專題02實(shí)數(shù)

（考題猜想，10種高頻易錯重難點(diǎn)80題專項(xiàng)訓(xùn)練）

墨型人集合

駁型大通關(guān)

?一?一?一?一.一?一

題型一：算數(shù)平方根（高頻）

1.（23-24七年級下?福建福州?期中）下列各數(shù)中，16的算術(shù)平方根為（）

A.±4B.4C.±8D.8

【答案】B

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的定義計算即可.

【詳解】解：16的算術(shù)平方根為4,

故選：B.

2.（24-25八年級上?廣西來賓?期末）若實(shí)數(shù)X、八z滿足&4+（y-2）2+|Z+2|=0,則孫z的算術(shù)平方根

是（）

A.3B.±4C.±3D.4

【答案】D

【分析】本題主要考查非負(fù)性的運(yùn)用，算術(shù)平方根.根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出無、y、z的值，然后代

入代數(shù)式進(jìn)行計算，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答.

【詳解】解：由題意得，x+4=0,y-2=0,z+2=0,

解得尤=-4,y=2,z=-2,

所以,孫z=（-4）x2x（-2）=16,

所以，邙的算術(shù)平方根是J話=4.

故選：D.

3.（23-24七年級下,四川瀘州?期中）已知^/^^+|yT=O,那么（x+y產(chǎn)4的值為.

【答案】1

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求代數(shù)式的值，先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出羽y的值，然后代入

（x+y）23計算即可.

【詳解】解:回J^2+|y—l|=0,

團(tuán)x+2=0,y-l=0,

l?Jx=-2,y=lf

2O242O24

0（x+y）=（-2+l）=l.

故答案為：1.

4.（23-24七年級下?云南保山?期中）已知彳=后，,是4的算術(shù)平方根，貝口無-2y的值為.

【答案】11

【分析】本題主要考查的是算術(shù)平方根，代數(shù)式求值，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.首先依據(jù)算術(shù)平

方根的定義求得小y的值，從而可求得代數(shù)式3x-2y的值.

【詳解】解：x=后，＞是4的算術(shù)平方根，

..x—5,y=2,

/.3x—2y=3x5—2x2=11,

故答案為：11.

5.（23-24七年級下?新疆烏魯木齊?期中）已知點(diǎn)4B、。在數(shù)軸上表示的數(shù)〃、b、c的位置如圖所示，化

簡.

上工AA?

abQc

【答案】b-2c

【分析】本題考查根據(jù)數(shù)軸判斷式子的符號，化簡絕對值，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，先根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的

位置，判斷式子的符號，再根據(jù)絕對值的意義和算術(shù)平方根的定義，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由圖可知：a<b<O<cf

^\b-c<Q,a-c<0,

回Jq---c|--c)=-a-c+b-c+a—b-2c;

故答案為：b—2c.

6.(22-23七年級下?廣東廣州?期中)求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:

1竺2

19

1121,0.0025,4-00,

6425

(2)1.96,7,29,106,KT4,(-3).

i73

【答案】⑴"；0.05；y；1；30；g,-

zo5

(2)1.4；幣;則;103;IO?；3

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義逐個解答即可.

【詳解】(1)解：121的算術(shù)平方根為g=11；

0.0025的算術(shù)平方根為V0.0025=0.05;

；的算術(shù)平方根為、口=▲;

4V42

1的算術(shù)平方根為比=1;

900的算術(shù)平方根為7900=30;

詈的算術(shù)平方根為g=Z;

64V648

W的算術(shù)平方根為a=|；

(2)解：1.96的算術(shù)平方根為VI麗=1.4；

7的算術(shù)平方根為近；

29的算術(shù)平方根為回；

io,的算術(shù)平方根為TnF=io3；

10^的算術(shù)平方根為屈聲=io-；

(-3)2的算術(shù)平方根為炳7=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的定義，熟記算術(shù)平方根的定義是解決本題的關(guān)鍵.

7.(22-23七年級下?福建莆田?期中)若6=萬工二+4,c是64的算術(shù)平方根，求必c的值.

【答案】64

【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，即被開平方數(shù)是非負(fù)數(shù)，求出。，進(jìn)而求出"根據(jù)算術(shù)平方根的含

義求出C,即可作答.

【詳解】解：由題意得：2-<2>0,6Z-2>0,

解得：。=2,

團(tuán)6=4,

團(tuán)。是64的算術(shù)平方根，

團(tuán)。=8,

貝ijabc=2x4x8=64.

【點(diǎn)睛】本題考查了被開平方數(shù)是非負(fù)數(shù)、求解算術(shù)平方根，根據(jù)求出。是解答本題的關(guān)鍵.

8.(23-24七年級上?黑龍江綏化?期中)已知實(shí)數(shù)。，b,c,d,m,若a,Z?互為相反數(shù)，c,d互為倒

數(shù)，加的絕對值是2,求、叵?+的值.

Vm

【答案】1

【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，求代數(shù)式的值.直接利用互為相反數(shù)以及倒數(shù)和絕對值的性質(zhì)得出代

數(shù)式的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：回a、6互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，根的絕對值是2,

0a+Z?=O,cd=1,m=±2,

=0+2-1

=1.

