限時練習(xí)：40min完成時間:一月一日天氣:

寒假作業(yè)13圓中重要模型之輔助圓模型

積累程用1

輔助圓（隱圓）是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中的常考題，題目常以動態(tài)問題出現(xiàn)，有點(diǎn)、

線的運(yùn)動，或者圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等.輔助圓（隱圓）常見的有以下四種形式，動點(diǎn)定長、定邊對直角、

定邊對定角、四點(diǎn)共圓，上述四種動態(tài)問題的軌跡是圓.題目具體表現(xiàn)為折疊問題、旋轉(zhuǎn)問題、角度不變

問題等，此類問題綜合性強(qiáng)，隱蔽性強(qiáng),很容易造成同學(xué)們的丟分.本課時就輔助圓模型進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，幫

助同學(xué)們熟練掌握.

1、動點(diǎn)定長模型（圓的定義）

如圖1,若尸為動點(diǎn)，AB=AC=AP,則B,C,P三點(diǎn)共圓，A為圓心，AB長為半徑.

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合.

尋找隱圓技巧：若動點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧.

2、定邊對直角模型（直角對直徑）

如圖2,固定線段A3所對動角NC恒為90。，則A,B,C三點(diǎn)共圓，42為直徑.

尋找隱圓技巧：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

3、定邊對定角模型（定弦定角模型）

如圖3,固定線段所對同側(cè)動角/P=NC,則A,B,C,P四點(diǎn)共圓.

根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相等.

尋找隱圓技巧：48為定值，/P為定角，則P點(diǎn)軌跡是一個圓.

4、四點(diǎn)共圓模型（對角互補(bǔ)模型與等弦對等角）

如圖4,若平面上A,B,C,。四個點(diǎn)滿足/4BC+乙4DC=180。，則A,B,C,。四點(diǎn)共圓.

尋找隱圓技巧：（1）四邊形對角互補(bǔ)；（2）四邊形外角等于內(nèi)對角.

wa鞏固提升練

1.如圖，點(diǎn)。為線段A8的中點(diǎn)，點(diǎn)8,C,。到點(diǎn)O的距離相等，連接AC,BD,則下面結(jié)論不一定成

立的是（）

A.ZACB=9Q°B.NBDC=/BACC.AC平分/BA。D.ZBCD+ZBA￡>=180°

【答案】C

【解析】如圖，以點(diǎn)。為圓心，長為半徑作圓.

由題意可知：OA=OB=OC=O。，即點(diǎn)A,B,C,。都在圓。上.

A.由圖可知A3為經(jīng)過圓心。的直徑，根據(jù)圓周角定理推論可知NACB=90。，故A不符合題意.

B.因?yàn)锽CuBC，所以根據(jù)圓周角定理可知/BAC=N3OC,故B不符合題意.

C.當(dāng)3cHe。時，ZBAC^ZDAC,所以此時AC不平分154。，故C符合題意.

D.根據(jù)圓周角定理推論可知，ZBCD+ZBAD=180°.故。不符合題意.故選C.

2.如圖，已知ZCBD=2ZBDC,ZBAC=44°,則NC4D的度數(shù)為（）

【答案】B

【解析】如圖，?；AB=AC=AD,.?.點(diǎn)8,C,。在以點(diǎn)A為圓心，以A8的長為半徑的圓上；?：ZCBD=

2ZBDC,ZCAD=-2ZCBD,/BAC=2NBDC,：.ZCAD=2ZBAC,而/BAC=44°,：.ZCAD=88°,故選

B.

DC

3.如圖，在四邊形ABCD中，ZADB=ZACB=90°,若ZZMC=30。，則——的值為（

AB

D

【答案】D

【解析】如圖所示，???NAD5=NACB=90。，?,?點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)共圓,

.CDDE

■:CB=CB，；?NBAC=ZBDC.\:ZDEC=ZAEB,^CED^^BEA,

*AB-AE

.CDDE_1

VZADB=90°,ZZMC=30°,ADE=-AE,：.—=-,故選D.

