第5章分式單元測試

總分：120分

考生姓名：

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：第5章（分式）。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。

1.下列代數(shù)式是分式的是（）

X1x-2

A.B.C.2xyD.

3X4

【答案】B

【分析】本題考查了分式的定義，根據(jù)分式的定義逐項判斷即可,熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、g是整式，不符合題意；

B、工是分式，符合題意；

X

C、2呼是整式，不符合題意；

D、二是整式，不符合題意.

4

故選：B.

2.下列分式中，屬于最簡分式的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)最簡分式的定義對各選項進行判斷.本題考查了最簡分式：一個分式的分子與分母沒有

公因式時，叫最簡分式.

【詳解】解：A、該分式的分子、分母中含有公因式2,不屬于最簡分式，故A選項不符合題意;

B、該分式的分子、分母中不含有公因數(shù)，則該分式是最簡分式，故B選項符合題意；

C、該分式的分子、分母中含有公因式則該分式不是最簡分式，故C選項不符合題意;

D、該分式的分子、分母中含有公因式。-可，則該分式不是最簡分式，故D選項不符合題意;

故選：B.

3xx+1

3.計算:()

2x—l2x-l

2%

，27^1B.C.1D.x

A2x-l

【答案】C

【分析】本題考查分式化簡.根據(jù)題意利用分?jǐn)?shù)計算直接作差即可.

3xx+\3x-x-12x-\

【詳解】解:=1,

2x-\2x-l2x-l2x-l

故選：C.

2x

4.如果把分式——中的x與y的值都擴大2倍，那么分式的值（

工一〉

A.不變B.擴大2倍C.縮小為原來的一半D.擴大4倍

【答案】A

【分析】本題考查的是對分式的性質(zhì)的理解和運用，擴大或縮小〃倍，就將原來的數(shù)乘以〃或除以力.

解答此題時，可將分式中的x,用2x,2y代替，然后計算即可得出結(jié)論.

2x2犬2x2x2x

【詳解】解：依題意得：三二不^"；,

2x、.

???把分式——中的％與y都擴大2倍，那么分式的值不變,

工一丁

故選：A.

5.下列各式一定成立的是（)

,aa—1b_^_

A.—=---B.

bb-1aab

2

nn(a+1nn+a

C./2D.

mm\a+imm+a

【答案】C

【分析】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，特別要注意同乘或

同除的數(shù)或整式是否為0.

根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時乘以或除以一個不為0的數(shù)或整式，分式的值不變，即可

得出答案.

【詳解】解：選項A、D是分子、分母同加或同減，不符合分式的基本性質(zhì)，故選項A、D錯誤；

隋可能為0,故選項B錯誤；

分式的分子和分母同乘/+1,且/+1/0,符合分式的基本性質(zhì)，故選項C正確.

故選C.

6.小鹿兩次購買相同藥物的費用均為300元，第二次購買時每盒降價5元，他多買了2盒.設(shè)第一次購

買時該藥品的單價為x（元/盒），則可列方程為（）

300300300_300.

A.=2B.-2

Xx+5Xx+5

300300300300

C.=2D.-2

x-5Xx-5X

【答案】C

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

第一次購買時該藥品的單價為x（元/盒），根據(jù)“第二次購買時每盒降價5元，他多買了2盒”這一等

量關(guān)系可列方程.

【詳解】解：設(shè)第一次購買時該藥品的單價為x（元/盒），則可列方程

300300c

x-5x

故答案為：C.

?_,心11c_^5a+3ab+5b、

7.已知一+不=3,求————=（）

aba—2ab+b

A.-9B.12C.-15D.18

【答案】D

【分析】本題考查分式化簡求值；準(zhǔn)確化簡分式并掌握整體代入法是解題的關(guān)鍵；

首先對化簡工+:=3變形為a+>=3",然后化簡原式，再整體代入即可解答.

ab

【詳解】V-+7=3

ab

.3=3

ab

:.a+b=3ab

.5a+3ab+5b

a-lab+b

_5(Q+/?)+3ab

(Q+Z?)—2ab

_5x3ab+3ab

3ab—2ab

_18ab

ab

=18.

故選：D.

8.如果關(guān)于x的分式方程1=4有增根，那么人的值為()

x-22-x

A.-10B.-8C.-6D.-4

【答案】B

【分析】本題主要考查了分式方程的增根，

先去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1,當(dāng)最簡公分母為0時產(chǎn)生增根，可得解.

【詳解】解：去分母，得4x-(x-2)=T,

去括號，得4元一x+2=-左，

移項，合并同類項，得3x=—2—左,

系數(shù)化為1,得x=

???原方程有增根，

%—2=0,

解得人=-8.

故選：B.