9.(23-24七年級下?河北保定?期中)已知：a、b、c三個數(shù)，其中任意兩個數(shù)的積的算術(shù)平方根用p表

示.

(1)若。=1,6=4,c=9時，求"的最小值和最大值；

⑵若a=16,c=36,若p的最大值是最小值的2倍，求6的值.

【答案】(1)。的最小值為2,p的最大值為6.

(2)9或64

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，算術(shù)平方根的運(yùn)算.

(1)分別求出任意兩個數(shù)的積，根據(jù)積的大小即可求出p的最小值和最大值.

(2)根據(jù)題意，分別求出兩個數(shù)的積，據(jù)積即可分別出p的最小值和最大值，再根據(jù)p的最大值是最小值

的2倍，即可求出6的值.

【詳解】(1)解03。=1,6=4,c=9

團(tuán)a、b、c三個數(shù)中任意兩個數(shù)的積分別為4,9,36.

p的最小值為：/=2，

p的最大值為：島=6,

(2)0a=16?c=36,

加、b、c三個數(shù)中任意兩個數(shù)的積分別為166,36b,16x36,

當(dāng)p的最大值為：,36x16=24，p的最小值為：yjl6b=4^/F?

助的最大值是最小值的2倍，

1324=2x4新，

解得：b-9.

當(dāng)O的最大值為：J36b=6后,p的最小值為：716x36=24

中的最大值是最小值的2倍，

回6揚(yáng)=2x24,

解得：b=64.

10.(23-24七年級下?湖北?期中)我們知道，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，但對于三個互不相等的負(fù)整數(shù)，若兩

兩乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為"絕佳組合數(shù)"，例如：-9,-4,-1這三個數(shù)，

J(-9)x(T)=6,{9)x(-1)=3,J(Y)x(-1)=2,其結(jié)果6,3,2都是整數(shù)，所以-1,-4,-9這三個

數(shù)稱為"絕佳組合數(shù)

(1)-27,-12,-3這三個數(shù)是"絕佳組合數(shù)”嗎？請說明理由；

(2)若三個數(shù)-2,優(yōu)，-8是"絕佳組合數(shù)"，其中有兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根為12.求機(jī)的值.

【答案】(1)-27,-12,-3這三個數(shù)是"絕佳組合數(shù)”，見解析

⑵“2=-72或—18

【分析】此題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解"絕佳組合數(shù)"的定義，利用分類討論的思想進(jìn)

行求解.

(1)根據(jù)"絕佳組合數(shù)”的定義進(jìn)行求解判斷即可；

(2)分-2%=144,-8%=144兩種情況分別求出機(jī)的值，再根據(jù)"絕佳組合數(shù)"的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】(1)-27,-12,-3這三個數(shù)是"絕佳組合數(shù)”，理由如下：

7(-27)x(-12)=18,J(—3)x(-12)=6,J(-27)x(-3)=9,且18,6,9都是整數(shù),

-27,-12,-3這三個數(shù)是"絕佳組合數(shù)”；

(2)三個數(shù)-2,辦-8是“絕佳組合數(shù)”，其中有兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根為12,

??.這兩個數(shù)的乘積為144,

當(dāng)-2m=144時,則根=-72,

-72x(-8)=576=242,

???《72)x(-8)=24,符合題意；

當(dāng)一8根=144時，貝?。莘?-18,

-18x(-2)=36=62,

二.J(—18)x(—2)=6,此時符合題意；

綜上所述，m=-72或-18.

11.(22-23七年級下?河北唐山?期中)如圖，是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示.

---------------------是無理數(shù)----------

輸入X------「取算術(shù)平方根———>輸出y

是有理數(shù)

⑴當(dāng)輸入的尤值為16時，求輸出的y值；

(2)是否存在輸入的尤值后，始終輸不出y值？如果存在，請直接寫出所有滿足要求的尤值；如果不存在，

請說明理由.

⑶輸入一個兩位數(shù)x,恰好經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根才能輸出無理數(shù)，則x=_.

【答案】⑴尸偵

⑵存在，x=0或1或負(fù)數(shù)

(3)25或36或49或64

【分析】此題考查了算術(shù)平方根的計算和性質(zhì).

(1)按照程序依次計算即可得到答案；

(2)x=0或1時，它們的算術(shù)平方根是本身，是有理數(shù)，不是無理數(shù)，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，據(jù)此即可

進(jìn)行解答；

(3)根據(jù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】(1)解：由題意可得，標(biāo)=4,"=2,

則y=0；

（2）存在，

當(dāng)x=0或1,它們的算術(shù)平方根是本身，是有理數(shù)，不是無理數(shù)；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根,

國當(dāng)x=o或1或負(fù)數(shù)時，始終輸不出y值，

綜上所述，x=0或1或負(fù)數(shù).

22

（3）x==25或苫=（V6）=36或苫=（77）=49或%=（唬了=64.

