北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年下學(xué)期期末考試七年級數(shù)學(xué)試卷

本試卷共6頁，滿分100分，考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案填涂或書寫在答題卡上，在

試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

1.神威?太湖之光超級計算機(jī)是世界首臺峰值運(yùn)算能力超過每秒10億億次、擁有千萬核的超級計算機(jī)，是

中國國內(nèi)第一臺全部采用國產(chǎn)處理器構(gòu)建的世界第一的超級計算機(jī).達(dá)到峰值計算速度時，它計算1億次

需要的時間約為o,oooooo°oo8秒.將o.ooooooooox用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

109

A.0.8x10"B.gx10-'C.8x10D.0.8x10

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù).絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形

式為UX10’，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)幕，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的

數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【詳解】解：將O.O000000008用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為8X10",

故選：C.

2.不等式組4的解集在數(shù)軸上表示為（）

x<,2

A―A11—ii-1->B'1'''A

A--10123-10123

c-10123DT0123

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是在數(shù)軸上表示解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不

到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.需要注意的是：如果是表示大于或小于號的點要用空心圓圈，如果是表示

大于等于或小于等于號的點要用實心圓點.根據(jù)解集表示法將解集表示在數(shù)軸上即可.

x>-]

【詳解】解：：,、，

.,?將解集表示在數(shù)軸上，如圖所示：

-??J?A

-10123

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故選：A.

3.下面各圖中，4和是對頂角的為（）

【解析】

【分析】本題考查了對頂角，有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線的兩個角稱為對頂角，據(jù)此判斷即可,

掌握對頂角的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、N1和有公共頂點，但是兩條邊不互為反向延長線，所以不是對頂角;

B、4和/2有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線，所以是對頂角;

C、N1和有公共頂點，但是兩條邊不互為反向延長線，所以不是對頂角;

D、NI和/2沒有公共頂點，所以不是對頂角.

故選：B.

4.下列調(diào)查中，調(diào)查方式選擇合理的是（）

A.為了解全國七年級學(xué)生使用電子產(chǎn)品的情況，應(yīng)采用全面調(diào)查的方式

B.為確保飛行安全，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式調(diào)查乘坐飛機(jī)的旅客是否攜帶違禁品

調(diào)查一批零件的質(zhì)量情況，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式

D.為了解房山區(qū)境內(nèi)小清河的魚類品種情況，應(yīng)采用全面調(diào)查的方式

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查抽樣調(diào)查和全面調(diào)查，理解抽取樣本的廣泛性、代表性和可靠性是正確判斷的前提.根

據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的特點，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、為了解全國七年級學(xué)生使用電子產(chǎn)品的情況，全國七年級學(xué)生數(shù)量龐大，全面調(diào)查成本過

高，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，故本選項不符合題意;

B、為確保飛行安全，應(yīng)采用全面調(diào)查的方式調(diào)查乘坐飛機(jī)的旅客是否攜帶違禁品，故本選項不符合題意;

第2頁供21頁

C、調(diào)查一批零件的質(zhì)量情況，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式，故本選項符合題意；

D、為了解房山區(qū)境內(nèi)小清河的魚類品種情況，適合采用抽樣調(diào)查的方式，故本選項不符合題意；

故選：C.

5.下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.(。-2)(“+2)=T-4B.in(m-2)=m:-2m

C.a2-9b2=(a+3b)(a-3b)D.x:+2x+3=(x+l)2+2

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)因式分解的定義“把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形

叫做把這個多項式因式分解，也叫分解因式”進(jìn)行判斷即可得，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義.

【詳解】解：A.左邊是乘積形式，右邊是展開后的多項式，屬于整式乘法，不是因式分解；

B.左邊是乘積形式，右邊是展開后的多項式，屬于整式乘法，不是因式分解；

C.左邊是多項式，右邊是3b)(a3〃的乘積形式，是因式分解；

D.右邊是平方與常數(shù)的和，未形成乘積形式，不是因式分解；

故選：C.

