蘇教七年級下冊期末解答題壓軸數(shù)學必考知識點試題經(jīng)典答案一、解答題1．在△ABC中，射線AG平分∠BAC交BC于點G，點D在BC邊上運動（不與點G重合），過點D作DE∥AC交AB于點E．（1）如圖1，點D在線段CG上運動時，DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，則∠AFD＝；若∠B＝40°，則∠AFD＝；②試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關系？請說明理由；（2）點D在線段BG上運動時，∠BDE的角平分線所在直線與射線AG交于點F試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關系，并說明理由2．如圖，在中，是高，是角平分線，，．（）求、和的度數(shù)．（）若圖形發(fā)生了變化，已知的兩個角度數(shù)改為：當，，則__________．當，時，則__________．當，時，則__________．當，時，則__________．（）若和的度數(shù)改為用字母和來表示，你能找到與和之間的關系嗎？請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結論．3．如圖①，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）將圖①中的三角板OMN沿BA的方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數(shù)；（2）將圖①中的三角板OMN繞點O按逆時針方向旋轉，使∠BON＝30°，如圖③，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數(shù)；（3）將圖①中的三角板OMN繞點O按每秒30°的速度按逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，在第____________秒時，直線MN恰好與直線CD垂直．（直接寫出結果）4．（生活常識）射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，MN是平面鏡，若入射光線AO與水平鏡面夾角為∠1，反射光線OB與水平鏡面夾角為∠2，則∠1=∠2.（現(xiàn)象解釋）如圖2，有兩塊平面鏡OM，ON，且OM⊥ON，入射光線AB經(jīng)過兩次反射，得到反射光線CD.求證AB∥CD.（嘗試探究）如圖3，有兩塊平面鏡OM，ON，且∠MON=55，入射光線AB經(jīng)過兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD相交于點E，求∠BEC的大小.（深入思考）如圖4，有兩塊平面鏡OM，ON，且∠MONα，入射光線AB經(jīng)過兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD所在的直線相交于點E，∠BED=β,α與β之間滿足的等量關系是.（直接寫出結果）5．直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動,A、B不與點O重合，如圖1，已知AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，（1）點A、B在運動的過程中，∠ACB的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠ACB的大小.（2）如圖2，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，則∠ABO＝________,如圖3，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，則∠ABO＝________（3）如圖4，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其反向延長線交于E、F，則∠EAF＝；在△AEF中，如果有一個角是另一個角的倍，求∠ABO的度數(shù).6．已知：∠MON=36°，OE平分∠MON，點A，B分別是射線OM，OE，上的動點（A，B不與點O重合），點D是線段OB上的動點，連接AD并延長交射線ON于點C，設∠OAC=x，（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是______；②當∠BAD=∠ABD時，x=______；當∠BAD=∠BDA時，x=______；（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ABD中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．7．我們知道：光線反射時，反射光線、入射光線分別在法線兩側，反射角等于入射角．如圖1，為一鏡面,為入射光線，入射點為點O，為法線（過入射點O且垂直于鏡面的直線），為反射光線,此時反射角等于入射角，由此可知等于．（1）兩平面鏡、相交于點O，一束光線從點A出發(fā)，經(jīng)過平面鏡兩次反射后，恰好經(jīng)過點B．①如圖2，當為多少度時，光線？請說明理由．②如圖3，若兩條光線、所在的直線相交于點E，延長發(fā)現(xiàn)和分別為一個內角和一個外角的平分線，則與之間滿足的等量關系是_______．（直接寫出結果）（2）三個平面鏡、、相交于點M、N，一束光線從點A出發(fā),經(jīng)過平面鏡三次反射后，恰好經(jīng)過點E，請直接寫出、、與之間滿足的等量關系．8．已知，點、分別是、上的點，點在、之間，連接、．（1）如圖1，若，求的度數(shù)．（2）在（1）的條件下，分別作和的平分線交于點，求的度數(shù)．（3）如圖2，若點是下方一點，平分，平分，已知．則判斷以下兩個結論是否正確，并證明你認為正確的結論．①為定值；②為定值．9．如圖1，將一副三角板與三角板擺放在一起；如圖2，固定三角板，將三角板繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角（）．（1）當________度時，；當________度時；（2）當?shù)囊贿吪c的某一邊平行（不共線）時，直接寫出旋轉角的所有可能的度數(shù)；（3）當，連接，利用圖4探究的度數(shù)是否發(fā)生變化，并給出你的證明．10．已知：直線，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點M為兩平行線內部一點．（1）如圖1，∠AEM，∠M，∠CFM的數(shù)量關系為________；(直接寫出答案)（2）如圖2，∠MEB和∠MFD的角平分線交于點N，若∠EMF等于130°，求∠ENF的度數(shù)；（3）如圖3，點G為直線CD上一點，延長GM交直線AB于點Q，點P為MG上一點，射線PF、EH相交于點H，滿足，，設∠EMF=α，求∠H的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示)．