暑假預(yù)習(xí)專題11一元一次不等式（組）與一元二次不等式的

求解

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

析教材學(xué)加識:教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點精準(zhǔn)練

第三步：測

小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

0。串知識?識框架

尊知猊身圖標(biāo)理

咽析教材學(xué)知識

知識點1一元一次不等式的求解

在含有未知數(shù)的不等式中，能使此不等式成立的未知數(shù)的值稱為該不等式的解.一個不等式的解的全體所組

成的集合稱為此不等式的解集,求一元一次不等式解集的過程稱為一元一次不等式的求解或解一元一次不等

式.

拓展形如OX+Z?>0(QW0)的式子叫做一元一次不等式，有四種形式：依+人>0(〃。0),

ox+Z?<0(〃wO>ox+b..0(〃wO)，0(〃w0)，

知識點2一元一次不等式組的求解

將含有相同未知數(shù)的多個不等式聯(lián)立起來，就得到不等式組，求一元一次不等式組解集的過程稱為一元一次

不等式組的求解.

拓展最簡單的一元一次不等式組的四種解集的情況

不等式組(。<。)圖示解集口訣

x..a,

*{x|x.,b}同大取大

x..b

Cibx

*兀，

—?{xl為,a}同小取小

)%

x..a,大小小大

V[x\源(kb]

3,babx中間找

大大小小

*―?0

x..b□_

a5X是空集

知識點3含參一元一次不等式(組)的求解重點難點

特別提醒

含參不等式求解通常需要對參數(shù)進行分類討論，引起分類討論的原因在于不等式的性質(zhì)，注意討論時要考慮

周全.

知識點4特殊一元二次不等式的求解

定義設(shè)a,b,c為實數(shù)，且。工0，形如ax2+bx+c>Q（<0,..0或，，0）的不等式統(tǒng)稱為一元二次不

等式.

特別地，形如（x—%）（x—9）座X0）的求解，遵循"大于分兩邊，小于夾中間"的原則.

*知識剖析（1）"元"是指不等式中所要求解的未知數(shù).一元就是指未.知數(shù)個數(shù)為1，這里即了,

但不等式中也可以包含其他字母，如a,b,c等，這里的a,b,c為系數(shù)，即為常數(shù).

（2）"次"是指不等式的最高次項的次數(shù)，這里的最高次項為。必（。片0）,次數(shù)為2,即二次.注意二次

項系數(shù)不為0，即a^O.若a=0，則二次項不存在，不等式實質(zhì)為一元一次不等式bx+c>0（其

中b^O）.在解題的要注意，若未說明二次項系數(shù)不為0，則需分類討論，求不等式的解集.

知識點5利用一元二次方程的判別式討論一元二次不等式的解集重點

設(shè)方程ax-+bx+c^0（a>0）的判別式△=/—4ac〉0（=0或<0），其兩根記為%，馬，且

石<々，一元二次不等式的求解結(jié)果總結(jié)成下表:

?>0,A>0

ax2+bx+c>0解集為(T?,%)512，”)

ax2+bx+c<0解集為（七,X2）

ax2++c..0解集為（ro,石］3*2,”）

ax2+Zzx+G,0解集為［4*2］

tz>0,A=0?>0,A<0

解集為

解集為R

ax2+bx+c>0cue2++c>0

（-00,%）D（%,+oo）

解集為0解集為0

ax2+bx+c<0ax2+bx+c<0

解集為R解集為R

ax2+Zzx+c..0ax2+bx+c..G

解集為0

{%}

ax2+ZZX+G,0ax2+ZZX+G,0

方程的判別式A=0時，方程的兩根%=%2.

知識點6二次函數(shù)與一元二次方程,不等式的對應(yīng)關(guān)系重點

22

一元二次方程ax+bx+c^0(a>0)的兩根為再，%且苞”%2,A=/?-4ac，其解按照

A>0,A=0,A<0可分三種情況.相應(yīng)地，二次函數(shù)y^ax-+bx+c(a>0)的圖像與%軸的位置關(guān)系

也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式如2+bx+c>0(a>0)或

ax2+Z?x+c<>0)的解集.