2AE2

4.如圖，已知在△ABC中，NACB=90。，AC=4BC=3,NCPB=ZA,過點(diǎn)。作CP的垂線，與BP

的延長線交于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為（）

C,”16

A.4B.5D.

45

【答案】C

【解析】如圖，,/CQLCP,：.ZPCQ=ZACB=90°.:ZCPB=ZA,：.^CPQ^^CAB,

...生=§1,.??==竿，...QC=^PC,.?.當(dāng)PC有最大值時，C。有最大值，

ACBC434

VZCPB=ZA,二點(diǎn)A,C,B,P四點(diǎn)共圓.

若尸C有最大值，則PC應(yīng)為直徑，：ZACB=90。，AB是圓的直徑，

(__________315

?*-PC=AB=YIAC2+BC2=5-，QC的最大值為［X5=］，故選C.

5.在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格

圖形4BCD中，M,N分別是AB,上的格點(diǎn)，BM=4,BN=2.若點(diǎn)尸是這個網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接

PM,PN,則所有滿足/MPN=45。的MMN中，邊的長的最大值是（）

A.472B.6C.2MD.375

【答案】C

【解析】過線段MN的中點(diǎn)°,作的垂直平分線OQ,并使。。=3MM以。為圓心，OM為半徑作圓,

如圖，

因?yàn)?Q為MN的垂直平分線且OQ=gMN,所以O(shè)Q=MQ=NQ,

：.ZOMQ=ZONQ=45°,ZMON=90°,所以弦MN所對的圓。的圓周角為45。，

所以點(diǎn)P在圓。上，為圓。的弦，

通過圖像可知，當(dāng)點(diǎn)尸在尸'位置時，恰好過格點(diǎn)且經(jīng)過圓心。，所以此時P/最大，等于圓。的直徑.

?：BM=4,BN=2,二的V=百百=26，:.MQ=OQ^,

：.OM=42MQ=y/2xyf5=ylid,；.PM=2OM=2回,故選C.

6.如圖，在AABC中，NC=90。，AC=8,A2=10,。是AC上一點(diǎn)，且CD=3,￡是BC邊上一點(diǎn)，將AOCE

沿。E折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連接2R則8尸的最小值為.

【答案】3>/5-3

【解析】由折疊知，/點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為：以。為圓心，。的長為半徑的圓，如圖所示,

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)B,D,尸共線，且尸在8,。之間時，8/取最小值,

VZC=90°,AC=8,AB=10,：.BC=6,

在RtABCD中，由勾股定理得：BD=y/ci^+BC2=4^^=375.

:.BF=BD—DF=3非-3,故答案為3指一3.

7.如圖，在RtZ^ABC中，AB1BC,AB=6,BC=4,P是平面內(nèi)一動點(diǎn)，且/AP3=90。，取BC的中

點(diǎn)、E,連接PE,則線段PE的最大值為

【答案】3+\/1-3

【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)O,

：AB=6,Z.0B=-AB=3,是BC的中點(diǎn)，BC=4,:.BE=2,

2

?..NAP3=90。，...點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，也即點(diǎn)尸在以。為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動,

.?.當(dāng)0在線段PE上時，PE有最大值.連接EO交。。于。，則點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)。時尸E有最大值.

由勾股定理得OE=JOB?+貸=屈,/.DE=OD+OE=3+岳，

二PE的最大值為3+小，故答案為：3+JF.

8.如圖，A3是RLABC和的公共斜邊，AC=BC,/BAD=32。，E是A3的中點(diǎn)，連接。E,CE,

CD,那么/ECD=___________________

【答案】13

【解析】'-'AB是RtAABC和RmABD的公共斜邊，￡是4B的中點(diǎn),

:.AE=EB=EC=ED,AA,C,B,。在以E為圓心的圓上,

,/ZBAD=32°,：.ZDCB=ZBAD=32°,

又?；AC=BC,E是放AA2C的中點(diǎn)，ZECB=45°,

：.ZECD=ZECB-ZDCB=13°.故答案為13.

