專題20《簡單的四點(diǎn)共圓》破解策略如果同一平面內(nèi)的四個點(diǎn)在同一個圓上，則稱之為四個點(diǎn)共圓·一般簡稱為”四點(diǎn)共圓”．四點(diǎn)共圓常用的判定方法有：1．若四個點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離相等，則這四個點(diǎn)共圓．如圖，若OA＝OB＝OC＝OD，則A，B，C，D四點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓上．【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°時，MN取最大值，最大值是2．【提示】（1）如圖，連結(jié)OP，取其中點(diǎn)O＇，顯然點(diǎn)M，N在以O(shè)P為直徑的⊙O＇上，連結(jié)NO＇并延長，交⊙O＇于點(diǎn)Q，連結(jié)QM，則∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的長為定值．（2）由（1）知，四邊形PMON內(nèi)接于⊙O＇，且直徑OP＝2，而MN為⊙O＇的一條弦，故MN為⊙O＇的直徑時，其長取最大值，最大值為2，此時∠MON＝90°．2．若一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，則這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．如圖，在四邊形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）則A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上．【答案】（1）略；（2）AD＝DE；（3）AD＝DE·tanα．【提示】（1）證A，D，B，E四點(diǎn)共圓，從而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．（2）同（1），可得A，D，B，E四點(diǎn)共圓，∠AED＝∠ABD＝30°，所以＝tan30°，即AD＝DE．3．若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．如圖，在四邊形ABCD中，∠CDE為外角，若∠B＝∠CDE，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上．【答案】略4．若兩個點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點(diǎn)和這條線段的兩個端點(diǎn)共圓．【來源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】如圖，點(diǎn)A，D在線段BC的同側(cè)，若∠A＝∠D，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上．【答案】略G諸多幾何問題，若以四點(diǎn)共圓作橋梁，就能與圓內(nèi)的等量關(guān)系有機(jī)地結(jié)合起來．利用四點(diǎn)共圓，可證線段相等、角相等、兩線平行或垂直，還可以證線段成比例，求定值等．G例題講解例1如圖，在△ABC中，過點(diǎn)A作AD⊥BC與點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作AB，AC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．ABABCDEFABCDEF證明因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED＋∠AFD＝180°，即A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．連結(jié)EF，則∠AEF＝∠ADF．因?yàn)锳D⊥BC，DF⊥AC，所以∠FCD＝∠ADF＝∠AEF，所以B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．例2在銳角△ABC中，AB＝AC，AD為邊上的高，E為AC的中點(diǎn)．若M為線段BD上的動點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)D不重合），過點(diǎn)C作CN⊥AM與點(diǎn)N，射線EN與AB相交于點(diǎn)P，證明：∠APE＝2∠MAD．ABABCDEPNMABCDEPNM證明如圖，連結(jié)DE．因?yàn)锳D⊥BC，CN⊥AM，E為AC的中點(diǎn)，所以DE＝AE＝CE＝NE，從而A，N，D，C在以點(diǎn)E為圓心、AC為直徑的圓上，所以∠DEN＝2∠DAN．由題意可得D為BC的中點(diǎn)，所以ED∥AB，所以∠APE＝∠DEP＝2∠MAD．進(jìn)階訓(xùn)練1．已知⊙O的半徑為2，AB，CD是⊙O的直徑，P是BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AB，CD的垂線，垂足分別為N，M．（1）如圖1，若直徑AB與CD相交成120°角，當(dāng)點(diǎn)P（不與B，C重合）從B運(yùn)動到C的過程中，證明MN的長為定值；（2）如圖2，求當(dāng)直徑AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值．ABABCDOMNP圖1圖2ABCDPMNO答案：（1）略（2）AB，CD相交成90°時，MN取最大值，最大值為2．【提示】（1）如圖，連接OP，取其中點(diǎn)O′，顯然點(diǎn)M．，N在以O(shè)P為直徑的⊙O′上．連結(jié)NO′并延長，交⊙O′于點(diǎn)Q，連結(jié)QM，則∠QMN＝90°，QN＝OP＝2．而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的長為定值．AABCDOMNQO′P圖1（2）由（1）知，四邊形PMON內(nèi)接于⊙O′，且直徑OP＝2．而MN為⊙O′的一條弦，故MN為⊙O′的直徑時，其長取最大值，最大值為2，此時∠QMN＝90°．2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，過點(diǎn)B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)AD，作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E，連結(jié)AE．（1）如圖1，當(dāng)∠ABC＝45°時，求證：AD＝DE；（2）如圖2，當(dāng)∠ABC＝30°時，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）當(dāng)∠ABC＝α?xí)r，請直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系（用含α的三角函數(shù)表示）．圖1A圖1ABCDEFG圖2ABCDEMN答案：（略）；（2）AD＝DE；（3）AD＝DE·t