專題04幾何圖形初步

IUABI)?

常見的立體圖形

從正面看

從不同的方向看立體圖形從左面看

從上面看

立體圖形的平面展示圖

表示方法

直線特點(diǎn)

基本事實(shí):兩點(diǎn)確定一條直線

表示方法

射線------------

特點(diǎn)

表示方法

線

特點(diǎn)

比較方法

線段基本事實(shí):兩點(diǎn)之間線段最短

兩點(diǎn)之間的距離

線段的中點(diǎn)

線段的和、差與畫法

定義

表示方法

比較大小的方法

互余

兩角的特殊關(guān)系——

互補(bǔ)

角的度量

角平分線

知識(shí)點(diǎn)1:認(rèn)識(shí)平面圖形、立體圖形和圖形分類

（1）幾何圖形：幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象之一.物體的形狀、大小和位置關(guān)系是幾何研究的內(nèi)容.像

長(zhǎng)方體、圓柱、球、長(zhǎng)方形、正方形、圓、線段、點(diǎn)、三角形、梯形……它們都是幾何圖形.

（2）立體圖形：有些幾何體（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）各個(gè)部分都不在同一

平面內(nèi)，它們是立體圖形.

QOB（D

（3）平面圖形：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、圓等）的各

部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形.

□DOOZ7

X7OO

知識(shí)點(diǎn)2：立體圖形的展開圖

立體圖形的展開圖:有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形.

這樣的平面圖形稱為立體圖形的展開圖.

如正方體的展開圖有如下幾種情況：

中間四個(gè)面，上下各一面：

巾「r~|jIInu11r|jin?口?口11

中間三個(gè)面，一二隔河見：

中間兩個(gè)面，樓梯天天見：中間沒(méi)有面，兩兩連成線:

uJT1""1

知識(shí)點(diǎn)3：點(diǎn)、線、面、體

點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形.

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.

體：幾何體也簡(jiǎn)稱體.

點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.

知識(shí)點(diǎn)4：直線、射線與線段的概念

端點(diǎn)

類型圖例表示方法書寫規(guī)范

個(gè)數(shù)

直線直線43或直線

./.0個(gè)兩個(gè)大寫字母無(wú)順序

84或直線/

AB

兩個(gè)大寫字母中的第一個(gè)表

_/

射線射線。/或射線/1個(gè)

AB示端點(diǎn)

________1______.線段AB或線段

線段2個(gè)兩個(gè)大寫字母無(wú)順序

AB或線段/

知識(shí)點(diǎn)5：基本事實(shí)

1.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線.

2.兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)間線段最短.

知識(shí)點(diǎn)6：基本概念

1.兩點(diǎn)間的距離：兩個(gè)端點(diǎn)之間的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離.

2.線段的等分點(diǎn)：把一條線段平均分成兩份的點(diǎn)，叫做這個(gè)線段的中點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)7：雙中點(diǎn)模型

C為線段A3上任意一點(diǎn)，M、N分別為AC,BC中點(diǎn)，則MN=-AB.

2

知識(shí)點(diǎn)8：角的概念

1.角的定義：

(1)定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩

條邊.如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)0,邊是射線0A、0B.

B1

圖1圖2

(2)定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部.如圖2

所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止

位置0B是角的終邊.

注意：

(1)兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān).

(2)平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形

成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，0B和0A重合時(shí)，所形成的角叫做周角.

_4--------------------■—

BOAX—A(B)

平角周角

圖1圖2

2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“N”表示，角的表示法通常有以下四種：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如Nl,Z2,N3等；

②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如/a,Zp,Zy,等；

③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立(在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角)的角，如/B,/C等；

④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如/BAD,ZBAE,NCAE等.

注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).

3.角的畫法

(1)用三角板可以畫出30。、45°>60。、90。等特殊角.

(2)用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角.

(3)利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角.

知識(shí)點(diǎn)9：角度制及其換算

角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1。的角，1。的上為1分，記作“1”'，

60

1，的3為1秒，記作“1"”.這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.

60

1周角二360。，1平角=180。，1°=60\r=60\

知識(shí)點(diǎn)10：鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題

鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30。的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6。，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30。，時(shí)

針1分鐘轉(zhuǎn)0.5。，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)11:方位角

在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線0A的方向是北偏東60。；射線OB的

方向是南偏西30。.這里的“北偏東60?！焙汀澳掀?0?！北硎痉较虻慕?，就叫做方位角.

