第05講三角形一邊的平行線（第2課時）（十一大題型）

01學習目標

學習目標

1、掌握三角形一邊的平行線的性質中間比代換;

2、學會構造平行的七種技巧；

3、掌握重心的概念及性質。

02思維導圖

「1.三角形的重心

L2.三角形的重心的性質

知識點

J3三角形一邊的平行線六種解題技巧

I4.構造平行

知識清單

一、知識引入（三角形的重心及性質）

例題已知：如圖24-19,BE、CF是AABC的中線，交于點G求正:

一、知識引入（三角形的重心及性質）

例題已知：如圖24-19,BE、CF是AABC的中線，交于點G.求正：:Gt

圖24-19

分析要證明::二’只要證明EF//BC.根據(jù)已知條件，可知EF是△ABC的中位線，由此可

推出所要證明質結論：

證明聯(lián)結EF.

由BE、CF是AABC的中線，可知EF是△ABC的中位線.

?：EF//BC;IIIIC,即；1'

rf>1C.

丁EF//BC,

FF

:.(ll{J(三角形一邊的平行線性質定理的推論).?

.(,E(.F]

"(.H(.(2,

在圖24-19中，如果△ABC的另一條中線AD與BE相交于點G：如圖24-20所示，那么這個交點G，

與交點G是否同一個點？

圖24-20

通過聯(lián)結DE,運用例題的證明方法，可得‘「1因為點G，與點G同在中線BE

GB(JA2

上J'l?J''」，所以點G與點G是同一點.這就是說，三角形的三條中線交于一點.

(*f>JIf<>_

二、三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.

(1)重心的性質：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的二倍.

(2)重心的畫法：兩條中線的交點.

三、三角形一邊的平行線的六種解題技巧：

①中間比代換法證比例式；②等積代換法證比例式；③等比代換法證比例中項；

④平行法證比例式；⑤等比過渡法證線段相等；同分母的中間比代換法。

四、構造平行

①連接兩點構造平行；②作三角形一邊的平行線；③截長補短法；④構造平行四邊形....

【即學即練1】如圖，在VA3C中，。是BC的中點，點G是VABC的重心.AD=6,貝|AG=

【分析】根據(jù)重心的性質，進行求解即可.

【解析】解：SD是BC的中點，點G是VABC的重心，

AGc

團---=2,

GD

2

團AG=-AD=4；

3

故答案為：4.

【點睛】本題考查重心的性質，熟練掌握重心到頂點的距離是中心到對邊中點距離的2倍，是解題的關鍵.

【即學即練2】如圖，在RtAABC中，/C=90。，點G是VABC的重心，如果AC=JTT，AG=4,那么

AB=?

【答案】VTTi

【分析】本題考查了重心的定義與性質，結合勾股定理，關鍵是掌握重心性質并運用勾股定理列式求解是

解題關鍵.本題先利用重心求出AD,再利用勾股定理列式整體法求出CO,進而得到2C,最后利用勾股

定理即可求出

【解析】解：.,點G是VABC的重心，AG=4,

3

，Ar>=/AG=6,點。為BC的中點，

AC=A/TT,NC=90。，

:.CD=yjAD2-AC2=5-

:.BC=2CD=10,

：.AB=VAC2+BC2=VTTT，

故答案為：y/lU.

【即學即練3】如圖，DE0BC,DF0AC,則下列比例式中正確的是（）

A

c4石CF

A.B.=

ECBCECFB

cFCEC

C三二”D.=

?BCACBCAC

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線所截線段成比例直接判斷即可.

【解析】如圖:DE//BC,DF//AC

?AE_AD_CF

'EC~BD~FB

，只有B選項符合，A、C、D都錯誤.

故選B.

【點睛】本題主要考查平行線所截線段成比例，關鍵是根據(jù)題意及結合圖形得到相應線段成比例即可.

【即學即練4】如圖，在ZL4BC中，點點E為邊A3的三等分點，EF//DG//AC,AF與DG交于點、H,

PHBFAHEF

~EF~1BGHF-PG

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的定理去求出各個線段的比例關系，選出正確選項.