則兩位數(shù)x=25或36或49或64,

故答案為：25或36或49或64

題型二：算數(shù)平方根規(guī)律探究（易錯）

12.（23-24七年級下?安徽滁州,期中）（1）觀察下表，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并填空：

a0.044400400004000000

y/a0.2220

（2）已知0石y1.61,根據(jù)第（1）題發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別求J0.026和J26000的近似值.

【答案】（1）200,2000；（2）0.161,161

【分析】本題考查了被開方數(shù)的變化與算術(shù)平方根之間的之間的變化規(guī)律，根據(jù)表格發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解答本題

的關(guān)鍵.由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右（或向左）移動兩位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就

相應(yīng)的向右（或向左）移動一位.

【詳解】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右（或向左）移動兩位，它的算術(shù)平方根的

小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)的向右（或向左）移動一位.

,40000=200,V4000000=2000，

故答案為：200,2000；

（2）05/^6?1.61,

回JO.O26ao.161,V26000?161.

故答案為：0.161,161.

13.（22-23七年級下?河北石家莊?期中）先觀察下列各式：71=1；7173=74=2；?^工？=囪=3;

J1+3+5+7=舊=4;

⑴計算：71+3+5+7+9=；

（2）已知〃為正整數(shù)，通過觀察并歸納，請寫出J1+3+5+7+9+H++（2〃-1）=；

⑶應(yīng)用上述結(jié)論，計算V1+3+5+7+9++101的值.

【答案】（1）5

（2）?

⑶51

【分析】（1）由〃個連續(xù)奇數(shù)和的算術(shù)平方根等于〃可得答案；

（2）利用以上所得規(guī)律可得；

（3）利用所得規(guī)律求解可得.

【詳解】（1）解：&+3+5+7+9=后=5,

故答案為：5；

（2）J1+3+5+7+9+11+~+（2/1-1）=n,

故答案為：n;

⑶V1+3+5+7+9++101=^/517=51-

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根與數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出規(guī)律：〃個連續(xù)奇數(shù)和

的算術(shù)平方根等于

14.（22-23七年級下?廣東珠海?期中）利用計算器計算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下：

V0.0625J0.625A/^25V62576250,62500

0.250.79062.57.9062579.06250

⑴分析發(fā)現(xiàn)：被開方數(shù)擴(kuò)大100倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大一倍；

⑵若一塊長方形紙片的面積是400cm2,長與寬之比為2：1,求這塊長方形紙片的長與寬（精確到0.1,

72-1.414,73-1.732）.

【答案】⑴10

（2）這塊長方形紙片的長為28.2cm,寬為14.1cm

【分析】（1）根據(jù)根號內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律即可求解，算術(shù)平方根的規(guī)律為，根號內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)移動2位,

對應(yīng)的結(jié)果小數(shù)移動1位，小數(shù)點(diǎn)的移動方向保持一致；

（2）設(shè)這塊長方形的紙片的寬為x,則長為2x,根據(jù)題意列出方程，進(jìn)而根據(jù)（1）的結(jié)論，即可求解.

【詳解】（1）被開方數(shù)擴(kuò)大100倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大1。倍；

故答案為：10.

(2)設(shè)這塊長方形的紙片的寬為x,則長為2x,

EI2xxx=400,

即x2=200,

=-s/200，

團(tuán)&?1.414,

0V2OO?14.1,14.lx2=28.2cm,

答：這塊長方形紙片的長為28.2cm,寬為14.1cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，掌握小數(shù)點(diǎn)的移動規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

15.(22-23七年級下?廣東韶關(guān)?期中)觀察下列各式，并解決以下問題.

行"414，V200?14.14,V20000-141.4,

⑴由上可見，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動_____位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動______位的變化規(guī)

律.

⑵已知23.873,疝21.225,則Vi而a；

⑶若應(yīng)乏1.414，病亡4.472,則而.

【答案】⑴兩，一

(2)12.25

(3)0.4472

【分析】(1)觀察題目即可得到答案；

(2)(3)根據(jù)(1)的規(guī)律進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：072?1.414.>^00?14.14,V20000?141.4,

團(tuán)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，

故答案為：兩，一；

(2)解：團(tuán)后“225,

137150=71-5x100y12.25,

故答案為：12.25；

(3)解：13回=J0.2x100、4.472,

0702?0.4472,

故答案為：0.4472.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

16.（23-24七年級下?北京?期中）研究發(fā)現(xiàn)：由于42=2x3x7,42沒有大于1的平方約數(shù)，所以當(dāng)。為正

整數(shù)時，、陛為有理數(shù)的條件是a=42產(chǎn)（其中/為正整數(shù)）.

Va

⑴若正整數(shù)。使得J9=1,則。的值為二

Va2

（2）已知a、b、c是正整數(shù)，S.a>b>c,當(dāng)+押+=1時，稱（々4。）為“團(tuán)結(jié)數(shù)組

①若（a,b,c）為“團(tuán)結(jié)數(shù)組"，且a=b=c,則a=b=c=_；

②若（a,378,c）為"團(tuán)結(jié)數(shù)組"，且則a=_,c=_；

③"團(tuán)結(jié)數(shù)組”共有一個.