9.如圖，在"ISC中，AC=BC^6,NACB=90。，若。是與點(diǎn)C在直線AB異側(cè)的一個動點(diǎn)，且NAT>3=45。,

則co的最大值為

【答案】65/2+6

【解析】如圖所示，以AB為底邊，在A3的下方作等腰三角形AOB,

則CM=AC=6,VZADB=45°,

點(diǎn)。在以。為圓心，6為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)CD過圓心時，C。最大.

VOA=AC^6,ZCAO=90°,CO=招S=6上,

CD的最大值為：60+6，故答案為6夜+6.

帆能力培優(yōu)練

10.如圖，四邊形ABCO為矩形，AB=3,3c=4.點(diǎn)尸是線段BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn),

ZADM=ZBAP,則的最小值為（）

C.屈一三D.VB-2

【答案】D

【解析】設(shè)4。的中點(diǎn)為0,以。點(diǎn)為圓心，4。為半徑畫圓（如圖）.

:四邊形ABC。為矩形，NB4P+NM4D=90°，

VZADM=ZBAP,?*.ZMAD+ZADM=90°,二/AA?=90°,

.?.點(diǎn)M在以。點(diǎn)為圓心，以A。長為半徑的圓上，連接。3交圓。于點(diǎn)N,

丁點(diǎn)8為圓。外一點(diǎn)，.?.當(dāng)直線過圓心。時，最短，

VBO2=AB2+AO2,AO=]-AD=2,BO-=9+4=13，

2

二3。=小，/.BN=BO-AO=y/l3-2,故選D.

11.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90,BC=3,AC=4,點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且/CP3=NA,過C作

CQ，CP交PB的延長線于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為（）

%

(?

A17R154后n6石

5455

【答案】B

【解析】?.?在RtZVlBC中，NACB=90。，NCPB=ZA,BC=3AC=4,

AA,B,C,P四點(diǎn)共圓，AB為圓的直徑，AB川BC、Ad=5

■：CQ±CP,：.ZACB=NPCQ=90。；./XABC^/XPQC,

ACPC4PC3

???正=雙二曲,即.嚴(yán)，???當(dāng)PC取得最大值時，c。即為最大值,

當(dāng)尸C=4B=5時，C。取得最大值為?，故選B.

Q

C

12.如圖，在邊長為1的菱形ABC。中，ZABC=60°,動點(diǎn)E在A3邊上（與點(diǎn)A、8均不重合），點(diǎn)廠在

對角線AC上，CE與M相交于點(diǎn)G,連接AG,DB,若AF=BE,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.DF=CEB.ZBGC=120°C.AF-^EGECD.AG的最小值為述

3

【答案】D

【解析】：四邊形ABCD是菱形，NABC=60°,

：.AB=AD^BC=CD,ZBAC=ZDAC=^-ZBAD=^x(l80。-ZABC)=60。=ZABC,

:.ABAFmADAF學(xué)ACBE,AABC是等邊三角形，：.DF=CE,ZABF=ZBCE,故A項(xiàng)答案正確.

VZABC=ZABF+ZCBF=60°,：.ZGCB+ZGBC=60°,

AZBGC=180(NGCB+NGBC)=180°-60°=120",故B項(xiàng)答案正確.

?:NABF=/BCE,NBEG=NCEB,：./\BEG^/\CEB,

BECE

-BE2=GE.CE,,:AF=BE,：.AF2=GE.CE,故C項(xiàng)答案正確?

GEBE

VZBGC=120°,BC=\,點(diǎn)G在以線段BC為弦的弧上，

當(dāng)點(diǎn)G在等邊AABC的內(nèi)心處時，AG取最小值，如圖，

「△ABC是等邊三角形，BC=1,：.BF±AC,AF=^AC=~,/GA尸=30°,：.AG=2GF,AG^GF2+AF2,

AAG2=QAG^|,解得AG=g,故D項(xiàng)錯誤，故選D.

