易錯易混02不等式與基本不等式的應(yīng)用

目錄

01錯點掃描?易錯建模夯基石...................................................1

02易錯歸納?查漏補缺避陷阱....................................................3

易錯歸納01忽略不等式成立的前提條件（★★★）.........................................3

易錯歸納02多次使用同向相加性質(zhì)，擴(kuò)大了取值范圍（★★★★）..........................5

易錯歸納03分式不等式（★★★★）.....................................................8

易錯歸納04—元二次不等式不等式恒成立、有解問題（★★★★★）.......................10

易錯歸納05含參一元二次不等式分類討論不完整（★★★★★）...........................13

易錯歸納06基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★）...............................18

03實戰(zhàn)檢測?易錯通關(guān)驗成效...................................................21

01

錯點掃描?易錯建模夯基石

1、不等式的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對稱性a>bob<aO（等價于）

傳遞性a>b,b>c=Q>c二＞（推出）

可加性a>b<^>a+c>b+c=（等價于

a>b

>nac>be

c>0注意C的符號（涉及分類討論

可乘性

a>b的思想）

>^>ac<bc

c<0

a>b

同向可加性a+c>b+d=>

c>d

a>b>0

同向同正可乘性>nac>bdn

c>d>Q

可乘方性a>b>0=（1n>bn（neN,nN2）a,6同為正數(shù)

2、二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系

對于一元二次方程ax2+bx+c^O（a>0）的兩根為石、4且占<%，設(shè)△=尸—4?c，它的解按照△>0,

A=0,△<€）可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)丁=。/+6%+。（”>0）的圖象與x軸的位置關(guān)系也分為

三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式4必+法+c>0（“>0）或改2+法+c<0（“>0）

的解集.

判別式A=Z?2—46A>0A=0A<0

二次函數(shù)y=ax2+bx+c{a>0L

的圖象

aX

有兩個相等的實數(shù)根

一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)

b沒有實數(shù)根

2

ax+Zzx+c=0（〃>。）的根根X],無2（3<%）%="一五

rib、

ax2+Zzx+c>0（〃>。）的解集{x\x<x^Lx>X^}W"-五}R

2

ax+Zzr+cv0（〃>。）的解集[x|<x<x2}00

3、一元二次不等式的解法

（1）先看二次項系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；

（2）寫出相應(yīng)的方程依2+法+°=0（。>0）,計算判別式A：

①A〉0時，求出兩根七、%,且占<々（注意靈活運用十字相乘法）；

b

②△=€）時，求根玉=%=-丁；

-2a

③A<0時，方程無解

（3）根據(jù)不等式，寫出解集.

4、解分式不等式

（D定義：與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如或

g（x）g（x）

（其中/（X）,g（x）為整式且g（x）*0的不等式稱為分式不等式。

（2）分式不等式的解法

①移項化零：將分式不等式右邊化為0：

②44<°o/（X）,g（x）<0

g（x）

器〉。="g（x）〉。

④2M<0o</(X),g(x)V0

g(x)g(x)豐0

f(x)-g(.x)>0

g(x)g(x)H0

5、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

（1）基本不等式:V。>03>。,。+人22益，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取“=”號）其中疝叫做正數(shù)。，b

的幾何平均數(shù)；絲2叫做正數(shù)。，6的算數(shù)平均數(shù).

2

如果V4力eR,有標(biāo)+尸學(xué)？抽（當(dāng)且僅當(dāng)。=6時，取“=”號）

特別的，如果。>0力>0,用J3,、歷分別代替代入1+〃22m，可得：a+b>24ab>當(dāng)且僅當(dāng)

a=6時，"="號成立.

（2）基本不等式鏈

2/五”"b/1a2+b2

1―f?。ㄆ渲衋>0，A>0當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取"=”號）

ab

02

易錯歸納?查漏補缺避陷阱

?易錯歸納01忽略不等式成立的前提條件?

