專題07立體幾何初步

第24練空間直線、平面的平行與垂直

饞練基礎

1.（2022?浙江浙江?二模）已知直線/〃平面a,點P?平面a,且P不在/上，那么過點尸且平行于直線/

的直線（）

A.有無數(shù)條，僅有一條在平面a內B.只有一條，且不在平面a內

C.有無數(shù)條，均不在平面夕內D.只有一條，且在平面a內

【答案】D

【解析】過直線/與點尸的平面有且只有一個，記該平面為〃.

又因直線/〃平面a,點Pe平面a

所以過點尸且平行于直線/的直線只有一條，且這條線為平面。與平面夕的相交線.

故選：D.

2.（2022?浙江杭州?二模）設名夕為兩個不同的平面，則a〃△的充要條件是（）

A.a內有無數(shù)條直線與月平行B.。，/垂直于同一平面

C.a,￡平行于同一條直線D.a內的任何直線都與夕平行

【答案】D

【解析】A選項，C內有無數(shù)條直線與夕平行，。與夕可能相交，A選項錯誤.

B選項，。，方垂直于同一平面，a與4可能相交，B選項錯誤.

C選項，4分平行于同一條直線，a與尸可能相交，C選項錯誤.

D選項，。內的任何直線都與月平行，則a〃￡,D選項正確.

故選：D

3.（2022?廣東?模擬）在正方體ABCD-ABCR中，〃是正方形A8CD的中心，則直線與直線片加所

成角大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】設正方體的棱長為2a,連接耳C,MC,MB,

因為4C7/A。，故NC瓦M或其補角為直線AQ與直線片M所成角.

22

而4c=2A/^Q,MC=y/2aJ=^B[B+BM=J4〃2+2/=,

222

i^B.C=B1M+CM,所以Mg_LCM,

所以cosNCB'M=當匕=斑,因為NC4M為銳角，故NC印W=30。,

2缶2

故選：A.

4.（2022?山西?一模（文））如圖,正方體ABC。-A,4GA中，若E,F,G分別是棱AD,QC,的

中點，則下列結論中正確的是（）

A.BE1平面。尸GB.4月〃平面DFG

C.CE//平面DFGD.平面4E8〃平面WG

【答案】C

【解析】由A8CD-A4CQ為正方體，且b，G分別是棱CC，4G的中點，貝l]FG〃A。，則平面DFG即

為平面AOFG,

A選項，如圖連接2G,由正方體可知2G//BE,又，G_LAG不成立，所以BELAQ不成立，即A選項

錯誤；

B選項，由4EI平面AD尸G=A，故AE與平面ADFG不平行，B選項錯誤；

C選項，連接CE,則CE〃AG,又AGu平面AD尸G,CEaADFG,所以CE〃平面ADPG,C選項正確;

D選項，平面AEB與平面AOFG有公共點A，故D選項錯誤；

故選：C.

5.（2022?廣東?深圳市光明區(qū)高級中學模擬）如圖所示，ABC。一A/B/C/Q是棱長為a的正方體，M,N分

別是下底面的棱的中點，尸是上底面的棱A。上的一點，AP=|,過P,M,N的平面交上底面

于尸0,。在CD上，則尸0=.

DQ

\一一i--

M8

【答案］組

【解析】ABCD,平面PAfAQC平面ABCD=P。，MNu平面PQNM,

2

：.MNIIPQ,易知。尸=。。=§〃，

故尸。=y/PD2+DQ2=立PD=jV2fl.

2屈a

故答案為:

3

6.（2022?河南?寶豐縣第一高級中學模擬（文））在矩形ABCD中，AB=24）=4,點E為C。的中點（如

圖1）,沿4￡將^ADE折起到△APE處，使得平面PAEL平面ABCE（如圖2）,則直線PC與平面A8CE

所成角的正切值為.

圖2

【解析】取AE的中點/，連接CP,PF,

：上4=尸￡1且E為8的中點，/.PF±AE.

又：平面平面ABCE,平面PAE'平面ABCE=AE,尸產u平面巴4E,

Pb_L平面ABCE,

則直線PC與平面ABCE所成角為/PCF

AE=VA￡>2+DE2=272>PF=EF=6

CF2=EF2+CE2-2EFCE-cosZCEF=10iPCF=J10,

所以tan/尸—落.

1.（2022?湖北省仙桃中學模擬）已知平面a,夕，/,直線。，b,c,下列說法正確的是（）

A.若a//a,blip,a//b,則a//月

B.若a_La,aY13,則a〃〃

C.若“，a,blip,a!Ip,則；

D.若TC/=a,°y=b,a/lb,則a〃/?