【解析】解：A選項錯誤，

回點D、點E是AB的三等分點,

AD11

團——=_=l,

DEI

回HG//AC,

HGFH

團----=-----

ACFA

⑦DH//EF,

FHED1

0---二-----

FAEA2

ADHG

貝nUi——?！?/p>

DEAC

B選項錯誤，無法證明;

C選項正確,

⑦DH//EF,

DHAD1

團——=

EF^E~2"

0EFIIDG,

BFBE1

回一=

BGBD2

BF

W—=

EFBG

D選項錯誤,

QDHIIEF,

AHADI

團——=-=11

HFDE1?

0EFI/DG,

EFBE1

團---=---=一,

DGBD2

AHEF

團---w----.

HFDG

故選：C.

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練運用這個定理求出線段的比例關系.

【即學即練5】如圖，點。、E分別在媯3C的邊A3、AC上，若ADBD=2：1,點G在。E上，DG：GE=1：

2,連接5G并延長交AC于點尸，則AF：所等于（

A

A.1：1B.4：3C.3：2D.2：3

【答案】C

【分析】如圖，作0H03月交AC于”.利用平行線分線段成比例定理即可解答.

【解析】如圖，作。加3月交AC于

團?！?8尸，

IMH：HF=AD：DB=2：1,

團可以假設印三。，則

0FG0DH,

回FH：EF=DG：EG=1：2,

^\EF=2a,

^\AF=3a,

她尸：EF=3a：2a=3：2.

故選：C.

【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是利用平行線分線段成比例定理將兩條線段

的比轉化為其余已知線段的比.

04題型精講

k——

題型1：在梯子型中構造平行

【典例1].如圖，已知ADIIBEUCF,它們依次交直線乙、&于點A、B、C和點。、E、F.

(1)如果AB=6,BC=8,DF=21,求DE的長；

(2)如果尸=2:5,AD=9,CF=14,求3E的長.

44

1_V_

【解析】解：(I)AD//BE//CFf

.DEAB

DFAC

AB=6,BC=8,DF=21,

?DE6

■-^r-6+8?

:.DE=9.

(2)過點。作。G//AC,交BE于點、H,交CF于點G,

則CG=B//=AD=9,

7.G尸=14—9=5,

HE//GF,

HEDE

標一面'

DE:DF=2:5,GF=5,

HE_2

----——，

55

HE=2,

BE=9+2=11.

【點評】本題考查平行線分線段成比例的知識，綜合性較強，關鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線

段成比例.

題型2：連接兩點構造平行

【典例2].如圖，點。、石分別在AABC的邊AB、AC上，若AD:BD=2:1,點G在DE上，DG:GE=1:2,

連接3G并延長交AC于點尸，則等于（)

4:3C.3:2D.2:3

【解析】解：如圖，作。H//5/交AC于”.

BC

DH//BF,

AH:HF=AD:DB=2:1,

.??可以假設=則AH=2Q,

FG//DHf

:.FH:EF=DG:EG=1:2,

EF-2a,

/.AF=3a,

/.AF:EF=3a:2。=3:2,

故選：C.

【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解

決問題，屬于中考?？碱}型.

題型3：作三角形一邊的平行線

【典例3】.如圖，已知點尸在AB上，且AF:跳'=1:2,點。是延長線上一點，BC:CD=2:L連接FD與

【解析】解：過點、F作FE//BD,交AC于點石,

.EFAF

法一瓦’

AF:BF=1:2,

AF_1

..---=一，

AB3

FE_1

..=一,

BC3

^FE=-BC,

3

BC:CD=2:1,

:.CD=-BC,

2

FEI/BD,

1BC

FNFE32

即WV:ND=2:3.

AF:BF=1:2,6C:CD=2:1,

.BFBC_2

AB~BD~31

ZB=ZB，

:.NBCFs2DA,

?FCBC2

ZBCF=ZBDA

AD~BD~39

:.FC/1AD,

:.NCNFs^ND,

?FNCF2

"ND~AD~3?

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，注意：平行線分的線段對應成比例，此題具有一定的代表

性，但是一定比較容易出錯的題目.