【答案]⑴168

（2）①378,②1512,168,③3

【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，理解題干所給的提示，將低+停+[=1轉(zhuǎn)化為幾個分

子為1的分?jǐn)?shù)和為1的分?jǐn)?shù)的式子求解是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求解；

（2）①由a=b=c可得JJ午=J%=g'即可解答；②a=42〃，c=42m2,（t,機(jī)為正整數(shù)，且

11722

/>加），由已知條件可得1+2=；,進(jìn)行求解即可；③設(shè)。=421，￡>=42y,c=42z（x,y,z為正整

tm3

數(shù)而且xNyNz）,可得LLL1,根據(jù)分子為1的分?jǐn)?shù)和為1的分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)進(jìn)行討論求解.

xyz

【詳解】（1）解:七怪」,

ya2

421

團(tuán)—二—,

a4

解得：a=168,

經(jīng)檢驗(yàn)，a=168是原方程的解，且符合題意，

故答案為：168.

解得：a=b=c=318,

經(jīng)檢驗(yàn)，a=Z?=c=378是原方程的解，且符合題意,

故答案為：378.

②防=378

設(shè)〃=42/，c=42m2,（人小為正整數(shù)，且/＞%）

券」‘即則機(jī)"1'

回券*

112H?,111l12

回一+一=一，而加＞3n時，一〈一工一，n貝l”一十一＜一,

623tm3tm3

團(tuán)，=6,m=2

回々=42x62=1512,0=42x22=168

故答案為：1512,168.

③設(shè)a=42x1b=42y2,c=42z2（尤，y,z為正整數(shù)而且xNyZz）,

xyz

111

又團(tuán)

xyz

1111

[?]-<-,—>-

x3z3

當(dāng)工=」時，一_1---1--=1,此時％=y=z=3,a=b=c=31S,

z3xyz

111

當(dāng)「；時,--1--=一

尤y2

當(dāng)>=；時，同②，0=1512,6=378,c=168,

當(dāng)—=:時，—,a=672,b=672,c=168,

）4x4

綜上所述，"三元數(shù)組"共有3個.

故答案為：3.

17.（23-24七年級下?湖北荊州?期中）先觀察下列等式，再回答問題：第一個等式

i+5+!=i+；-；=K；第二個等式Ji+!+!=i+；-9=W；第三個等式

12122V2323o

⑴根據(jù)上述三個等式提供的信息，請你猜想第五個等式；

（2）請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出第〃個等式（〃為正整數(shù)）；

⑶對于任何實(shí)數(shù)。，同表示不超過a的最大整數(shù)，如［3］=3,［括］=2,計算:

Ji+"+Ji+"+Ji+/1++居焉］總的值?

【答案】⑴>+=4

、L~i1-,11,1

2)J1+—+7=1+=1+

Yn~(n+1)nn+1n(n+1)

⑶2023

【分析】本題考查了與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索，正確找到題中的規(guī)律是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題中所給信息可判結(jié)果；

（2）根據(jù)第一問的結(jié)果用字母代替數(shù)字即可；

（3）根據(jù)規(guī)律將原式進(jìn)行正確變形求解；

【詳解】（1）國第一個等式Ji+，+±=i+LLiL

VI222122

第二個等式Jl+2+2=l+2-2

V2232236

第三個等式?+4+3=1+工-4=11;

V32423412

故根據(jù)規(guī)律可猜測第五個等式為Jl+言+如=1+|-1=1^；

V5o5o30

（2）根據(jù)（1）總結(jié)規(guī)律可得：第W個等式為++J――1=1+—^

yn（n+1）nn+1n（n+1）

（3）根據(jù)規(guī)律可化簡+>+J1+/+烹

1

2023x2024

1111

(1x2023)+----+-----+-----++

1x22x33x42023x2024

1111111

=2023+1—I——I——+

2233420232024

1

2023+1-

2024

2023

2023

2024

=2023.

18.（23-24七年級下?安徽蕪湖?期中）（1）填表并觀察規(guī)律:

a0.00640.64646400

y[a—

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

①已知,33.64=5.8,則J33640000=

②已知J12.25=35,C=0.035，貝!]尤=

（3）從以上問題的解決過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡要說明.

【答案】（1）0.08,0.8,8,80；（2）①5800；00.001225；（3）求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴(kuò)

大100倍或縮小為原來的上，則它的算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍或縮小為原來的］

【分析】本題考查算術(shù)平方根中的規(guī)律探究:

（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義，填表即可；

（2）根據(jù)表格可知：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴(kuò)大100倍或縮小為原來的$丘，則它的算術(shù)平

方根擴(kuò)大10倍或縮小為原來的',進(jìn)行求解即可；

（3）根據(jù)表格可知：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴(kuò)大100倍或縮小為原來的$丘，則它的算術(shù)平

方根擴(kuò)大10倍或縮小為原來的：，作答即可.

【詳解】解：（1）填表如下：

a0.00640.64646400

yfa0.080.8880

（2）?733.64=5.8,貝1：733640000-5800；

故答案為:5800；

②已知J12.25=3.5,?=0.035,貝l]x=0.001225；

故答案為：0.001225；

(3)由表格可知：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴(kuò)大100倍或縮小為原來的擊，則它的算術(shù)平方

根擴(kuò)大10倍或縮小為原來的2.

