2024?2025學(xué)年下學(xué)期佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測

高一數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19小題.滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生要務(wù)必填涂答題卷上的有關(guān)項目.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；

如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要

求作答的答案無效.

4.請考生保持答題卷的整潔.考試結(jié)束后，將答題卷交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合11兀11,，則人力—()

A.^x\-4<x<3^

c.{0,1,2)

【答案】D

【詳解】集合A={H—4<X<1},B={X|-1<X<3},所以4門5={乂—1<%<1}.

故選：D

2.復(fù)數(shù)2的共輾復(fù)數(shù)是()

A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i

【答案】A

2(1+。

【詳解】因為

1-i(l+i)(l-i)

故選：A.

3.已知正方形ABCD的邊長為1,AB=a，AD^b>BD=c，貝1a+b+c/

C.也D.2V2

【答案】B

【詳解】因為3Z）=AZ）—AB=Zj—a，則a+b+c=a+b+（/?-a）=2），

因此，,+）+。|=2慟=2.

故選：B.

4.己知S”為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，昆=6,$6=3,則%=（）

A.-9B.-5C.3D.6

【答案】B

3x2，

3tZ]+-----dJ=6

2q=3

【詳解】由題意得＜解得《

6x5,cd=—1

6q+-----a=3

2

則佝=a】+8d=3—8=—5.

故選：B.

5.學(xué)校組織學(xué)生參加勞動基地實踐活動，將4名學(xué)生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3個項目進行

勞動技能訓(xùn)練，每名學(xué)生只分配到1個項目，每個項目至少分配1名學(xué)生，則不同的分配方案共有（）

A.24種B.36種C.48種D.72種

【答案】B

【詳解】將四名學(xué)生分為三組，每組人數(shù)分別為2、1、1,再將這三組學(xué)生分配給三個項目即可，

所以，不同的分配方案種數(shù)為CjA；=6x6=36種.

故選：B.

6.某車間為規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次實驗，收集數(shù)據(jù)如表所示：

零件個數(shù)/個1020304050

加工時間/min62%758189

根據(jù)計算可知加工時間（?。╆P(guān)于零件數(shù)（無）的一元線性回歸方程為y=0.67x+54.9,則為=（）

A.65B.65.3C.68D.68.3

【答案】C

……,好用——10+20+30+40+50“-62+%+75+81+89y+307

【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=-------------------------=30,y=------"~------------=江2工一，

將樣本點中心(元》)代入回歸直線方程可得0.67X30+54.9=&^^,解得％=68.

故選：C.

7.某海灣一固定點處大海水深d與時間力之間的關(guān)系為d(/)=10+4cos[e]，則該處水位變化速度的

最大值是()

兀兀27r

A.-B.一C.—D.4

633

【答案】C

【詳解】由d(/)=10+4cosf,得/(/)=—,

兀

則該處水位變化速度的最大值是」2.

3

故選：C.

8.某工廠近兩年投產(chǎn)高新電子產(chǎn)品，第一個月產(chǎn)量為1000臺，合格品率為80%,以后每月的產(chǎn)量在前一個

月的基礎(chǔ)上提高20%,合格品率比前一個月增加遙.已知第〃個月(〃GN*，且〃W12)生產(chǎn)合格品首次

突破5000臺，則〃的值為(參考數(shù)據(jù)：1.28^4.3)()

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【詳解】由題可得第〃個月生產(chǎn)合格品數(shù)量為1000(1+20%)修(80+"-1)%.

則由題可得1000(1+20%戶(80+〃—1)%>5000=>(1.2戶(〃+79)>500=>

(1.2)"5+79)>600.

當(dāng)〃=8,(1.2)”(“+79)=1.28x87土4.3x87<600,不滿足題意；n=9,

(1.2y(?+79)=1.28x88xl.2?4.3x88x1.2=454.08<600,不滿足題意；〃=10,

(1.2)"(n+79)=1.28x89x1.22?4.3x89x1.44=551.088<600,不滿足題意；〃=11

(1.2)，，(n+79)=1.28x90xl.22xl.2?4.3x90x1.44x1.2=668.736>600,滿足題意.

令=(x+79)x>0，

ln^(x+79)lnj(x+79)+l

則+>0,

從而了（%）在（0,+8）上單調(diào)遞增，由以上分析可得/（10）<600,/（11）>600.

