第一章勾股定理單元測試

一、單選題

I.已知V48c的一邊3C=5,另兩邊長分別是3,4,若P是Y4BC邊BC上異于B,C的

一點，過點P作直線截VABC,截得的三角形與原VA8C相似，滿足這樣條件的直線有（）

條

A.4B.3C.2D.1

2.某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時，梯子底端N到左

墻的距離/E為0.7m,梯子頂端。到地面的距離DE為2.4m,若梯子底端/保持不動，將

梯子斜靠在右墻8C上，梯子頂端C到地面的距離C3為2m,則這兩面直立墻壁之間的安全

3.如圖，將矩形4BCD沿直線。E折疊，頂點/落在2C邊上尸處，已知B￡=3,CD=8,

則3尸的長為（）

AD

A.5B.4C.3D.2

4.下列各組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.8、15、17D.10、12、15

5.如圖，在四邊形/5C。中，E,F分別是48,4D的中點，若EF=2,BC=5,CD=3,

貝UsinC等于（）

D

E

------------------------------

,34廠4一3

A.-B.-C.—D.一

4355

6.如圖，在VNBC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,將V48c繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)，點8落

在點。處，則3、。兩點間的距離為（）

A.V10B.2A/2C.3D.275

7.點尸的坐標為（0,2）,點/（2,-2）是垂直于〉軸的直線/上的一點，經(jīng)過點尸，且與

直線/相切于點/，則點”的縱坐標為（）

A.1B.1C.2D.4

8.如圖，點尸是。。直徑N3的延長線上一點，尸。切。。于點C,已知03=3,PB=2.則

PC等于（）

A.2B.3C.4D.5

9.一架長5m的梯子斜靠在墻上，梯子底端到墻的距離為3m.若梯子頂端下滑1m,那么

梯子底端在水平方向上滑動了（）

A.ImB.小于ImC.大于ImD.無法確定

10.如圖，把含30。的直角三角板48C繞點8順時針旋轉(zhuǎn)至如圖△E8。，使BC在BE上,

延長NC交DE于尸，若/尸=8,則AB的長為（）

3-E

D

A.4B.4^/2C.473D.6

二、填空題

11.必-4BC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,CD.CE分別是斜邊上的中線和高，則

DE=cm.

12.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足,那么這個三

角形是直角三角形.（直角三角形的判定）

13.如圖，在正方形網(wǎng)格中，若小方格的邊長均為1,則VN3C是三角形.

14.將一根24cm的筷子，置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱體中，如圖，設(shè)筷子露

出在杯子外面長為hem,則h的最小值_,h的最大值.

15.如圖，分別以VN3C的三邊為直徑向三角形外作半圓，圖中有陰影的三個半圓的面積

岳、邑、$3的關(guān)系為H+邑=$3,則VABC是三角形.

三、解答題

16.如圖，數(shù)學活動課上，老師帶領(lǐng)全班學生測量旗桿高度，已知旗桿頂端垂下了一根繩子,

繩子的末端點E距離地面的高度BE為0.5米，老師讓小明拿起繩子末端向前走了5米至點C

處，此時繩子末端距離地面的高度。為1.5米，求旗桿N8的高度.

17.已知/N為銳角，cos^4=—,求sirU,taM的值.

18.一個直角三角形三邊的長為三個連續(xù)偶數(shù)，求這個三角形的三條邊長.

19.如圖，正六邊形尸的中心為原點。，頂點4。在x軸上，半徑為2cm.求其各

個頂點的坐標.

使點8恰好落在。/邊上的點E處，分別以O(shè)C,CM所在的直線為x軸，y軸建立平面直角

《第一章勾股定理單元測試》參考答案

題號12345678910

答案BABDCAACAC

1.B

【分析】由3c=5,另兩邊長分別是3,4,可知△/BC是直角三角形，過點P作直線與另

一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個公共角，只要再作一個直角就可以.

【詳解】解：如圖，

VBC=5,另兩邊長分別是3,4,

又,:32+42=52,

：.ZA=90°,即△/8C是直角三角形，

:過P點作直線截△/2C,則截得的三角形與△/2C有一公共角，

..?只要再作一個直角即可使截得的三角形與RtAABC相似，

過點P可作的垂線、/C的垂線、2c的垂線，共3條直線.

故選：B.

【點睛】本題主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其運用，解題時運用了兩

角法（有兩組角對應相等的兩個三角形相似）來判定兩個三角形相似.

2.A

【分析】本題考查的是勾股定理的應用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，領(lǐng)會

數(shù)形結(jié)合思想的應用.先根據(jù)勾股定理求出4。的長，同理可得出NB的長，進而可得出結(jié)

論.