北

西卡■:

B南

注意：

（1）正東、正西、正南、正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示.

（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60。”一般不說(shuō)成“東偏北30。”.

（3）在同一問(wèn)題中觀測(cè)點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀測(cè)點(diǎn)的正

東、正西、正南、正北的方向.

（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線（射線）都必須以O(shè)為端點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)12：角平分線

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.如圖所示，OC是/AOB

的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,ZAOC=ZBOC=-ZAOB.

2

注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣.

知識(shí)點(diǎn)13：角的運(yùn)算

如圖所示，NAOB是/I與/2的和，記作：ZAOB=Z1+Z2；N1是/AOB與/2的差，記作：Zl=

ZAOB-Z2.

注意：

（1）用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中（角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊）；②重合（一邊與刻度尺上的零

度線重合）；③讀數(shù)（讀出另一邊所在線的度數(shù)）.

（2）利用三角板除了可以做出30。、45。、60。、90。外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°,75°,105°,

120°,135°,150°,165°的角.

知識(shí)點(diǎn)14：余角和補(bǔ)角

（1）余角：

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱互余，也可以說(shuō)其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余

角.NA+NC=90。，ZA=90°-ZC,ZC的余角=90。-/。,即NA的余角=90%/A.

（2）補(bǔ)角：

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫互為補(bǔ)角.其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角.

ZA+ZC=180°,ZA=180°-ZC,NC的補(bǔ)角=18（T-/C,即/A的補(bǔ)角=180"NA.

（3）補(bǔ)角的性質(zhì):

同角的補(bǔ)角相等.比如：ZA+ZB=180°,ZA+ZC=180°,則NC=/B.

等角的補(bǔ)角相等.比如:ZA+ZB=180°,ZD+ZC=180°,ZA=ZD,則NC=NB.

（4）余角的性質(zhì)：

同角的余角相等.比如：ZA+ZB=90°,ZA+ZC=90°,則NC=/B.

等角的余角相等.比如:ZA+ZB=90°,ZD+ZC=90°,ZA=ZD,則NC=/B.

?考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：直線、射線、線段、角的相關(guān)概念

【典例1】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.直線A2和直線54表示同一條直線B.過(guò)一點(diǎn)能作無(wú)數(shù)條直線

C.射線45和射線54表示不同射線D.射線比直線短

【變式1-11把一條彎曲的公路改成直道,可以縮短路程，其道理用幾何知識(shí)解釋正確的是（）

A.兩點(diǎn)確定一條直線B.垂線段最短

C.線段的長(zhǎng)度可以測(cè)量D.兩點(diǎn)之間線段最短

【變式1-2］下列說(shuō)法正確的是（）

~0~A

A.點(diǎn)O在線段AB上B.點(diǎn)8是直線A2的一個(gè)端點(diǎn)

C.射線和射線AB是同一條射線D.圖中共有3條線段

【變式1-3】圖中直線、射線、線段能相交的是（）

【變式1-4］已知A、B、C三點(diǎn)，若過(guò)其中任意兩點(diǎn)畫一條直線，則畫出的不同直線（）

A.一定有三條B.只能有一條

C.可能有三條，也可能只有一條D.以上結(jié)論都不對(duì)

【典例2】下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.一個(gè)周角就是一條射線B.平角是一條直線

C.角的兩邊越長(zhǎng)，角就越大D.—AO3也可以表示為ZBO4

【變式2-1】如圖所示，圖中共有多少個(gè)小于平角的角（）

C.8個(gè)D.4個(gè)

【變式2-2］下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.兩條射線組成的圖形叫做角

B.有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角

C.角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形

D.角的邊越長(zhǎng)，角越大

【變式2-3】圖中角的個(gè)數(shù)是（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【變式2-4】如圖，下列說(shuō)法正確的是（)

A.Z1=Z2B.圖中只有兩個(gè)角，即N1和N2

C.N2與—AO3表示同一個(gè)角D.N1與—3OC表示同一個(gè)角

考點(diǎn)二：根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論

【典例3】杭衢高鐵線上，要保證衢州、金華、義烏、諸暨、杭州每?jī)蓚€(gè)城市之間都有高鐵可乘，需要印制

不同的火車票（）

A.20種B.15種C.C種D.5種

【變式3-1］如圖，在線段上有兩點(diǎn)8,C,則圖中共有條線段，若在車站A、。之間的線路中再

設(shè)兩個(gè)站點(diǎn)8、C,則應(yīng)該共印刷種車票.