則當(dāng)?shù)凇▊€月生產(chǎn)合格品首次突破5000臺時，n=ll.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.

9.設(shè)隨機變量X~N（4隨機變量y~N（〃2，b；）,其正態(tài)密度曲線如圖所示，則（）

A.〃i<〃2B.P（X>/^）>P（X

C.cr；>cr2D.><7；）>>cr2）

【答案】ABD

【詳解】.X?y~N（〃2。；），

，兩曲線分別關(guān)于直線％=〃1，%=〃2對稱，由圖可知〃1<〃2，故A正確；

又〃]<〃2，所以尸（x?4）>P（X2〃2）,故B正確；

又X的正態(tài)密度曲線比丫的正態(tài)密度曲線更“高瘦”，所以/<。2,故C錯誤；

又所以尸（FNcrJ〉尸（FN%）,故D正確；

故選：ABD.

2

10.已知數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑閟“，an=^~~百則（）

A.數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)“=7時，?！叭〉米钚≈?/p>

C.數(shù)列阻｝是遞減數(shù)列D.當(dāng)且僅當(dāng)"=7時，3取得最小值

【答案】BD

4r1

【詳解】對于A選項，因為4=一§，%=-5,%=6，則%>%<4，故數(shù)列｛%｝不單調(diào)，A錯;

n15-----1-1-1----

對于B選項，a:『2_22J?口,

"2n-152n-1522(2n-15)

當(dāng)〃W7且“eN*時，4<；且數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，

當(dāng)〃之8且〃eN*時，見〉g且數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，

故當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時，?！ㄈ〉米钚≈?，B對；

對于C選項，由an——>0可得〃=1或〃28,

2n-15

故當(dāng)時，—故數(shù)列｛S〃｝(〃28)單調(diào)遞增，C錯；

Z2215

對于D選項，由a――------<0可得2<n<一,

2n-152

故當(dāng)3<〃<7時，an<0；當(dāng)〃28時，an>0,

所以，當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時，取得最小值，D對.

故選：BD.

11.已知函數(shù)/(%)=工3+(〃+1)X2+改+(.一］),則()

A.函數(shù)“X)有兩個極值點B.函數(shù)/(%)在(0,+“)單調(diào)遞增

C.3?eR,函數(shù)/(%)恰有兩個零點D.Va>2,函數(shù)〃尤)在(f,0)上有最大值

【答案】ACD

【詳解】由/(x)=x3+(a+l)x2+依+(。-1)求導(dǎo)可得/'(6=3,+2(a+l)x+a,

令/'(x)=3爐+2(a+l)x+a=0,

則A=4(a+1)—12a=4/—4a+4=41a—QJ+3>0>

所以方程r(x)=o有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)為冷斗,不妨令西<々；

對于A,則無〈再時,/,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

玉<x<W時，/,(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；

x>x?時，/,(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(無)有兩個極值點，故A正確；

對于B,根據(jù)韋達定理，X]+々_2(；+1),西工2=三

若a<0,則再%2=-|<0,則為<0<%，

所以，xw(O,X2)時，/'(X)<0，/(%)單調(diào)遞減；

xe(X2，+°°)時，/'(*)>0，/(%)單調(diào)遞增，故B錯誤；

對于C,取a=l時，/(%)=x3+2x2+x=x(x+l)2,

令/(x)=0,解得x=0或x=—1,

此時，函數(shù)“無)恰有兩個零點，故C正確；

對于D,因為a22,所以X]+/=_2(；+1)<0,X]/=卜〉0，則西<%2<°，

所以，xe(-oo,%)時,fr(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

時，/'(%)<。，/(%)單調(diào)遞減；

xw(九2，°)時，/'(X)>。，/(x)單調(diào)遞增,

所以，函數(shù)/(X)%處取得極大值/(%)=/3+(。+1)石2+叼

又/(。)=。-1,則/(jq)-/(O)=x(3+(a+l)x(2+OX,=x((jq+l)(Aj+a),

又因為％=(.+1)―力2a+1,

13

匚匚［、］—（Cl—2）——4+1

所以%+］=」——---------<0，

3

2（7—1—yCl~—<7+12tZ—1—<7。―1

M+Q=〉—〉（J，

1333

所以/（七）一/（0）>0,即/（石）>/（0）,

則函數(shù)/（%）在X=X］處取得極大值/（七）就是在（T&0）上的最大值，

故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空2分，第二空3分.