類別A>0A=0A<0-

二次函數(shù)y=

ax2+bx+c(a>0)的

iX^O/tX2X

圖像I0plz=X2Xu

有兩個不相等的實數(shù)根

一元二次方程

有兩個相等的實數(shù)根芯=%2

再，*2=-b±lb2-4cic

ax'+bx+c=0(?>0)沒有實數(shù)根

2ab

的根2a

(%<%)

1

ax+bx+c>0(a>0)^x\X<x^x:>x2}

{…-身R

的解集

ax2+bx+c<Q(a>0)

0.0

{x|xi<x<x^

的解集

?練考點?強知識

題型一,解不含參數(shù)的一元一次不等式

、\x<5

例］(24-25高一上?上海?期末)不等式組無實數(shù)解，則m的取值范圍是_____

\x>m

1-1（24-25高一上?上海?期中）已知aeR,若關(guān)于x的不等式雙<x+2的解集為R^ija=.

1-2（24-25高一上?上海?隨堂練習(xí)）若A={x|1WxW4},8={x|-x+l>a},當(dāng)AU8=3時,則實數(shù)a的取值

范圍是.

1-3（24-25高一上?上海?隨堂練習(xí)）若l<x<3,則上的取值范圍為.

X

題型二,解含參數(shù)的一元一次不等式

7^例2（24-25高一上?上海?期中）不等式分>6伍工0）的解集不可能是（）

A.1-00，：]B.RC.D.

2-1（24-25高一上?上海?期中）若關(guān)于x的不等式（。+1?+。2-3<0的解集為（1,+8）,則實數(shù)。的值為.

2-2（24-25高一上■上海?期中）若關(guān)于尤的不等式ax+4>l-2x的解集為R,則實數(shù)。=

2-3（24-25高一上?上海?隨堂練習(xí)）解關(guān)于x的不等式的-2..3%-4加,其中meR.

題型三,一元二次不等式的概念及辨析

例3（24-25高一上?四川成都?期中）已知二次方程a?+6x+c=0（a>0）的兩根分別為-3,-2廁不等

式一ar?—for—c20的解集為（）

A.（-3,-2）B.[-3,-2]

C.（2,3）D.[2,3]

3-1（24-25高一上?上海?課前預(yù)習(xí)）一元二次不等式：形如的不等式統(tǒng)稱為一元二次不等式，其中。涉,

c為實數(shù)，且awO.

3-2（24-25高一上?全國■課后作業(yè)）已知關(guān)于x的不等式加+fcr+c>0的解集為{尤1%<-3或%>4}.

（1）a的取值范圍為.

（2）用。表示6,。為.

（3）不等式fer+c>0的解集為.

（4）a+b+c0,（填“>”或“<”）

（5）不等式cf-bx+a<0的解集為.

3-3（24-25高一上?上海?課前預(yù)習(xí)）一元二次不等式在求解時應(yīng)當(dāng)注意些什么？

3-4（20-21高一上?上海?課后作業(yè)）解下列不等式：

(1)-2/+3N-1<0,

(2)(X-1)2-6>0,

f6-x-x2<0

(3)]2

x+3x—4<0

題型四,解不含參數(shù)的一元二次不等式

、^例4（24-25高一上?上海金山?期末）設(shè)集合A={RX。+2尤-3>0}，集合8={x|尤?-2ax-140,a>0},

若中恰有一個整數(shù),則實數(shù)。的取值范圍（）

A.B.C,川D.（1,+s）

4-1（24-25高一上?上海?期末）若"x<a”是“尤2+3尤_4<0"的必要不充分條件，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[l,+oo）B.（1,+8）C.（-00,1]D.（-00,1）

4-2（24-25高一上?上海金山?階段練習(xí)）設(shè)則方程卜-2|+|%-3|=1的解集為.

4-3（24-25高一上?上海金山?階段練習(xí)）若不等式辦2+法+1>。的解集是卜.,則加+辦+140的解集

為.

4-4（24-25高一上?上海寶山?期中）已知一元二次不等式x2+a+c<0的解集為（1,2）,則不等式玩2一5x+cZ0

的解集是.

題型五,解含有參數(shù)的一元二次不等式

例5（24-25高一上?上海金山?期末）當(dāng)0<。<1時，關(guān)于尤的不等式-a）x+（a-3）]<0的解

集為（）

A.U(3,+oo)

B.y,3)u黃|收

C.

