拔高點(diǎn)突破01新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：牛頓數(shù)列問(wèn)題...........................................................3

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義.................................................4

題型三：數(shù)列定義新概念.........................................................6

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算.........................................................7

題型五：數(shù)列定義新情景.........................................................9

題型六：差分?jǐn)?shù)列'對(duì)稱(chēng)數(shù)列....................................................10

題型七：非典型新定義數(shù)列......................................................11

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................13

亡法牯自與.柒年

//\\

1、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物接受能力和加以

簡(jiǎn)單運(yùn)用的能力，考查了學(xué)生探究精神.要求解題者通過(guò)觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理

解新定義，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有效的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力

和探索能力(多想少算甚至不算).因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識(shí)歸類(lèi)、套路總

結(jié)、強(qiáng)化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題.

2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問(wèn)題的策略：

(1)通過(guò)給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)的新問(wèn)

題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移,

達(dá)到靈活解題的目的.

(2)遇到新定義問(wèn)題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點(diǎn)，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的

要求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問(wèn)題得以順利解決.

(3)類(lèi)比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏.

題型歸贏總結(jié)

題型一：牛頓數(shù)列問(wèn)題

【典例LD(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))牛頓選代法又稱(chēng)牛頓——拉夫遜方法，它是牛頓在17世

紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設(shè)r是函數(shù)，=/(%)的一個(gè)零點(diǎn),

任意選取與作為r的初始近似值，在點(diǎn)(%"(%))作曲線(xiàn)y=/(x)的切線(xiàn)4,設(shè)與4軸無(wú)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為看,

并稱(chēng)均為廠的1次近似值；在點(diǎn)&"&))作曲線(xiàn)y=〃x)的切線(xiàn)心設(shè)與4軸x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧，稱(chēng)演

為廠的2次近似值.一般地，在點(diǎn)(%J(%))(〃eN)作曲線(xiàn)y=/(x)的切線(xiàn)/?+1,記Z?+1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為飛,并稱(chēng)為廠的”+1次近似值.設(shè)〃x)=V+x-3(x20)的零點(diǎn)為廠，取%=。，則廠的1次近似值

為_(kāi);若乙為廠的w次近似值，設(shè)巴=/考，neN%數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)積為T(mén)“.若任意weN*,

Tn>A恒成立，則整數(shù)％的最大值為一.

【典例1-21記R上的可導(dǎo)函數(shù)/(元)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),滿(mǎn)足乙+|=無(wú)“-務(wù)4(〃eN*)的數(shù)列｛%｝稱(chēng)為函

數(shù)”X)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝為函數(shù)fT的牛頓數(shù)列，且數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足

%=2,a=ln-s—,x>1.

n龍"Tn

(1)證明數(shù)列｛?！埃堑缺葦?shù)列并求

⑵設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S”,若不等式(-1),.0-14<對(duì)任意的〃eN*恒成立，求t的取值范圍.

【變式1-1］英國(guó)物理學(xué)家牛頓用“作切線(xiàn)”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣

泛，若數(shù)列｛七｝滿(mǎn)足無(wú)用則稱(chēng)數(shù)列｛七｝為牛頓數(shù)列，如果〃力=尤2-尸2,數(shù)列優(yōu)｝為牛

X+1

頓數(shù)列，設(shè)%=ln」》且4=1,%>2,數(shù)列｛qj的前〃項(xiàng)和為S“，則$2022=()

A.22022-1B.22022—2C.D.

【變式1-2】科學(xué)家牛頓用“作切線(xiàn)”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，其定義是：對(duì)于函數(shù)

〃龍“)

f(x),若數(shù)列｛七｝滿(mǎn)足加=X"則稱(chēng)數(shù)列優(yōu)｝為牛頓數(shù)列，若函數(shù)"x)=x2,數(shù)列優(yōu)｝為牛頓

數(shù)列且再=2,4=log2x?,則as的值是()

A.8B.2D.-4

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義

【典例2-1】(2024?北京?高考真題)已知集合

M=｛(。/,左,可?€｛1,2｝,/€｛3,4｝,左€｛5,6｝,.€｛7,8｝,且，+/+左+取為偶數(shù)｝.給定數(shù)列A:%,外,…,。8，和序

列。:4弓…刀，其中=…,s),對(duì)數(shù)列A進(jìn)行如下變換：將A的第3九。/項(xiàng)均

加1,其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作4(A)；將7；(A)的第%,為,區(qū)，“項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作

砧⑷;……；以此類(lèi)推,得到((A),簡(jiǎn)記為O(A).