12.（l+x/展開式中/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】20

【詳解】（1+X）6展開式中含/的項為C*3=20彳3,

所以（l+x）6展開式中/的系數(shù)為20.

故答案為：20

13.己知直線y=x+2與曲線y=ln（x+a）相切，則。=

【答案】3

【詳解】設(shè)切點為（x。，y0）,由題意可得：曲線的方程為y=ln（x+。），所以y'=」一.

x+a

…1

所以k切==1,并且yo=xo+2,yo=ln（x（）+〃），解得：yo=O,x0=-2,〃=3.

xQ+a

故答案為3.

14.在棱長為1個單位的正方體ABC。-中，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下從頂點A出發(fā)，每隔

1秒等可能地沿著棱移動1個單位，移動的方向是隨機的.設(shè)第刀秒（〃wN*）后，質(zhì)點位于平面2題的

概率為P〃，貝!J〃2=，Pn=,

411

【答案】①.—②.-(1--)

【詳解】正方體A5CD-A與G2的8個頂點分居在兩層：上底面AAGA和下底面A5c。內(nèi),

每個頂點有3條棱連接到相鄰頂點，移動方向等可能，概率為g,

因此質(zhì)點在同層內(nèi)移動到另一頂點的概率為2,質(zhì)點移動到另一層頂點的概率為工，

33

第及秒后，質(zhì)點位于平面加切的概率為凡，位于平面4以62的概率為1-%,為=0，

12214

n=—X—+—x-=—；

2933339

e21八、11nn111_11

則P〃=ZP〃T+[(1_P〃-1)=二,〃一1+二，即P〃—7=W(P〃-1—彳)，而，1_彳=_￡，

333323226

于是數(shù)列｛p〃—L｝是以-L為首項，工為公比的等比數(shù)列，即p"=’—L(3",

263223223

411

故答案為：—；—(1--)

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.一袋子中有大小相同的10個小球，其中有3個白球，7個黑球.現(xiàn)從中依次摸出2個球，記摸到白球的

個數(shù)為比

(1)若采用不放回摸球，求才分布列；

(2)若采用有放回摸球，求X的數(shù)學(xué)期望與方差.

【答案】(1)分布列見解析；

321

(2)期望一，方差一.

550

【小問1詳解】

依題意，X的所有可能取值為0,1,2,

F(X=0)=-^=—,P(X=1)=^^=—,P(X=2)=^^=—

cJo215c15Jo2c15Jo2

所以X的分布為:

X012

771

p

151515

33

【小問2詳解】依題意，X的所有可能取值為0』,2,每次摸到白球的概率為一，則XB(2,—),

333721

所以X的期望E(X)=2xS=)方差0(X)=2x—x—=—.

105101050

16.如圖，在長方體ABCD—中，AB=3,AD=AA[=^3,Dg=3D1E.

(1)求證：AE±B{DX.

(2)求直線與A與平面ABE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵—

4

【小問1詳解】

以〃為原點，QA為x軸，。。為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意得A(&0,0),E(0,1,A/3),B/,3,塔,2(0,0,⑹,

,=(-73,1,73),42=卜6,—3,0),

AAE-B1￡>1=3-3+0=0,

AE±BXDX.

【小問2詳解】

設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z),

A(/0,0),E(OJ,@,B(A/3,3,0),

又AB=(O,3,O),BE=g6,-2,塔,

nAB=3y=0

則〈「「，

n,BE=—\3x—2y+J3z=0

y=0,?。?1,則z=l,

平面ABE的一個法向量為n=(1,0,1),BR=(-A-3,0)

設(shè)直線B,D,與平面ABE所成角為。

.sin"BR"—_______@—受

"|畫?同^1+0+1x73+92724，

即直線BA與平面做所成角的正弦值為注.

4

17.己知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,4=1且4+2=2"+2(〃@?).

(1)若｛4｝為等比數(shù)列，求公比g的值；

(2)若%=2,

(i)證明：數(shù)列｛?！?1+4,｝為等比數(shù)列；

2n+l

(ii)求數(shù)列｛-----｝的前〃項和Tn.

[4J

【答案】(1)q=2；

(2)(i)證明見解析；(ii)7；=10—金].