5-1（24-25高一上?上海楊浦?期中）若方程ax2+bx+c=0有唯一的實數(shù)根2,則不等式依?+法+,Z。的解集

為.

5-2（24-25高一上?上海長寧?期末）設(shè)集合A={無1歸_。|<“，8=

(1)若。=0,求Ac3.

(2)若“xeA”是“xeB”的充分不必要條件,求實數(shù)。的取值范圍.

5-3(24-25高一上?上海?階段練習(xí))設(shè)P：實數(shù)x滿足/一4依+3/<0,4：實數(shù)x滿足歸-2|+歸-4區(qū)2.

(1)若4是真命題，求實數(shù)尤的取值范圍.

(2)若a>0且4是P的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.

5-4(24-25高一上?上海嘉定?階段練習(xí))已知一元二次不等式Y(jié)一公+6>。

⑴若不等式的解集為(F,2)U(3,+S),求不等式加_法+1<()的解集.

⑵當(dāng)6時，求不等式必-辦+6>0的解集.

題型六,由一元二次不等式的解確定參數(shù)

例6(24-25高一上?上海黃浦?期中)已知關(guān)于x的不等式組+沒有實數(shù)解，則實數(shù)。

的取值范圍為.

6-1(24-25高一上?上海靜安?階段練習(xí))若關(guān)于x的不等式62+?+c>0的解集為(-2,1),則不等式

ax2+(a+b)x+c-a<0的解集為.

6-2(24-25高一上?上海?階段練習(xí))已知一元二次不等式f+a+cvO的解集為(1,2),不等式6尤2_5X+C<0

的解集為.

6-3（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）己知a,ceR，若關(guān)于尤的不等式a^+lx+oO的解集為，；,則關(guān)于彳

的不等式ex,-2x+a>0的解集為.

6-4（24-25高一■上,上海寶山?階段練習(xí)）若不等式（1--4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.

（1）求實數(shù)。的值.

⑵當(dāng)僅2-1片-2。-1）支+0-4>0的解集為0時,求實數(shù)匕的取值范圍.

題型七,一元二次方程根的分布問題

7^例7（24-25高一上?上海嘉定?期末）已知關(guān)于x的方程G2+2X+1=0至少有一個實根,則實數(shù)。的取

值范圍是.

7-1（24-25高一上?上海徐匯?期中）已知實數(shù)。>。>。,\+6+。=1,小+廿+知=1,則〉的取值范圍為

7-2（24-25高一上?上海?期中）已知關(guān)于x的方程/+（機-1b-6-相=。的兩根一個比2大，另一個比2小,

則實數(shù)機的范圍是.

7-3（24-25iWj一上?上海?期中）已知eR,關(guān)于x的方程/加—3如+7篦-1=0.

（1）若方程有兩個正實數(shù)根，求實數(shù)，〃的取值范圍.

⑵若方程有兩個整數(shù)根%,馬，且加為整數(shù)，求人-引的值.

7-4（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）根據(jù)要求完成下列問題：

⑴已知命題「：--+8犬+2020,命題-2x+l<0（機>0）,若4是p的必要不充分條件，求實數(shù)優(yōu)的取

值范圍.

（2）已知命題P：關(guān)于x的方程x?+/nx+l=0有兩個不等的負(fù)根，命題4：關(guān)于x的不等式〃！爐-2〃ix+3>0的

解集為R.若P，4一真一假，求實數(shù)〃?的取值范圍.

@過關(guān)測?穗提升

A組夯實基礎(chǔ)

1.（24-25高一上?上海靜安?期末）不等式尤3+2彳-3>0的解集為.

[x>a,

2.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）一元一次不等式組7的解為工〉。,則〃與人的大小關(guān)系是_______.

[x>b

3.（24-25高一上?上海黃浦?期中）已知命題P：關(guān)于l的方程f+6—2/=0在[-2,2]上有解，命題外只有

一個實數(shù)x滿足不等式爐+2以+2aV0.若命題P和4中有且僅有一個是真命題,則實數(shù)。的取值范圍

是.

4.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）求不等式組：j?的解集，并把解集表示在同一數(shù)軸上.

x+6<4%-3②

l+x<a

5.（243高一上.上海?課后作業(yè)）若不等式組也+殳山/解，求實數(shù)”的取值范圍.

6.（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知％eR,關(guān)于x的不等式伊-2k-3）x2+（左+l）x+l>0的解集為M.