9.已知“+3=5,則/■—的值是()

A.27B.25C.23D.21

【答案】C

【分析】此題考查了分式的化簡求值，以及完全平方公式，把已知等式左右兩邊平方，利用完全平方

公式化簡，計算即可.

【詳解】解：

cr+\=[a+^\-2iz--=52-2=23,

aka)a

故選：c.

10.已知。為整數(shù)，且絲1一金一/;6a+9為正整數(shù),則所有符合條件的。的值的和為

a—3a+2a—4

()

A.12B.10C.6D.4

【答案】B

【分析】本題考查了分式的混合運算和化簡，乘法公式等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式法因式

分解和分式的約分.

利用分式混合運算法則對原式進行化簡，根據(jù)要求知道分子是分母的正整數(shù)倍，得出符合題意的。的

值.

a+1a—3a2—6a+9

【詳解】解：__________!---------

a—3a+24—4

_a+1a-3+-2)

a—3a+2("3)2

47+1a—2

U-—3Q—3

6Z+1-〃+2

。-3

3

〃-3

??,一3三為正整數(shù)，且。為整數(shù)，

a-3

a-3=3或?！?=1,

的取值為6,4,

則所有符合條件的。的值的和為6+4=10,

故選：B.

第n卷

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分.

11.若分式三有意義，則x的取值范圍是__________.

X-]

【答案】

【分析】本題考查分式有意義的條件，根據(jù)分式的分母不為0時，分式有意義，進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：x-l^o,

??Xw1;

故答案為：XH1.

12.若2=3,則世2的值是

aa

【答案】4

【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的化簡求值，掌握分式的性質(zhì)是關(guān)鍵.

根據(jù)題意得到6=3°,代入計算即可.

b

【詳解】解：???2=3,

a

b=3a,

.a+ba+3a

..------=--------=4A,

aa

故答案為：4.

%+1x—3

13-分式(x-2)(l)與(x+6)J)的最簡公分母是—-

【答案】(》-1心-2加+6)

【分析】本題考查了最簡公分母的計算，掌握最簡公分母的計算方法是關(guān)鍵.

最簡公分母的定義：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的積作為公分母，這樣的公分

母叫做最簡公分母，由此即可求解.

【詳解】解：分式(x_2)(x_1)與卜+6)(》.1)的最簡公分母為(》—1)(工—2))+6),

故答案為：(x-l)(x-2)(x+6).

14.已知分式加=二+言,若%=4,孫=2則嫡值為——

【答案】y

))

【分析】根據(jù)xy'x(y-3+y(x-3,化簡后代入計算即可.

x-3y-3——

本題考查了分式的通分，求分式的值，熟練掌握通分是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：**+弋=V-3；+73廣=2^3(*),

x-3y-3xy-3x-3y+9xy-3^x+y)+9

當(dāng)田7=4,孫二-2時，

-4-1216

M=

-2-12+95

故答案為：.

15.已矢口“60=1,貝!J———+———+—-—=_____.

ab+a+1bc+b+1ac+c+1

【答案】5

【分析】本題考查了分式的化簡求值，關(guān)鍵是條件/c=l的靈活運用.由向c=l,代入所求分式進行

化簡即可得出答案.

【詳解】解：：abc=1,

.5。5b5c

??--------1---------1--------

ab+a+\bc+b+1ac+c+1

5a5bxa5cxab

---------F------------F------------

ab+a+1(be+Z?+l)x〃(ac+c+l)x〃Z?

5a5ab5abc

--------1-----------1--2----------

ab+a+1abc+ab+aabe+abc+ab

5a5ab5

--------1---------1--------

ab+a+\\+ab+aa+l+ab

5a+Sab+5

ab+a+1

=5.

故答案為：5.

16.若一個四位自然數(shù)/千位上的數(shù)字的2倍等于百位、十位、個位上的數(shù)字之和，則稱/為“和數(shù)”，

那么最小的“和數(shù)”為.已知一個四位自然數(shù)8=10004+1006+10。+3d（其中a,b,c,d均為

整數(shù)，14a,649且14CW8,4VdW6）是“和數(shù)”，且能被6整除，將加勺千位數(shù)字的2倍與百位數(shù)

字的差記為。（切，個位數(shù)字的2倍與十位數(shù)字的和記為尸（0,則滿足條件的然的最大值為

【答案】1002—

【分析】本題考查了整式加減的應(yīng)用，分式的化簡求值，新定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)和數(shù)”的定義確定即可；根據(jù)題意得出自然數(shù)龐勺千位數(shù)字為a,百位數(shù)字是6,十位數(shù)字是（c+1）,

個位數(shù)字是（3d-10）,瑞=:；[]9'再根據(jù)“和數(shù)”的定義以及該“和數(shù)”能被6整除得出

d=4或1=6,再分類討論解答即可.

