第56講二項分布與超幾何分布

鏈教材夯基固本

激活思維

1.（人A選必三P76練習(xí)Tl（2））將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝

上”出現(xiàn)的次數(shù)，則￡（為=2,。⑶=」一.

【解析】一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次正面朝上的概率為A且每次是否正面朝上相互

2

獨立，所以X-BB，J,所以E（X）=4xg=2,D（^）=4X^x1=l,

2.（人A選必三P74例1改）將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，則恰好出現(xiàn)5次

正面朝上的概率是_警_.

256

【解析】設(shè)事件/="正面朝上”，則尸（/）=0.5.用X表示事件N發(fā)生的次數(shù)，則X?

3（10,0.5）,恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價于X=5,于是尸（*=5）=00義0.51。=互-=可.

1024256

3.（人A選必三P80練習(xí)T1）一箱24罐的飲料中4罐有獎券，每張獎券獎勵飲料一罐.從

中任意抽取2罐，則這2罐中有獎券的概率是—.

"138"

【解析】因為一箱24罐的飲料中4罐有獎券，所以無獎券的有20罐.從24罐中任意

抽取2罐，有C%=276（種）結(jié)果，且它們是等可能的，其中抽取的2罐均無獎券，有C%=

190（種），所以這2罐中有獎券的概率為尸=1一譬=1一粵=￡.

C24276138

4.（人A選必三P80練習(xí)T2）學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會，已知有4

名候選人來自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到，則甲班恰有2名同學(xué)被選到的

概率是至.

"165"

【解析】總共有C%種選法，甲班有4名候選人，選擇2名甲班同學(xué)和2名別班同學(xué)

的選法種數(shù)為Cid,則甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率為個=里.

Ch165

5.（人A選必三P80習(xí)題T2）若某射手每次射擊擊中目標的概率為0.9,每次射擊的結(jié)果

相互獨立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標的概率是」）.2916.

【解析】設(shè)事件/=“恰好有一次未擊中目標”，則尸⑷=€4X0.93X（1—0.9）=0.291

6.

聚焦知識

一、二項分布

1.伯努利試驗

只包含.兩個.可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n

次所組成的隨機試驗稱為《重伯努利試驗.

2.二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件/發(fā)生的概率為p(O<p<l),用X

表示事件/發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為尸(X=AO=C/A(1—p)"F,4=0,1,2,…，".如果

隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X?B(〃，.

3.兩點分布與二項分布的均值、方差

(1)若隨機變量x服從兩點分布，則E(X)=p,rw=P(1—D).

(2)若子?取”，p),貝U￡(田=_型_,D(X)=np(1—z?).

二、超幾何分布

1.定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取

n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，那么X的分布列為P(X=k)=￥^^_,

k=m,冽+1,m+2,…，r,其中〃，N,MSN,nWN,m=max{0,n—N~\~M},

r=min{H,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何

分布.

2.超幾何分布的均值與方差(*)

(1)均值：根據(jù)均值的計算公式，當X?H(n,M,2V)時，E(X)=^mkPk=J^_,其中r

=min{〃，M}.

(2)方差：。⑶=

M(N—1)

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀U二項分布

例1(2024?威海二模)市場供應(yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲

廠產(chǎn)品達到優(yōu)秀等級的概率為90%,乙廠產(chǎn)品達到優(yōu)秀等級的概率為65%.現(xiàn)有某質(zhì)檢部門

對該商品進行質(zhì)量檢測.

(1)若質(zhì)檢部門在該市場中隨機抽取1件該商品進行檢測，求抽到的產(chǎn)品達到優(yōu)秀等級

的概率；

【解答】記質(zhì)檢部門在該市場中隨機抽取1件該商品進行檢測，抽到的產(chǎn)品達到優(yōu)秀

等級為事件/,則=60%X90%+40%X65%=80%=|.

(2)若質(zhì)檢部門在該市場中隨機抽取4件該商品進行檢測，設(shè)抽到的產(chǎn)品中能達到優(yōu)秀

等級的件數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】由(1)可知每件產(chǎn)品達到優(yōu)秀等級的概率均為:故X?BB'3,X=0,1,2,

3,4,所以尸(X=O)=Cg@J-J1」，”=1)=/并可=-,尸(X=2)

625625

,P(X=4)=C，[f)[l-|12|6故x的

296=

=氏，尸(x=3)=a

OZJ625625

分布列為

X01234

11696256256

P

625625625625625

E(X)=OX—+1X—+2X—+3X—+4X-=—

6256256256256255

＜總結(jié)提煉A

(1)在求"次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生左次的概率時，首先要確定好〃和左的值，

再準確利用公式求概率；(2)在根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事

件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)"和變量的概率，從而求得概率.