⑴若M=R，求上的取值范圍.

⑵若存在使得"=（7,。）u（4+8）,求左的取值范圍.

B組能力提升

mx+ny,（x>y）/、

1.對定義一種新的運算尸，規(guī)定：尸?》）=/>.（其中相〃wO,加，〃ER），已知P（2,l）=7,

nx+my,^x<y）

（1）求加，下的值.

尸（2a,a-l）<4

⑵若“>0,解不等式組尸,gaT—ajwS

2.（24-25高一上?上海黃浦?期中）已知。，上R,關(guān)于x的不等式加二0一2/-2?0.

X2+2X+3

（1）若b=a+2，且不等式對一切XGR恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

⑵當(dāng)b=〃時，解關(guān)于工的不等式（解集用。表示）.

3.（24-25高一上?上海?期中）設(shè)函數(shù)/（九）=雙2+（1一—2（Q6R）.

⑴若關(guān)于X的不等式f（x）<0的解集為］。曰,求實數(shù)。的值.

⑵若不等式〃尤）？-2對于實數(shù)aG［-1,1］時恒成立，求x的取值范圍.

（3）解關(guān)于x的不等式：

暑假預(yù)習(xí)專題11一元一次不等式（組）與一元二次不等式的

求解

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點精準(zhǔn)練

第三步：測

,升小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

@串知識?派框架

整知識導(dǎo)圖慌理

咽析教材?學(xué)知識

知識點1一元一次不等式的求解

在含有未知數(shù)的不等式中，能使此不等式成立的未知數(shù)的值稱為該不等式的解.一個不等式的解的全體所組

成的集合稱為此不等式的解集,求一元一次不等式解集的過程稱為一元一次不等式的求解或解一元一次不等

式.

拓展形如OX+Z?>0（QW0）的式子叫做一元一次不等式，有四種形式：依+人>0（〃。0）,

ox+Z?<0(awO>ox+Z?..0(〃wO)，ox+Z?,,0(〃w0)，

知識點2一元一次不等式組的求解

將含有相同未知數(shù)的多個不等式聯(lián)立起來，就得到不等式組，求一元一次不等式組解集的過程稱為一元一次

不等式組的求解.

拓展最簡單的一元一次不等式組的四種解集的情況

知識點3含參一元一次不等式（組）的求解重點難點

特別提醒

含參不等式求解通常需要對參數(shù)進行分類討論，引起分類討論的原因在于不等式的性質(zhì)，注意討論時要考慮

周全.

知識點4特殊一元二次不等式的求解

定義設(shè)a,b,c為實數(shù)，且。工0，形如ax2+bx+c>Q（<0,..0或，，0）的不等式統(tǒng)稱為一元二次不

等式.

特別地，形如（x—%）（x—9）座X0）的求解，遵循"大于分兩邊，小于夾中間"的原則.

Q知識剖析（1）"元"是指不等式中所要求解的未知數(shù)?一元就是指未?知數(shù)個數(shù)為1,這里即無，

但不等式中也可以包含其他字母，如a,b,c等，這里的a,b,c為系數(shù)，即為常數(shù).

（3）"次"是指不等式的最高次項的次數(shù)，這里的最高次項為。必（。片0）,次數(shù)為2,即二次.注意二次

項系數(shù)不為0，即a^O.若a=0，則二次項不存在，不等式實質(zhì)為一元一次不等式bx+c>0（其

中b^O）.在解題的要注意，若未說明二次項系數(shù)不為0，則需分類討論，求不等式的解集.

知識點5利用一元二次方程的判別式討論一元二次不等式的解集重點

設(shè)方程ax-+bx+c^0（a>0）的判別式△=/—4ac〉0（=0或<0），其兩根記為%，馬，且

石<々，一元二次不等式的求解結(jié)果總結(jié)成下表:

?>0,A>0

ax2+bx+c>0解集為(T?,%)512，”)

ax2+bx+c<0解集為（七,X2）

ax2++c..0解集為（ro,石］3*2,”）

ax2+Zzx+G,0解集為［4*2］

tz>0,A=0?>0,A<0

解集為

解集為R

ax2+bx+c>0cue2++c>0

（-00,%）D（%,+oo）

解集為0解集為0

ax2+bx+c<0ax2+bx+c<0

解集為R解集為R

ax2+Zzx+c..0ax2+bx+c..G

解集為0

{%}

ax2+ZZX+G,0ax2+ZZX+G,0

方程的判別式△=0時，方程的兩根X1=%2.