【參考答案】一、解答題1．（1）①115°；110°；②；理由見解析；（2）；理由見解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形內角和定理求出∠B=50°，由平行線的性質得出∠EDB=∠C=30°，由解析：（1）①115°；110°；②；理由見解析；（2）；理由見解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形內角和定理求出∠B=50°，由平行線的性質得出∠EDB=∠C=30°，由角平分線定義得出，，由三角形的外角性質得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性質即可得出結果；若∠B=40°，則∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分線定義得出，，由三角形的外角性質即可得出結果；②由①得：∠EDB=∠C，，，由三角形的外角性質得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性質即可得出結論；（2）由（1）得：∠EDB=∠C，，,由三角形的外角性質和三角形內角和定理即可得出結論．【詳解】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，則∠B=180°-100°-30°=50°，∵DE∥AC，∴∠EDB=∠C=30°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴，，∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；若∠B=40°，則∠BAC+∠C=180°-40°=140°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴，，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=故答案為：115°；110°；②；理由如下：由①得：∠EDB=∠C，，，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=；（2）如圖2所示：；理由如下：由（1）得：∠EDB=∠C，，，∵∠AHF=∠B+∠BDH，∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF．【點睛】本題考查了三角形內角和定理、三角形的外角性質、平行線的性質等知識；熟練掌握三角形內角和定理和三角形的外角性質是解題的關鍵．2．（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）當時，；當時，．【分析】（1）先利用三角形內角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線和高的性質分別得出和的度數(shù)，進而可求和的度數(shù)；解析：（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）當時，；當時，．【分析】（1）先利用三角形內角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線和高的性質分別得出和的度數(shù)，進而可求和的度數(shù)；（2）先利用三角形內角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線和高的性質分別得出和的度數(shù)，則前三問利用即可得出答案，第4問利用即可得出答案；（3）按照（2）的方法，將相應的數(shù)換成字母即可得出答案．【詳解】（1）∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，，．（2）當，時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；當，時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；當，時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；當，時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，．（3）當時，即時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；當時，即時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；綜上所述，當時，；當時，．【點睛】本題主要考查三角形內角和定理和三角形的角平分線，高，掌握三角形內角和定理和直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．3．（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.【分析】（1）在△CEN中，用三角形內角和定理即可求出；（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內角解析：（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.【分析】（1）在△CEN中，用三角形內角和定理即可求出；（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補即可求出∠CEN的度數(shù).（3）畫出圖形，求出在MN⊥CD時的旋轉角，再除以30°即得結果.【詳解】解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°－∠ECN－∠CNE=180°－45°－30°=105°；（2）∵∠BON＝30°，∠N=30°，∴∠BON＝∠N，∴MN∥CB.∴∠OCD+∠CEN=180°，∵∠OCD=45°∴∠CEN=180°－45°=135°；（3）如圖，MN⊥CD時，旋轉角為360°－90°－45°－60°=165°，或360°－（60°－45°）=345°，所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒時，直線MN恰好與直線CD垂直．【點睛】本題以學生熟悉的三角板為載體，考查了三角形的內角和、平行線的判定和性質、垂直的定義和旋轉的性質，前兩小題難度不大，難點是第（3）小題，解題的關鍵是畫出適合題意的幾何圖形，弄清求旋轉角的思路和方法，本題的第一種情況是將旋轉角∠DOM放在四邊形DOMF中，用四邊形內角和求解，第二種情況是用周角減去∠DOM的度數(shù).4．【現(xiàn)象解釋】見解析；【嘗試探究】BEC70；【深入思考】2.【分析】[現(xiàn)象解釋]根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠解析：【現(xiàn)象解釋】見解析；【嘗試探究】BEC70；【深入思考】2.