⑴給定數(shù)列A：l,3,2,4,6,3,1,9和序列Q:(l,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫(xiě)出C(A)；

(2)是否存在序列。，使得。(A)為q+2,g+6,%+4,%+2,%+8,4+2,%+4,4+4,若存在，寫(xiě)出一個(gè)符

合條件的。；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若數(shù)列A的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且4+4+%+%為偶數(shù)，求證：“存在序列O,使得O(A)的各項(xiàng)都相等”

的充要條件為“%+的=%+。4=。5+4=%+?8

【典例2-2】(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)加為正整數(shù)，數(shù)列%,%，…，&川是公差不為0的等差數(shù)列，若從中

刪去兩項(xiàng)為和%?</)后剩余的4加項(xiàng)可被平均分為加組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列

%，的，…,“+2是(V)-可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫(xiě)出所有的?,/),14i</46,使數(shù)列…，。6是(盯)-可分?jǐn)?shù)列；

(2)當(dāng)機(jī)23時(shí)，證明：數(shù)列陽(yáng)叼…—.是⑵均-可分?jǐn)?shù)列；

(3)從1,2,…,4徵+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和/(</),記數(shù)列％,外，…,&,”+2是億力-可分?jǐn)?shù)列的概率為&，證

明：Pm>\-

O

【變式2-1](2023?北京?高考真題)已知數(shù)列｛4｝,也“｝的項(xiàng)數(shù)均為機(jī)(加>2),且為也e｛l,2,…,劃,

｛叫，也｝的前〃項(xiàng)和分別為4,紇，并規(guī)定4=線(xiàn)=。.對(duì)于丘｛0,1,2,…,而，定義

7=max｛i|gWA/e｛0,l,2,,其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).

⑴若4=2,%=1,%=3,々=1也=3也=3,求&小4,4的值；

(2)若。二偽,且2。4。+]+力"=1,2,…，機(jī)一1,,求

(3)證明：存在p,q,s,fe｛0,l,2,…,咽,滿(mǎn)足2>%s>/,使得&+旦=+2,.

【變式2-2](2022?北京?高考真題)己知。：心電,….為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)若對(duì)任意的

〃e｛1,2,,在。中存在a.,aM,ai+2,???,ai+j(j>0),使得a,+aM+ai+2+?--+ai+j=n,則稱(chēng)Q為根-連續(xù)

可表數(shù)列.

⑴判斷Q：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；

⑵若。：4，。2,…，4為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：上的最小值為4；

⑶若。：4，電,…,4為20-連續(xù)可表數(shù)列，且q+g+…+4<20,求證:k>l.

【變式2-3](2021?北京?高考真題)設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)｛““｝為況.

數(shù)列：

①q+p20,且4+p=0；

②*<%“，(〃=1，2,“)；

③。e｛a,”+a“+P4+a”+P+l｝,(列〃=1,2,…).

(1)如果數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)為2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能為況2數(shù)列？說(shuō)明理由；

(2)若數(shù)列｛4｝是火。數(shù)列，求。5；

(3)設(shè)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S”.是否存在況？數(shù)列｛q｝,使得恒成立？如果存在，求出所有的p；

如果不存在，說(shuō)明理由.

題型三：數(shù)列定義新概念

【典例3-1](2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))定義：任取數(shù)列｛%｝中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值為1,

則稱(chēng)數(shù)列｛%｝具有“性質(zhì)1”.已知項(xiàng)數(shù)為〃的數(shù)列｛4｝的所有項(xiàng)的和為加“，且數(shù)列｛%｝具有“性質(zhì)1”.