ABCD

A.3,3B.3,6C.6,6D.6,12

【變式3-2】將一段72cm長(zhǎng)的繩子，從一端開始每3cm作一記號(hào)，每4cm也作一記號(hào)，然后從有記號(hào)的地

方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為（）

A.37B.36C.35D.34

【變式3-3】數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上隨

意畫出一條長(zhǎng)為18厘米的線段A3,則線段A8蓋住的整點(diǎn)數(shù)是（）

A.17個(gè)或18個(gè)B.17個(gè)或19個(gè)C.18個(gè)或19個(gè)D.18個(gè)或20個(gè)

【變式3-4】下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.在所有連接兩點(diǎn)的線中，直線最短

B.線段A3與線段54是不同的兩條線段

C.如果點(diǎn)尸是線段的中點(diǎn)，那么=

D.如果=B尸，那么點(diǎn)尸是線段的中點(diǎn)

考點(diǎn)三：根據(jù)線段間的關(guān)系求線段的長(zhǎng)度

【典例4】如圖，線段AB=20,C是線段A3的中點(diǎn)，。是線段3C的中點(diǎn).

ACDB

（1）求線段AD的長(zhǎng)；

（2）在線段AC上有一點(diǎn)E,CE=^BC,求AE的長(zhǎng).

【變式4-1］如圖，線段AB=20,BC=15,點(diǎn)加是AC的中點(diǎn).

AMCNB

（1）求線段40的長(zhǎng)度;

（2）在CB上取一點(diǎn)N,使得OV:NB=2：3.求MN的長(zhǎng).

【變式4-2］如圖，點(diǎn)E是線段4B的中點(diǎn)，C是EB上一點(diǎn),且EC:CB=1:4,AC=12cm.

IIIII

AECFB

⑴求A3的長(zhǎng)；

（2）若F為CB的中點(diǎn)，求E廠長(zhǎng).

考點(diǎn)四：鐘表中的角度計(jì)算

【典例5】在上午8:30時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角是（）

A.45。B.60°C.75°D.90。

【變式5-1］從8:13分到&37分，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是（）

A.148°B.144。C.136°D.108°

【變式5-2】實(shí)驗(yàn)中學(xué)上午10:10時(shí)通常準(zhǔn)時(shí)上第三節(jié)課，此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是（）

A.105°B.110°C.115°D.120°

【變式5-3】鐘表的指針在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，從3時(shí)到5時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了度.

考點(diǎn)五：根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論

【典例6】如圖，兩個(gè)直角NAOC和—3。。有公共頂點(diǎn)。，下列結(jié)論：

?ZAOB=ZCOD；

②ZAOB+NCW=90。；

③ZAOD+Z.BOC=180°；

④若OB平分ZAOC,則OC平分NBOD；

⑤ZAOD的平分線與-3OC的平分線是同一條射線.其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式6-1］已知/a=30。18',Z^=30.18°,々=30.3。，則相等的兩個(gè)角是（）

A.Nc=N￡B./&=//C.N尸=N/D.無(wú)法確定

【變式6-2］在下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.比較角的大小就是比較角的度數(shù)大小

B.從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線

C.^ZAOC=-ZAOB,則OC是/AO8的平分線

2

D.用一個(gè)放大鏡能夠把一個(gè)圖形放大，也能夠把一個(gè)角的度數(shù)放大

【變式6-3］如圖，OC為-493內(nèi)一條射線，下列條件中能確定OC平分NAO3的是（）

C.ZAOB^2ZAOCD.ZCOB=ZAOB-ZAOC

考點(diǎn)六：根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度

【典例7】如圖，已知OE是NAOC的角平分線，。。是—3OC的角平分線.

(1)若N4OE=70。，ZCOD=20°,求—AO3的度數(shù);

(2)若NDOE=45。，且NAOC+/BOC=180。，求NCOD的度數(shù).

【變式7-1】己知：如圖NAC?=150。，在內(nèi)部有NCO￡>=20°{ZAOC<ZAOD).