6.下面各圖中，由/1=/2,能得到.4川C。的是()

【解析】

【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行線判定定理逐項

判斷即可解題.

【詳解】解：A、Z1=Z2,可得.4。HBD,不能判定.48//CD,故本選項不符合題意；

B、/|=/2,對頂角相等不能用來推導(dǎo)平行，故本選項不符合題意；

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c、zi=Z2，可以得到.48/■,CD,故本選項符合題意；

D、ZI=Z2,同旁內(nèi)角相等不能用來推導(dǎo)平行，故本選項不符合題意;

故選：C.

7.小智同學(xué)在閱讀中國古代重要數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》時，看到書中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩;

牛二、羊五，直金八兩.問牛羊各直金幾何？”于是他類比書中的問題提出了一個問題：“今有漢堡三、蛋撻

二，直金六十六元；漢堡二、蛋撻三，直金五十四元.問漢堡、蛋撻各直金幾何？”意思是：3個漢堡和2

個蛋撻總價為66元，2個漢堡和3個蛋達(dá)總價為54元.問漢堡和蛋撻的單價分別是多少元？設(shè)每個漢堡》

元，每個蛋達(dá)，元，則下列方程組中正確的是（）

3x+2y=663x+2y=543x+3y=663K+2y=66

2x-t-3v=542x+3y=662A'+3y=542x+2y=54

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組.根據(jù)“3個漢堡和2個蛋撻總價為66元，2個漢

堡和3個蛋撻總價為54元”，即可列出關(guān)于x,y的二元一次方程組，此題得解.

【詳解】解：根據(jù)題意可列出方程組

3x+2y=66

2A'+3^=54

故選：A.

8.如圖，48與交于點￡,點G在直線CD上，GF交X8于點“，NFWFGC,

/FEA=2ZS￡.V,/FGH=2Z//GC,給出下列四個結(jié)論：①.48〃CO；②

Z//GD+/HEB+=360°；@/fE.V+ZFGH=2/.EHG；?3Zfi￡jV-ZF=l?0°-3Z//GC.±

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【解析】

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【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行公理的推論，由平行線的判定定理可判斷①；過點〃作

HQ"AB,則A3MCD,由平行線的性質(zhì)可得NHGD+/HE6+NE//G=360°,即可判斷②;

設(shè)/BEN=l，ZHGC=y,可得/FEN=2x,ZFG?=2.r,ZEHG=￡EHQ-/GHQ=y,即

可判斷③；過點/作FP//AB,貝UFP〃AB//CD,可得NGFP=ZCGF=3r,NEFP=180°-3x

,進(jìn)而得到Z￡FG=ZGFP-ZEFP=3x+3,v-180°,即得到3￡BEN-￡F=180°-3r,即可判斷④,

綜上即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：=ZFGC,

：.AB//CD,故①正確；

過點〃作“01,則H0；1/.HCD,

ZHGD+ZG//0=180c,ZHEB+￡EHQ=1W,

:./HGD+￡GHQ+￡HEB+￡EHQ=36Q\

即///G。+/HE8+/EHG=3600,故②正確；

設(shè)NBE.V=x,LHGC=,

VZFEy=2ZB￡jV,￡FGH=22HGC,

：.￡FEN=2.r,LFGH=2r,

乙FEN+2FGH=2x+2y=2(x+y),

；HQ；1/.1B!!CD,

：.2EHQ=ZBEN=x,￡GHQ=￡HGC=y,

:」EHG=Z￡W0-=x+i-,

:"FEN+ZFGH=2ZEHG,故③正確；

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?:ZBEN=X,ZHGC=y,NFEN=2x,ZFGM=2r,

：.ABEF=i+2x=3.r,￡CGF=y+2y=J1r,

過點尸作FPHAB,則FP/ABi/CD,

/.「.FP=/CGF=，，Z￡fP=180°-3x,

.-.ZEFG=ZGFP-Z￡FP=3y-(18O°-3x)=3x+3j-180°,

32BEN-ZF=3x-(3x+3y-180°)=180°-3y,

?門WHGC;M0:-3r,

.1.3ZS￡JVZf=180°3///GC,故④正確；

綜上，正確結(jié)論的序號是①②③④，

故選：D.