【詳解】解：在RMADE中，NAED=90。,AE=0.7m,DE^2Am,

AD=y）AE2+DE2=2.5，

在RtZX/BC中，ZABC=90°,BC=2m,AC=AD=2.5,

AB=y/AC2-BC2=J6.25-4=1.5，

，BE=NE+42=0.7+1.5=2.2m，

故選：A.

3.B

【分析】由折疊的性質(zhì)得到ZE=EF,AE=AB-BE=8-3=5,根據(jù)勾股定理求出3尸的

長即可求解.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知：AE=EF,4E=AB-BE=8-3=5,

在RtABEF中,EF=AE=5,BE=3,

由勾股定理可得：BF=^EF1-BE1=A/52-32=4-

故選：B.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用和折疊的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)是解答關(guān)鍵.

4.D

【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角

形是直角三角形.據(jù)此逐一判定即可得到答案.

【詳解】解：A、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

B、62+82=102,能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

C、82+152=172,能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

D,102+122^152,不能構(gòu)成直角三角形，符合題意，

故選D.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a,b,c滿足

a2+b2=c2,那么這個三角形就是直角三角形.

5.C

【分析】連接根據(jù)三角形中位線定理求出時，根據(jù)勾股定理的逆定理得到/mC=90。,

根據(jù)正弦的定義計算即可.

■:E,尸分別是43,40的中點,

：.EF=-BD,

2

?/EF=2,

：.BD=2EF=4,

又?.?BC=5,CD=3,

BD?+CD2=BC2,

???ABCD是直角三角形，ZBDC=90°,

?.「_BD_4

??sinC=---=—.

BC5

故選：C.

【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理、解直角三角形的知識，掌握

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)勾股定理先求25=5,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出

AE=4,DE=3,進而用勾股定理求值即可.

:在V/8C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

：.AB=5,

:將V/2C繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在線段4B上的點￡處,

/.AE=4,DE=3,

：.BE=1,

在RLBED中，

BD=NBE&+DE?=麗.

故選：A.

7.A

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到人以，45,求得點M的橫坐標為2,設(shè)“（2,加），過M作

必/_1＞軸于”，連接〃尸，MA,則。，=加，MA=2+mf根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???直線45是。/的切線，

MALAB,

???43”軸，

.?.軸，

??,點/（2,-2）,

???點M的橫坐標為2,

設(shè)Af（2,加）,

過M作軸于連接MA,

貝（OJH=m,MA=2+m,MH=2,

MP=2+m,

:點P的坐標為（O,2）,

OP=2,

:.PH=2-m,

在RtZVWf中，PH2+MH2=MP2.

即（2-加『+22=（2+加『，

解得加=!，

2

二點〃■的縱坐標為g.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】根據(jù)題意連接0C,依據(jù)切線性質(zhì)得出。C，尸C,進而利用勾股定理即可求出尸C.

【詳解】解：連接。C,

■:PC為。O的切線，

...OCVPC,

'：OB=OC=3,尸3=2,

尸。=尸8+。6=2+3=5,

PC=yjpo2-oc2=J52-3?=4.

故選：C.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)以及勾股定理的運用是解題的關(guān)鍵.

9.A

【分析】根據(jù)題意作圖，利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意作圖如下，

AC=y]AB2-BC2=A/52-32=4>

EC=AC-AE=4-1=3,

CD=^DE--EC1=后4=4，

BD=CD—CB=4—3=\,

，梯子底端在水平方向上滑動的距離是1m.

故選A.

【點睛】本題主要考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作圖分析求解.

10.C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NN=NE=30。，設(shè)3C=x,根據(jù)直角三角形的性

質(zhì)得到/8=。后=2X，根據(jù)勾股定理得到/C=」AB-BC'A，根據(jù)題意列方程即可得到

結(jié)論.

【詳解】解：???把含30。的直角三角板/2C繞點3順時針旋轉(zhuǎn)得到△EAD,

：.AB=BE,

：.//=/￡=30。，

ZACB=90°,

：./ED尸=90°,

設(shè)8C=x,

??45=5E=2x,

；?CE=x,AC=JAB?-BC?=&，

VZECF=90°,ZE=30°,

：?CF=；EF,

■:CE=x,

:.CF=BX,

3

??Z尸=8,

V3x+^-x=8，

3

'-x—2A/3

??AB—2x=，

故選：C

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.1.4

【分析】由題意可畫圖，利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)。是邊的中線，求出

的長，再禾U用S.4c=；/C5C=g/5?CE,求出C￡的長，最后在朋A/CE中利用勾股

定理求出/￡的長，即可得出最終結(jié)果.