【易錯陷阱?避錯攻略】

1、在運用不等式性質(zhì)之前，一定要準(zhǔn)確把握前提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.一「

2、不等式性質(zhì)包括“充分條件（或者是必要條件）”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ),

后者一般是解不等式的理論基礎(chǔ).

1.（2025?上海長寧?二模）已知非零實數(shù)。>6,則下列命題中成立的是（）.

A.a2>b2B.ab>b2C.a2+b2>2y[abD.a3>b3

【答案】D

【分析】利用賦值法即可判斷A,B,C,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】由已知當(dāng)。=2,b=4所以/<62,故A錯誤；

因為。>>，當(dāng)A<0時，所以他<〃，故B錯誤；

當(dāng)非零實數(shù)”，萬一正一負(fù)時，族無意義，故C錯誤；

因為y=V在R上單調(diào)遞增，且。>6,

所以〃>》3,故D正確.

故選：D.

2.（23-24高三上?四川南充?月考）若a>2>0,c>d,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a—b<0B.ac>bd

ab

C.ac1>be1D.———>———

【答案】D

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷AD選項，利用特殊值法可判斷BC選項.

【詳解】因為a>6>0,c>d,

對于A選項，a-b>0,A錯；

對于B選項，不妨取a=2,b=l,c=-l,d=-2,則<7c=-2=8d,B錯；

對于C選項，取c=0,則/=0=歷2,c錯；

對于D選項，由題意可知，c2+l>0,由不等式的基本性質(zhì)可得號>工，D對.

c+1c+1

故選：D.

3.（23-24高三上?江西?期中）已知a,b,c為實數(shù)，則（）

nh

A.若一>—,貝B.ac1>be1,貝!Ja>人

cc

/7h

C.若一<一,則D.若a<b,則。2<〃2

cc

【答案】c

【分析】由不等式的性質(zhì)逐項判斷即可.

nh

【詳解】對于A,若巴>巴,當(dāng)c<0時，由不等式性質(zhì)得。<6,故A錯誤；

CC

對于B,若收2上兒2,當(dāng)c=0時，“力大小關(guān)系無法確定，故B錯誤；

對于C,若則cwO,所以°2>。，不等式兩邊同乘以°2,可得ac<bc,故C正確;

CC

對于D,若avbvO,則〃2〉〃，故D錯誤.

故選：C.

4.（24-25高三下?海南?月考）（多選題）已知Q>b>O>c,則下列各選項正確的是（）

bb-c11

A.-<------------>-------

aa-ca+cb+c

一Qb

C.------>-------D.ciH—〉bd—

b—ca—cba

【答案】AC

【分析】利用作差法判斷A；舉例說明判斷BD；利用不等式性質(zhì)判斷C.

,_-bb-cb(a-c)-a(b-c)(a-b)c<0,則2〈竺￡,A正確;

【詳解】對于A,由Q>〃>0>C,得-------=一

aa—ca(a-c)a(a-c)aa-c

而」一1

對于B,取〃=21=1,。二一3,滿足=—1<—，B錯誤;

a+c2b+c

對于C,由a>Z?>0>c,^a-c>b-c>0,貝U--->--->0,因此---->----，C正確;

b—ca—cb—ca—c

_c1c

對于D,取。=2/=1,c=-3,滿足a>Z?>0>c,而QH—=-1<—=b-\—,D錯誤.

b2a

故選：AC

5.(2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測)(多選題)已知a>b>c>0,貝I()

a+ca

A.----<——B.b2>ac

b+cb

11

C.------〉-------D.a(c2-l)>Z?(c2-l)

b+ca+c

【答案】AC

【分析】作差判斷A；舉例說明判斷BD；利用不等式的性質(zhì)判斷C.

【詳解】a>b>c>0,

a+cab(a+c)-a(b+c)c(b-a)a+ca

對于A,-----------=-----------------------=----------<(J則k射A正確;

b+cbb(b+c)b(b+c)

對于B,取“=4,6=2,。=1,滿足a>b>c>0,而=4=ac,B錯誤;

對于C,a+c>Z?+c>0,因止匕--->-------，C正確；

b+ca+c

對于D,a>b>l,取。=1,滿足〃而1)=0=僅/—1),D錯誤.

