期末熱點(diǎn).重難點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念

選擇題（共5小題）

1.（2024秋?常德校級(jí)期末）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=|i|+（1-/）2的虛部是（）

A.-iB.-1C.-2iD.-2

2.（2024秋?遵義期末）己知i為虛數(shù)單位，則|1M=（）

V21

A.—B.V2C.1D.-

22

3.（2024秋?洛陽(yáng)期末）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（百，1）,2為z的共朝復(fù)數(shù)，則|z-2|=（）

A.0B.2C.2V3D.4

4.（2025?張家口模擬）復(fù)數(shù)z滿足（z+2）i=l-i（i為虛數(shù)單位），貝Uz的共朝復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)是（）

A.-3B.1C.2D.V10

5.（2025?武漢模擬）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)zi與Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)z應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1,3）、（-2,

1）,則|知為（）

z2

A.V5B.2C.V2D.一

2

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?雷州市校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,且=-=2+23,則下列說(shuō)

z+1

法正確的是（）

A.z—iB.\z\—

1Q1

C.z的虛部為—a?D.?1（—22）

（多選）7.（2024秋?迎江區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)zi,Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Zi,Z2,。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，貝IJ（）

A.Z=Z1+Z2,則5=五+私

―?—>

B.若zi,Z2均不為0,則W逐2|=|OZi?OZz|

C.若2=藥,則|ziZ2|=|ziz|

TT—>一

D.^\0Zr+0Z2\=\0Zr-0Z2\,則zi”2=0

（多選）8.（2024秋?內(nèi)蒙古期末）已知復(fù)數(shù)z滿足z=1+2，,其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

_112

A.|z|=|z|B.-=——+

z33

C.z3的虛部為-2D.z2-2z+5=0

（多選）9.（2024秋?聊城期末）已知復(fù)數(shù)z=^+l,則（）

A.z=-2—31

B.|z|=5

C.zz=3-2i

D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?連云港期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=l-2i的模為.

11.（2024秋?上海校級(jí)期末）若復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=l（其中，為虛數(shù)單位），則|z|的最小值為

12.（2025?新余校級(jí)模擬）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)非0復(fù)數(shù)z滿足z2=|z|：.

四.解答題（共3小題）

13.（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)z=3+加其中“zeR.

（1）設(shè)zi=（1+30z,若zi是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

（2）設(shè)機(jī)=-1,分別記復(fù)數(shù)z,z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A、B,求OA與。8的夾角大小.

14.（2024春?固始縣校級(jí)期末）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=（m2-5/??+6）+（m2-2m）i,mER.

（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)時(shí)，求相的值；

（2）當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)，求相的值；

15.（2024春?共和縣校級(jí)期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a2-q-2+（a2-3a-4）i（其中a€R）.

(1)若復(fù)數(shù)Z為實(shí)數(shù)，求。的值；

(2)若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求a的值.

期末熱點(diǎn).重難點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念

參考答案與試題解析

選擇題(共5小題)

1.(2024秋?常德校級(jí)期末)已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=|i|+(1-D2的虛部是()

A.-iB.-1C.-2zD.-2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】利用乘方運(yùn)算和模長(zhǎng)計(jì)算可得z=l-2z,可知虛部為-2.

【解答】解：根據(jù)題意可得z=M+(1-z)2=1+12-2z+r=l-2i,

易知z=l-2i的虛部是-2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查乘方運(yùn)算和模長(zhǎng)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024秋?遵義期末)已知i為虛數(shù)單位，則|l-i|=()

魚(yú)L1

A.——B.V2C.1D.-

22

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的模求解即可.

【解答】解：|1-i\—Vl+1=A/2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

3.（2024秋?洛陽(yáng)期末）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（百，1）,2為z的共朝復(fù)數(shù)，則|z-2|=（

A.0B.2C.2V3D.4

【考點(diǎn)】共樂(lè)復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】由己知求得z,進(jìn)一步得到2,再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.

【解答】解：???復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（百，1）,

z—V3+i,則2=—i,可得z—2=2i.

\z-z\=2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

4.（2025?張家口模擬）復(fù)數(shù)z滿足（z+2）M為虛數(shù)單位），則z的共軌復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)是（

A.-3B.1C.2D.V10

【考點(diǎn)】共輾復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出z和2,再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式求出2的模.

【解答】解：由（z+2）i—1-z,得zi+2i=l-i,

.l-3i（l-3i）i?

??z=—=j=-3-1,

.?.z=-3+i,貝=7（-3）2+1=V10.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2025?武漢模擬）已知，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)zi與Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)z應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1,3）、（-2,

1）,則佟|為（）

z2

A.V5B.2C.V2D.一

2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求得Z1與Z2,進(jìn)而求解結(jié)論.

【解答】解：因?yàn)閕是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z1與Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)Z應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1,3）、（-2,1）,

所以zi=l+3i,Z2=-2+i,

|l+3i|=Jl2+32

所嗚,l+3i

-2+i~-；(-2)2+l2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，是基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?雷州市校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,且=-=2+產(chǎn)，則下列說(shuō)

Z+1

法正確的是（）

A.z=iB.\z\—

1Q1

C.z的虛部為—a?D.>1（-2f—2）

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；共輾復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】BD

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)Z,利用共輾復(fù)數(shù)的定義判斷4利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式判斷2；

利用復(fù)數(shù)的概念判斷C；利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D

【解答】解：由￡=2+尸=2-,得2=-會(huì)(2-0(1+0=3+i

故2=-]+2i，故A錯(cuò)誤；

|z|=J(—?jiǎng)?wù)2+(_扔=孚,故8正確；

z的虛部為-義，故C錯(cuò)誤；

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得4(-稱，-芬故。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

(多選)7.(2024秋?迎江區(qū)校級(jí)期末)已知復(fù)數(shù)zi,Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Zi,Z2,。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，貝U()

A.若2=21+22,則，=可+私

—>—?