【答案】C

【解析】若a//。，blip,a!lb,則a與月平行或相交，故A錯誤；

若。_La,aV/3,則a///?或au￡,故B錯誤；

若a_La,blip,all/3,由面面平行與線面垂直的性質定理可得，：_L力，故C正確;

若ac/=a,（3y=b,allb,則a與/平行或相交，故D錯誤.

故選：C.

2.（2022?廣東?普寧市華僑中學二模）如圖，在四面體A8CD中，若截面PQMN是正方形且尸?！ˋC,則

在下列說法中，錯誤的為（）

A.ACLBDB.AC〃截面PQMN

C.AC=BDD.異面直線與2。所成的角為45。

【答案】C

【解析】A：由題設，易知QMUBD,又PQLQM,PQ//AC,即有ACMD,正確;

B：由PQ//4C,尸Qu截面PQMN,47（/截面「。阿，則AC〃截面PQMN,正確;

C：僅當尸,。為中點時AC=B。，故錯誤；

TT

D：由A知：異面直線與8。所成的角為/PMQ=：,正確.

故選：C

3.（2022?浙江湖州?模擬）如圖，已知四邊形A3CD,△BCD是以8。為斜邊的等腰直角三角形，AABD為

等邊三角形，BD=2,將△ABD沿對角線3。翻折到△PBD在翻折的過程中，下列結論中不正確的是（）

A.BDLPCB.￡>尸與2C可能垂直

C.直線DP與平面BCD所成角的最大值是45°D.四面體PBCD的體積的最大是必

3

【答案】C

【解析】如圖所示，取的中點連接

△BCD是以為斜邊的等腰直角三角形,.?.即，

△ABD為等邊三角形,BD工PM

.?.￡0_1_面2河。,BD±PC，故A正確

對于B,假設DPLBC,又BCLCD

:.BC1^PCD,BCLPC,

又尸B=2,BC=^.PC=0e[^T5^+l],故與BC可能垂直，故B正確

當面PBD1面3CD時，此時孫/_1面8。。，NPDB即為直線DP與平面BCD所成角

此時NP￡>8=60°,故C錯誤

當面PB￡>_1_面3c。時，此時四面體PBCD的體積最大，此時的體積為：

^=-5Br?.PM=-x(lxA/2xV2)x^=—，故D正確

3BCD323

故選：C

4.(2022?山東師范大學附中模擬)足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系

外包皮革、內飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，如圖所示.已知某“鞠”的表面上

2

有四個點RA仇C,滿足PA=1,PA，面ABC,ACVBC,^VP_ABC=-9則該“鞠”的體積的最小值為（）

竺99

BC--

A.6JI2D.8

【解析】取中點為。，過。作QD/AR4,且。，因為以，平面A3C,所以。DJ_平面A3c.由于

人。，3。,故94=。5=。。,進而可知。4=05=0。=0?,所以。是球心,。4為球的半徑.

11?

由YP-ABC=-x-ACCBPA=-^ACCBM，又AB2=AC2+BC2>2AC-3c=8,當且僅當AC=5C=2,等

號成立，故此時AB=2應，所以球半徑R=OA=JOD2+^AB）＞相+（可=+故體積最小值

為371H3-—Ti3

33I=r

故選:c

5.（2022?江蘇淮安?模擬）周總理紀念館是由正方體和正四棱錐組合體建筑設計，如圖所示，若該組合體

接于半徑R的球。（即所有頂點都在球上）,記正四棱錐側面尸與G與正方體底面A4GR所成二面角為。,

貝“tan3=__________

【答案】6-1

【解析】由正方體的性質可知該組合體的外接球的球心為正方體的中心,

設正方體底面44GA的中心為a，BC的中點為E,連接尸0,0盧，尸E,

則PE_LB]C1，O1E_LB]G，

則NPEa=6,設正方體的棱長為。，則尸0==

tan（9=^-=V3-l

O、E-

故答案為：V3-1.

6.（2022?海南?模擬）如圖，在長方體A8Cr>-45Ca中，AB=3cm,AD=2cm,M=lcm）則點5到

平面AB?的距離為cm.

【答案】平

【解析】在長方體A3C。-A4G2中，ABJ_平面A￡>￡>I4,則有A8_LAZ）i，

又AB=3cm,AD=2cm,=1cm,于是有曲=百，s=-AB-AD,=,

1ARn2i2

13

而，平面AB4,s

設點Bi到平面ABD,的距離為h,由VB「ABD,=匕…期/守*3sABDI，-3sABB、^1'

即述/,=3.2,解得八拽，

225

所以點用到平面ABD,的距離為手.

故答案為：平

7.（2022?江西省豐城中學模擬（文））在二棱錐A-BCD中，底面BCD為直角二角形，且BCLCD,斜邊

3。上的高為1,三棱錐A-BCD的外接球的直徑為A2.若該外接球的表面積為16鞏則當三棱錐A-BCD的

體積最大時，ABCD的外接圓半徑為.