故選：AC

?易錯歸納02多次使用同向相加性質(zhì)，擴(kuò)大了取值范圍?

【易錯陷阱?避錯攻略】

1、在多次運用不等式性質(zhì)時，其取等的條件可能不同，造成多次累積誤差，結(jié)果擴(kuò)大了取值范圍.為了避

免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用不等式性質(zhì)時取等的條件是否相同；②盡量多使用等式.

2、解決思路

一般先用整體法建立所求代數(shù)式與已知代數(shù)式的等量關(guān)系，再通過不等式的性質(zhì)求得.

3、解決步驟

第一步：把所求代數(shù)式5用條件的代數(shù)式0,f表示出來，即S=7叩+〃/.

第二步：列方程組，求出機(jī)，〃的值.

第三步：分別求出b和加的取值范圍.

第四步：求出S=7%?+加的取值范圍.

1.（2025?河北滄州?模擬預(yù)測）已知2<aW4,-i<fo<o,則2a-6的取值范圍（）

A.[4,9）B.（4,9）C.（5,8]D.（5,8）

【答案】B

【分析】由不等式的同向可加性得到結(jié)果.

【詳解】因為2<aV4,-K*<O^4<2?<8,O<-&<1,所以4<2a—6<9.

故選：B.

2.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知[JT<&</<■7T!，則2a-24的取值范圍是（）

C.（-71,71）D.（-71,0）

【答案】B

【分析】應(yīng)用不等式的性質(zhì)，線性運算即可求出2a-26的取值范圍.

【詳解】因為所以g<2a<私一無<一2/7<-5,

ITTT

則一;<2々一24又a<f3、所以2&_2刀<0,

從而-\IT<2a-2尸<0.

故選：B.

3.已知實數(shù)無，y滿足lVx+yW4,-l<x-y<2,貝I」4x-2y的取值范圍是()

A.[-4,10]B.[—3,6]C.[—5,13]D.[—2,10]

【答案】D

【分析】利用待定系數(shù)法求得4x-2y=(x+y)+3(x-y),然后利用不等式的基本性質(zhì)可求得4元-2y的取值

范圍.

【詳解】設(shè)4x-2y=m(x+y)+〃(x-y),貝(](7%+〃)x+("2-w)y=4x-2y,

yiq-L17—4m-1

所以，_解得~,即4x—2y=(x+y)+3(x—y),

fTL-Yl——/Yl—3

l<x+^<4\l<x+y<4

-l<x-y<2,"|-3<3（x-j）<6

因止匕，4x-2y=（x+y）+3（x-y）e[-2,10].

故選：D.

4.（多選題）已知lvav2且一5V力v3,貝U（）

A.~4<62+Z?,<5B.—1<〃一b<6

b

C.-5<ab<6D.-5<-<3

a

【答案】AD

【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷A；利用特值法判斷BC；利用不等式的性質(zhì)及作差法判斷D.

【詳角牟】?**1<<2H.—5VZ?V3,?'.1—5va+Z?v2+3,BP—4-<tz+Z?<5,正確；

取a=1.8/=—4.8,貝Ija—8=6.6>6,故B錯誤；

取。=1.8*=-4,則"=—7.2v—5,故C錯誤；

1<a<2,5<<10,又一5vbv3,0</?+5tz<13,

-5/

aaa

?lvav2,??―6V—3av—3,3^—5<b<3,??—11<Z?—3〃<0,

綜上，_5<—<3,故D正確，

a

故選：AD.

5.（多選題）已知實數(shù)X，>滿足lVx-y45,3<3x+y<ll,貝I」（）

A.x的取值范圍是{x|lW*V4}

B.y的取值范圍是{y|TV”3}

c.x+y的取值范圍是{尤+止i<x+y45}

D.2x+y的取值范圍是{2x+y|lW2x+y48}

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)逐項推理求解判斷.