19.(22-23七年級下?河南濮陽,期中)觀察下列算式的特征及運(yùn)算結(jié)果，探索規(guī)律：

Jlx3+1=4=2,

<2x4+1=79=3,

J3x5+1=716=4,

74x6+1=V25=5.

⑴觀察算式規(guī)律，計算J5x7+1=,726x28+1=,

⑵用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示上述算式的規(guī)律一，

⑶計算：J3x5+1-J5x7+1+J7x9+1-J9xll+1+--2021x2023+1.

【答案】(1)6,27

(2)“("+2)+1="+1(“21)或++1=n{n>2)

(3)-1010

【分析】(1)利用二次根式的運(yùn)算法則和算式規(guī)律進(jìn)行計算即可；

(2)根據(jù)原題的算式寫出規(guī)律即可；

(3)利用(2)中找到的規(guī)律化簡每個算式，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【詳解】(1)解：,5x7+1=癡=6,726x28+1=7729=27,

故答案為：6,27；

(2)由題意得到“("+2)+1=〃+1(HN1)或++l=?(?>2)；

(3):3x5+1-J5x7+1+J7x9+1-J9xl1+1+-72021x2023+1

=4—6+8—10+…―2022

=(4-6)+(8-10)+-+(2020-2022)

=-2x505

=-1010；

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的運(yùn)算，讀懂題意，熟練應(yīng)用二次根式的運(yùn)算法則，找到規(guī)律是解題的關(guān)

鍵.

20.（22-23七年級下?遼寧大連?期中）問題情境：

數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一組題，閱讀下列解題過程，探求規(guī)律:

實(shí)踐探究：

⑴按照此規(guī)律，計算：=______；

V64

⑵計算：

遷移應(yīng)用：

⑶若J1+等=無符合上述規(guī)律,請直接寫出尤的值.

Vn

9

【答案】⑴石

O

【分析】（1）根據(jù)題中所給方法可進(jìn)行求解;

（2）利用題中所給規(guī)律可進(jìn)行求解;

（3）由題中所給規(guī)律可進(jìn)行求解.

Q

故答案為三；

O

（2）解：由題意得:

膘=后=舟］

n2n

+2023n+1

n2n

團(tuán)(〃2+2。23="+1，

解得：n=1011,

【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根的規(guī)律問題，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵.

21.(22-23七年級下?安徽合肥?期中)找規(guī)律并解決問題

⑴填寫下表.

a0.00010.01110010000

y/a

—0.1110

想一想：上表中已知數(shù)。的小數(shù)點(diǎn)的移動與它的算術(shù)平方根夜的小數(shù)點(diǎn)移動之間的規(guī)律為：已知數(shù)。的小

數(shù)點(diǎn)每移動________位，它的算術(shù)平方根&的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)移動________位；

(2)已知=左，Vol?=a,J1500=6,用上的代數(shù)式分別表示“，b.

(3)如果?=0.01占，求x的值.

【答案】(1)0.01,100,兩，一；

(2)a=0.1fc,b=101；

(3)x=0.0007

【分析】（1）先補(bǔ)全表格信息，再根據(jù)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)以及對應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律進(jìn)行分

析，即可得到答案；

（2）被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左平移兩位，對應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左移動一位，即縮小10倍；被開方

數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右平移兩位，對應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，即擴(kuò)大10倍;

（3）算術(shù)平方根擴(kuò)大100倍，被開方數(shù)應(yīng)擴(kuò)大10000倍，據(jù)此即可得到答案.

【詳解】（1）解：表格如下:

a0.00010.01110010000

y[a0.010.1110100

由圖表可知，規(guī)律為：。的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移動兩位，后的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移動一位,

故答案為：0.01,100,兩，一；

(2)解：y/15=k,40A5=a,J1500=0,

..ci—

b=V1500=715x100=10厲=10左；

(3)解：.6=0.01幣,

...6=近=-=J0.0007

looA/IOOOO

x=0.0007.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)以及對應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律是

解題關(guān)鍵.

22.（22-23七年級下?湖北鄂州?期中）觀察下列一組算式的特征，并探索規(guī)律：

①1=1=1；

②G+23=1+2=3；

③713+23+33=1+2+3=6；

④Vl3+23+33+43=1+2+3+4=10-

根據(jù)以上算式的規(guī)律，解答下列問題：

(1)13+23+33+43+53=()2=；

⑵V13+23+33+--+(?-1)3+Z73=；(用含〃的代數(shù)式表示)

(3)>/13+23+33+---+993+1003=；

⑷簡便計算:113+123+133+-+193+203.

【答案】⑴15,225

(2)巾+1)

2

(3)5050

(4)41075

【分析】(1)根據(jù)代數(shù)式所呈現(xiàn)的規(guī)律可得答案；

(2)根據(jù)規(guī)律得出+23+33+.?.+(〃-1)3+〃3=1+2+3+?“+(〃一1)+〃,再利用求和公式求出結(jié)果即

可；

(3)根據(jù)(2)中得出的結(jié)論計算即可得到答案；

(4)將原式化為(1)中的形式，利用簡便方法求出結(jié)果即可.