題型4：截長補短法

【典例4】?如圖，點。是等腰RtAABC的斜邊上的一點，AB=3BD,AF上CD于點F交BC于點E.

(1)求證：石是3C的中點；

(2)求AF:CF的值；

(3)求。b：CF的值.

ZACB=90°,

..AC//BP,

BPAD

…AC-BD'

AB=3BD,

:.AD=2BD,

:.AC=2BP,

而AC=5C,

:.BC=2BP,

AFVCD,

ZCAF+ZACF=90°,

而NACF+NECF=90。，

:.ZCAF=ZECF,

在AACE和八色。中，

/ACE=ZCBP

<AC=CB,

NCAE=ZBCP

:2CE=ACBP,

:.CE=BP,

:.BC=2CE,

是的中點；

(2)解：NCAF=ZECF,

/.RtAACF^ACEF,

.A。

"~CF~~CE"

而6C=AC=2CE,

(3)解：作DHIIAE交BC千H,如圖2,

?BHBD_1

BE~BA~3f

:.EH=-BE

3f

EFIIDH,

—BF

DFEH32

~CF~~CE~CE-3

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.推論：平行于

三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.也考查了三角形全等的判定與性質.

題型5：作三角形的中位線

【典例5】?如圖，在AABC中，E,尸是邊5C上的兩個三等分點，。是AC的中點，分別交AE,AF,AC

于P,Q,D,求3尸:PQ:QD.

【解析】解：過D作DG//BC,交AE■于G,AH于H,

。為AC中點，

.?.￡)〃是AA尸。的中位線，

:.DH=-CFCF=2DH,

2f

BE=EF=CF,

:.BF=2CF=4DH,

DG//BC,

.DQDH\

"QB-BF-4'

.?.QB=4DQ,

DG是AAEC的中位線，

:.DG=-CE=EF=BE,

2

DG//BC,

:.BP=PD,

PQ=1.5DQ,BP=25DQ,

..BP:PQ:QD=5:3:2.

A

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關

鍵.

【典例6].如圖，A4BC中，。,后是3c邊上的點，且5D:DE:EC=3:2:1,P是AC邊上的點，且

AP:PC=2:1,BP分別交AD,AE于M,N,則：肱V:NP等于（）

A.3:2:lB.5:3:1C.25;12:5D.51:24:10

【解析】交AE于點F?,

BD:DE:EC^3:2:1

^HECaJUbD?3a,DE?2a

同理.idAT,AJM4P-都.

,.PF//BC.

PFAP242NPPF

’而.而.記"S'而?萬E

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關

鍵.

題型6：構造平行四邊形

【典例7].如圖，AB//CD.AD//CE,F、G分別是AC和￡D的中點，過G的直線依次交AB、AD.CD、

CE于點A/、N、P、Q,

求證：MN+PQ=2PN.

5

【解析】證明：延長班、EC,設交點為O,則四邊形QMC為平行四邊形,

尸是AC的中點，

且空」

.二。廠的延長線必過。點,

OG3

AB//CD,

MNAN

PNDN

AD//CE,

.PQ=CQ

"PN~DN'

.MNPQANCQAN+CQ

,PNPN~DNDNDN

DNDG1

~OQ~~OG~39

OQ=3DN.

.\CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD,AN=AD-DN.

:.AN+CQ=2DN.

MN?PQAN+CQ

PNPN~DN~

即肱V+PQ=2PN.

【點評】綜合運用了平行四邊形的性質和平行線分線段成比例定理.

【典例8].已知如圖，點。是AABC邊5。上一點，且瓦＞。。=2:3,過點。任作一條直線與AB、AD分別交

AE5AF

于點尸和石，求證:

3BF

BDC

【解析】證明：過。點分別作DG//AB,DH//FC,

得到四邊形DGFH是平行四邊形，

:.DG=HF,

DG//BF,

（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應線段成比例）

BFBC

BD_2

而一“

.,.-C-D=一3,

BC5

DG3

..---=—,

BF5

設DG=3a,貝UFH=Z）G=3a,BF=5a,BH=2a,

3

:.FH=—BF,

5

DG//AF,

A17AF

—（如果一條直線截三角形的兩邊的延長線，所得的對應線段成比例）,

EDDG

DG=FH,

AE_AF

一而一而’

3

FH=—BF,

5

AEAF5AF

"ED~33BF'

—Dr

5

AE5AF

Hn即——=----

【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例；平行于三角形一邊

的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例；如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長

線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

題型7：其他輔助線作法

【典例9].如圖，在A4BC中，A尸=25產(chǎn)，CE=3A￡,CD=45D.連接Cb交OE于P點，求EP.DP

的值.

