2或0

??.四邊形尸QRS是矩形，M在RS上

：.PS=QR=\,SR=PQ=3

???S(L2),R(4,2)或S'(L0),R'(4,0)

在SR上，令M(a,b)

l<a<4,b=2或0

「?表示尸。的“最高單位點(diǎn)''的坐標(biāo)是(2,0),(3,2)

5

4

3

SMR

-2

P

十Q

R'->

-5-4-3-2-1O12345x

-1

-2

-3

-4

-5

故答案為：(2,0)、(3,2)

(2)如圖，作點(diǎn)P關(guān)于%軸的對(duì)稱點(diǎn)P',連接PQ,與無軸的交點(diǎn)即為“單位高點(diǎn)”此時(shí)PQ的長(zhǎng)是“單位高距

離”的最小值

5

4

3

2

Q

1

：、、、"」，

-5-4-3-2TOi45~X

-15

-2

-3

-4

-5

根據(jù)題意，可知PP'=2,PQ=3,PQ1PP'

由勾股定理得：P'Q=y/pp'2+PQ2=V13

二“單位高距離”的最小值是g.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)M的位置是關(guān)鍵.

19.(1)點(diǎn)A,8的“相關(guān)矩形”的面積為2；(2)直線AC的表達(dá)式為y=-％+3或y=x—l；(3)k<|或k>

2；(4)P(l,0)或(-1,4).

【分析】

(1)根據(jù)“相關(guān)矩形”畫出圖象，求出矩形長(zhǎng)、寬即可得面積；

(2)根據(jù)已知畫出圖象，分別求出C、坐標(biāo)，即可求出直線解析式；

(3)求出點(diǎn)A、。的“相關(guān)矩形”的另外兩個(gè)頂點(diǎn)，M坐標(biāo)為(4,1),N坐標(biāo)為(2,2),再計(jì)算直線y="—2

恰好經(jīng)過M、N時(shí)的左值，數(shù)形結(jié)合即可得出女的范圍；

(4)設(shè)PQn,-2爪+2),根據(jù)點(diǎn)A、尸的“相關(guān)矩形''為正方形列方程，求出機(jī)即可得出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)點(diǎn)A、2的“相關(guān)矩形”如圖：

4N

r「

-，

-，

ML—

B

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),

.'.AM=1,BM=4-2=2,

.??點(diǎn)A,8的“相關(guān)矩形”的面積為AM=2；

(2)由題意可得如圖所示：

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),

：.AN=2,

若A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，

①當(dāng)C在A上方時(shí)，NC=AN=2,

.■.C(0,3),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則有：

產(chǎn)”；1，解得：

Vb=3lb=3

直線AC的解析式為y=—%+3,

②當(dāng)。在A下方，即。位置時(shí)，NC=AN=2,

?.?廣(0,-1