13.如圖，在RbABC中，Z4CB=90°,。為A3的中點(diǎn)，0。平分NAOC交AC于點(diǎn)G,OD=OA,BD

分別與AC,OC交于點(diǎn)E,F,連接皿CD,則等的值為一；若則黑的值為

【答案】1;V2

【解析】；/4CB=90。，。為A3的中點(diǎn)，AOA=OC,又：。￡>平分NAOC,AZAOD=ZCOD,

XVOD=OD,：./\AOD=ACOD,：.AD=CD,：.ODLAC,：.ZOGA=90°,

在AAOG與AABC中，ZGAO=ABAC,ZOGA=ZBCA=90°,/.AAOG-AABC,?,?絲=孚=1.

BCAB2

?.?(M=OD=OC=O3,A,B,C,O四點(diǎn)共圓，如圖：

VCE=CF,:./CEF=NCFE,又,：NCFE=NBFO,：.ZCEF=ZBFO,

VAAO￡>=ACOD,AAD=CD,：.AD=CD>?*-ZOBF=ACBE,

，ZBFO+ZOBF=ZCEF+ZCBE=90°>即NBOC=90°,

?：OB=OC,：.BC=V2OC=V2OA=V2OD-'：OD=OB,:.NODB=NOBF=NFBC,

?：NOFD=/CFB,:.AODF?ACBF,...空="=0.故答案為)；0.

OFOD，

14.如圖，48是。。的直徑，AB=4,C為A8的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)尸是。。上一個動點(diǎn)，取弦

AP的中點(diǎn)。，則線段CD的最大值為__________.

【答案】G+1

【解析】如圖，連接。。，OC,

'：AD^DP,：.ODLPA,：.ZADO=90°,

.?.點(diǎn)n的運(yùn)動軌跡為以A。中點(diǎn)K為圓心，以AO長為直徑的。K,連接CK,AC,當(dāng)點(diǎn)。在CK的延長線

上時，C。的值最大，

^?^C為AB的三等分點(diǎn),.^.NA。C=60。，.?.△4OC是等邊三角形,：.CK±OA.

在RtAOCK中，VZCOA=60°,OC=2,OK=1,：.CK=-OK2=73-

?.,r>K=；OA=l,：.CD^y/3+1,二。的最大值為石+1,故答案為白+L

15.如圖，ZkABC為等邊三角形，AB=2,若P為AABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足/ACP,則點(diǎn)尸運(yùn)動的

路徑長為.

【答案】普

【解析】??.△ABC是等邊三角形，AZABC=ZBAC=60°,AC=AB=2,

VZB4B=ZACP,AZB4C+ZACP=60°,AZAPC=120°,

???點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡是AC，如圖所示：連接04,0C,作。DLAC于。，則AO=CO=；AC=1,

AEC所對的圓心角=2NAPC=240。，二劣弧AC所對的圓心角NAOC=360。-240°=120°,

B

U

：OA=OC,：.ZOAD=30°f

?：OD±AC,；.OD=^AD=^~,04=20。=型,

333

10n2出

120TTx--=--呼-萬?故答案為殍兀

工AC的長為--------

180

wa拓展突破練

16.定義：三角形一個內(nèi)角的平分線與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個

內(nèi)角的遙望角.

(1)如圖1,/￡是AABC中/A的遙望角.

①若NA=40。，/E的度數(shù)是；

②求/E與/A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖2,在四邊形42CD中，ZABC^ZADC^90°,點(diǎn)E在的延長線上，連接CE,若/BEC是AABC

中N8AC的遙望角，求證：DA=DE.