D

【解析】解：如圖，連接防、。尸,

AF=2BF,CE=3AE,CD=4BD,

CE_3CD4AF_2BF_1

AC-4'BC-5'~AB~3,AB-3

332

-X

FPq+qq~T^AACF7T,^AABCI1<J

_°ACPE+?AFPE_%CEF_4_43_

DPSACPD+SAFPDS&CDF-5dxS8

50ABCF5入30AABC

【點評】本題主要考查比例線段的基本性質，根據(jù)共高兩三角形的底邊之比等于面積比將線段

的比轉化為面積的比是解題的關鍵.

【典例101.已知：如圖，ABA.BD,CD1,BD,垂足分別為3、D,4）和BC相交于點E,EF1BD,垂

足為F,我們可以證明一二+—二=一成立（不要求考生證明）.

ABCDEF

若將圖中的垂線改為斜交，如圖，AB//CD,AD,BC相交于點E,過點E作EF//AB交BD于點尸,貝1：

（1）—二+―二=—二還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

ABCDEF

（2）請找出5慚，心泡，和間的關系式，并給出證明.

【解析】（1）成立.

證明：AB!/EF

EFDF

AB~DB

CD//EF

EFBF

CD~DB

EFEFDFBFDB1

ABCD~DBDB~DB~

111

----1----=----；

ABCDEF

111

（2）關系式為:------1=------

SMBD^ABDC----S郎ED

證明如下：分別過A作于M,過E作ENLBD于N,過C作CK_L5。交皮）的延長線于

K

111

由題設可得:-----1----=----

AMCKEN

222

??I—

BD.AMBD.CKBD.EN

0n111

即1+1-1

■BD.AM—.BD.CKBD.EN

222

又\LBD.AM=SMBD，g.BD.CK=S,

-'BD-EN=S.ED

【點評】此題考查平行線分線段成比例定理的運用.

題型8：三角形一邊的平行線一中間比代換

【典例111如圖，DEHBC,EF//AB,則下列式子中成立的是

ADBFABDEEFACAD_BF

-----=------B-----=------C------------D.

DBECBCAC?ABCEPB-FC

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質，即可解答.

【解析】DEHBC

,ADAE

"DB~EC

EF//AB

BFAE

'~FC~~EC

ADBF

'~DB~~FC

故選：D.

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質，解題關鍵是熟練運用這個性質得到線段的比例關系.

【典例12].如圖，在中，點。在邊5C上，點G在線段A0上，GE^BD,且交A8于點區(qū)GF^AC,

且交于點R則下列結論一定正確的是（）

A

AEDFEGFGcAEAD

C.=

~EB~~FCBDAC；D?kw

【答案】A

【分析】抓住已知條件：GE^BD,Gm4c利用平行線分線段成比例以及中間比代換，對各選項一一判斷

即可求解.

Ad

【解析】BIG況8D,回一=一

ABAD

CFAG

團G/HMC,團----=----

CDAD

AECF

回一=為，A選項正確；

AB

AEAG

⑦G斑BD,回---=----

EBGD

AGCF

BGF^AC,回----=----

GDFD

AECF

團一=~，B選項錯誤；

EBFD

EGAG

回G琬BD,團---------

BDAD

GFDG

HGfWAC,團----------

ACAD

EG*空，c選項錯誤；

0—

BDAC

AEAB上-l

國G￡03￡),回。=不，D選項錯誤;

AGAD

故選：A

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，靈活運用中間比是解題的關鍵.

【典例13].如圖，在AABC中，MN//BC,DN//MC,下列結論正確的是（）

A

D

AMAMADDNAMANDNMN

A.C.D.