【詳解】⑴解：713+23+33+43+53=1+2+3+4+5=15>

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152=225,

故答案為：15,225；

(2)解：由(1)可得：

Jr+23+33+…+5-1)3+〃3=1+2+3+…+僅一1)+〃=”(丁),

上心中生、,n(n+I)

故答案為：

(3)解：JF+23+33+…+993+10()3=1+2+3+…+99+100=10°\00°+1)=5050,

2

故答案為：5050；

(4)解：原式=(「+23+33+…+193+203)-("+23+33+…+爐+1。3)

二(#+23+---+203)2-(713+23+---+103)2

=(1+2+…+20>-(1+2+…+10)2

(21x20?<11x10?

=2102-552

=41075.

【點(diǎn)睛】本題考查與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索，列代數(shù)式，熟練理解算術(shù)平方根的意義，找出題目中所

呈現(xiàn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

題型三：平方根（易錯）

23.（23-24七年級下?貴州安順?期中）下列各數(shù)中，沒有平方根的是（）

A.2B.0C.-5D.|-2|

【答案】C

【分析】本題考查了平方根概念的理解，根據(jù)"任何數(shù)的平方都不能為負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒有平方根"即可得

到答案.

【詳解】解：回負(fù)數(shù)沒有平方根，|-2|=2,

團(tuán)-5沒有平方根，

故選：C.

24.（24-25七年級上?浙江寧波?期中）若a,6互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，e是9的平方根，則

（4+6）3+2cd-e的值為（）

A.-1B.-2C.5或一1D.4或一2

【答案】C

【分析】本題考查了相反數(shù)和倒數(shù)的性質(zhì)，以及求一個數(shù)的平方根，互為相反數(shù)的兩數(shù)和為零，互為倒數(shù)

的兩數(shù)積為1，9的平方根是±3,據(jù)此即可求解.

【詳解】解：由題意得a+b=0,cd=Le=±3；

當(dāng)e=-3時，（。+城+24-6=0+2+3=5；

當(dāng)e=3時，（。+6）3+24—e=0+2-3=-1；

故選：C

25.（24-25七年級上?浙江杭州?期中）何的算術(shù)平方根是______；」的平方根是______.

16

【答案】3￡

【分析】此題主要考查了算術(shù)平方根，平方根，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.直接利用算術(shù)平方根和平

方根的定義得出答案.

【詳解】解：如=9的算術(shù)平方根是3,

1的平方根是土;,

164

故答案為：3；±Y.

4

26.(22-23七年級下,河南省直轄縣級單位?期中)已知-2X*2,2與3x4/”+，，是同類項(xiàng)，則機(jī)一3〃的平方根

是.

【答案】±6

【分析】本題考查了同類項(xiàng)、平方根的概念，根據(jù)同類項(xiàng)的概念即可求出山與〃的值，從而可求出答案.

【詳解】解：由題意可知：，"-2=4,2=2m+“，

回加=6,〃=一10,

回w?-3〃=6+30=36,

036的平方根為±6,

團(tuán)加-3〃的平方根是±6.

故答案為：±6.

27.(24-25七年級下,全國?期中)解下列方程：

(1)3(X-2)2=27；⑵2(1)2+16=0.

【答案】⑴%=5,x2=-l

⑵原方程無解

【分析】本題考查了利用平方根解方程，能熟練利用平方根的定義解方程是解題的關(guān)鍵.

(1)將方程化為(》-2)2=9,由平方根的定義，即可求解；

(2)將方程化為(X-1)2=-8,由平方根的性質(zhì)，即可求解；

【詳解】⑴解：(X-2)2=9,

.'.X—2—+3,

..王—5,x2——1?

(2)解:2(X-1)2=-16,

(x—I)2=—8,

?.負(fù)數(shù)沒有平方根，

原方程無解.

28.(22-23七年級下?陜西安康?期中)一個正數(shù)x的兩個不同的平方根分別是2〃-3和5-a.

⑴求。和x的值.

⑵求x+12a的平方根.

【答案】（1）。=-2,x=49

⑵±5

【分析】本題考查平方根定義與性質(zhì)、相反數(shù)性質(zhì)，熟記平方根定義與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平方根性質(zhì)，一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，列方程求解即可得到答案；

（2）由（1）中。=-2,x=49,代入x+12a,利用平方根定義求解即可得到答案.

【詳解】（1）解:國一個正數(shù)x的兩個不同的平方根分別是2a-3和5-%

回（2。-3）+（5-a）=0,解得。=-2,

回工=（2。-3丫=49；

（2）解：將x=49,a=—2代入x+12a中，

得x+12a=49-12x2=25,

025的平方根為±5,

I3x+12a的平方根為±5.

29.（23-24七年級下?河南新鄉(xiāng)?期中）已知Jl-3b與0^77互為相反數(shù)，求-36+2a+6的平方根.