【解析】(1)①是AABC中NA的遙望角，.?.NEBC=3NA8C,ZECD=^ZACD,

：.ZE=ZECD-/EBD=1(NACD-ZABC)=；ZA,

VZA=40°,/.ZE=20°.故答案為：20。；

@ZE=|zA,理由如下：是AABC中/A的遙望角，

/EBC=；ZABC,ZECD=|ZACD,

：.NE=ZECD-/EBD=；(ZACD-NABC)=；NA；

(2)VZABC=ZADC^90°,：.A,B、C、。四點(diǎn)共圓，

如圖，作四邊形ABC。的外接圓交CE于點(diǎn)R連接AF,DF,

'：四邊形FDBC內(nèi)接于G)。，；.ZDFC+ZDBC=180°,:ZDFC+ZDFE=1S0°,：.ZDFE=ZDBC,

平分NA8C,ZABD=ZDBC,VZABD=ZAFD,：.ZAFD=ZDFE,

是A4BC中/B4C的遙望角，由(1)得NE/NBAC,

■:/BAC=NBDC,：.ZE^ZBDC,,：ZE+ZDCE^ZBDC,:./E=/DCE,

E

:NDCE=/DAF,：.ZE=ZDAF,?:DF=DF,ZAFD=ZDFE,

：.ADAF^ADEF(A4S),：.DA=DE.

17.(1)【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用

圓的知識解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在中，AB=AC,ABAC=90°,。是44BC外一點(diǎn)，且AD=AC,求ZBDC的度數(shù).若

以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓。A,則點(diǎn)C、。必在。4上，/3AC是。A的圓心角，而/3DC是圓

周角，從而可容易得到=°.

(2)【問題解決】如圖2,在四邊形A3CD中，ZBAD=ZBCD=90°,ABDC=25°,求—BAC的數(shù).小剛同

學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：的外接圓就是以3D的中點(diǎn)為

圓心，:切長為半徑的圓；ABCD的外接圓也是以3D的中點(diǎn)為圓心，；加長為半徑的圓.這樣A,B,C,

D四點(diǎn)在同一個圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出-54C的度數(shù)，請運(yùn)用小剛的思路解決這個問題.

(3)【問題拓展】如圖3,在“3C中，NBAC=45°,AO是BC邊上的高，且BO=6,Cr>=2,求AD的長.

【解析】(1)如圖1,；AB=AC,AO=AC,.?.以點(diǎn)4為圓心，點(diǎn)8,C,。必在。A上,

：-54C是0A的圓心角，而N3DC是圓周角，/BOC=1/A4C=45。，

2

同理，當(dāng)點(diǎn)。在弧3c上時，ZBDC=135°.故答案是：45。或135。.

(2)如圖2,取8。的中點(diǎn)O,連接AO,CO.

VZBAD=ZBCD=90°,.?.點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)共圓，:.NBDC=NBAC,

,：NBDC=25°,ABAC=25°.

(3)如圖3,作AABC的外接圓，過圓心。作OEJ_3c于點(diǎn)E,作"，AD于點(diǎn)E連接。4,OB,OC.

VOE±BC,OF±AD,是BC邊上的高，，四邊形。瓦不是矩形，

OE=DF,ED=OF,ZAFO=90°.:ABAC=45°,ZBOC=90°.

在的ABOC中，BC=6+2=8,/.BO=CO=472.

VOELBC,。為圓心，/.BE=-BC=4,：.DE=OF=2.

2

在RUBOE中，BO=4亞,BE=4,：.OE=DF=4.

在RSAQ/中，AO=4形,OF=2,：.AF=2幣，：.AD=2>/7+4.

?仿真考場練

18.（2023?淮安?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB=8C=2,NABC=120。,9為/ABC內(nèi)部的任一

條射線（NCBH不等于60。），點(diǎn)C關(guān)于3〃的對稱點(diǎn)為C,直線AC'與3"交于點(diǎn)/，連接CC',b,則

ACCF面積的最大值是.

【答案】4石

【解析】如圖所示，連接3C',

D

:點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)為C',CB=C3,B=CN,?.?AB=JBC=2,ACC'在半徑為2的。8上,

在優(yōu)弧AC上任取一點(diǎn)E,連接AE,EC,則NAEC=|ZABC=60°,

ZACC=180。-ZAEC=180?！筞ABC=120°,

2

???/。。獷=60。，???^。。丁是等邊三角形，當(dāng)CC取得最大值時，戶面積最大,

?；C'在上運(yùn)動，則CC'最大值為4,則△CC方面積的最大值是3X4?=4指.故答案為：473.