NCABDMMCMBACMCBC

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質，即可解答.

【解析】MN//BC

ANMN

ACBC

DN//MC

ANDN

AC~MC

DNMN

MCBC

故選：D.

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質，解題關鍵是熟練運用這個性質得到線段的比例關系.

【典例14].如圖，在AABC中，點。，點E為邊A3的三等分點,EF//DG//AC,AF與OG交于點H,則

下列比例式正確的是（）

ADHGBFFGDHBFAHEF

A.B.C.D.

DEACBEFHEFBGHFDG

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的定理去求出各個線段的比例關系，選出正確選項.

【解析】解：A選項錯誤,

團點D、點E是AB的三等分點,

AD11

團——=-=l

DEIf

mHG//AC,

HGFH

回——=

AC~FA

^DHUEF,

FHED1

團--------二---------

FAEA2

ADHG

則nrI

DEAC

B選項錯誤，無法證明;

C選項正確,

@DH/IEF,

DHAD1

團——=

EF~AE~2"

0EF/IDG,

BFBE1

團一=

BGBD2

DHBF

Wnl—=

EFBG

D選項錯誤,

^DHUEF,

AHAD1

團——=——=-=1,

HFDE1

0EFIIDG,

EFBE1

團----=----=一,

DGBD2

AHEF

團----w-----.

HFDG

故選：C.

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練運用這個定理求出線段的比例關系.

題型9：三角形的重心概念及性質

【典例15].三角形的重心正確的敘述是（)

A.三角形三條角平分線的交點

B.三角形三條中垂線的交點

C.三角形三條中線的交點

D.三角形三條高的交點

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形重心定義判斷即可得解.

【解析】三角形的重心是三角形三條中線的交點,

故選：c.

【點睛】此題考查了三角形重心，熟記三角形重心的定義是解題的關鍵.

【典例16].如圖，在ABC中，AO是8C邊上的中線，G是重心.如果AG=6,那么線段DG的長為（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【分析】本題考查了重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1,熟記重心的性質是解題的關

鍵.根據(jù)重心性質可得AG:￡>G=2:1,從而可得答案.

【解析】解:團AD是3C邊上的中線，點G是重心，

^AG:DG=2:1,

0AG=6,

0DG=3,

故選：C.

【典例17].如圖，在ABC中，AD與交于點G,點G為ABC的重心，點M、N分別在邊A3、AC

上，若AM:A3=3:4,則AN:AC的值為.

【分析】過點2作/〃分別交AZ）,A3于點E,歹點，過點。作DP〃BF交AC于P點，通過構造

平行線，靈活運用AW:AB=3:4和AD這條中線，逐步求解即可.

【解析】如圖，過點8作3尸〃分別交A。，AB于點E,尸點，過點。作DP〃跖交AC于P點，

A

團DP為△3FC的中位線，

團點P為。廠的中點，

團AM:AB=3:4,旦BF〃MN,

BAG:GE=ANiNF=3:l,

回點G為，ABC的重心，

⑦AG:GD=2:1,

團AG:GE:ED=6:2:1,

國AE:ED=8:1,

⑦DP〃BF〃MN,

國AF:FP=8:1,

^AN:NF:FP:PC=6:2:1:1,

3

^AN:AC=6:10=-.

5

3

故答案為：—.

【點睛】本題考查了三角形重心和平行線對應邊成比例，能夠運用三角形的重心將三角形的中線所在的線

段分為2:1兩部分是解答本題的關鍵.

【典例18].如圖，在她中，AE是3C邊上的中線，點G是媯的重心，過點G作G/〃A3交于

點、F,若EF=2,那么3C長為

【答案】12

【分析】由三角形的重心及G尸〃AB可知努=霧=2,然后可得取=4,則有BE=6,進而問題可求解.

GEEF

【解析】解：回點G是EABC的重心，GF//AB,

喘若=2,

0EF=2,

0BF=4,

ME=6,

0AE是8C邊上的中線，

EIBC=2BE=12,

故答案為12.