目幀自超幾何分布

例2(2024?聊城二模)某即時配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客

戶滿意度，在其，，8兩個分公司的客戶中各隨機抽取10位客戶進行了滿意度評分調(diào)查(滿

分100分)，評分結(jié)果如下：

分公司Z：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

(1)求抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)；

【解答】將抽取的這20位客戶的評分從小到大排列為：62,66,70,72,73,77,78,

79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.因為20X25%=5,所以抽取的這

20位客戶評分的第一四分位數(shù)為73+77=75.

2

(2)規(guī)定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機抽取3人繼續(xù)溝通

不滿意的原因及改進建議，設(shè)被抽到的3人中分公司8的客戶人數(shù)為X,求X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

【解答】由已知得，分公司/中75分以下的有66分，72分；分公司8中75分以下

的有62分，70分，73分，所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司/中2人，分公司2

中3人.所以X的所有可能取值為1,2,3.P(X=1)=邛=a~,P(X=2)=叼=3,P(X

105

=3)=?=-,所以X的分布列為

CS10

X123

331

P

10510

數(shù)學(xué)期望E（X）=IX3+2X3+3XL=9.

105105

，總結(jié)提煉A

在〃次試驗中，某事件/發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項分布.

①當這〃次試驗是獨立重復(fù)試驗時（如有放回摸球），X服從二項分布；

區(qū)別

②當〃次試驗不是獨立重復(fù)試驗時（如不放回摸球），X服從超幾何分布

在不放回"次試驗中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗次數(shù)〃很小，此時

聯(lián)系

超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項分布

變式2某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，對該流水線上的產(chǎn)品進行

簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

分組區(qū)間[490,(495,(500,(505,(510,

（單位：克）495]500]505]510]515]

產(chǎn)品件數(shù)34751

包裝質(zhì)量在（495,510］克的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品.

（1）估計從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率；

【解答】樣本中一共有3+4+7+5+1=20件產(chǎn)品，包裝質(zhì)量在（495,510］克的產(chǎn)品

有4+7+5=16件，故從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率為P=—

205

（2）從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；

【解答】依題意，X的可能取值為0,1,2,P（X=2）=?="，尸（X=1）=C^=這,

Cio19C3o95

尸（x=o）=m=2,故X的分布列為

C2095

X012

33212

P

959519

（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)y為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求y的分布列.

【解答】依題意，y的可能取值為0,1,2,丫?/'3,則尸（y=2）=02=1|,尸（/

-3=短故丫的分布列為

48

=l)=cixX；=至，p(y=o)=

Y012

1816

P

252525

新視角二項分布中的最值問題

例3-1(2024?池州二模)學(xué)校組織某項勞動技能測試，每位學(xué)生最多有3次測試機

會.一旦某次測試通過，便可獲得證書，不再參加以后的測試，否則就繼續(xù)參加測試，直到

用完3次機會.如果每位學(xué)生在3次測試中通過的概率依次為0.5,0.6,0.8,且每次測試是

否通過相互獨立.現(xiàn)某小組有3位學(xué)生參加測試，回答下列問題.

(1)求該小組學(xué)生甲參加考試次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望￡(㈤.

【解答】由題意知X的所有可能取值為1,2,3,因為尸(X=l)=0.5,P(X=2)=(1—

0.5)X0.6=0.3,尸(X=3)=(l—0.5)X(l—0.6)=0.2,所以X的分布列為

X123

P0.50.30.2

所以E(R=1XO.5+2XO.3+3XO.2=L7.

(2)規(guī)定：在2次以內(nèi)測試通過(包含2次)獲得優(yōu)秀證書，超過2次測試通過獲得合格

證書.記該小組3位學(xué)生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為Y,求使得「(￥=?取最大值時的整數(shù)k.

【解答】由題知每位學(xué)生獲得優(yōu)秀證書的概率尸=P(X=l)+P(X=2)=0.5+0.3=0.8

=4

—5'

方法一：因為y的所有可能取值為o,I,2,3,且y?Bp'J,所以「(￥=0)=

64

京，尸(Y=3)=C§X諼，所以尸(Y=O)<尸(y=i)<尸(y=2)<p(y=3),所以

使得p(y=B取得最大值時，整數(shù)左的值為3.