【詳解】不等式lWx-yW5,3<3x+y<U,

對于A,l+34（x-y）+（3x+y）45+ll,BP4<4x<16,解得1WXW4,A正確;

對于B,Vl<x-y<5,-5<y-%<-l,-15<3（y-x）<-3,

J^3?3x+yWil,—15+3<3（y—x）+（3尤+y）<—3+11,

gp-12<4y<8,解得一3"42,B錯誤；

對*于C,*.?-5Wy-x<-1,3W3x+yWll,—5+3<(y—%)+(3%+y)<-1+11,

即一2?2x+2y<10,解得—l?x+y<5,C正確；

5119333

對于D,,-<—(3x+y)<--,

444444

13

X2x+y=--(x-y)+-(3x+y),

44

5913331

?**-T+-7-7(x—丁)+:(3%+，)工二一：，所以l<2x+y<8,D正確.

444444

故選：ACD.

?易錯歸納03分式不等式?

【易錯陷阱?避錯攻略】

1、求解不等式時，一定要注意化簡的等價性，如去分母時要保證分母不為0、平方時范圍不能變大、兩邊

同乘(除)一個因式時要注意判斷因式的符號等.

2、應(yīng)用同號相乘(除)得正，異號同號相乘(除)得負(fù)，將其轉(zhuǎn)化為同解整式不等式.在此過程中，變形

的等價性尤為重要.

1.(2025?新疆?模擬預(yù)測)若集合A={NO4x<l},B=則AB=()

A.(0,1)B.[0,1)C.[0,2)D.(0,2)

【答案】C

【分析】利用分式不等式化簡集合8,再利用集合的并集運算即可.

【詳解】依題意A=[0/)，B=

因為§>3,所以9一3>0,即殳總>0,

XXX

所以X(6-3%)>0,其中xwO,解得0<x<2,

所以3=(0,2),

「.AB=[0,2).

故選：C.

2.(2025?山東聊城?二模)已知集合A={x|=不之。[,則AB=()

A.[0,2)B.(1,2]C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】先根據(jù)一元二次不等式計算求解集合2,再應(yīng)用交集定義計算判斷.

【詳解】集合4Hm>1}‘八x->0=[0,2),

則Ac3=(l,2).

故選：C

2

3.若“才3人，是“工vl”的充分不必要條件，則實數(shù)上的取值范圍是()

x-1

A.[3,+oo)B.(3,+oo)C.[1,-Kx))D.(fl]

【答案】B

2

【詳解】7<1，當(dāng)兀>1時，x-l>0,BP2<x-l,解得光>3,故止匕時光>3符合題意.當(dāng)％<1時，x-l<0,

x-1

所以--<0<1,故％<1符合題意.由=7Vl得%￡(—叫1)(3,+8),由題可知{R%之口是(F,1),(3,+o))

x-1x-1

的子集，所以左>3.

Y+1

4.(24-25高三下?重慶沙坪壩?開學(xué)考試)已知集合4={]|；；—20},5={%|log2%2-1},貝IJ&A)B=()

2-x

A.[1,2)B.[1.2]C.[2,+oo)D.(2,+s)

【答案】C

【分析】解不等式化簡集合，再利用補集、交集的定義求解.

【詳解】依題意，A={x[；八}={x|TWx<2},則\A=(-8,-1)[2,+8),

[2-x^0

B={x\x>^\,所以&A)B=[2,+oo).

故選：C

<o1,N={y|y=2=尤eR},則\知門"=()

5.(24-25高三上?海南?月考)設(shè)集合M=

3-x

A.{x|l<x<3}B.{x|0<x<l^cx>3}

C.{x|l<x<3}D.{X|0<%<1或％23}

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次不等式不等式求解得出集合M應(yīng)用指數(shù)函數(shù)值域得出集合N,最后應(yīng)用交集及補集定

義計算即可.