【答案】V2

【解析】設AD=x,過C作CELBD交3。于E,則CE=1.

因為外接球的表面積為16肛故外接球的半徑為2,故AS=4.

因為AB為球的直徑，故NAr>8,/BC4均為直角，故BCLAC,

而8C，CD,ACcCD=C,故3CL平面ACO,

而ADu平面ACO,故BC1.AD,而BDcBC=B,

故AD_L平面BCD,故GBCD=gxADxSBCD，

又SBCD=|xlxV16-x2,故%_BCD=gxxxgjl6_x2《d，

當且僅當尤=2JI時等號成立，止匕時3。=2后即ABCD的外接圓半徑點.

故答案為：A/2.

8.(2022?廣西桂林?二模(理))在三棱錐A8C￡)中，對棱48=CO="AD=BC=5,AC=BD=y/lO,

當平面a與三棱錐ABCD的某組對棱均平行時，則三棱錐ABCD被平面a所截得的截面面積最大值為

【答案】3

【解析】因為每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABC。放入長方體中，設長寬高分別為工,?z,則

Jx?+y2=底&+Z?=如,"/M=岳,則x=l,y=2,z=3.

當平面a與三棱錐A3CZ)的對棱AB,CD均平行時，截而為四邊形EASH,ABHFGHEH,CD//EF//HG,

Appp

設三貝==)=/，同理E"=Q—DAB,NTffiF(或其補角)是異面直線A民CO

ACCDAC

所成的角，

SEFGH=EFEHsinZHEF=Z(1-t)AB-CDsinZHEF,其中ABCDsinN/ffi1尸為定值，

t(l-t)=-t2+t=-(t-^)2+-,/=:時，MIT)取得最大值，即截面EFGH面積最大，此時E,EG,H是所

242

在棱中點，

由長方體性知最大面積為長方體上下底面面積的一半;個=1,

13

同樣地，當平面。與三棱錐ABC。的對棱AC,2。均平行時，截面最大面積為彳立=彳；當平面a與三棱

錐A8CO的對棱ADBC均平行時，截面最大面積為;?=3.

故答案為：3.

3堆練素養(yǎng)

1.（2022?廣東廣州?三模）一幾何體的平面展開圖如圖所示，其中四邊形為正方形，E、F分別為PB、PC

的中點，在此幾何體中，下面結論錯誤的是（）

A.直線AE與直線8尸異面B.直線AE與直線O尸異面

C.直線EFk平面PADD.直線EF平面ABCD

【答案】B

由題意知：該幾何體是底面為正方形的四棱錐，如圖所示，連接AE,EF,BF,DF,易得EFBC,BCAD,

則￡F〃AD,

故￡F,A￡>共面，則共面，故B錯誤；又尸e面AEFD,3任面AEFD,F不在直線AE上，則直線

AE與直線8尸異面，A正確；

由砂〃A。，EFO平面PAD,AT>u平面上4D,則直線1平面PAD,C正確；

EbU平面ABCD,AT>u平面ABCD,則直線，平面ABCD,D正確.

故選：B.

2.（2022?北京四中三模）如圖，在正方體ABCD-4旦（7/）|中，E是棱C￡的中點，尸是側面BCQ片內的

動點，且4尸與平面AAE的垂線垂直，則下列說法不正確的是（）

A.4歹與RE不可能平行B.A尸與BE是異面直線

C.點/的軌跡是一條線段D.三棱錐尸-A82的體積為定值

【答案】A

【解析】解：設平面2AE與直線2C交于G,連接AG,EG,

則G為3c的中點，分別取用8,4G的中點M,N,

連接4",MN,A\N,

如圖，,:'MIRE,A"E平面RAE,REu平面RAE,

/.\MH平面D.AE,同理可得MN//平面DXAE,

又AM、MN是平面AMN內的兩條相交直線，

，平面AMN〃平面RAE,而4尸〃平面RAE,人/u平面,

得點尸的軌跡為一條線段，故C正確；

并由此可知，當F與〃重合時，A尸與平行，故A錯誤；

?.?平面AMN〃平面RAE,8E和平面AAE相交，.?.AZ與BE是異面直線，故B正確；

VMN//EG,則點F到平面QAE的距離為定值，...三棱錐尸-A32的體積為定值，故D正確.

故選：A.