【分析】[現(xiàn)象解釋]根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可得出∠DCB+∠ABC=180°，即可證得AB∥CD；[嘗試探究]根據(jù)三角形內角和定理求得∠2+∠3=125°，根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定義得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°，根據(jù)三角形內角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°；[深入思考]利用平角的定義得出∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，利用外角的性質∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，而∠BOC=∠3-∠2=α，即可證得β=2α．【詳解】[現(xiàn)象解釋]如圖2，∵OM⊥ON，∴∠CON=90°，∴∠2+∠3=90°∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠DCB+∠ABC=180°，∴AB∥CD；【嘗試探究】如圖3，在△OBC中，∵∠COB=55°，∴∠2+∠3=125°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°，∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°，∴∠BEC=180°-110°=70°；【深入思考】如圖4，β=2α，理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，∴∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，∵∠BOC=∠3-∠2=α，∴β=2α．【點睛】本題考查了平行線的判定，三角形外角的性質以及三角形內角和定理，熟練掌握三角形的性質是解題的關鍵．5．（1）∠AEB的大小不會發(fā)生變化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．【分析】（1）由直線MN與直線PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根據(jù)三角形的外角的性質得到∠解析：（1）∠AEB的大小不會發(fā)生變化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．【分析】（1）由直線MN與直線PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根據(jù)三角形的外角的性質得到∠PAB+∠ABM＝270°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC＝∠PAB，∠ABC＝∠ABM，于是得到結論；（2）由于將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，得到∠CAB＝∠BAQ，由角平分線的定義得到∠PAC＝∠CAB，即可得到結論；根據(jù)將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，得到∠ABC＝∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC＝∠MBC，于是得到結論；（3）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可得出∠E與∠ABO的關系，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一個角是另一個角的倍分情況進行分類討論即可．【詳解】解：（1）∠ACB的大小不變，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAB+∠ABM＝270°，∵AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，∴∠BAC＝∠PAB，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAC+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，∴∠ACB＝45°；（2）∵將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，∴∠CAB＝∠BAQ，∵AC平分∠PAB，∴∠PAC＝∠CAB，∴∠PAC＝∠CAB＝∠BAO＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∵將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，∴∠ABC＝∠ABN，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝∠MBC，∴∠MBC＝∠ABC＝∠ABN，∴∠ABO＝60°，故答案為：30°，60°；（3）∵AE、AF分別是∠BAO與∠GAO的平分線，∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠GAO，∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，∴∠EAF＝∠EAO+∠FAO＝（∠BAO+∠GAO）＝90°．在△AEF中，∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E,∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，∵有一個角是另一個角的倍，故有：①∠EAF＝∠F，∠E＝30°，∠ABO＝60°；②∠F＝∠E，∠E＝36°，∠ABO＝72°；③∠EAF＝∠E，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；④∠E＝∠F，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）；∴∠ABO為60°或72°．【點睛】本題主要考查的是角平分線的性質以及三角形內角和定理的應用.解決這個問題的關鍵就是要能根據(jù)角平分線的性質將外角的度數(shù)與三角形的內角聯(lián)系起來，然后再根據(jù)內角和定理進行求解.另外需要分類討論的時候一定要注意分類討論的思想．6．（1）①18°；②126°；③63°；（2）當x=18、36、54時，△ADB中有兩個相等的角．