(1)若”=4,且q=0,4=T，寫(xiě)出所有可能的〃“的值；

(2)若％=2024,“=2023,證明：“電。23=2”是“歿〉以+】(無(wú)=1,2,…,2022)”的充要條件；

(3)若q=0,〃22,Af“=0,證明：〃=4〃z或〃=4根.

【典例3-2】對(duì)任意正整數(shù)”，定義〃的豐度指數(shù)/(〃)=亞，其中S(w)為〃的所有正因數(shù)的和.

n

(1)求48)的值:

⑵若an=/(2"),求數(shù)列｛〃%｝的前"項(xiàng)和Tn

(3)對(duì)互不相等的質(zhì)數(shù)加"，〃，證明：7(p3nm)=l(p3)7(m)/(n),并求/(2024)的值.

【變式3-1](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于數(shù)列｛%｝,定義%=%-4("€河)，滿(mǎn)足

4=%=1,A()=m(mGR),記/(見(jiàn)〃)="叩+電療+…+a,附",稱(chēng)/(加,n)為由數(shù)列｛。,｝生成的“利-函

數(shù)”.

(1)試寫(xiě)出“2-函數(shù)”fM,并求”2,3)的值；

⑵若“1-函數(shù)”/(I,")415,求力的最大值;

⑶記函數(shù)S(x)=x+2/+…+依"，其導(dǎo)函數(shù)為S'(無(wú))，證明：“機(jī)-函數(shù)”

/(m,n)=S(m)-S(m)+(m+1)>,m.

22；=i

【變式3-2](2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))定義：在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形

成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱(chēng)為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，例如：數(shù)列1,2,3經(jīng)過(guò)第一次“和擴(kuò)充”后得到

數(shù)列1,3,2,5,3；第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列143,5,2,7,5,8,3.設(shè)數(shù)列瓦c經(jīng)過(guò)九次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列

的項(xiàng)數(shù)為匕，所有項(xiàng)的和為s..

⑴若。=2,6=3,c=4,求鳥(niǎo),邑；

⑵求不等式￡22024的解集；

⑶是否存在數(shù)列a,6,c(a,6,ceR),使得數(shù)列母}為等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算

【典例4-1](2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))記集合5={{?！皚|無(wú)窮數(shù)列{風(fēng)}中存在有限項(xiàng)不為零，〃eN*},

對(duì)任意{%}eS,設(shè)夕({%,})=%+%x+…+4,x"T+…,xwR.定義運(yùn)算區(qū):若{4},{%}eS,則

{4}③也}eS,且。({4}?2})=。({4}).夕他}).

⑴設(shè)也}區(qū)也}={4}，用％,4，生,仿也，4表示4；

⑵若{%}，也},{c0}eS,證明:({叫8佃})幽毫={4}應(yīng)他}到％})：

(?+1)2+1<<<<

(3)若數(shù)列⑷滿(mǎn)足4=9+1)數(shù)列也}滿(mǎn)足勿=⑸，W500,設(shè)

0,7?>100〔0,”>500

{%}③也}={4}，證明：^200<1.

【典例4-2】(2024?浙江杭州?三模)卷積運(yùn)算在圖象處理、人工智能、通信系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)

用.一般地，對(duì)無(wú)窮數(shù)列{叫，也},定義無(wú)窮數(shù)列%=￡4也+…(〃eN+),記作{4}*低}={g},稱(chēng)為

k=\

{叫與低}的卷積.卷積運(yùn)算有如圖所示的直觀含義，即{%}中的項(xiàng)依次為所列數(shù)陣從左上角開(kāi)始各條對(duì)

角線(xiàn)上元素的和，易知有交換律{。"}*也}={￡}*{q}.

(1)若％=〃，2=2",{%}*{2}={<?,},求9，c2,c3,c4；

⑵對(duì)於叱，定義7；{a“}如下：①當(dāng)i=l時(shí)，({%}={4}；②當(dāng)年2時(shí)，??；{%}為滿(mǎn)足通項(xiàng)

的數(shù)列⑷，即將{?！皚的每一項(xiàng)向后平移—項(xiàng)，前I項(xiàng)都取為0.試找到數(shù)列竹)}，

[an+l-i->n―1

使得竹)卜{。“}=7；{6};

(3)若%=〃,{4}*{2}={。}，證明：當(dāng)〃23時(shí)”b,=c,,-2%+c吁2.