知識點6二次函數(shù)與一元二次方程,不等式的對應(yīng)關(guān)系重點

22

一元二次方程ax+bx+c^0(a>0)的兩根為再，%且苞”%2,A=/?-4ac，其解按照

A>0,A=0,A<0可分三種情況.相應(yīng)地，二次函數(shù)y^ax-+bx+c(a>0)的圖像與%軸的位置關(guān)系

也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式如2+bx+c>0(a>0)或

ax2+Z?x+c<>0)的解集.

類別A>0A=0A<0-

二次函數(shù)y=

ax2+bx+c(a>0)的以

1LX

圖像一慨27I0plz=2X

有兩個不相等的實數(shù)根

一元二次方程

有兩個相等的實數(shù)根芯=%2

再，*2=-b±lb2-4cic

ax'+bx+c=0(?>0)沒有實數(shù)根

2ab

的根2a

(%<%)

1>x}"一身

ax+bx+c>0(a>0)^x\X<x^x:2{%;

R

的解集

ax2+bx+c<Q(a>0)

{x|xi<x<x^0.0

的解集

◎練考點?患知識

題型一,解不含參數(shù)的一元一次不等式

\x<5

例1⑵-25%上上海.期末)不等式組I*無實數(shù)解,則優(yōu)的取值范圍是—

【答案】[5,內(nèi)）

【分析】分類討論機的取值范圍,利用不等式組無實數(shù)解即可得解.

fx<5

【詳解】對于

[x>m

當(dāng)7〃<5時，解得加<x<5,不滿足題意.

當(dāng)25時，龍>7〃25與X<5矛盾，即不等式組無實數(shù)解.

綜上,〃業(yè)5.

故答案為：[5,+oo）

1-1（24-25高一上?上海?期中）己知aeR,若關(guān)于x的不等式分<》+2的解集為R^Ja=.

【答案】1

【分析】由題意知不等式（。-1口-2<0的解集為R,則4—1=0,解之即可求解.

【詳解】原不等式可化為（。-1比-2<0.

又不等式的解集為R.

所以一次函數(shù)y=（?-iu-2的圖象都在X軸的下方.

則。-1=0,解得。=1.

故答案為：1

1-2（24-25高一上?上海?隨堂練習(xí)）若A=31WxW4},8={x|T+1?,當(dāng)AU3=3時,則實數(shù)a的取值

范圍是.

【答案】（f,-3]

【分析】利用并集和解不等式的知識求解即可.

【詳解】當(dāng)AUB=B時，則

又3={x|—x+lNa}={x|xVl—a},貝ijl—“N4,解得aW—3.

則實數(shù)”的取值范圍是（―,-3].

故答案為：（』,-3].

1-3（24-25高一上?上海?隨堂練習(xí)）若l<x<3,則工的取值范圍為.

X

【答案】9

【分析】運用不等式性質(zhì)得解.

【詳解】由于1<X<3，根據(jù)不等式性質(zhì)得到!<1<1

3x

故答案為：

題型二,解含參數(shù)的一元一次不等式

7^例2（24-25高一上?上海?期中）不等式◎0）的解集不可能是（）

A.1-00，；］B.RC.（一叫一：）D.

【答案】C

【分析】對參數(shù)。與0的關(guān)系以及。與0的關(guān)系進行分類討論，從而求解不等式即可.

【詳解】當(dāng)。>0時，依>乩則x>2,不等式解集為［2,+oo1

當(dāng)a=0時，若b>0,則原不等式等價于0/>乩不等式解集為空集.

當(dāng)。=0時，若6<0,則原不等式等價于0/>從不等式解集為R.

當(dāng)a<0時,at>b,則x<2,不等式解集為Joo,2］.

故不等式解集不可能為1co,-

故選：C.

2-1（24-25高一上?上海?期中）若關(guān)于x的不等式（a+l）x+4-3<0的解集為（1,+?），則實數(shù)。的值為.

【答案】-2

【分析】由給定的解集確定關(guān)于x的方程（。+1勿+/-3=0的根及一次項的系數(shù)正負(fù),再代入解方程即得.