(1)如圖1,求NAOD+/3OC的度數(shù)；

(2)如圖2,平分/3OC,ON平分ZAC?,求NMON的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)NCOD從NAOC=10。的位置開始，繞著點(diǎn)。以每秒2。的速度順時(shí)針旋

3

轉(zhuǎn)，秒時(shí)，使/AON,求r的值.

2

【變式7-2］如圖，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O,在/COB的內(nèi)部作射線OE.

(1)若NAOC=36。，ZCOE=90°,求N80E的度數(shù)；

(2)若NCOE：ZEOB；NBOD=4：3：2,求NAOE的度數(shù).

【變式7-3］如圖，。在直線A3上，射線平分NAOC,射線OE在—3OC內(nèi).

(1)若/DOE=90。，求證：射線OE是23OC的平分線;

⑵若NCOE=；NEOB,/DOE=48。，求/EOB的度數(shù).

考點(diǎn)七：線段中的分類討論思想問(wèn)題

【典例8】點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段A3上一點(diǎn)，CD=^BC,若線段AC=9,則AD=.

【變式8-1】點(diǎn)A、B、C在直線/上，線段AB=4,線段AC=6,則線段8C的長(zhǎng)是()

A.10B.2C.2或5D.10或2

【變式8-2】已知線段AB=18cm,點(diǎn)。是線段A2的中點(diǎn)，直線A3上有一點(diǎn)C,且CD=25C,則線段8=

______cm.

考點(diǎn)八：角度中的分類討論思想問(wèn)題

【典例9】將直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)。放在直線A3上，射線OC平分ZAON.

(1)如圖，若NBON=3,求的度數(shù)；

⑵若ZAOM=1Z.COM,求ZAON的度數(shù)；

(3)將直角三角板OMN繞頂點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)—3ON=120。時(shí)，求NCOM的度數(shù).

【變式9-1】劉星對(duì)幾何中角平分線等興趣濃厚，請(qǐng)你和他一起探究下面問(wèn)題吧，已知4403=100。，射線

OE,O尸分別是/AOC和NCO8的角平分線.

(1)如圖1,若射線OC在208的內(nèi)部，且NAOC=30。，求ZEO尸的度數(shù)；

(2)如圖2,若射線OC在—AO3的內(nèi)部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，則NEO尸的度數(shù)；

(3)若射線OC^XAOB的外部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)中NAOC,—3OC均指小于180。的角)，其余條件不變,

請(qǐng)借助圖3探究/EOF的大小.

?過(guò)關(guān)檢測(cè)

一、選擇題

1.如圖，是一個(gè)圓柱體模型，若從這個(gè)圓柱的左邊向右看，則得到的平面圖形是（）

圓

蕊

2.如果一個(gè)角的補(bǔ)角是120。，那么這個(gè)角的余角是（）

A.30°B.40。C.50°D.60°

3.如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片A8C。沿折疊，點(diǎn)48分別落在點(diǎn)49處，若4=55。，則N/TED的度數(shù)

是（）

C.70°D.80°

則圖中NEOC與NBOF的關(guān)系是（)

D.互為鄰補(bǔ)角

()

6.如圖，已知OC是—A03的平分線，則下列結(jié)論：①ZAOB=/BOC；（S）ZAOC=ZBOC；③

ZAOC=-ZAOB；④NAO3=2ZSOC.其中正確的有()

2

A

O

B

A.②③④B.①②④C.①②③D.①③④

7.如圖，通常我們描述點(diǎn)B和點(diǎn)C的方向，分別為（）

A.南偏東25。,北偏西60°B.東偏南65。,西偏北60°

C.北偏東155。,南偏西120°D.西偏南115。,東偏北150°

8.如圖，已知。是直線上一點(diǎn),Zl=40°,0。平分NBOC,則N2的度數(shù)是（）

8

A.60°B.65°C.70°D.75°

9.在直線/上取三點(diǎn)A、8、C,使線段AB=8a〃，AC=3cm,則線段BC的長(zhǎng)為（）

A.5cmB.8cmC.或8cD.或1

10.一副三角尺按如圖所示方式擺放,且比N2大40。，則/2的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.40°D.50°

11.下列換算中，錯(cuò)誤的是（）

A.47.28°=47°16'48"B.83.5°=83°50'

C.16°5'24"=16.09°D.0.25°=900"

12.小亮利用星期天進(jìn)行社會(huì)調(diào)查活動(dòng),早晨8:00出發(fā)，中午12:30到家，則小亮