【點睛】本題主要考查三角形的重心及平行線所截線段成比例，熟練掌握三角形的重心及平行線所截線段

成比例是解題的關鍵.

題型10：三角形重心的性質的幾何應用

【典例19].已知G是等腰直角」15c的重心，若AC=3C=2,則線段CG的長為.

【答案】冥1

3

【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍解答即可.

【解析】解：如圖，水?是等腰直角AABC的重心，AC=BC=2,

22

0CD=-AB=-XV2+2=72,

22

田CG=Z又聲=冬區(qū)，

33

故答案為：—.

3

【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理，三角形的重心，熟記三角形的重心到頂點的

距離等于到對邊中點的距離的2倍是解題的關鍵.

【典例20].如圖，在一至。中，中線AD、BE、CF相交于點G,下列說法錯誤的是（）

A.點G為aMC的重心B.GC=2GF

C.當一ABC為等邊三角形時，GA=GBD.S^=28GBC

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的重心性質可判斷選項A、B；根據(jù)等邊三角形的性質得到AD=5E,可判斷選項C；

根據(jù)三角形的中線將三角形的面積平分可判斷選項D.

【解析】解：A、回一ABC的中線AD、BE、CF相交于點G,

團點G為14ABe的重心，故選項A正確，不符合題意；

B、回點G為一ABC的重心，

SGC.GF=2:1,即GC=2GF,故選項B正確，不符合題意；

C、0,ABC為等邊三角形，

?AD=BE,

S1GA=2GD,GB=2GE,

27

SGA=-AD,GB=-BE,

33

0GA=GB,故選項C正確，不符合題意；

D、SGA=2GD,

回AD=3_DG,則S=3S.GBO=3S-GC￡）,

0故選項D錯誤，符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查三角形的重心性質、等邊三角形的性質、三角形的中線性質，解答的關鍵是熟練掌握三

角形的中線性質和重心性質：三角形的重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1.

【典例21].如圖，點G為ABC的重心，連接CG,則.

【分析】三角形的重心是三邊中線的交點，根據(jù)重心分中線的線段關系（即。G=；A￡＞）即可求解.

【解析】解：回點G為,ABC的重心，即AD是ABC的中線，

^DG=-AD,

3

如圖所示，過點。作CE_LA￡＞于點E,

A

==_

團S^/\ClDrG=—DG?CE/,\n\SJ^ACD/\/iD^L^^ABDAD?CE,

13

回S-CD=S：D=-x3DG?CE=-DG?CE，

0S”0G-S*D=^G.CE^jDGC，=1:3,

故答案為：1:3.

【點睛】本題主要考查三角形中線，三角形重心的知識的綜合，掌握三角形重心的定義和性質是解題的關

鍵.

【典例22].如圖，在回ABC中，中線BF、CE交于點G,且CEE1BF,如果AG=5,BF=6,那么線段CE的

長是.

I22

【分析】根據(jù)題意得到點G是團ABC的重心，根據(jù)重心的性質得到DG=,AD,CG=jCE,BG=§BF,D是BC

的中點，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得BC=5,再根據(jù)勾股定理求出GC即可解答..

【解析】解：延長AG交BC于D點，

團中線BF、CE交于點G,

國ABC的兩條中線AD、CE交于點G,

團點G是EIABC的重心，D是BC的中點,

222

回AG=§AD,CG=-CE,BG=-BF,

團AG=5,BF=6,

0OG=1,5G=4.

EICEEIBF,即回BGC=90°,

0BC=2DG=5,

在RfflBGC中，CG=7BC2-BG2=A/52-42=3，

39

SCG=-CG=-,

22

9

故答案為：j.

【點睛】本題考查的是三角形的重心的概念和性質，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂

點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.理解三角形重心的性質是解題的關鍵.

題型11:由三角形重心的性質求點的坐標

【典例23].如圖，在平面直角坐標系中，已知A(-8,0),8(8,0),。(6,9)，則一ABC重心的坐標是

【答案】(2,3)

【分析】本題考查的是三角形的重心的概念和性質、坐標與圖形性質等知識點，根據(jù)三角形的重心的概念

作出重心，根據(jù)重心的性質得到OG=：OC,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可.掌握重心到頂

點的距離是它到對邊中點的距離的2倍是解題的關鍵.