【詳解】解：根據(jù)“和數(shù)”的定義，得到最小“和數(shù)”百位、十位、個位上的數(shù)字之和最小且為2的正

整數(shù)倍，

???百位、十位、個位上的數(shù)字之和為2,該自然數(shù)千位上的數(shù)字為1,

，最小的“和數(shù)”為1002,

根據(jù)題意可得自然數(shù)加勺千位數(shù)字為a,百位數(shù)字是6,

V4<<7<6,

12<3rZ<18,

2<3t7-10<8,

十位數(shù)字是（c+1）,個位數(shù)字是（3d-10）,

:.Q⑻為（2a-b）,P（8）為（6〃+c-19）,

Q（B）2a-b

一P（B）-c+6d-19'

根據(jù)“和數(shù)”定義得2a=b+c+l+3d-10,

??,該“和數(shù)”能被6整除，

???該“和數(shù)”為偶數(shù)且各位上的數(shù)字之和為3的倍數(shù)，

v4<J<6,（3d-10）為偶數(shù)，

."=4或6,

①當(dāng)d=4時，2a=Z?+c+3,BP2a—b=c+3,

Q（3）_2a-b_c+3_c+3

-P（B）—c+6d-19~c+24-19-7+5'

令r=c+5,則64Y13,原式=（c+5）-2=「,

c+5t

當(dāng)/=13時，原式取到最大值為《；

r2a-bc+9c+9

②當(dāng)d=6時t，2a=b+c+9，—zx===f

c+6a-19c+36-19c+17

令，=c+17,則18WM25,

原式二（"17）-8=］上

c+17t

當(dāng)t=25時，原式取到最大值為力，

（）

綜上所述，露2的B最大值為已11，

故答案為：1002；—.

三、解答題：本題共8小題，共72分.

17.解方程:

1X—1

⑴

x-2x-2

2r5

2%+55x-2

【答案】（1）無解

7

⑵x=W

【分析】（1）方程兩邊乘最簡公分母（x-2）,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到主

的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解;

（2）方程兩邊乘最簡公分母（2》+5乂5》-2）,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x

的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解.

【詳解】（1）解：方程兩邊乘最簡公分母（x-2）得,

l=x—l,

解得：x=2,

檢驗：當(dāng)尢=2時，％—2=2—2=0,

???x=2是分式方程的增根，

???原分式方程無解；

（2）方程兩邊乘最簡公分母（2%+5）（5%-2）得,

2x（5x-2）+5（2x+5）=（2x+5）（5x-2）,

7

解得：l=

,712《+5卜泊

檢驗：當(dāng)％=§時,（2x+5）（5x-2）=*0,

=:7是分式方程的解，

7

???原分式方程的解為x=（.

【點睛】本題考查解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.掌握解分式方程的步驟

是解題的關(guān)鍵.

18.先化間，再求值：［二+w其中。=子

【答案】1

a5

【分析】本題考查了分式的化簡與求值，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵.利用分式的運算法

則化簡，再代值計算即可求解.

a2+,a

【詳解】解:

a-1(〃+l)(6z—1)

1+

a-\+

]_

a

代入，=：,原式一上一5.

22

19.某市正在修建地鐵線路，該項工程使用我國自主研發(fā)的“春城一號”盾構(gòu)機進行挖掘.在挖掘某

段長240米的特殊路段時，盾構(gòu)機的工作效率僅能達到挖掘正常路段的80%,打通這段路比打通相同長

度的正常路段多用了5天.若挖掘正常路段，盾構(gòu)機每天能掘進多少米？

【答案】12米

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)設(shè)挖掘正常路段，盾構(gòu)機每天能掘進1米，則挖掘特殊路

段，盾構(gòu)機每天能掘進0.8犬米，結(jié)合“在挖掘某段長240米的特殊路段時，打通這段路比打通相同長度

的正常路段多用了5天”，進行列分式方程，再解得％=12,最后驗根，即可作答.

【詳解】解：設(shè)挖掘正常路段，盾構(gòu)機每天能掘進1米，

則挖掘特殊路段，盾構(gòu)機每天能掘進0.8、米.

上日衿―240240U

由寇思得777；---------=5,

0.8xx

皿240240匚

貝IJ--------------=5,

0.8%x

得羲費=5,

即急3

x=12.

經(jīng)檢驗，x=12是原分式方程的解，且符合題目要求.

