2.2.2直線與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.2.會(huì)用代數(shù)法和幾何法來(lái)判定直線與圓的三種位置關(guān)系.3.會(huì)用直線與圓的位置關(guān)系解決一些實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)直線與圓的三種位置關(guān)系及判定思考用代數(shù)法如何根據(jù)方程判定直線與圓的位置關(guān)系？梳理位置關(guān)系相離相切相交圖示幾何法d與r的大小d____rd____rd____r位置關(guān)系相離相切相交代數(shù)法依據(jù)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C,＝0,x－a2＋,y－b2＝r2))解的情況Δ<0方程組______Δ＝0方程組________Δ>0方程組有兩個(gè)不同解類型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使直線x－my＋3＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0分別滿足：①相交；②相切；③相離.反思與感悟直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷.(3)直線系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)，可通過(guò)判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系.但有一定的局限性，必須是過(guò)定點(diǎn)的直線系.跟蹤訓(xùn)練1過(guò)點(diǎn)P(－eq\r(3)，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角α的取值范圍是________.類型二切線問(wèn)題例2過(guò)點(diǎn)A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線方程.引申探究若本例的條件不變，求其切線長(zhǎng).反思與感悟求過(guò)某一點(diǎn)的圓的切線方程，首先判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以確定切線的數(shù)目.(1)求過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程：如果斜率存在且不為0，先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，則由垂直關(guān)系知，切線斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.如果k＝0或斜率不存在，則由圖形可直接得切線方程為y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)求過(guò)圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線時(shí)，常用幾何方法求解：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，進(jìn)而切線方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一個(gè)時(shí)，則另一條切線的斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合求出.跟蹤訓(xùn)練2若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為_(kāi)_______.類型三弦長(zhǎng)問(wèn)題例3(1)過(guò)圓x2＋y2＝8內(nèi)的點(diǎn)P(－1,2)作直線l交圓于A，B兩點(diǎn).若直線l的傾斜角為135°，則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______.(2)圓心為C(2，－1)，截直線y＝x－1所得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)的圓的方程為_(kāi)__________.(3)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,5)，且和圓C：x2＋y2＝25相交于A、B兩點(diǎn)，截得的弦長(zhǎng)為4eq\r(5)，求直線l的方程.反思與感悟求直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)有三種方法(1)交點(diǎn)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)求解.(2)弦長(zhǎng)公式：如圖所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在).(3)幾何法：如圖，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為AB，則有(eq\f(AB,2))2＋d2＝r2，即AB＝2eq\r(r2－d2).通常采用幾何法較為簡(jiǎn)便.跟蹤訓(xùn)練3已知直線l：kx－y＋k＋2＝0與圓C：x2＋y2＝8.(1)證明：直線l與圓相交；(2)當(dāng)直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求直線l的方程，并求出弦長(zhǎng).1.直線3x＋4y＋12＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關(guān)系是________.2.若直線3x＋4y＋m＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.3.平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線方程為_(kāi)_______________.4.設(shè)A、B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個(gè)交點(diǎn)，則AB＝________.5.直線y＝kx＋3與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，且MN≥2eq\r(3)，則k的取值范圍是________.1.直線與圓位置關(guān)系的兩種判斷方法比較(1)若直線和圓的方程已知，或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法較為簡(jiǎn)單.(2)若直線或圓的方程中含有參數(shù)，且圓心到直線的距離較復(fù)雜，則用代數(shù)法較簡(jiǎn)單.2.過(guò)一點(diǎn)的圓的切線方程的求法(1)當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，圓心與該點(diǎn)的連線與切線垂直，從而求得切線的斜率，用直線的點(diǎn)斜式方程可求得圓的切線方程.(2)若點(diǎn)在圓外時(shí)，過(guò)該點(diǎn)的切線將有兩條，但在用設(shè)斜率來(lái)解題時(shí)可能求出的切線只有一條，這是因?yàn)橛幸粭l過(guò)該點(diǎn)的切線的斜率不存在.3.與圓相關(guān)的弦長(zhǎng)問(wèn)題的兩種解決方法(1)由于半徑長(zhǎng)r，弦心距d，弦長(zhǎng)l的一半構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理可求出弦長(zhǎng)，這是常用解法.(2)聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))之間的關(guān)系，代入兩點(diǎn)間的距離公式求解，此法是通法.

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判定直線與圓的位置關(guān)系．當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)，相離；當(dāng)方程組有一解時(shí)，相切；當(dāng)方程組有兩解時(shí)，相交．梳理>＝<無(wú)解只有一解題型探究例1解圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－3)2＋y2＝4，故圓心(3,0)到直線x－my＋3＝0的距離為d＝eq\f(6,\r(m2＋1))，圓的半徑為r＝2.①若相交，則d＜r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＜2，所以m＜－2eq\r(2)或m＞2eq\r(2)；②若相切，則d＝r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq\r(2)；③若相離，則d＞r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＞2，所以－2eq\r(2)＜m＜2eq\r(2).跟蹤訓(xùn)練1[0°，60°]例2解因?yàn)?4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以點(diǎn)A在圓外．①若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.設(shè)圓心為C，因?yàn)閳A心C(3,1)到切線的距離等于半徑1，所以eq\f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝eq\r(k2＋1)，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－eq\f(15,8).所以切線方程為－eq\f(15,8)x－y＋eq\f(15,2)－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x＝4的距離為1，這時(shí)直線x＝4與圓相切，所以另一條切線方程為x＝4.綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.引申探究解因?yàn)閳A心C的坐標(biāo)為(3,1)，設(shè)切點(diǎn)為B，則△ABC為直角三角形，AC＝eq\r(3－42＋1＋32)＝eq\r(17)，又BC＝r＝1，則AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(\r(17)2－12)＝4，所以切線長(zhǎng)為4.跟蹤訓(xùn)練2x＋2y－5＝0例3(1)eq\r(30)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4(3)解若直線l的斜率不存在，則l：x＝5與圓C相切，不合題意，∴直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.如圖所示，OH是圓心到直線l的距離，OA是圓的半徑，AH是弦長(zhǎng)AB的一半，在Rt△AHO中，OA＝5，AH＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)·4eq\r(5)＝2eq\r(5).∴OH＝eq\r(OA2－AH2)＝eq\r(5)，∴eq\f(|51－k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝eq\f(1,2)或k＝2.∴直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.跟蹤訓(xùn)練3(1)證明∵l：kx－y＋k＋2＝0，直線l可化為y－2＝k(x＋1)，∴直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(－1,2)．又∵(－1)2＋22<8，∴(－1,2)在圓C內(nèi)，∴直線l與圓相交．(2)解由(1)知，直線l過(guò)定點(diǎn)P(－1,2)．又圓C：x2＋y2＝8的圓心為原點(diǎn)O，∴與OP垂直的直線截得的弦長(zhǎng)最短．∵kOP＝－2，∴kl＝eq\f(1,2)，∴直線l：y－2＝eq\f(