方法二：由y?小力得尸「用=受01廿：k=0,1,2,3,所以P(y=.

P(-1)

ax隊。tf4_q

=RY-i——2=4UJ^4bJ=2>1,左=1,2,3,所以p(y=3)>p(y

k3

a>xl5Jxl5J

=2)＞尸(y=i)＞尸(y=o),所以使得產(chǎn)(丫=與取得最大值時，整數(shù)上的值為3.

例3-2(2024?懷化二模)現(xiàn)有甲、乙兩名運動員爭奪某項比賽的獎金，規(guī)定兩名運動員

誰先贏網(wǎng)左＞1,左GN*)局，誰便贏得全部獎金。元.假設(shè)每局甲贏的概率為乙

贏的概率為1—P，且每場比賽相互獨立.在甲贏了根(機〈1)局，乙贏了上)局時，比賽

意外終止，問：獎金如何分配才合理？評委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進行下去

各自贏得全部獎金的概率之比P甲：尸乙分配獎金.

(1)若左=3,m=2,n=l,p=一,求尸甲：尸乙；

4

【解答】設(shè)比賽再繼續(xù)進行X局甲贏得全部獎金，則最后一局必然是甲贏，依題意，

T.

X的可能取值為1,2.當X=1時，甲以3：1贏，尸(X=l)=j當X=2時，甲以3：2贏，

P(X=2)=1X3=￡.因此甲贏的概率為3+工=”,則乙贏的概率為1—"=工，所以P甲：尸

4416416161616

乙=15：1.

(2)記事件N="比賽繼續(xù)進行下去乙贏得全部獎金”，試求當左=4,加=2,〃=2時，

比賽繼續(xù)進行下去甲贏得全部獎金的概率%)，并判斷當今WpVl時，事件/是否為小概率

事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.06,則稱該隨機事件為小概率事件.

【解答】設(shè)比賽再繼續(xù)進行丫局乙贏得全部獎金，則最后一局必然是乙贏，當丫=2

時，乙以4：2贏，尸(y=2)=(l—02；當y=3時，乙以4：3贏，尸(Y=3)=C如(1—p＞=2以1

—p￥，于是乙贏得全部獎金的概率尸(N)=(l—p)2+20(l—p)2=(l+20(l—,)2.甲贏得全部獎

金的概率加)=1—(1+20(1—02,則/(0=—2(1—(1+20-2(1—p)(—1)=

6次1—初＞0,即函數(shù)加)在J7'1)上單調(diào)遞增，則加)mml=".因此乙贏的概率的最大

值為1一型=」上七0.0554C0.06,所以事件/是小概率事件.

343343

隨堂內(nèi)化

1.某電視節(jié)目采用組團比賽的方式進行，參賽選手需要全部參加完五場公開比賽，其

中五場中有四場獲勝，就能取得參加決賽的資格.若某參賽選手每場比賽獲勝的概率均是馬

3

則這名選手能參加決賽的概率是(D)

A.幽

243243

C.空D.必

243243

【解析】由題意可知五場中獲勝的場次x?BI5'寸，選手能參加決賽的概率尸=

aX針X卜九X針

2.根據(jù)現(xiàn)行國家標準，PM2.5日均值(單位：ug/m3)在35以下，空氣質(zhì)量為一級；在

35?75空氣質(zhì)量為二級；在75以上，空氣質(zhì)量為超標.工作人員從某自然保護區(qū)2024年

全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：

PM2.5日均值(25,35](35,45](45,55]

頻數(shù)311

PM2.5日均值(55,65](65,75](75,85]

頻數(shù)113

從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記X表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，則X的

均值是(A)

A2

109

C.-D.-

109

【解析】依據(jù)條件，X服從超幾何分布，其中N=10,M=3,n=3,故￡(田=吆="^

N10

9

10

3.(多選)已知隨機變量X?2(4,p),E(X)=2,貝!|(AD)

A.?」

2

C.O⑶=2D.E(4X+3)=11

【解析】對于A,由題意可得X服從二項分布，故E(X)=4p=2,即P=g，故A正確;

4,所以p=^=c?c￡)

對于B,因為X?@3,w=3)+r=l，故

8

錯誤；對于；

BC,D(X)=4XX1,故C錯誤；對于D,￡(4X+3)=4￡(&+3=ll,

故D正確.