答：挖掘正常路段，盾構(gòu)機每天能掘進12米.

bc

20.已知非零頭數(shù)b,c,m,〃滿足機+及=一一,mn=—.

aa

(1)若6=1,c=2,求工+工的值；

mn

⑵嘉淇說：“在滿足題干的基礎(chǔ)上，廿一4公的結(jié)果一定是正數(shù).”請你通過計算判斷嘉淇的說法是

否正確.

【答案】(1)-3

(2)嘉琪的說法不正確

【分析】本小題考查完全平方公式、分式的加法運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)分式的加法運算即可求解；

(2)根據(jù)題意得出廿_4℃=(“機-助)20,根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

■、"ATI■/?、，r，ITl+〃b

【詳解】(1)解AT：原式=----=一一.

mnc

當(dāng)。=1,。=2時，原式=一；；

(2)嘉琪的說法不正確，理由如下：

bc

m+n=——,mn=—,

aa

:.b——a(jn+n),c=anm

b1-4ac=[-a(m+a)]2_4a2mn=-2a2mn+?2n2=^am-anf

?.?Q,m,〃是非零實數(shù)，

/.^am—an^>0,

.?方—4〃c的結(jié)果是非負數(shù)，

，離淇的說法不正確.

21.閱讀下列解題過程，并回答問題.

已知龍H—=3,求/H--,

XX

解：x2+-^=(x+^-]-2=9-2=7.

X\X)

仿照上述解法求解：已知尤2-5X+1=0,求x」的值.

【答案】土收1

【分析】本題考查了完全平方公式，分式的化簡求值的知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)已知條件得到x+：=5,再把(x-g：仿照題干的方法化為(x+jj-4,代入數(shù)值即可求解

J的值.

X

【詳解】解：vX2-5X+1=0,

x—5H—=0,即xH—=5,

XX

***x—=±，21,

X

22.觀察下列方程的特征及其解的特點：

2

①犬H—=—3的解為x=-1,x=—2；

Xx2

②xH—=—5的解為玉=-2,X=—3；

X2

12

③x+—=-7的解為％=-3,々=一4.

x

解答下列問題.

(1)請你寫出一個符合上述特征的第4個方程」其解為

(2)根據(jù)這類方程特征，第冊方程為」其解為

20F?2M

［答案］(1)%+——=-9,再=一4,x=-5；(2)X+-----=-2n-l,x=-n,x=-n-l

x2xx2

【分析】本題考查了解分式方程，分式方程的解，根據(jù)方程和方程解的特征找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)上述3個方程及其解的規(guī)律，可知(-4)x(-5)=20,(—4)+(-5)=-9,然后寫出即可；

(2)根據(jù)這類方程特征可知，(一次)(一〃-1)="+〃，(一九)+(-〃-1)=一2〃一1,然后寫出即可.

【詳解】解：(1)由題意得：

(T)x(—5)=20,(—4)+(—5)=-9,

20

所以：第四個方程為：%+—=-9,其解為：須=-4,X=-5,

x2

故答案為：xH=—9,再=-4,x=—5；

X2

(2)由題意得：

(一〃)(f-1)=n2+n,(-n)+(-〃-1)=-In-1,

2

+n

所以：第〃個方程為：x+--In-1,其解為：x1=-nfx2=-n-l,

x

2

故答案為：x+n+H=-2ra-l,X|=-w,^2=-?-1.

X

23.閱讀下列材料

在分式中，分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分

2

式.例如，分式一1二，年2r」是真分式.如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分

x+2r-5x

式.例如，分式》尤+]，工丫2是假分式.一個假分式可以化為一個整式與一個真分式的和.例如，

X-1x-1

x+1(x-1)+22

X—1X—1X—1

(1)下列式子中，屬于真分式的是一(填序號)；

G1-X+1業(yè).④x2+2

①一；②丁2

x2x+l'D

(2)將假分式生二化為一個整式與一個真分式的和；

X+1

⑶已知整數(shù)X使分式2始+5.—20的值為整數(shù),則滿足條件的整數(shù)x=.

x-3-

【答案】(1)①③；

(2)2X-1=2(X+1)-3=2_^；

x+1x+\x+1

⑶2或4或-10或16.

【分析】本題考查了分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)真分式的定義即可求解；

(2)根據(jù)題意，把分式化為整式與真分式的和的形式即可；

(2)根據(jù)題中所給出的例子，把原式化為整式與真分式的和形式，再根據(jù)分式的值為整數(shù)即可得出

x的值.

1VJ-14丫~1~2

【詳解】(1)解：根據(jù)真分式的定義可知：①L是真分式；②干是整式；③歲T真分式；④

x2x2+l

元2

"是+2假分式；

故選：①③；

2x+13*7

(2)解：g￡zl=()-=2--？-；

x+1x+lX+1

(3)解：2/+5“-20

x-3

_2犬—6工+1卜