【詳解】由題意可畫圖，

在MA/BC中，

AB=dAC?+BC2=A/62+82=1Ocm,

??,CD是邊的中線，

AD=—AB=5cm,

2

?；CE是4B的高線，

ACEA=ZCEB=90°,

S..KC=-AC-BC=-AB-CE

.?,1X6X8=-X10.CE

22

/.CE=4.8cm

在比中，

AE=y]AC2-CE2=V62-4.82=3.6cm,

ED=AD-AE=5-3.6=1.4cm

故答案為：1.4.

【點睛】本題主要考查直角三角形和勾股定理的綜合應用，有一定綜合性，熟練掌握勾股定

理解三角形是關(guān)鍵.

12.a2+b2=c2

【解析】略

13.直角

【分析】根據(jù)勾股定理和結(jié)合正方形網(wǎng)格分別求出N8、BC、/C的長，再根據(jù)勾股定理

的逆定理判斷出V/2C的形狀.

【詳解】解：依題意，根據(jù)勾股定理得,

AC=J32+2?=y/13>

AB=762+42=V52，

BC=V82+l2=V65；

V13+52=65

/.AC2+AB2=BC2，

：.ZA=90°,

VABC是直角三角形.

故答案為：直角

【點睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用網(wǎng)格是解題的關(guān)鍵.

14.11cm12cm

【分析】根據(jù)筷子的擺放方式得到：當筷子與杯底垂直時〃最大，當筷子與杯底及杯高構(gòu)成

直角三角形時〃最小，利用勾股定理計算即可.

【詳解】解：當筷子與杯底垂直時〃最大，〃懸t=24-12=12(cm).

當筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，

此時，在杯子內(nèi)的長度=，5?+12?=13(cm),

故%=24-13=11(cm).

故〃的取值范圍是ll<//<12cm.

故答案為：11cm；12cm.

【點睛】此題考查勾股定理的實際應用，正確理解題意、掌握勾股定理的計算公式是解題的

關(guān)鍵.

15.直角

【分析】本題考查勾股定理逆定理，根據(jù)圓的面積公式，結(jié)合題意求出BC2+ZC2=/g2是

解題關(guān)鍵.分別求出E、S］、邑，再結(jié)合國+$2=$3,即可得出5c2+/C2=482,說明VN8C

是直角三角形.

BCACAB

【詳解】解：S2=71XS3=7TX

224

又???S]+S2=S3,

.(BC\1(AC^1(/呂丫1

??71X--------X-----F71X--------X-=7CX--------X-，

(2)2(2)2(2)2

...BC2+AC2=AB2,

vABC是直角三角形.

故答案為：直角.

16.旗桿的高度為13.5米

【分析】本題主要考查勾股定理的實際應用，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

設(shè)繩子長為無米，過。點作。下，于點尸，根據(jù)題意可得M?=(x+0.5)米，

4F=x+0.5—1.5=(x—1)米，AD—x米，DF=BC=5米,由勾股定理得(x—+5?=x?,

求解出x后，即可求旗桿的高度.

【詳解】解：設(shè)繩子長為X米，如圖，過。點作。下，28于點廠，

木艮據(jù)題意得N3=(x+0.5)米，/尸=x+0.5-1.5=(x-1)米，AD=x米，DF=BC=5米,

在Rt"Db中，由勾股定理得(》-1『+52=/,

解得：x=13,

旗桿的高度為13+0.5=13.5米.

答：旗桿的高度為13.5米.

77

17.sin?1——,taii/4——

2524

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊;

余弦等于鄰邊比斜邊；銳角的正切等于對邊比鄰邊.設(shè)b=24x(x>0),c=25x,根據(jù)勾股

定理得。=7x,然后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：如圖，RtA^SC,ZC=90°,cos^=—,

A

設(shè)b=24x(x>0),c=25x.

根據(jù)勾股定理，得/+〃=。2,

??a=qc2—b1=lx-

,..alx7,alx1

..smN=—==—,tanA=-==—.

c25x25b24x24

18.6,8,10

【分析】可設(shè)該直角三角形的三邊長分別為x-2、x、x+2,利用勾股定理可得

(x+2)2=x2+(x-2)2,解方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)該直角三角形的三邊長分別為尤-2、x、x+2,根據(jù)題意得：

(x+2)2=x2+(x-2)2,

解得再=0(舍去)，x2=8.

所以斜邊長為x+2=10.

故這個三角形三邊長為6、8、10.

【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是用尤表示出三邊長.

19.A(-2,0),B(-1,一百)，C(1,一6),D(2,0),E(1,g),F(-1,百)

【分析】過點