【詳解】由關(guān)于x的不等式（。+1口+片_3<0的解集為（1,+8）.

得1是關(guān)于x的方程（〃+1）》+/一3=0的根，且。+1<0.

因此（a+l）xl+。-—3=0,即a~+a—2=0,而。<一1,解得a=—2.

所以實數(shù)a的值為-2.

故答案為：-2

2-2（24-25高一上?上海?期中）若關(guān)于x的不等式分+4>l-2x的解集為R廁實數(shù)。=

【答案】-2

【分析】不等式可化為（a+2）x>-3,對。+2分等于0,大于0,小于0三種情況進行討論即可.

【詳解】由不等式辦+4>1—2x可化為（a+2）x>-3.

當(dāng)。+2=0,即a=-2時，不等式的解集為R，符合題意.

3

當(dāng)。+2>0,即〃>-2時,不等式可化為x>-一二，不符合題意.

〃+2

3

當(dāng)。+2<0,即a<-2時，不等式可化為尤<——乙,不符合題意.

Q+2

綜上，實數(shù)a=-2.

故答案為：-2.

2-3（24-25高一上?上海?隨堂練習(xí)）解關(guān)于尤的不等式mr-2..3x-4m,其中加eR.

【答案】答案見解析

【分析】對一次項系數(shù)機-3進行分類討論，分m>3,m<3,m=3三類求對應(yīng)解集.

【詳解】原不等式整理為（機-3）龍22-4m

當(dāng)機>3時，解得冗之上手,解集為一丁,+。.

m-3Lm—3）

D—（2—4n?

當(dāng)機<3時解得上萼,解集為-”,--.

m-3\m-3_

當(dāng)m=3時，則0>-10,^為任意實數(shù),解集為R.

題型三,一元二次不等式的概念及辨析

例3（24-25高一上?四川成都?期中）已知二次方程ax2+bx+c=0（。>0）的兩根分別為-3,-2，則不等

式-加-6x-c20的解集為（）

A.（—3,—2）B.[—3,—2]

C.（2,3）D.[2,3]

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的根與對應(yīng)一元二次不等式解集的關(guān)系求結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)辦2+bx+c=a（x+3）（x+2）<0J=La>0.

所以（x+3）（x+2）<0,所以不等式的解集為[-3,-2].

故選：B

3-1（24-25高一上?上海?課前預(yù)習(xí)）一元二次不等式：形如的不等式統(tǒng)稱為一元二次不等式，其中b,

c為實數(shù)，且awO.

【答案】ax2+bx+c>0（<0,20或WO）

【分析】根據(jù)題意,結(jié)合一元二次不等式的定義，即可求解.

【詳解】略：

3-2(24-25高一上?全國?課后作業(yè))已知關(guān)于x的不等式62+法+00的解集為{無|》<-3或%>4}.

(1)。的取值范圍為.

(2)用。表示6,c為.

(3)不等式bx+c>0的解集為.

(4)a+b+c0,(填“>”或“<”)

(5)不等式ex?-fev+a<0的解集為.

【答案】a>0]'{xlx<-12]<口無<-：或

[c=-12a43J

【分析】根據(jù)解集判斷a>。,再結(jié)合韋達定理得出“，6，c關(guān)系，求解一次不等式，根據(jù)解集判斷不等關(guān)系,消參解

一元二次不等式即可.

【詳解】(1)關(guān)于x的不等式以2+云+°>0的解集為{x|x<-3垢>4},因為解集在兩根之外，所以a>0.

(2)由題可知-3,4是ax?+6x+c=。的兩根.

-3+4=-—,r,

ab=-a,

由根與系數(shù)的關(guān)系可得所以

-“c|c=T2a.

-3x4=—,i

、a

(3)由(2)得bx+c>0,即一ax-12a>0,所以x<-12,即6x+c>0的解集為{xlx<-12}.

(4)由于關(guān)于x的不等式依2+桁+00的解集為{幻尤<_3或x>4},故x=l時,a?+^+cvo.即a+6+c<0.

(5)由以上分析可知不等式ex2-6無+a<0即-12公2+ax+a<0.