【分析】（1）運用平行線的性質以及角平分線的定義，可得∠ABO的度數(shù)；根據(jù)∠ABO、∠BAD的度數(shù)解析：（1）①18°；②126°；③63°；（2）當x=18、36、54時，△ADB中有兩個相等的角．【分析】（1）運用平行線的性質以及角平分線的定義，可得∠ABO的度數(shù)；根據(jù)∠ABO、∠BAD的度數(shù)以及△AOB的內角和，可得x的值；（2）根據(jù)三角形內角和定理以及直角的度數(shù)，可得x的值．【詳解】解：（1）如圖1，①∵∠MON=36°，OE平分∠MON，∴∠AOB=∠BON=18°，∵AB∥ON，∴∠ABO=18°；②當∠BAD=∠ABD時，∠BAD=18°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，∴∠OAC=180°-18°×3=126°；③當∠BAD=∠BDA時，∵∠ABO=18°，∴∠BAD=81°，∠AOB=18°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，∴∠OAC=180°-18°-18°-81°=63°，故答案為①18°；②126°；③63°；（2）如圖2，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角．∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，若∠BAD=∠ABD=72°，則∠OAC=90°-72°=18°；若∠BAD=∠BDA=（180°-72°）÷2=54°，則∠OAC=90°-54°=36°；若∠ADB=∠ABD=72°，則∠BAD=36°，故∠OAC=90°-36°=54°；綜上所述，當x=18、36、54時，△ADB中有兩個相等的角．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理和三角形的外角性質的應用，三角形的內角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和．利用角平分線的性質求出∠ABO的度數(shù)是關鍵，注意分類討論思想的運用．7．（1）①90°，理由見解析；②∠MEN=2∠POQ；（2）2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD【分析】（1）①設∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根據(jù)∠AMN+∠BNM=解析：（1）①90°，理由見解析；②∠MEN=2∠POQ；（2）2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD【分析】（1）①設∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根據(jù)∠AMN+∠BNM=180°，可得α+β=90°，再根據(jù)三角形內角和定理進行計算即可；②設∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，根據(jù)三角形外角性質可得∠MEN=2（β-α），再根據(jù)三角形外角性質可得∠POQ=β-α，進而得出∠MEN=2∠POQ；（2）分別表示出∠M，∠N，∠BCD，利用四邊形內角和表示出∠BFD，再將∠M，∠N，∠BCD進行運算，變形得到∠BFD，即可得到關系式．【詳解】解：（1）①設∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，當AM∥BN時，∠AMN+∠BNM=180°，即180°-2α+180°-2β=180°，∴180°=2（α+β），∴α+β=90°，∴△MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，∴當∠POQ為90度時，光線AM∥NB；②設∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，∴∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，∵∠AMN是△MEN的外角，∴∠MEN=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），∵∠MNQ是△MNO的外角，∴∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α，∴∠MEN=2∠POQ；（2）設∠PBE=∠MBC=∠1，∠MCB=∠NCD=∠2，∠CDN=∠ADQ=∠3，可知：∠M=180°-∠1-∠2，∠N=180°-∠2-∠3，∠BCD=180°-2∠2，∵∠CBA=180°-2∠1，∠CDA=180°-2∠3，∴∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD=360°-（180°-2∠1）-（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠1+∠2+∠3）-180°又∵2（∠M+∠N）-∠BCD=2（180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3）-（180°-2∠2）=540°-2（∠1+∠2+∠3）=360°-[2（∠1+∠2+∠3）-180°]=360°-∠BFD∴2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，三角形外角的性質以及多邊形內角和定理的綜合應用，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．8．（1）（2）（3）②是正確的，證明見解析【分析】（1）過點G作GE∥AB，然后利用平行線性質即可得到結果；（2）分別過G和H作GE∥AB，F(xiàn)H∥AB，然后利用平行線的性質得到對應的邊角解析：（1）（2）（3）②是正確的，證明見解析【分析】（1）過點G作GE∥AB，然后利用平行線性質即可得到結果；（2）分別過G和H作GE∥AB，F(xiàn)H∥AB，然后利用平行線的性質得到對應的邊角關系，進而∠MHN的具體值；（3）根據(jù)角平分線性質，設，然后利用平行線的基本性質，分別推導出和的值即可判斷．【詳解】（1）如圖所示，過點作，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴.（2）如圖所示，過點作，過點作，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，，∴.（3）如圖所示，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，∴，設，則，∴，∴，，∴②中的值為定值.故②是正確的.【點睛】本題主要考查了平行線的性質，做題的關鍵是能夠找到輔助線，構造輔助線．9．（1）105，15；（2）旋轉角的所有可能的度數(shù)是：15°，45°，105°，135°，