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.計算：|64'-10/+24)+2。=.

【答案】3/-54+I

【解析】

【分析】本題考查整式的除法.利用多項式除以單項式法則計算即可.

【詳解】解：(6a*-10/+2。)+2。

=6。'+2。-10。-+2a+2。+2。

=3a'-5a->I,

故答案為：3a:-5d+I.

10.因式分解：；1,';-3=.

【答案】3(o-l)(a+l)

【解析】

【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.先提取公因式，再用公式法因式分解即可.

【詳解】解：3”-3

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=3|a1Hfl41)>

故答案為：3（n-111a+11.

11.如圖，在四邊形.4BCD中，點E是。C延長線上一點，請你添加一個條件，使』84C。，那么可以添

加的條件是.（寫出一個即可）

【解析】

【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵.根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即

可得.

【詳解】解：使CD,那么可以添加的條件是/ECB=上8,（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

故答案：ZECB=Zfl.（答案不唯一）

12.若用一組x,y的值說明命題“若X＞.1,則，,：＞「"是假命題，則這樣的一組值可以是X=,

【答案】①.0-2

【解析】

【分析】根據(jù)Qy給出x、y值，計算乘方，使％2勺2即可.

【詳解】解：若A0,產(chǎn)-2,則滿足無＞＞的條件，

.".^=0,y2=4,

勺2,不符合廠＞,,,

故答案為：0,-2（答案不唯一）.

【點睛】此題考查了有理數(shù)的大小比較，假命題的判斷，正確理解命題中的題設(shè)和結(jié)論，對應(yīng)給出數(shù)值是

解題的關(guān)鍵.

13.己知關(guān)于x,y的二元一次方程的一組解為-'二?,則此二元一次方程可以是__________.（寫出一

y=2

個即可）

【答案】x+2v=5

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【解析】

【分析】本題考查二元一次方程的解.根據(jù)二元一次方程的解的意義寫出一個符合題意的方程即可.

【詳解】解：已知關(guān)于尤，y的二元一次方程的一組解為

x=l

y=2,

則此二元一次方程可以是i+2r=5,

故答案為：x+”=5（答案不唯一）.

x—2<1

14.若x=2是關(guān)于、的一元一次不等式組〈，的一個解，則，〃的值可以是.（寫出一個

即可）

【答案】1

【解析】

【分析】本題考查了解一元一次不等式組.將I=2代入不等式組中進(jìn)行計算，即可解答.

【詳解】解：將x=2代入x-2<1中得：22=0<1,成立；

將I=2代入x+12加中得：2?1>m,即3,

??m的值可以1,

故答案為：1（答案不唯一）.

15.一副三角板按如圖所示（共頂點A）疊放在一起，若固定三角板,改變?nèi)前逶??！甑奈恢茫ㄆ?/p>

中A點位置始終不變），當(dāng)/84D=°時，DE；!AB.

【答案】30或150

【解析】

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)/BWD=ZADE時；②當(dāng)B.4D^BAD=180"時，利用平行線的判定條件即可

求解：

【詳解】解：由題意得乙=30°,LACB=ZDJE=90°,

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①如圖,

A

當(dāng)[8.4。二Z/DE二30’時，可得d8〃DE；

②如圖，

D

[

C'--------、B

當(dāng)/84。+/。=180°時,可得/!DE，

則N84D=1800-ZD=150c.

故答案為：30或150；

16.對于一個四位正整數(shù)7,若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字大6,百位數(shù)字比十位數(shù)字大2,則稱正整數(shù)7為

“A/數(shù)”.