因為a>0,故12/-x-l>0,所以x<或x>；.故不等式cf-6x+a<0的解集為{x卜<一^或彳>耳]

故答案為：a>0；》=Tc=-12a;(-8,-12);<[-oo,-；)u(；,+8)

3-3(24-25高一上?上海?課前預(yù)習(xí))一元二次不等式在求解時應(yīng)當(dāng)注意些什么？

【答案】求解時注意將二次項系數(shù)化正，然后結(jié)合圖像寫解集.

【分析】借助相對應(yīng)的二次函數(shù)與一元二次不等式，一元二次方程的關(guān)系,在解一元二次不等式時應(yīng)該注意開

口方向和根的大小，以及解集的表達.

【詳解】解形如ax2+bx+c>0(>0)(a*0)或ax?+6x+c<0(40)(a豐0)的一元二次不等式，一般可分為三步:

①確定對應(yīng)方程加+云+c=0的解;

②畫出對應(yīng)二次函數(shù)圖象的簡圖；

③由圖象寫出不等式的解集.

所以在求解過程中，要注意考慮對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向(。>0或。<0).

如果是二次項系數(shù)是負(fù)數(shù),則需利用不等式的性質(zhì)化二次項系數(shù)為正系數(shù).

然后再根據(jù)對應(yīng)的一元二次方程的判別式符號，兩根的大小關(guān)系，來表示一元二次不等式的解集.

此時要注意不等號的方向(>>>,<,<).

最后一個要特別注意的是判別式為負(fù)數(shù)或零時，解集的表示形式有空集，全集等特殊形式.

3-4(20-21高一上?上海?課后作業(yè))解下列不等式：

⑴-2X2+3X-1<0,

(2)(X-1)2-6>0,

f6-x-x2<0

(3)]2

[廠+3x-4<0

【答案】(1)^^(1,+°°),(2)卜+(3)(<—3]

【解析】先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，再因式分解，即可求得不等式解集.

【詳解】(1)一2f+3K0等價于2?一3x+l>0等價于(2x—1)(1)>。,解得：x>l或所以不等式

的解集為1-00，；)"1，+?0，

(2)(x-l)2-6>0等價于1-1-#)(尤-1+n)>0,解得：尤<1-#或無>1+后,所以不等式的解集為

(-00,1-A/6)U(1+^/6,+°oj,

⑶F1?。骸愕葍r于廣：-6：o于-―所以不等式的解集為

X2+3X-4<0[X2+3X-4<0[(x+4)(x-l)<0

(T-3].

【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

題型四,解不含參數(shù)的一元二次不等式

例4(24-25高一上?上海金山?期末)設(shè)集合4=｛中2+2x-3>0｝，集合8=｛H/-2依-140,。>。｝,

若中恰有一個整數(shù),則實數(shù)。的取值范圍()

【答案】B

【分析】先求出集合AB,再根據(jù)AcB中恰有一個整數(shù)，列出不等式求解.

【詳解】由已知可得集合4="|工<-3或x>l}.

由--2分-1W0解得,°一+1a+J42+1,

所以6=卜|々一Jr，+1<x<a+，a~+1I,

因為a>0,所以a+l>J</+1,貝|]/_，/+1>一],且小于0.

由AcB中恰有一個整數(shù)，所以2Wa+J/+i<3.

a+V?2+l>2[V?2+l>2-a34

即,----，也即--------，解得

a+Va2+1<3[y|a2+l<3-a43

故選：B.

4-1（24-25高一上?上海?期末）若“尤是“f+3x-4<0”的必要不充分條件,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[l,+oo）B.（1,+℃）C.（-℃,1]D.

【答案】A

【分析】首先求解不等式，再根據(jù)必要不充分條件，轉(zhuǎn)化為子集問題，即可求解.

【詳解】X2+3X-4<0<=>^.<X<1.

若"x<a”是“/+3犬_4<0"的必要不充分條件.

則集合卜|-4<x<1}是集合[x\x<a]的真子集，所以a上1.

故選：A

4-2（24-25高一上?上海金山?階段練習(xí)）設(shè)xeR,則方程卜-2|+卜-3|=1的解集為.

【答案】[2,3]

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)結(jié)合二次不等式的解法求解.

【詳解】?■■|x-2|+|x-3|>|x-2+3-x|=l.

則等號成立的條件為（尤-2乂%一3卜0n尤目2,3].

故答案為：[2,3].