【變式4-1](2024?山東青島?一模)記集合S={{%}|無(wú)窮數(shù)列{4}中存在有限項(xiàng)不為零，〃eN*},對(duì)

任意{%}eS,設(shè)變換/({4})=4+4尤+…+a/i+…，xeR.定義運(yùn)算?:若{4},{〃}eS,則

&}③也}eS,/({4}位色})=/({%,})./(色}).

⑴若⑷③也}=他},用％，%%，%，4也也，丸表示加4；

⑵證明:{2})?{c?}=血}③(/}?匕})；

(n+l)2+lz]\203—n

U”"'叫⑷平｝?也｝,證明：

⑶右見(jiàn)=<jw(ra+l)，%=<

0,n>1000,n>500

【變式4-2］任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上

述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1一4一2一1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱(chēng)

“角谷猜想”）.如取正整數(shù)m=6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6—3—10—5-16-8一4一2一1,共需經(jīng)過(guò)

8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱(chēng)為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足：ax=m（加

為正整數(shù)），2'當(dāng)"為偶數(shù)寸‘當(dāng)機(jī)=3時(shí)，q+g+qn----1-a60=（）

3%+1，當(dāng)%為奇數(shù)時(shí)

A.170B.168C.130D.172

題型五：數(shù)列定義新情景

【典例5-1］（多選題）（2024?山東青島?三模）若有窮整數(shù)數(shù)列A：%,4,…%（〃23）滿(mǎn)足：

ai+1-a,e｛-l,2｝（i=l,2,...,n-l）,且4=%=0,則稱(chēng)A“具有性質(zhì)T.則（）

A.存在具有性質(zhì)T的

B.存在具有性質(zhì)T的人

C.若Ao具有性質(zhì)T，則可，為工，％中至少有兩項(xiàng)相同

D.存在正整數(shù)3使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的&,有％,中任意兩項(xiàng)均不相同

【典例5-2】（2024?河南?二模）己知無(wú)窮數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1,各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合

A=｛^eN*|an<k<an+l,n^｝,若對(duì)于集合A中的元素%,數(shù)列｛4｝中存在不相同的項(xiàng)與，%，…,”，使

得4+%+???+”=k,則稱(chēng)數(shù)列｛??｝具有性質(zhì)N（k）,記集合B=｛用數(shù)列也,｝具有性質(zhì)N化）｝.

f2Tl—1〃<4

⑴若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=〃+6；］4，判斷數(shù)列｛%｝是否具有性質(zhì)N（%）,若具有，寫(xiě)出集合A與

集合3；

（2）已知數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)N（k）且集合A中的最小元素為t.集合B中的最小元素為s,當(dāng)此3時(shí)，證明：

t=s.

【變式5?1】（2024?北京東城?二模）已知4：勺生，…，見(jiàn)（〃N3）為有窮整數(shù)數(shù)列，若A“滿(mǎn)足：

4w｛p,q｝（i=l,2,…，"-1）,其中乙4是兩個(gè)給定的不同非零整數(shù)，且％=%=0,則稱(chēng)A”具有性質(zhì)

T.

(1)若。=-l,q=2,那么是否存在具有性質(zhì)T的A?若存在，寫(xiě)出一個(gè)這樣的A；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

⑵若。=-1,4=2,且A。具有性質(zhì)T,求證：4，g,L,%中必有兩項(xiàng)相同；

(3)若。+4=1,求證：存在正整數(shù)%,使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的A,都有4M2,???Mi中任意兩項(xiàng)均不相同.