【答案】±2

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，平方根以及相反數(shù)，解一元一次方程，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.由題意得1-3。=0,2。+1=0,求出。、6值，即可求解.

【詳解】解：ElJl-3bN0,反飛20,

則當(dāng)J1-3。與0K互為相反數(shù)時，

只能是l—36=0,2a+l=0,

解得：a=-pZ?=1,

0-3b+2a+6=-3xg+2x1-；j+6=4,

團(tuán)其平方根為±2.

題型四：立方根（易錯）

a3x

30.（23-24七年級下?北京?期中）已知x2=64,（y-l）+3=--,且彳＜兀則］的平方根為.

【答案】±4

【分析】本題考查了求一個數(shù)的立方根，平方根，先由d=64,（y-l）+3=-，分別得x=±8,y=--,

o2

Y

結(jié)合x<y,得x=—8,則一=16,即可作答.

y

【詳解】解：團(tuán)無2=64,

回％=±8,

0(y-i)3+3=_|?

O

Ei(y-i)3=-，

O

13

團(tuán)y-I=——，

i

團(tuán)>=一］，

團(tuán)九,

團(tuán)x=—8,

x-8,

—=--=16

團(tuán)y1,

~2

團(tuán)16的平方根是±4,

故答案為：±4.

31.（23-24七年級下?吉林?期中）求x的值：8（A-1）3=125

【答案】x=；7

【分析】本題主要考查了求立方根的方法解方程，先把方程兩邊同時除以8,再把方程兩邊同時開立方，

進(jìn)而解方程即可.

【詳解】解：08（X-1）3=125,

回（1節(jié)，

,5

團(tuán)X—1=一,

2

7

Sx=—.

2

32.（24-25七年級上?浙江嘉興?期中）已知“與》互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，尤是27的立方根，求

3a+36-cd+X?的值.

【答案】8

【分析】本題考查代數(shù)式求值，相反數(shù)，倒數(shù)，立方根，結(jié)合已知條件求得a+6=0,cd=l,x=3是解

題的關(guān)鍵.

根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，倒數(shù)的定義可分別求得。+》=0,cd=l,再由X是27的立方根求得x=3,將原式變

形后代入數(shù)值計算即可.

【詳解】解：。與6互為相反數(shù)，。與d互為倒數(shù)，x是27的立方根，

..〃+Z?=0,cd—1,x—3,

3a+3b—cd+x2=3（a+b）-cd+x?=3x0—1+32=8.

33.（23-24七年級下?廣西梧州?期中）已知某正數(shù)的兩個平方根分別是1-2a和。+4,4a+26-1的立方根

是3,c是最大的負(fù)整數(shù).

⑴求/+揚(yáng)+%的值；

（2）若A=6皿（a>0）是。的算術(shù)平方根，8=4飛回不是。-5的立方根，求A+3的平方根.

【答案]⑴26

（2）±2

【分析】本題主要考查平方根，算術(shù)平方根以及立方根的概念熟練掌握平方根的性質(zhì)算術(shù)平方根的性質(zhì)以

及立方根的概念是解題的關(guān)鍵；

（1）由正數(shù)的兩個平方根分別是1-2°和。+4,可求得。的值，由4a+26-l的立方根是3,可以求得6的

值，由c是最大的負(fù)整數(shù)，可求得c的值，即可求得〃+揚(yáng)+我的值；

（2）根據(jù)算術(shù)平方根的概念即可求得。的值，從而求得A的值，根據(jù)立方根的概念可求得6的值，從而求

得B的值，即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）解：團(tuán)某正數(shù)的兩個平方根分別是1-2。和。+4,

[3（1—2。）+（a+4）=0,

回4=5,

又團(tuán)4a+2b—1的立方根是3,

團(tuán)4a+2Z?—1=33=27,

財=4,

又配是最大的負(fù)整數(shù)，

回。二一1,

a2+V&+Vc=52+74+^4=25+2-1=26;

[6—a=2

（2）解：根據(jù)題意，得，,.

回4=6必="=2,B=4a-^b^5=^/13-5=^8=2,

ElA+B=2+2=4,

04的平方根是±2.

34.(23-24七年級下?廣西柳州?期中)閱讀理解，觀察下列式子:

①肉港=2+(-2)=0；

②yjl+y/—i=1+(—1)=0;

(3)WX)0+A/-1000=10+(-10)=0;

根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問題：

⑴根據(jù)以上式子的規(guī)律，寫出一個類似的等式：.

（2）由等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個這樣的真命題：對于任意兩個有理數(shù)。，b,若

,則W+蠣=0；反之也成立.

⑶根據(jù)上述的真命題，解答問題：若拜方與而？的值互為相反數(shù)，求x的值.

【答案】（1）癇+始幣=4+（T）=0（答案不唯一）

（2）a-hb=0

⑶8

【分析】本題考查了立方根的應(yīng)用，解一元一次方程，觀察并總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）觀察規(guī)律，寫出一個類似的等式即可；

（2）用含。、。的式子表達(dá)規(guī)律即可得答案；

（3）根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程求出x的值即可.