(1)最小的““數(shù)”為；

(2)一個““數(shù)"A的千位數(shù)字為a,百位數(shù)字為方，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為d(a=b),記

北=a+8+c+d,匕=。一仇若匕[X,+8)能被8整除，則滿足條件的'的最大值為.

【答案】(1)6200；(2)9753

【解析】

【分析】本題考查整式的加減，代數(shù)式求值等知識，讀懂題意，審清概念是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“千位數(shù)字比個位數(shù)字大6,百位數(shù)字比十位數(shù)字大2”可知：當(dāng)個位數(shù)字和十位數(shù)字都是0,取

得最小的“歷數(shù)”，從而得解；

(2)根據(jù)題意可知d-d=6』—=2,從而代入+〃+c+d消去c和肩從而得到

L=2(a+萬||”b],要使得A取最大值，則千位數(shù)字。取9,由a#h可讓人=8、7……依次判斷即可.

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【詳解】解：（1）:千位數(shù)字比個位數(shù)字大6,百位數(shù)字比十位數(shù)字大2,

當(dāng)個位數(shù)字和十位數(shù)字都是0時，千位數(shù)字是6,百位數(shù)字是2,此時取得最小的““數(shù)”，最小的

““數(shù)”為6200,

（2）一個數(shù)”A的千位數(shù)字為a,百位數(shù)字為3,十位數(shù)字為,個位數(shù)字為d,

/.4=1000a+100H10c+J,

由題意可知：?-</=6.fr-i=2,gpu'=u-6,c=h-2,

:.XA=a+8+c+d=a+6+Z>-2+a-6=2a+2/>-8,

又：Fa-A,

y/X,+8]=(a6|(2a+2/>-8+8)=2(a+6)(a-Z>)ji

???要使得A取最大值，則千位數(shù)字a取9,

則若力=8,貝HZ(+8)=2(a+b)(a-b)=2x[9+8)(9-g)=34,不能被8整除，不合題意；

若h7,則y/X,+g)=2(a+/>)(a-/))=2x(9+7)(9-7)=64,能被8整除，符合題意，此時

(/=a-A=1000a+100—/喜9753；

，滿足條件的A的最大值為9753.

故答案是：（1）6200；C2）9753.

三、解答題（本題共68分，第17—21題，第23題，第25題，每題5分；第22題，第24

題，每題6分；第26—28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.計算：-「+2*+(3-n)"-.

【答案】0

【解析】

【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，零指數(shù)累，絕對值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則.先

計算各部分，再進(jìn)行加減計算即可.

2+(3-n)°-|-^|

【詳解】解：一「+2

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18.因式分解：1；-h1-U.

【答案】

【解析】

【分析】本題考查了提公因式法，公式法分解因式.注意提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解,

注意分解要徹底.先提取公因式。，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解.

【詳解】解：a5-6u:+9a

=-6a+9)

=fl|a-3|'.

19.計算：(u+1)1。-D+(a+2Mv-21.

【答案】la1-la-1

【解析】

【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，先分別運(yùn)用多項式乘法法則和平方差公式展開，再合并同類項

即可.

【詳解】解：+1)(。-3)+(a+2)(a-2i

=a;-3a+a-3+|a:-4j

=a'-3u+fl-3+a-4

2x-y=3

20.解方程組:

3x+2y=8

【答案】

【解析】

【分析】本題考查了解二元一次方程組.由①得2、-3③，把③代入②求出x,把尤值代入③求出y

即可.

2x-y=3①

【詳解】解:

3x+2y=8②

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由①得y=Lt-3③，

把③代入②得3x+2(2x31=8,

解得i=2,

把x=2代入③得：?=?x；］-2=I,

所以這個方程組的解是］一:.

3=1

卜-3(x+2)4-2

21.解不等式組Lr+1,，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解.

I3

【答案】-24.v<2,不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解為，0.