【變式5-2](2024?北京朝陽(yáng)?一模)若有窮自然數(shù)數(shù)列A：%,%，二?！?，22)滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)

A為紇數(shù)列:

①為之!《區(qū)｛4+為_(kāi)],%+為_(kāi)21，，。1+4｝(左=2,3L?,")，其中，11^｛%,32「一,工｝表示玉,馬」??,無(wú),,這s個(gè)數(shù)

中最大的數(shù)；

②以《壯!1｛%+以_],%+以_2,3，%-1+4｝+1(左=2,3「、〃)，其中，min｛3,々，…，毛｝表示再，々,…，尤，，這s個(gè)

數(shù)中最小的數(shù).

(D判斷A：2,4,6,7,10是否為紜數(shù)列，說(shuō)明理由；

(2)若A：1,%…,小是線(xiàn)數(shù)列，且％,“2,%成等比數(shù)列，求必；

(3)證明：對(duì)任意紇數(shù)列A：al,a2,-,a?(n>2),存在實(shí)數(shù)4，使得私=飲刃化=1,2,(國(guó)表示不超

過(guò)x的最大整數(shù))

題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱(chēng)數(shù)列

【典例6-1](多選題)如果項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列｛?！埃凉M(mǎn)足4=%+#=1,2…，江則稱(chēng)其為“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，設(shè)也｝

是項(xiàng)數(shù)為零的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中4,bk+l,…，砥-是首項(xiàng)為50,公差為-4的等差數(shù)列，則

()

A.若k=12,則4=10B.若左=14,則｛2｝所有項(xiàng)的和為622

C.當(dāng)％=13時(shí)，也｝所有項(xiàng)的和最大D.也｝所有項(xiàng)的和不可能為。

【典例6-2]若項(xiàng)數(shù)為"的數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足：@=q,+i?=1,2,3,…，〃)我們稱(chēng)其為〃項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”.例如：

數(shù)列1,2,2,1為4項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”；數(shù)列1,2,3,2,1為5項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”.設(shè)數(shù)列｛%｝為蛛+1項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，

其中4…是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列匕,｝的最大項(xiàng)等于8,記數(shù)列匕,｝的前2k+1項(xiàng)和為治+「若

s21t+1=32,則太=

【變式6-1]（2024?四川南充?三模）對(duì)于數(shù)列{?！皚,規(guī)定為數(shù)列{4}的一階差分，其中

%eN*）,規(guī)定為數(shù)列{■的A階差分，其中△%=屋％「N*）.若

4/（1產(chǎn)一1）,則A&=（）

6

A.7B.9C.11D.13

【變式6-2]（2024?四川南充?三模）對(duì)于數(shù)列{%},規(guī)定為數(shù)列{4}的一階差分，其中

M

"%M-%€N*）,規(guī)定屋氏為數(shù)列{an}的階上差分，其中屋氏=Aa?+1-eN）若

一（〃一1）（2”1）,貝以2%=（）

6

A.7B.9C.11D.13

題型七：m腺型新定義數(shù)列

c、

a\\42a\n

【典例7-1】（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）已知〃行〃列（"22）的數(shù)表4=%；::中，滿(mǎn)足：

、%anlann,

%e{O,l},q/=1,2,…，小.若數(shù)表A滿(mǎn)足當(dāng)%=。時(shí)，總有則稱(chēng)此數(shù)表A為典型數(shù)表,

i=lj=T

此時(shí)記s“

i=lj=\

/、rooi1）

on

0011

⑴若數(shù)表加=001,N=I100,請(qǐng)直接寫(xiě)出M,N是否是典型數(shù)表；

,011J

'7[l10oj

（2）當(dāng)〃=8時(shí)，是否存在典型數(shù)表A使得Sg=31,若存在，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)表A；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若數(shù)表A為典型數(shù)表，求S”的最小值（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明）.

【典例7-2]（2024?遼寧葫蘆島?二模）設(shè)數(shù)陣X。=其中馬，占2,馬,馬2?1,2,3,4,5,6}.設(shè)

8={4,%，…,%}={1,2,3,4,5,6},其中4，左eN*且左＜6.定義變換加,為“對(duì)于數(shù)陣的每一列,

若其中有f或V,則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒(méi)有r且沒(méi)有T,則這一列中每個(gè)數(shù)都乘以-1”

■=%(X。)表示“將X。經(jīng)過(guò)胴變換得到X-再將X|經(jīng)過(guò)“巧變換得到X?,…，以此

類(lèi)推，最后將Xi經(jīng)過(guò)變換得到X*.記數(shù)陣X-中四個(gè)數(shù)的和為，(X。).