【詳解】設(shè)集合M=Jx|工V0|={x|尤>3或xWl},N={y|y=2',尤eR}={y|y>0},

則々M={x[l<x43},

則々McN={x[l<x43}.

故選：C.

?易錯歸納04一元二次不等式不等式恒成立、有解問題?

【易錯陷阱?避錯攻略】

1、解一元二次不等式的步驟:

第一步：將二次項系數(shù)化為正數(shù)；

第二步：解相應(yīng)的一元二次方程；

第三步：根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；

第四步：寫出不等式的解集.容易出現(xiàn)的錯誤有：①未將二次項系數(shù)化正，對應(yīng)錯標(biāo)準(zhǔn)形式；②解方程出

錯；③結(jié)果未按要求寫成集合.

2、求解二次型不等式恒成立問題時要注意兩個關(guān)鍵點：一看二次項的系數(shù)；二看不等式恒成立（有解）的

區(qū)間.

1."不等式如?+工+4加>0在R上怛成立"加的取值范圍是（）

A.m>—B.0<m<—

44

11…1

C.m<——D.m<——或機(jī)>一

444

【答案】A

fm>0

【分析】分機(jī)=0和切。0,當(dāng)僧。0,利用條件得到人?打2八，即可求解.

[A=l-16m<0

【詳解】當(dāng)機(jī)=0時，得到x>0,不合題意，

fm>01

當(dāng)機(jī)H0時，由題知LT,解得m>->

[A=1-16/72*<04

故選：A.

2.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?期末）已知命題“mx°eR,辦;+2”-120”為假命題，則實數(shù)。的取值

范圍是（）

A.（一8,-1）口（0,+8）B.（-1,0）C.[-1,0]D.（-1,0]

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得命題：“VxwR，辦?+2辦-1<0”為真命題，討論。是否為0,解不等式，即可求得

答案.

【詳解】由題意知命題“出oeR,ax；+2%-1N0”為假命題,

貝！J命題“VXGR,加+2以一1<0”為真命題，

故當(dāng)〃=。時，加+2以-1<0,即為-1<0,符合題意；

ftz<0,

當(dāng)時，需滿足L/2/八解得-LvavO.

[A=4a+4。<0,

綜上，實數(shù)。的取值范圍是（-1,0].

故選：D.

3.（24-25高三上?四川成都?月考）已知關(guān)于x的不等式62-2彳+30<0在（。,2]上有解，則實數(shù)。的取值范

【答案】B

【分析】分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不等式的存在問題進(jìn)行求解，構(gòu)造均值不等式求得最值，從而得到結(jié)果.

2x_2

【詳解】當(dāng)x40,2]時，由加一2x+3a<0可得“<77?=二1，

因為X>0,由基本不等式可得，3-二3，

尤+—2.x--

x7x

當(dāng)且僅當(dāng)尤=3,即彳=有時，等號成立，故a（3.

x3

故選：B.

4.（24-25高三上?河南許昌?期中）Vx?-2,y）,犬+（4-4）x+7-2aN0恒成立，則實數(shù)a的最大值為（）

A.73B.3C.2A/3D.6

【答案】C

【分析】分離參數(shù)變?yōu)樵冢?2,+8）上恒成立，利用基本不等式求解最值得a<2后，即可得解.

x+2

【詳解】V]￡（-2,+8）,九2+（4-a）x+7-2〃2。恒成立，

即%2+4%+72々（x+2）在（—2,+8）上恒成立，

所以。4尤?+4x+7=（x+2）?+3=5+？）十二—在（一2,+⑹上恒成立,

x+2x+2x+2

又口+2）+二一22、人+2）?二一=2石，當(dāng)且僅當(dāng)尤+2=±,即x=&-2時取等號,

''x+2'x+2x+2

所以a42君，則實數(shù)。的最大值為2g.