【小問1詳解】

數(shù)列｛4｝中，%=1，由4+2=25"+2,得％=2岳+2=26+2=4,

則/=4,解得4=—2或4=2,

當(dāng)”一2時，「(一2尸，S^^1二T，2S"+2=—,

而4+2=(—2)用，顯然4+2=2S“+2不恒成立，因此qw—2,

當(dāng)q=2時，%=2"T,s'=二^=2"—1,2s“+2=2"i=4+2,符合題意，

1-2,-

所以4=2.

【小問2詳解】

(i)4+2=—S)=

由2S"+2,得an+3—2Sn+l+2,兩式相減得an+3—an+2=2(Sn+1n2an+1,

則4+3+4+2=2(a〃+2+4+i)，當(dāng)〃22時，an+2+a.=2(a“+i+??),

2

而。3=4,g=2,則4+g=6=2(4+。1),即“eN*，??+2+??+i=(??+i+??)>

所以數(shù)列｛a“+i+4｝為等比數(shù)列.

(ii)由(i)知等比數(shù)列｛a.+i+a“｝的首項為3,公比為2,則。用+?！?3-2””，

a-1

%+2+n+i=3-2",兩式相減得an+2-an=3-2",

當(dāng)“=2左一1,左eN*時，41t+i—=3-2?"2=3-4"i,

k1_Ak

于是外1—4=Z(%-%)=3?-=4,1,*=4%=22w,則a“=2R；

z=l1—4

2k1

當(dāng)〃=2左#eN*時，a2k+2-a2k=3-2-=6-4^,

k1_Ak

22

于是為+2一。2=Z(%*2一4,)=6?――=2?平一2,a2k+2=2H=2^-',則%=2小,

i=i1-4

,2〃+12〃+1

用N加「NT*-n=?n-1.-----=-----.

…3572n+l13572n—l2n+l

則＜=吩+級+中+1_i=-r—r—T+,|.I,

2”T'2n2122232“T2"

1.J-

一…1x2n+l_2n+l_2〃+5

兩式相減俗=3+(1+-+--+—?)———=3+--=5————)

乙乙乙乙］工乙乙

—5

所以q=10一駕^

18.已知函數(shù)/(%)='_0(x>o,eR).

(1)當(dāng)o=-e時，求證：x2f(x)>e；

(2)討論/(x)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)xNl時，f(%)>e,求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析；(3)[4e-e2,^?)

【小問1詳解】

當(dāng)a=.e時，設(shè)/(x)=x2y(x)-e=xx-———--e=e"—e(x_l)_e=e"—ex，

X

所以，(％)=/—e單調(diào)遞增，

所以當(dāng)無>1時，?x)>O/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<l時，?x)<O,*x)單調(diào)遞減；

所以f(x)1nto=?(l)=e'-e=0,所以《xjuf/Gbeue*-ex?0,

所以xV(x)之e；

【小問2詳解】

函數(shù)/(力=1+/《1)定義域為似+⑹，求導(dǎo)得

廣()(eA+a)x2-2x(ex+ax-a)e*(x-2)-x(x-2)(ex-a)(x-2)

當(dāng)aWl時，el>1>?>ex-a>0,x3>0

當(dāng)x>2時,_f(x)>0J(x)單調(diào)遞增;當(dāng)0<x<2時，/'(x)<0"(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)1<a<e?時，x3>0>

令@_。)(％_2)=0,解得毛=1恒,々=2,

當(dāng)x>2時,/'(x)>0"(x)單調(diào)遞增；當(dāng)lna<x<2時，/'(x)<0"(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<lna時,

r(x)>o"(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>e?時，/>o,

令(ej)(x-2)=0,解得%1=Ina,%=2,

當(dāng)尤>lna時，/'(x)>。,"%)單調(diào)遞增；當(dāng)2<x<lna時，/'(x)<0"(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<%<2時,

/'(x)>0,〃力單調(diào)遞增;

當(dāng)a=e?時，x3>0>

令,_/)(尤—2)=0,解得&=%=2,

當(dāng)x>0時，/'(x)>O"(x)單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)aWl時，〃尤)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,-8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)leave?時,/⑺在似加),(2,也)上單調(diào)遞增，在(Ina,2)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a=e?時，"％)在(0,+")上單調(diào)遞增；

當(dāng)a〉e2時，"％)在(0,2),(lna,+。)上單調(diào)遞增，在(2,Ina)上單調(diào)遞增；

【小問3詳解】

當(dāng)x=l時，?eR/(l)=e符合題意；

當(dāng)時，/(x)>e,則.+“.—1)之e等價于52廠e