⑴若X°=(；T，5=｛2,5｝,寫(xiě)出X。經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣X1,并求〃(X0)的值；

⑵若X°=H，3=｛%%,％｝,求，(X。)的所有可能取值的和；

(3)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣X。，證明：及(X。)的所有可能取值的和不大于-8.

【變式7-1】已知無(wú)窮數(shù)列｛%｝,給出以下定義：對(duì)于任意的〃eN*,都有4+。,+222a用，則稱(chēng)數(shù)列｛4｝

為“T數(shù)列”；特別地，對(duì)于任意的〃eN*,都有%+%+2>2。用，則稱(chēng)數(shù)列｛4“｝為"嚴(yán)格T數(shù)列”.

x

⑴已知數(shù)列｛叫，也｝的前兀項(xiàng)和分別為4，Bn,且%=2〃-1,bn=-T-,試判斷數(shù)列｛A｝,數(shù)列由“｝

是否為“T數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

(2)證明：數(shù)列｛%｝為“T數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的％,m,當(dāng)上<〃z<〃時(shí)，有

(n-ni)ak+[m-li)an>(n-k)am"；

(3)已知數(shù)列也｝為“嚴(yán)格T數(shù)列”，且對(duì)任意的“eN*,2eZ,4=-8,/=-8.求數(shù)列也｝的最小項(xiàng)的

最大值.

【變式7-2](2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛〃“｝是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：1,1,2,3,5,8,13,

21,34…….這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：4=1，1=1，%+2=。用+?！?€m).數(shù)列也｝對(duì)于確定的正

整數(shù)左，若存在正整數(shù)"使得4+”=%+用成立，則稱(chēng)數(shù)列｛〃｝為“左階可分拆數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列匕｝滿(mǎn)足c"=”"(“eN*,meR).判斷是否對(duì)VmeR,總存在確定的正整數(shù)3使得數(shù)列匕｝

為“左階可分拆數(shù)列”，并說(shuō)明理由.

(2)設(shè)數(shù)列｛dn｝的前n項(xiàng)和為Sn=3--a(a>0),

(i)若數(shù)列｛4J為"1階可分拆數(shù)列”，求出符合條件的實(shí)數(shù)。的值;

（ii）在⑴問(wèn)的前提下，若數(shù)列｛力｝滿(mǎn)足力4，“eN*，其前〃項(xiàng)和為T(mén)“.證明：當(dāng)”cN*且讓3時(shí),

*v+〃；+〃；+.......-a〃a〃+i+1成立.

1.（2024?浙江紹興?三模）設(shè)<%9〈Goo，已知%+i>34（1W〃W99）,若

max｛%+1-4｝之加恒成立，則加的取值范圍為（）

A.m<—B.m<—

93

24

C.m<—D.m<—

39

2.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛?！埃皇浅?shù)列，前”項(xiàng)和為S“，且4>0.若對(duì)任意正整數(shù)〃，存

在正整數(shù)加，使得寓-s/v4,則稱(chēng)｛%｝是“可控?cái)?shù)列”.現(xiàn)給出兩個(gè)命題：①存在等差數(shù)列｛%｝是“可控?cái)?shù)

列”；②存在等比數(shù)列｛%｝是“可控?cái)?shù)列”.則下列判斷正確的是（）

A.①與②均為真命題B.①與②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

3.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,若數(shù)列｛%｝與函數(shù)“X）滿(mǎn)足：①“X）的定義域?yàn)镽；②數(shù)列包｝與函數(shù)

/（x）均單調(diào)增；③存在正整數(shù)〃，使S“=/（%）成立，則稱(chēng)數(shù)列｛%｝與函數(shù)具有"單調(diào)偶遇關(guān)系”.給

出下列兩個(gè)命題：（）

①與數(shù)列｛2力+1｝具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個(gè)；

②與數(shù)列｛2"｝具有"單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè).