故選：c

22

5.已知命題P：e[0,3],a=-x+2x;命題4：Vxe[—1,2],x+ax-8<0.若P為假命題，4為真命題,

則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[-3,1]B.(-?,2]

C.[-7,-3)U(l,2JD.(-a),-3)..(1,2]

【答案】C

【分析】結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立問題求解即可;

【詳解】命題P：e[0,3],a=+2尤為假命題，

a=—jc+2尤在xe[0,3]上無解,

即y=a與y=—必+2%,xc[0,3]函數(shù)圖象沒有交點,

由圖可知：或。<-3,

命題4：Vxe[—1,2],爐+ax-840為真命題,

1—〃一8<0

解得一74。42,

4+2?-8<0

綜上所述：實數(shù)〃的取值范圍為[-7,-3)口(1,2].

故選：C.

6.(24-25高三上?黑龍江綏化?期中)命題“正可-3,2]/2-2x-2心0”為假命題，則實數(shù)。的范圍為.

【答案】

【分析】根據(jù)特稱、全稱命題為假命題，則其否定為真命題，將問題化為不等式恒、能成立求參數(shù)范圍即

可.

【詳解】若命題“以e[-3,2],V-2x-2aN0”為假命題,

則命題“e[—3,2j,x~—2x—2a<0”為真命題，

由f—2%—2a<0<^>Q>]f—xf

即￡[—3,2],a>/]?—x,

y=-^x2-x,xe［-3,2］,

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)y=；爐-x的對稱軸為x=l,

則函數(shù)y=-x,在卜3,1）上單調(diào)遞減，在（1,2］上單調(diào)遞增，

故尤=1時，Win=；xF_l=_g,

因此可得?！?，

2

故答案為：（―g#001

7.（24-25高三上?北京海淀?月考）若命題“對任意xeR,依2+2x+a?0為假命題的a的取值范圍是

【答案】a<l

【分析】寫出全稱量詞命題的否定，mxwR,ax2+2x+a<0為真命題，分。=0,a<0和。>0三種情況，得

到不等式，求出答案.

【詳解】由題意得三尤eR,a/+2x+a<0為真命題，

當(dāng)。=0時，不等式為2x<0,有解，滿足要求，

當(dāng)awO時，若a<0,此時加+2尤+a<0必有解，滿足要求，

若。>0,貝1JA=4-4〃>0,解得

綜上，。的取值范圍為a<l.

故答案為：a<\

?易錯歸納05含參一元二次不等式分類討論不完整?

【易錯陷阱?避錯攻略】

解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

二次項系數(shù)若含有參數(shù)，則應(yīng)討論

回4一3］該參數(shù)是等于0,小于0,還是大

魯爰1人——于0,若等于0,則直接代入求解；

【貝余1效若小于0,則將不等式轉(zhuǎn)化為二次

I項系數(shù)為正的形式再求解_________

慧臂----［討論判別式4與0的關(guān)系I

［［確定方程無根時可直接寫出解集；

［寫出解集］-----確定方程有兩個根時，判斷兩根的

大小關(guān)系，從而確定解集

注：求解方程的根時可優(yōu)先考慮用因式分解的方法求解，不能因式分解時再求判別式用求根公式計算.

1.解下列關(guān)于X的不等式（4-切1-5]>0（0<.<1）.

【答案】k

【分析】根據(jù)原不等式中參數(shù)的范圍判斷其對應(yīng)一元二次方程根的大小，進(jìn)而確定不等式的解集即可.

【詳解】依題意（。-力、-1]>0,且

所以（x—|<0,Ma<1<—,解得a<尤<，，

<a）aa

所以原不等式的解集為

2.解關(guān)于x的不等式：x2-（a+a2）x+a3>O（aeR）.

【答案】答案見解析

【分析】根據(jù)解含參的一元二次不等式的解法計算即可.

【詳解】將不等式/一（。+。2）*+43>0變形為（天一叭%—/）〉。.

當(dāng)a<0時，。<<?,，原不等式的解集為｛尤1刀<?；蜥?gt;。2｝；

當(dāng)。=0時，。="=0,?.原不等式的解集為｛x|x/0｝；

當(dāng)0<。<1時，,.原不等式的解集為｛x|x<"2或*>°｝.