【解析】解：0A(-8,O),8(8,0)

回點。是AB的中點,

如圖：連接OC,作中線A“交OC于G,則點G是ABC的重心,

團OG=，OC,

3

如圖：作于E,CF_LAB于F,則GE〃CF,

OEGEOG1

|?|-------------------------------------------------

OF-CF~OC~3'

0C（6,9）,

0OF=6,CF=9,

OEGE1

團——

693

國OE=2,GE=3,

EBABC重心的坐標是（2,3）,

故答案為（2,3）.

05強化訓練

、單選題

1.如圖，在VABC中，是5c邊上的中線，G是重心.如果AG=6,那么線段0G的長為（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【分析】本題考查了重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1,熟記重心的性質是解題的關

鍵.根據(jù)重心性質可得AG:DG=2:1,從而可得答案.

【解析】解：回AD是3c邊上的中線，點G是重心,

團AG:OG=2:1,

團AG=6,

⑦DG=3,

故選：C.

BF

2.如圖，尸是VABC重心，￡F〃3C且經(jīng)過點P,則——的值為（）

AB

A

A

BDC

1123

A.-B.-C.一D.-

3234

【答案】A

AP7AFAP9

【分析】根據(jù)重心可得而丁結合跖可得花=而=「即可得到答案；

【解析】解：回尸是VABC重心，

AP2

團---=—，

PD1

^EF//BC,

AEAP2

團==一，

EBPD1

BE11

團-——,

AB1+23

故選A.

【點睛】本題考查平行線所截線段對應成比例，三角形重心的性質,解題的關鍵是熟知三角形重心到頂點

距離與到頂點對邊中點的距離比為2:1.

3.如圖，在2MBe中，MN//BC,DN//MC,下列結論正確的是()

A

BL---------

A坐=坐B處=型C處~=也DNMN

D.-----=------

NCABDMMCMBACMCBC

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質，即可解答.

【解析】MN//BC

AN_MN

~AC~~BC

DN//MC

AN_DN

AC-MC

.DN_MN

故選：D.

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質，解題關鍵是熟練運用這個性質得到線段的比例關系.

4.如圖，在△ABC中，點。在邊上,點G在線段上，GEI21BD,且交A3于點E,GF^AC,且交CQ

于點孔則下列結論一定正確的是（)

AE_AD

C.EGFGD.

~BD=~AC；~AG=~AB

【答案】A

【分析】抓住已知條件：G比瓦）,G7^AC,利用平行線分線段成比例以及中間比代換，對各選項一一判斷

即可求解.

AEAG

【解析】回G比瓦）,團---=---

ABAD

CFAG

團G甩4C,0——=

CDAD

AECF

團-------A選項正確;

ABCD

AEAG

團--------

EBGD

AGCF

團GflMC,0——=

GDFD

AECF

團---=----,B選項錯誤;

EBFD

EGAG

團GEIZ13D,團---=---

BDAD

GFDG

團G膽AC,回一=

AC~AD

EGGF

團——w---C選項錯誤;

BDAC

APAft

團GE030,0---=---,D選項錯誤;

AGAD

故選：A

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，靈活運用中間比是解題的關鍵.

5.如圖，AD是VABC的中線，E是上一點，AE.AD=1:59砥的延長線交AC于尸，則A尸：CF的值

為（）

A.1:8B.1:7C.1:6D.1:5

【答案】A

【分析】忤DHIIBF交,AC千H,根據(jù)。是中點可得瓦＞=8,根據(jù)平行線分線段成比例可得方H=有

已知條件可得黑Ap=A普f7=i9進而可得A蕓p=1:

EL）rri4rCo

【解析】解：忤DHIIBF交.AC千H,

是AABC的中線,

:.BD=CD,

DH//BF,

:.FH=HC,

AE:AD=1:5,

AE:ED=1:4,

DH//BF,

AFAE1

FHED4

:.AF:FC=1:8.

故選A.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，三角形中線的性質，比例的性質，添加輔助線是解題的關鍵.