B.若Zl,Z2均不為0,則憶m2|=|OZ1?OZ2I

C.若2=豆,則|ziZ2|=|ziz|

TT—>—>

D.^\OZr+OZ2\=\OZ1-OZ2\,則z「z2=0

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；共輾復(fù)數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】AC

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量模公式，即可求解.

【解答】解：設(shè)zi=a+bi(a,Z?GR),Z2=c+di(c,dGR),則無(wú)=a—bi,=c—di,

對(duì)于A,z=zi+z2=(fl+c)+(6+d)i,有+W=(a+c)-(b+d)i,

則2=Z]+Z2=(a+c)—(b+d)i,即2=石+石，所以A選項(xiàng)正確;

對(duì)于5,ziz2=(ac-bd)+(bc+ad)i,

—>—>—>T

0Zr=(a,b),0Z2=(c,d),則OZ】?OZ2=ac+bd,

—>—>

則憶㈤=|OZ「OZ2|不一定恒成立,所以8選項(xiàng)不正確;

22

對(duì)于C,\z±z2\-\zrz\=(Z]Z2)(隹)一(z1z)(取)

=(Z]Z2)(^)-(21五)囪22)=0,

即|Z1Z2『-|z】z|2=o,即|ziZ2|=|ziz],所以C選項(xiàng)正確；

對(duì)于。，^\oz1+oz2\=\oz1-oz2\,

-?―>

即。Z1-OZ2=0,Z1?Z2不一定為0,所以。選項(xiàng)不正確.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量模公式，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)8.(2024秋吶蒙古期末汨知復(fù)數(shù)z滿足z=l+2i,其中，為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是(

_112

A.|z|=|z|B.-=

z33

C.z3的虛部為-2D.z2-2z+5=0

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；復(fù)數(shù)的模.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：由z=l+2i,得|z|=VI不不=時(shí)，2=1-2i,\z\=Vl+(-2)2=V5,故A正確;

11l-2i12

—=------------------————I，古攵B

zl+2i(l+2i)(l-2i)55'

z3=(l+2z)(1+2力2=(l+2z)(-3+4z)=-11-23則z3的虛部為-2,故C正確；

z2-2z+5=(1+202-2(1+萬(wàn))+5=0,故。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

（多選）9.（2024秋?聊城期末）已知復(fù)數(shù)z=^+l,則（）

A.z=-2—31

B.|z|=5

C.zz=3-2i

D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)；共軌復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】BD

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算判斷A,C,由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算判斷C,由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D

【解答】解：因?yàn)閦=]+（+1=3i（l—i）+1=4+3i,

所以2=4-3i,故A錯(cuò)誤；|z|=5,故B正確；

zz,=-3+4i,故C錯(cuò)誤；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（4,3）,位于第一象限，故。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?連云港期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=l-2i的模為—逐

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】V5.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可求解.

【解答】解：z=l-23

故|z|=Vl+4=V5.

故答案為：V5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2024秋?上海校級(jí)期末）若復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=l（其中，為虛數(shù)單位），則Izl的最小值為1

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】數(shù)形結(jié)合.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】由題意畫(huà)出復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，數(shù)形結(jié)合可得答案.

【解答】解：由|z+2i|=l,得|z-（-2?）|=1,

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以（0,-2）為圓心，以1為半徑的圓周上，如圖，

V

當(dāng)Z=-i時(shí)其模最小，此時(shí)|z|=1.

故答案為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)模的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題.

12.（2025?新余校級(jí)模擬）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)非0復(fù)數(shù)z滿足z2=Izl：三+@i（答案不唯一）

——22-------------------------

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

■林士、1V3

【答案】—I.

22

【分析】先設(shè)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軌復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算得出B中=1,即可得出復(fù)數(shù).

【解答】解：設(shè)z=〃+bi(a,Z?eR,a,不同時(shí)為0),

2222

則z5=a+b,\z\=Va+bf

由于zWO,所以「「2+(2=1,滿足此等式即可.

故答案為：1+(答案不唯一)?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共輾復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題(共3小題)

13.(2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中)已知復(fù)數(shù)z=3+加其中“zeR.

(1)設(shè)zi=(1+30z,若zi是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)設(shè)機(jī)=-1,分別記復(fù)數(shù)z,z?在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A、B,求0A與。8的夾角大小.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)；純虛數(shù).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】(1)1;

(2)arccos^^-.

【分析】(1)由已知可得zi,根據(jù)zi是純虛數(shù)即可求解；

(2)當(dāng)機(jī)=-1時(shí)求解z,z2,可得復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，利用向量夾角公式即可求解.

【解答】解:(1)-：z=3+mi,

.'.zi=(l+3z)z=(l+3i)(3+mi)=(3-3m)+(m+9)i,

由zi是純虛數(shù)，得二解得相=1；

1771+9W0

(2)當(dāng)m=-1時(shí)，z=3-i,則2=(3-z)2=8-6z,

可得A(3,-1),B(8,-6),

—>T

：.0A=(3,-1),08=(8,-6),

OAOB