當(dāng)。=1時，。=/=1,.?.原不等式的解集為"|x片1｝；

當(dāng)。>1時，a<a2,:.原不等式的解集為｛xIx<?；驘o>a2）

綜上所述，當(dāng)。<0或。>1時，原不等式的解集為｛x[x<。或x>/｝；

當(dāng)。=0時，原不等式的解集為｛X|XH0｝；

當(dāng)0<。<1時，原不等式的解集為｛x|尤或x>。｝；

當(dāng)。=1時，原不等式的解集為Wxwl｝.

3.（23-24高三上?福建莆田?月考）解關(guān)于x的不等式：ax2-（a+2）x+2<0（aeR）.

【答案】答案見詳解

【分析】討論。=0,。>0,。<0時，分別解出不等式即可.

【詳解】若。=0,不等式化為—2x+2<0,解得x>l；

不等式的解集為｛尤I尤>1｝;

若”0,則不等式化為缶-2）（x-l）<0,

2

且（6-2）（x-l）=0時，x,=-,x=1,

a2

①若Q>0,

則若工>1,即0<。<2時，原不等式的解集為｛x|l<x<2｝；

aa

2

若一二1,即。=2時，原不等式的解集為0；

a

22

若一<1,即。>2時，原不等式的解集為｛刈一。<1｝；

aa

2

②若a<0,則一<1,

a

且不等式變化為(-以+2)(%-1)>0,

2

解得了>1或％<—，

a

原不等式的解集卜141或

綜上所述，當(dāng)。<0時，不等式的解集為｛x|x>l[x|x〉l或

當(dāng)。=0,不等式的解集為｛x|x>l｝；

當(dāng)0<。<2時，不等式的解集為｛x[l<x<2｝；

a

當(dāng)。=2時，不等式的解集為0；

2

當(dāng)。>2時，不等式的解集為｛x|—<兀<1｝；

a

4.(24-25高三上?安徽銅陵?月考)^f(x)=nvc2+(l-m)x+m-2.

(1)若機(jī)>-1,求—+2""的最小值;

m+1

(2)解關(guān)于x的不等式/(尤)<m-1.

【答案】⑴4；

(2)答案見解析；

【分析】(1)由貯吆吧0=加+1+/—，應(yīng)用基本不等式求其最小值；

m+1m+1

(2)由題設(shè)有(〃zr+l)(x-l)<0,討論參數(shù)機(jī)并解一元二次不等式求解集.

【詳解】(1)由J?+2-+5=?+1)2+4?加+]+上，且m+1>0,

m+1m+1m+1

所以0+]+—422)(徵+1>4_=4,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=1時取等號，

m+1Vm+1

所以加+2加+5的最小值為4.

m+1

(2)由題設(shè)mx?+(1—m)％+小一2v根一1,貝Imx?+(1—機(jī))]一1=(mx+l)(x-l)<0,

若加=0,則％-1<0,即X<1,解集為(一8,1)；

,11

若機(jī)>0,則(XH—)(x—1)<0,解集為(--,1)；

mm

若771V0,則(%H----)(%—1)>0,

m

當(dāng)一~->i,即—IWmVO時，解集為(一8,1)1(—■-,+00);

mm

當(dāng)一_L<1,即加<_1時，解集為(-8,一_1)(1,用)；

mm

綜上，m=0時解集為(-8,1)；

〃2>0時解集為(-工,1);

m

-1V機(jī)<。時解集為(-00,1),.(-L+8);

m

7"<-1時解集為(-<?,-,)1(1,+00).

m

5.若函數(shù)〃%)=加+Z;x+4,

⑴若不等式“X)<0的解集為1,j,求a/的值;

(2)當(dāng)。=1時，求f(x)>O(?R)的解集.