4,現(xiàn)有高三年級學(xué)生7人，7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，要從這7人中隨機

抽取3人做進一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的學(xué)生人數(shù)，則隨機變量X

的數(shù)學(xué)期望是—;設(shè)事件N=”抽取的3人中，既有睡眠充足的學(xué)生，也有睡眠不足的學(xué)

~7~

生”，則事件/發(fā)生的概率為°.

~T

【解析】由題意可知隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,則尸(X=0)=￡=L，P(X

=1)=^1=12,P(X=2)=^^=—,尸(X=3)=?=A，所以￡田=0義工+1乂盤+2*工

a35a35a35353535

+3義奈=修,由已知條件可得p(/)=@^宴

「溫馨疆示,

I

\_______________________________________________________________________________)

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一、單項選擇題

1.已知隨機變量/?8(12,p),且上(2§—3)=5,則。(3J=(D

【解析】因為￡(2U—3)=2￡(。一3=2X120—3=5,所以p=\故。(35=32。?=

9義12X士X

2.2024年5月中國郵政發(fā)行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》(5枚)、《鄱

陽湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后，第四個登上特種郵票的第五大淡水湖.現(xiàn)從15枚郵票中

隨機抽取2枚，記取到郵票《巢湖》的枚數(shù)為X,則￡(田=(A)

【解析】依題意，X的可能取值有0,1,2,則尸(X=0)=%=三，P(X=1)=且/

Ci535Ci5

3.(2024?臨沂期初摸底)一個不透明的袋子中裝有3個黑球、〃個白球(”dN*),這些球除

顏色外大小、質(zhì)地完全相同.從中任意取出3個球，已知取出2個黑球、1個白球的概率為

2，設(shè)X為取出白球的個數(shù)，貝|E(X)=(A)

A.3B

2-l

C.1D.2

【解析】由題可知中=且，解得〃=3,則X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=日

*20a

=工,P(X=1)=型?=望，尸(X=2)=盤?=2,尸(X=3)=E=L,所以￡(X)=0X」~+1X—

20'JCg20'J逐20''Cg20—2020

913

+2X^-+3X-L=-.

20202

4.A,B兩組各3人獨立的破譯某密碼，A組每個人譯出該密碼的概率均為6，B組每

個人譯出該密碼的概率均為P2,記A,B兩組中譯出密碼的人數(shù)分別為X,Y,且3<P1<P2

<b貝U(B)

A.E(X)<E(Y)，D(X)<D(Y)

B.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y)

C.E(X)>E(Y),D(X)<D(Y)

D.E⑶>￡(7),D(X)>D(Y)

【解析】由題意可知X服從二項分布2(3,pi),所以E(X)=3p,。(&=3〃(1—pi).同

理，y服從二項分布2(3,Pi),所以E(F)=302,o(y)=302(i—P2).因為3Vpi<"<1,所以

3Pl<3p2,所以E(X)<￡(。對于二次函數(shù)y=3p(l—p),對稱軸為p=J可知函數(shù)在L”上

單調(diào)遞減，所以當時，有“1(1一6)>302(1—02),即。(大)>。(7).

二、多項選擇題

5.(2025?亳州期初)已知隨機變量X滿足X?3(4*),0<°<1,￡(星)=沙孫則(BCD)

A.p=：2B.￡4(㈤=：

1132

C.E(2X+1)=?D.O(2X+l)=g

QQ1

【解析】對于A,因為X?5(4,2)，E(X)=^D(X),所以4夕=六42(1一0)，解得夕=；,

故A錯誤；對于B,由上知￡(%)=?=：,故B正確；對于C,￡(2X+1)=2￡(X)+1=￡,

故C正確；對于D,。(2》+1)=4。(&=4乂4以1一2)=萬，故D正確.