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

4.（多選題）（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）在股票市場(chǎng)中，股票的價(jià)格是有界的，投資者通常會(huì)通過(guò)價(jià)

格的變化來(lái)確保自己的風(fēng)險(xiǎn)，這種變化的價(jià)格類(lèi)似于我們數(shù)學(xué)中的數(shù)列，定義如果存在正數(shù)使得對(duì)一

切正整數(shù)"，都有則稱(chēng)｛〃“｝為有界數(shù)列，數(shù)列收斂指數(shù)列有極限，我們把極限存在（不含無(wú)窮

大）的數(shù)列稱(chēng)為收斂數(shù)列，如數(shù)列風(fēng)=）,顯然對(duì)一切正整數(shù)〃都有同歸1,而:的極限為0,即數(shù)列｛〃“｝

既有界也收斂.如數(shù)列2顯然對(duì)一切正整數(shù)”都有間W1,但不存在極限，即數(shù)列也,｝有界但不收

斂.下列數(shù)列是有界數(shù)列但不收斂的數(shù)列有（）

A.（兀）/兀）

A.〃〃=sinmi+—B.〃〃=cos〃兀+一

an-2

a—a

5.（多選題）（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛q｝中，若對(duì)V〃eN*,都有_=q（夕為常數(shù)）,

%+1—an

則稱(chēng)數(shù)列｛%｝為“等差比數(shù)列"，q為公差比，設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和是s“，則下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.等差數(shù)列｛4｝是等差比數(shù)列

B.若等比數(shù)列｛4｝是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同

C.若數(shù)列｛S,,｝是等差比數(shù)列，則數(shù)列｝用｝是等比數(shù)列

D.若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，則數(shù)列｛5｝等差比數(shù)列

6.（多選題）（2024?山東煙臺(tái)?一模）給定數(shù)列｛q｝,定義差分運(yùn)算：

八。”=。”+1-。”4％“=4%+[-9,九€河'.若數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4,="+",數(shù)列｛〃,｝的首項(xiàng)為1,且

改=（〃+2>2"T,〃eN*,則（）

A.存在M>0,使得恒成立

B.存在河>0,使得恒成立

C.對(duì)任意M>0,總存在“eN*,使得

及b

D.對(duì)任意”>0,總存在”eN*,使得二

7.（多選題）（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1,如果是

偶數(shù)就除以2,這樣經(jīng)過(guò)若干次這兩種運(yùn)算，最終必進(jìn)入循環(huán)圖If4-2-1.對(duì)任意正整數(shù)4,按照上述

規(guī)則實(shí)施第〃次運(yùn)算的結(jié)果為a"（"eN）,（）

A.當(dāng)。o=7時(shí)，貝1]知=5

B.當(dāng)/=16時(shí)，數(shù)列｛七｝單調(diào)遞減

C.若%=1，且0（，=1,2,3,4）均不為1,則/=5

D.當(dāng)％=1。時(shí)，從q（7=1,2,3,4,5,6）中任取兩個(gè)數(shù)至少一個(gè)為奇數(shù)的概率為y

8.（2024?高三?河北保定?期中）英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線(xiàn)”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓

數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列｛七｝滿(mǎn)足元?jiǎng)t稱(chēng)數(shù)列｛七｝為牛頓數(shù)歹U?如果函數(shù)

x+2

/(X)=X2-4,數(shù)列｛%｝為牛頓數(shù)列，設(shè)%且4=1,%>2.貝應(yīng)必=

X"-2

9.(2024?江西九江?模擬預(yù)測(cè))著名科學(xué)家牛頓用“作切線(xiàn)”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”,

/(相)

它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對(duì)于函數(shù)/(幻，若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足當(dāng)包則稱(chēng)數(shù)列｛X,｝為牛

/U)'

a=x,

頓數(shù)列，若函數(shù)/0)=尤2,nlog2n且4=1,則6=.