4-3（24-25高一上?上海金山?階段練習(xí)）若不等式改2+°尤+1>o的解集是（1J,則+6+1W0的解集

為_____

【答案】{1}

【分析】由已知不等式的解集得相應(yīng)二次方程的根，從而求得"然后再解不等式可得.

【詳解】?.,不等式依2+玄+1>0的解集是（一：,1

-是方程ox?+bx+\=0的兩根.

11b

-----1-1=—

a=-2

由根與系數(shù)的關(guān)系可得;1",解得

-xl=—b=l

I2

貝（jbx2+ax+l<0化為x2-2x+l<0，解得x=l.

/.bx2+or+l<0的解集為{1}?

故答案為：{1}.

4-4（24-25高一上?上海寶山?期中）已知一元二次不等式/+桁+'<0的解集為（1,2）,則不等式區(qū)2-5X+CN0

的解集是.

【答案】-2,1

【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集求出b,c的值，代入到不等式中可求得解集.

【詳解】由一元二次不等式Y(jié)+fov+cvO的解集為（1,2）.

所以方程x2+bx+c=O的兩根為1和2則-。=1+2,c=lx2.

.,.b=—3,c=2.

所以不等式加-5%+。20為3f+5%-2Ko.

解得即不等式的解集為-2,g.

故答案為：-2,-.

題型五,解含有參數(shù)的一元二次不等式

例5（24-25高一上?上海金山?期末）當(dāng)0<a<l時，關(guān)于x的不等式（尤-3）［（1-.）尤+（a-3）］<0的解

集為（）

B.(-8,3)U[^^,+8

A.~,氣|U(3M)

\ci—1

c.D.

a-1)

【答案】c

【分析】將原不等式轉(zhuǎn)換為（x-3）x-y<0,在0<。<1的前提下，比較3,佇1的大小即可得解.

La-1］a-1

【詳解［0<.<1時,1—a>0,不等式（x-3）［（l-q）x+（a-3）］<0可化為（尤一3）無一二<0.

。一1

Z7—3a—3—3ct+3-2Q

因為-—3=---，且0vav1.

a—1a—1a—1

LLt、i—2。_ci—3.

所以-->0,-->3.

a—\a-1

a—3

解原不等式，得3〈尤<y

Q—1

所以原不等式的解集為彳|3<尤<

故選：C.

5-1（24-25高一上?上海楊浦?期中）若方程依2+法+c=。有唯一的實數(shù)根2,則不等式內(nèi)2+fox+cNO的解集

為

【答案】｛2｝或R或（—>,2］或［2,收）

【分析】首先根據(jù)方程的類型分類討論，再根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象求解即可.

【詳解】①。=0時，由題意知方程法+c=0有唯一的實數(shù)根2,此時620,且2/?+c=0.

得不等式法一26之0,即6（x—2）20.

則當(dāng)Z?>0時,％22,當(dāng)匕v0時,x<2.

②當(dāng)"0時，由題意知方程加+法+o=0有唯一的實數(shù)根2.

即二次函數(shù)y=^+6x+c的圖象與x軸只有一個交點（2,0）.

當(dāng)。>0時,不等式a尤2+foc+c20的解集為R.

當(dāng)a<0時,不等式ax2+bx+c>0的解集為｛2｝.

綜上所述,不等式加+云+,之o的解集為｛2｝或R或（-j2］或［2,"）.

故答案為：｛2｝或R或（—,2］或［2,內(nèi)）

5-2（24-25高一上?上海長寧?期末）設(shè)集合A=｛x||x-a|<l｝,B=

(1)若a=0,求Ac5.

⑵若“冗eA”是。G夕的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴付0<x<"

⑵[1,3]

【分析】(1)先分別求出當(dāng)。=0時集合A和集合8,再求它們的交集.

(2)根據(jù)充分不必要條件可知以A是8的真子集，由此確定實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)已知集合&={》11%-。1<1},當(dāng)。=0時,|工一0|<1,即|x|<l.

|x|<l等價于所以集合4={xT<x<l}.

Y—4

對于集合B={x\--<0},這是一個分式不等式.

X

Y—4

分式不等式土r<0等價于以尤-4)<0.

x

解不等式尤(x-4)<0,可得0<x<4,所以集合2={x|0<x<4}.

由前面求出的A={.v