【解析】

【分析】本題考查的是解一元一次不等式以及一元一次不等式組的整數(shù)解.分別求出每一個不等式的解集,

根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，從而得出答案.

【詳解】解：解不等式》-23-2,得：x>-2,

解不等式號>K-1，得：*<2,

則不等式組的解集為24x<2,

所以不等式組所有非負(fù)整數(shù)解為，0.

，1、

22.先化簡，再求值：(m+2ny-2m(m-2n)+(m-2n)(2n+m),其中

4

【答案】，-6

【解析】

【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算-化簡求值.根據(jù)完全平方公式、平方差公式和單項乘多項式的運(yùn)算法則

可以化簡題目中的式子，再將機(jī)、〃的值代入化簡后的式子即可解答本題.

【詳解】解：(W+2/J)2-2m(m-2n)+(m-2n)(2n+m)

=/M2+4iw?+4n;-2iR;+4?ii?+m-4fl'

=8m/j,

1、

當(dāng)=3時，

4

第12頁/共21頁

原式=8x3=-6.

23.請你補(bǔ)全下面推理過程：

已知：如圖，Zl=Z2,ZS=115°,求/C的度數(shù).

Z2=Z3(),

：.Z1=Z3(等量代換)，

：,AR//CD(),

ZS+ZC=(),

za=115°,

zc=.

【答案】對頂角相等；同位角相等，兩直線平行；180°；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；65

【解析】

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，對頂角相等，由已知和對頂角相等可得/1=N3,即得

ABCD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可求解，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:vZ1=Z2（已知），

Z2=Z3（對頂角相等），

Z1=Z3（等量代換）,

..ABCD（同位角相等，兩直線平行），

NB+NC=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

-,?25=115°,

ZC=65°,

故答案為：對頂角相等；同位角相等，兩直線平行；180°；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；65.

24.2024年，北京市發(fā)布《北京市教育領(lǐng)域人工智能應(yīng)用工作方案》和《北京市教育領(lǐng)域人工智能應(yīng)用指南》，

在教育領(lǐng)域不斷強(qiáng)化人工智能創(chuàng)新應(yīng)用，越來越多的學(xué)校在“助教、助學(xué)、助育、助評、助研、助管”六

第13頁/共21頁

大領(lǐng)域開展探索嘗試.為了讓AI賦能教育教學(xué)，某中學(xué)組織該校學(xué)生對A,B兩款人工智能學(xué)習(xí)軟件打分,

并從中各隨機(jī)抽取20份數(shù)據(jù)，進(jìn)行整理、描述和分析(評分分?jǐn)?shù)用K表示，滿分100分，分為四個等級：

不滿意X<70,比較滿意70SK<X0,滿意KOSx<90,非常滿意X290),下面給出了部分信息.

L抽取的對A款學(xué)習(xí)軟件的評分?jǐn)?shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)：84,86,86,87,88,89.

II.抽取的對8款學(xué)習(xí)軟件的評分?jǐn)?shù)據(jù)：66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95,97,98

,98,98,98,99,100.

III.4B兩款學(xué)習(xí)軟件的評分統(tǒng)計表

類型平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

A88b96

B8887.5

IV.A款學(xué)習(xí)軟件評分扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)上述圖表中，a=,b=,c=；

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款學(xué)習(xí)軟件更受學(xué)生喜愛？請說明理由；(寫出一條理由即可)

(3)在此次調(diào)查中，有400人對A款學(xué)習(xí)軟件進(jìn)行評分，300人對B款學(xué)習(xí)軟件進(jìn)行評分.請通過計算，

估計此次調(diào)查中，對人工智能學(xué)習(xí)軟件的評分等級不低于“滿意”的共有多少人.

【答案】(1)10,88.5,98

(2)A款學(xué)習(xí)軟件更受用戶喜愛，理由見解析

(3)估計此次調(diào)查中，對人工智能學(xué)習(xí)軟件的評分等級不低于“滿意”的共有555人.