6.下列說法正確的有(AB)

A.已知事件Z,B,且尸(4)=tP⑻=幺,P(A\B)=~,則尸(5⑷=4

6325

B.設(shè)火箭發(fā)射失敗的概率為0.01,若發(fā)射10次，其中失敗的次數(shù)為X,則尸(X=后)=

CioXO.OPXO.991°-i

C.若從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有1名女生的概率為受

C15

D.設(shè)甲乘汽車、動車前往某目的地的概率分別為0.3,0.7,汽車和動車正點到達目的

地的概率分別為0.6,0.8,則甲正點到達目的地的概率為0.58

【解析】對于A,由條件概率公式知P(4B)=P(/⑻則—即)="§

233尸(%)

1

=|=|,故A正確；對于B,因為x?Rio,0.01),所以「(XuAOnC4oXO.oJxoggi?！?故

6

B正確；對于C,至少有一名女生的概率P=CgC/+C，WCKh+CK9o,故c錯誤；對

于D,設(shè)事件/="甲正點到達目的地”，事件2="甲乘動車前往目的地”，事件。="甲

乘汽車前往目的地”，由題意知P(5)=0.7,尸(0=0.3,尸(4出)=0.8,尸(Z|C)=0.6,由全概

率公式得尸(/)=尸(2)尸(/|2)+2(。)7>(4|0=0.7乂0.8+0.3乂0.6=0.56+0.18=0.74,故口錯誤.

7.某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個〃位二進制數(shù)幺=002。3。4…即，其中0。

=1,2,3,w)e{0,1}.若在/的各數(shù)位上出現(xiàn)0和1的概率均為熱記X=m+02+

MH----則當程序運行一次時(ABC)

A.尸(X=0)=￡

B.P(X=k)=P(^=n-kXOWkWn,左GN*)

C.E(A)=|

幾2

D.D(A)=j

【解析】由二進制數(shù)N的特點知每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0,1,每位數(shù)出現(xiàn)0,1

是獨立的，所以X?小，J,所以尸(X=O)=cQ°[—J=]故A正確；P(X=k)=

3日(1—￡=C；FQ"I3—3'=尸(X=〃一砂，故B正確；因為X?2it所以E(X)

=nX-=-,D(X)=〃xlx[l—J=",故C正確，D錯誤.

2224

三、填空題

8.某人射擊一次擊中目標的概率為0.6,經(jīng)過三次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概

率為_0.648_.

【解析】設(shè)擊中目標的次數(shù)為X,則X?2(3,0.6),故P(XN2)=尸(X=2)+P(X=3)=

C?X0.62X(1-0.6)+dX0.63=0.648.

9.(2024?開封二模)袋中有4個紅球，加個黃球，〃個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取

出的紅球數(shù)為15若取出的兩個球都是紅球的概率為%則￡(?=_，.

【解析】依題意，m,w為非負整數(shù)，記”取出的兩個球都是紅球”為事件/,則P(/)

=尸=1,所以--------3-=1，解得加+〃=5或加+〃=—12(舍去)忑的可能取

Cm+n+46(m+n+4)(m+n+3)6

值為0,1,2,則尸仁=o)=團=得，P4=1)=笠=|,尸("2)=9=；,所以￡?=0義2

C9loC9yC9Olo

+lX-+2X-=-.

969

10.50張彩票中只有2張中獎票，現(xiàn)從中任取〃張，為了使這〃張彩票里至少有一張中

獎的概率大于0.5,則n至少為.15.

【解析】設(shè)X表示中獎票的張數(shù)，則尸匠21)=尸(萬=1)+2(丫=2)=堡睨+重量>

C?oC?o

c48!48!

2-----------------------------------------------------

05n(〃T)!(49-)!+(-2)!(5L〃)！>1,所以2?150^+?^>1,又〃

50!50!250X4950X492

n!(50—〃)！n!(50—H)!

所以w至少為15.

四、解答題

11.(2024?晉城二模)長跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機能，較長時間有節(jié)奏的深長呼

吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收氧氣量若超過平時的7—8倍，就可以抑制人體癌細胞

的生長和繁殖.其次長跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，加快了心肌代謝，同時還使心肌肌纖

維變粗，心收縮力增強，從而提高了心臟工作能力.某學(xué)校對男、女學(xué)生是否喜歡長跑進行

了調(diào)查，調(diào)查男、女生人數(shù)均為200,統(tǒng)計得到如下2X2列聯(lián)表：

喜歡不喜歡合計

男生12080200

女生100100200

合計220180400

(1)試根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認為學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別有

關(guān)聯(lián)？

【解答】零假設(shè)Ho：學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別無關(guān)，可得力2=

400X(120X100-80X100)2=400^4040>3841>所以根據(jù).=0,05。的獨立性檢驗，可以推