［答案］⑴a=2,6=-9

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)條件，利用韋達(dá)定理建立方程組;24°,且。>0,即可求出結(jié)果;

(2)利用含參的一元二次不等式的解法，分A<0,A=0,和A>0三種情況討論，即可求出結(jié)果.

【詳解】⑴因為d+fcc+4<0的解集為1,4),

b

22a

所以?！?且〈,解得。=21=-9.

1,4

一?4=2=一

2a

(2)a=l,f(x)=x2+Zzx+4,所以/(尤)>。，即f+法+4>0,

又

當(dāng)△<(),即T<6<4時，〃x)>0的解集為R；

當(dāng)△=(),即6=±4時，若6=4,/(x)>0解集為｛小片-2｝,若b=T,/(x)>。解集為｛小片2｝；

當(dāng)△>(),即Z?v-4或人>4時，爐+陵+4=0的兩根為王=—^——,%="~-——>且有％1<

1222

此時，的解集為]x|x<-幽或x〉一b+J；_16’,

綜上所述，當(dāng)T<6<4時，/(力>0的解集為R；

當(dāng)6=4,〃力>0解集為何研一2},當(dāng)b=Y,/(力>0解集為何中2}；

當(dāng)6<-4或Z?>4時，/(x)>0的解集為<xx<_b7：T6或x>一"沖.吼.

乙乙

6.解關(guān)于x的不等式依2+x+140(aeR).

【答案】答案見解析

【分析】根據(jù)二次項系數(shù)的正負(fù)性，結(jié)合一元二次不等式的解法分類討論進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)。=0時，由or?+x+lWOnx+l<O=>x<-l，不等式的解集是.

(2)當(dāng)。<0時，因為A=l-4a>0,

方程ar?+無+1=0的兩根為二一a4“和1+a二,不等式的解集是

2a2a

-1+Jl-4q一1一，1一4〃

一0°'2a2a

⑶當(dāng)。<a<；時,

因為ATTa〉。，

方程62+x+1=o的兩根為和-l+V^,不等式的解集是-1-J1-4a-1+J1-4q

2a2ala'la

(4)當(dāng)〃=—時，因為A=l—4〃=0,

4

方程雙2十1+i=o的兩相等根為-2,不等式的解集是{-2}.

(5)當(dāng)”>■!■時，因為A=l-4“<0,

4

方程依2+工+1=0無實根，所以不等式的解集是0.

綜上所述：

當(dāng)a=0時，不等式的解集是(—0,-1].

、

-1+11-4〃-1-J1-4a

當(dāng)〃<0時,不等式的解集是,+。

2a2a

7

不等式的解集是近，士尸

當(dāng)0<a時,

42a2a

當(dāng)”;時，不等式的解集是；{-2}.

當(dāng)時，不等式的解集是。.

4

?易錯歸納06基本不等式忽略一正二定三相等?

【易錯陷阱?避錯攻略】

1、利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點：

①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立（彼此不沖突）

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始

范圍.

注：形如y=x+q（a>0）的函數(shù)求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數(shù)的單

x

調(diào)性求解.

2、通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面

的問題：

（1）拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；

（2）代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；

（3）拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.

3、利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿

足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數(shù)或加上

一個數(shù)，“1”的代換法等.

1.（2025?山東荷澤?一模）“無>0”是“2，+^>2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)基本不等式等號成立條件判斷充分性，取特值驗證判斷必要性即可.

【詳解】若x>0,貝所以2工+-!-22、2'」=2,

2V2

由2'=；得尤=0,因為x>0,所以取不到等號，即2、+￡>2,

所以“x>0”是“2*+二>2”的充分條件；

2

1

又x=-l時，2-+^?=|>2,所以“無>0”不是“2，+：>2”的必要條件.

綜上，“x>0”是“2，+=>2”的充分不必要條件.

2

故選：A

2.（23-24高三下?遼寧本溪?開學(xué)考試）下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

2XX

A.y=x+（B.y-+e2

.1f.兀）x2+3

C.y=sinx+------0<x<—D.v=—i=

sinx（