【解析】

【分析】本題考查扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)以及樣本估計總體，理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義，掌握中位數(shù)、

眾數(shù)的計算方法是解決問題的前提.

(1)用“1”分別減去其他三個等級所占百分比可得。的值，根據(jù)中位數(shù)的定義可得6的值，根據(jù)眾數(shù)的

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定義可得C的值；

(2)通過比較A,B款的評分統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)解答即可；

(3)利用樣本估計總體，由A、2兩款的不低于“滿意”的人數(shù)之和即可得出答案.

【小問1詳解】

解：由題意得：A款“滿意”所占百分比為

—X100%=30%,

20

，“不滿意”所占百分比為1-30%-比%-15%=10%,

a=10；

；“滿意”的數(shù)據(jù)：84,86,86,87,88,89；

???把A款的評分?jǐn)?shù)據(jù)從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)是88、89,

在3款的評分?jǐn)?shù)據(jù)中，98出現(xiàn)的次數(shù)最多，

，c=9X；

故答案為：10,88.5,98；

【小問2詳解】

解：A款學(xué)習(xí)軟件更受用戶喜愛，理由如下：

因為A，B兩款學(xué)習(xí)軟件的評分的平均數(shù)相同，但A款評分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)比8款高，所以A款學(xué)習(xí)軟件更

受用戶喜愛(答案不唯一)；

【小問3詳解】

解：400x1—+45%：-300x—=555(人)，

[20；20

答：估計此次調(diào)查中，對人工智能學(xué)習(xí)軟件的評分等級不低于“滿意”的共有555人.

25.如圖,已知直線,48//DF,ZD-/.B=180°.

(1)求證：DEHBC；

(2)畫N8GE的角平分線交8c于點//./D=ZCHG,求證：.

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【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意，結(jié)合圖形，得到一8G￡=lk()0,證得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意，得=結(jié)合已知條件ZD+￡8=180°,則有/1=/8，即可證得結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：：184DF，

AZD=Z5G￡，

VZD+Zfi=180%

；.士BGE+/8="0,，

:.DEHBC；

【小問2詳解】

證明：如圖，作N8GE的角平分線交8c于點H,

AZ1=Z2，

,：DEIIBC，

:"HG+Z1=180%

VZD=ZC//G,

/.Z1)+Z1=180。，

VZD-Zfl=181),

???=

/8，

即=/8GH.

26.2025年5月23日，由房山區(qū)教育委員會、房山區(qū)體育局主辦的“閃耀紅星”2025年房山區(qū)中小學(xué)生定向

越野比賽在韓建翠溪谷圓滿落幕.某學(xué)校為了表彰在比賽中表現(xiàn)突出的同學(xué)，決定采購漢白玉石雕作為獎

勵.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買A種石雕3個、8種石雕4個，共計1500元；若購買A種石雕2個、8種石雕3

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個，共計1080元.

(1)A,2兩種規(guī)格石雕的單價分別是多少元？

(2)學(xué)校計劃購買這兩種規(guī)格的石雕共20個，總費(fèi)用不超過4350元，則A種石雕最少可以買多少個？

【答案】(1)A種規(guī)格石雕的單價是180元，B種規(guī)格石雕的單價是240元；

(2)A種石雕最少可以買8個.

【解析】

【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組

和不等式.

(1)設(shè)A種規(guī)格石雕的單價是加元，B種規(guī)格石雕的單價是〃元，若購買A種石雕3個、8種石雕4個,

共計1500元；若購買A種石雕2個、B種石雕3個，共計1080元，列方程組可解得A種規(guī)格石雕的單價

是180元，B種規(guī)格石雕的單價是240元；

(2)設(shè)A種石雕可以買x個，由總費(fèi)用不超過4350元，可得180x+240(2(bx)44350,解得x27.5,

即可知A種石雕最少可以買8個.