【詳解】（1）解：觀察規(guī)律可寫出類似的等式，如癇+冷石=4+（-4）=0,

故答案為：陀+亞幣=4+（T）=0（答案不唯一）.

（2）解：由規(guī)律可得：對于任意兩個有理數(shù)。、b,若。+8=0,則姐+四二。,

故答案為：a+b=O.

（3）解：若花云與行行的值互為相反數(shù)，貝U（3—2x）+（x+5）=。,

解得：x=8.

35.（22-23七年級下?廣西欽州,期中）數(shù)學(xué)探究活動.

自主探究：完成表格內(nèi)容.

V0.0625A/0.6257^2576Z5A/62576250V62500

0.79067.906250

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：由上表你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用語言敘述這個規(guī)律：;

應(yīng)用遷移：

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：已知Vi屈。1.3,則,V16900?；

拓展延伸：^3?1.442,則屬3000a,我.003「.

【答案】自主探究：0.25,2.5,25,79.06,被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)（向左或者右）每移動兩位，其算術(shù)平

方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)的向相同方向移動一位；

應(yīng)用遷移：13,130；

拓展延伸：14.42,0.1442

【分析】（1）自主探究：根據(jù)表格規(guī)律即可求解；

（2）應(yīng)用遷移：根據(jù)表格規(guī)律即可求解；

（3）拓展延伸：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)（向左或者右）每移動三位，其立方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)的向相同方向移

動一位即可；

本題考查了算術(shù)平方根，立方根和被開方數(shù)間關(guān)系，根據(jù)表格得到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律確定結(jié)果是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：自主探究：根據(jù)表格規(guī)律可知，V0.0625=0.25,A/625=2.5,相？=25,^6250~79.06,

由表格可以發(fā)現(xiàn)：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)（向左或者右）每移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)的向相同方

向移動一位，

故答案為：0.25,2.5,25,79.06,被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)（向左或者右）每移動兩位，其算術(shù)平方根的小

數(shù)點(diǎn)相應(yīng)的向相同方向移動一位；

應(yīng)用遷移：A/169?13,716900-130,

故答案為：13,130；

拓展延伸：^/3000?14.42,V0.003?0.1442,

故答案為：14.42,0.1442.

36.(22-23七年級下?山東臨沂?期中)據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰

座的乘客閱讀的雜志上有道智力題：一個數(shù)是59319,希望求它的立方根，華羅庚脫口而出：39.鄰座的

乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙.你知道華羅庚是怎樣迅速準(zhǔn)確地計算出來的嗎？請按照下面的問題試一

試：

⑴由103=1000,10()3=1000000,你是怎樣確定為9319是幾位數(shù)的?

(2)由59319的個位上的數(shù)是9,你是怎樣確定病殺的個位上的數(shù)是幾的？

⑶如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,而33=27,43=64,由此你又是怎樣確定注59319的十位上

的數(shù)是幾的？

⑷已知6859,19683,U0592都是整數(shù)的立方，按照上述方法，請你確定它們的立方根(直接寫出結(jié)

果).

【答案】(1)59319的立方根為兩位數(shù)

(2)個位數(shù)字為9,見解析

⑶十位上的數(shù)字為3,見解析

(4)19,27,48

【分析】本題主要考查了立方根以及數(shù)的立方，理解一個數(shù)的立方的個位上的數(shù)就是這個數(shù)的個位上的數(shù)

的立方的個位上的數(shù)是解題的關(guān)鍵.

(1)103=1000,1003=1000000,5.1000<59319<1000000,得出10<459319<100,即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)1到9的立方個位數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律，即可得出結(jié)論

(3)根據(jù)33=27,43=64,且3〈病<4,即可得出結(jié)論；

(4)先用(1)的方法確定(6859是兩位數(shù),再用(2)的方法確定(6859個位數(shù)字為9,再用(3)的方

法確定6859十位數(shù)字為1,則46859=19;同理可得：為9683=27；1^/110592=48.

【詳解】(1)解：回IO,=1000,10()3=1000000,>1000<59319<1000000,

010<^59319<100,

059319的立方根為兩位數(shù)；

(2)解：013=1，23=8,33=27,4^=64,53=125,63=216,73=343,83-512,9^=729，根據(jù)

個位數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律，

由59319的個位上的數(shù)是9,因此J59319的個位數(shù)字為9；

（3）解：劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,

033=27,43=64,

回3c病<4,

回々59319的十位上的數(shù)字為3；

（4）解：0103=1000,1003=1000000,5.1000<6859<1000000,

國々6859是兩位數(shù),

06859個位數(shù)字為9,

046859個位數(shù)字為9

013=1,23=8,且1<6<8,

06859十位數(shù)字為1,

回々6859=19;

同理可得：%9683=27；1^110592=48.

題型五：實(shí)數(shù)（高頻）

37.（23-24七年級下?北京?期中）在實(shí)數(shù)3.1415,亍，下,血中，無理數(shù)是（）

23

A.3.1415B.yC.6D.7?

【答案】C

【分析】本題考查無理數(shù)，根據(jù)無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、3.1415是有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、三23是有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、石是無理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

D、?=2是有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.