4馬）

10.給定函數(shù)/'(x),若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足尤向7RT則稱(chēng)數(shù)列｛七｝為函數(shù)〃元)的牛頓數(shù)歹！I.己知｛七｝

為f_4的牛頓數(shù)列，且4=In嗎=1,%>2,eN*),數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”.則

11.將正整數(shù)”分解為兩個(gè)正整數(shù)勺、仁的積，即〃=勺*2,當(dāng)勺、網(wǎng)兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱(chēng)其

為最優(yōu)分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)印、網(wǎng)是”的最優(yōu)分解時(shí)，定義

/(〃)=%-勾，則數(shù)列"(5")｝的前2024項(xiàng)的和為—.

“11%2。13…01〃

%1①2“23…

12.(2024?高三?甘肅蘭州?開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)表&("』)=。31〃32033…

1an2an3''"%〃>

421…Gcccc

以i\n\3??,\n

“21”22”23…匕2〃021°22。23…02n

,C（77,H）=,其中%,b,c..（z,jeN*.i,j<n）分別

41人32”33…C31C32。33C3ny

Cn2Cn3…Cnn

1篇bn2bn3...bnnJ

i2b2j+**

表示BC(〃“)中第i行第j列的數(shù).若與=4.乩+a+%島,則稱(chēng)c(〃,〃)是

Q

&(九,〃)，8(〃,〃)的生成數(shù)表.若數(shù)表4(2,2)=［：8(2,2)=工，且。(2,2)是

55,

4(2,2),3(2,2)的生成數(shù)表，則C(2,2)=_.

13.%,電，…4。是一個(gè)1，2,3,…，10的排列，要求和樂(lè)i一定有一個(gè)大于%(i=2,3,…,9),則

滿(mǎn)足的排列的總數(shù)為—.

14.(2024?北京通州?三模)若數(shù)列｛2｝、｛1｝均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)小都存在正整數(shù)機(jī)，

使得鬣e￡，c,+J,則稱(chēng)數(shù)列電｝為數(shù)列｛g｝的數(shù)列”.己知數(shù)列｛%｝的前力項(xiàng)和為S“，則下列結(jié)論中正

確的是.

①存在等差數(shù)列｛%｝,使得｛%｝是電｝的數(shù)列”

②存在等比數(shù)列｛%｝,使得在“｝是電｝的數(shù)列”

③存在等差數(shù)列｛%｝,使得⑸｝是｛??｝的數(shù)列”

④存在等比數(shù)列｛??｝,使得｛SJ是｛%｝的數(shù)列”

15.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于有窮數(shù)列｛%｝,從數(shù)列｛%｝中選取第匕項(xiàng)、第％項(xiàng)、L、第以項(xiàng)

■氣<???<）），順次排列構(gòu)成數(shù)列出｝,其中相，則稱(chēng)新數(shù)列也｝為｛%｝的一個(gè)子列，稱(chēng)

｛4｝各項(xiàng)之和為何｝的一個(gè)子列和.規(guī)定：數(shù)列｛叫的任意一項(xiàng)都是｛4｝的子列.則數(shù)列1,2,4,8,16,32的

所有子列和的和為.

16.（2024?高三?山東日照?期中）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就

將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1-4-2-1,這就是數(shù)學(xué)史上著

名的“冰雹猜想”（又稱(chēng)“角谷猜想”）.如取正整數(shù)6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出

6—3—10—5Tl6—8—4—2—1,共需要8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱(chēng)為8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示為數(shù)列

,、-^-,a=2k（keN+）

｛4｝滿(mǎn)足：4=加（%為正整數(shù)），??+1=2'.問(wèn)：當(dāng)m=17時(shí)，試確定使得%=1需

3ali+1,%=2k+\（keN）

要步“雹程”；若%=1，則m所有可能的取值所構(gòu)成的集合為.

17.（2024?高三?北京朝陽(yáng)?期末）中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中開(kāi)方運(yùn)算暗含著迭代法，清代數(shù)學(xué)家夏鸞翔在其著

作《少?gòu)V繾鑿》中用迭代法給出一個(gè)“開(kāi)平方捷術(shù)”，用符號(hào)表示為：已知