【小問1詳解】

解：設(shè)A種規(guī)格石雕的單價是小元，8種規(guī)格石雕的單價是"元，

3/w+4/?=1500

根據(jù)題意得，

2/w+3/J=1080

”?=180

解得

[n=240

答：A種規(guī)格石雕的單價是180元，B種規(guī)格石雕的單價是240元;

【小問2詳解】

解：設(shè)A種石雕可以買x個，則8種石雕可以買|20-X)個

:總費(fèi)用不超過4350元，

A180.v+240|20.v)<4350,

解得x>7.5,

為整數(shù)，

?,?X最小取8,

答：A種石雕最少可以買8個.

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27.已知：點。是乙48C((T<Z,4BC<90|的邊氏4上的一點(點。不與點B重合)，將線段80沿8c方

向平移，得到線段EF,點￡在8c上，連接OF.

圖1圖2備用圖

(1)請你依題意在圖1中補(bǔ)全圖形，并求證：ZS=ZF；

(2)過點。作1BC交射線于點A7,連接EW,當(dāng)點“不與點￡重合時，請你依題意在圖2

中補(bǔ)全圖形，用等式表示/DMF與/MFE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析，證明見解析

(2)圖見解析，當(dāng)點M在線段8E上時，ZD.WF/.1/FE=90。/8；當(dāng)點M在線段8E的延長線上

時，/DMF?=90'-,理由見解析

【解析】

【分析】本題考查平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直的定義等知識，審清題意正確畫圖是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意在48上取一點。，在8c上取一點E,分別過點。和點E作8c和.48的平行線，交于點

尸即可，再根據(jù)平移的性質(zhì)證明即可；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義得到NC"F=NDFJ/,/CMF+/OMF=90。，由(1)可知

=ZCEF=ZDFE,分當(dāng)點M在線段8E上時和當(dāng)點M在線段8E的延長線上時，兩種情況討論得到

￡MFE=NDFE-NDFM=ZB-(90°-ZDA/F)和

NMFE=Z.DFM-NDFE=(90°-NDMF)-Z5,再分別整理即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意作圖如下:

..?線段8。沿8C方向平移，得到線段EF,

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BE<DF，EF，/BD,

S=ZCFF.ZF=ZCf,

【小問2詳解】

/DMF與乙l/FE的數(shù)量關(guān)系是：當(dāng)點M在線段8E上時，ZDA/F-=90cZS；當(dāng)點M在線

段8E的延長線上時，ZD1/F-Z.lfff=90c-ZS,理由如下：

當(dāng)點"在線段8￡上時，畫出圖形如下：

BEvDF,DM1BC,

：./CMF=NDFM,ZCA/FfZDA/F=90c

由（1）可知：N8=NCEF=NDF￡,

Z.MFE=ZDFE-ZDFM="EF-ZCWF=ZB-（90°-NDMF、,

：.ZDMFZ.lff￡=90°ZB.

故ZDMF與/MFE的數(shù)量關(guān)系是：ZD.VF-ZA/F￡=90°-Zfi.

當(dāng)點M在線段8E的延長線上時，畫出圖形如下：

同理可得：ZCA/F=ZDFA/,ZCA/F+ZD.VF=90c

由（1）可知：/8=/CEF=WDFE,

:.乙MFE=NDFM-NDFE="MF-ZCEF=（90°-NDMF\-NB,

.-.ZDA/F-ZA/F￡=90c-ZB.

散/DMF與NMFE的數(shù)量關(guān)系是：當(dāng)點M在線段8E上時，￡DMF-/.MFE=90°-Zfi；當(dāng)點M在

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線段的延長線上時，ZDA/F?Z.WF￡=90°-Zfl.

28.對于一元一次方程和一元一次不等式組，給出如下定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集

范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“子方程”.

(1)在方程①2x=7,②2K,5=x+1,③2l-D=-6中，