3.（2022?浙江紹興?模擬）正方體ABC。-中，。為正方體的中心，P為正方體表面上的一個動點,

若直線。尸與平面4穌0、平面ACQ所成的角都是30。，則這樣的點尸的個數(shù)為（）

A.4B.6無數(shù)個

【答案】C

【解析】：明。。為正方形，則

又CD1平面AA.D.D,則AQ1CD

A.DCD=D,則AR_L平面AB?。

/.AD1lBtD

同理可得：AC1BtD,ACTADl=A

二局。，平面ACR

如圖，取AR的中點E,連接CE交耳。于點G,若平面EC，（即平面AQ）存在點使得與平面

4片。、平面ACQ所成的角都是30。，連接MG,過M作肱V_LCE,垂足為N,連接ON,則MN〃。也

設正方體的邊長為6,則0G=G,/OMG=/AfON=^

6

MO=2y/3,MG=NO=3,MN=y/3,NG=y/6

即在線段CE作NG="確定點N,再過點N作腦V〃AQ,且MN=C,連接加，則直線即為滿足

題意的直線OP

根據(jù)對稱可知滿足條件的直線OP共有4條，則這些直線與正方體表面的交點共有8個

故選：C.

%

4.（2022?廣東?模擬）在三棱錐P-ABC中，ABC為等腰直角三角形，AB=AC=2,AR4c為正三角形,

且二面角P-AC-3的平面角為則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（）

O

524-28-32

A.—冗B.一兀C.—7iD.—幾

9939

【答案】C

【解析】如圖所示，ABC為直角三角形，又AB=AC=2,

所以8c=20，

因為△PAC為正三角形，所以％=PC=AC=2,

連接尸ROE,。為AC的中點，E為BC中點，

則PD±AC,DE±AC,所以ZPDE為二面角尸一AC-3的平面角

所以NPDE=30。.

因為一ABC為直角三角形，E為BC中點，

所以點E為ABC的外接圓的圓心，

設G為△EAC的中心，則G為4c的外接圓圓心.過E作面45c的垂線，過G作面PAC的垂線，設兩

垂線交于。.

所以HE=DE-DH=-,OE=HExtan60=-^

i7

R2=CO2=CE2+EO2=2+-=-.

33

所以S=4TTR2

3

故選：C.

5.（2022?山東青島?二模）已知正方體ABC。-ABIGR,動點尸在線段8。上，則下述正確的是（）

A.PCt//AD,B.PQ1AC

C.尸￡，平面ABDD.PC]〃平面A8Q

【答案】BD

【解析】對A,如圖，根據(jù)正方體的性質有A2〃0G且A8=2G，故平行四邊形A8GQ,故

故當且僅當P在6點時才有尸G〃AA，故A錯誤；

對B,如圖，由正方體的性質可得用c，BG，A瓦，平面B4GC,故又用cc4耳，qc，Agu

平面A4CO,故平面ABC。，故BG^AC,同理。G,AC,故AC，平面BCQ,故

故B正確；

對C,當尸在8時，ZC.BA=60,故PG，平面43。不成立，故C錯誤；

對D,同B有4CL平面故平面BC]。〃平面A4R,故PQ〃平面AqR成立，故D正確；

故選：BD

6.（2022?湖北?模擬）棱長為1的正方體中，P、。分別在棱BC、CQ上，CP=x,CQ=y,

xe[0,l],yw[0,l]且/+尸*0,過A、P、Q三點的平面截正方體ABC。-ABCQ得到截面多邊形，則（）

A.x=y時，截面一定為等腰梯形B.尤=1時，截面一定為矩形且面積最大值為0

C.存在X,y使截面為六邊形D.存在尤，y使與截面平行

【答案】BD

【解析】對A,x=y=l時，截面為矩形，故A錯;

對B,當x=l時，點尸與點8重合，設過A、P、。三點的平面交于則因為平面441nQ〃平面BBCC，

故尸?！ˋM,且ABLPQ,此時截面為矩形，當點。與點G重合時面積最大，此時截面積S=1義忘=應，

B正確;

對C,截面只能為四邊形、五邊形，故C錯；

對D,當尤=g，＞=；時，延長gB交QP延長線于N,畫出截面如圖所示.此時因為的=CP,

BN//CQ,故RNBPN=RtVCPQ,則BN=CQ=g.由面面平行的截面性質可得NADM:NPCQ,

AD=2PC,故MD=2QC=',此時加。=：,故MD、=BNaMD、〃BN,故平行四邊形MR8N,故

MN//D.B,根據(jù)線面平行的判定可知8。與截面平行，故D正確.

D

tG

故選：BD

7.（2022?福建省廈門集美中學模擬）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊

形為面圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三

棱錐，共截去八個三棱錐，得到的半正多面體的表面積為12+46,則關于該半正多面體的下列說法中正確

的是（）

77

A.”與平面28所成的角為工

C.與所成的角是（的棱共有16條D.該半正多面體的外接球的表面積為6萬

【答案】AC

【解析】補全該半正多面體得到一正方體,設正方體的棱長為。,

由題意知，該半正多面體由6個全等的正方形和8個全等的正三角形構成.

則由半正多面體的表面積為12+4百，

a=2,

因為平面BCD,44BE為A8與平面的夾角，

7T

因為△國為直角三角形，S.AE=BE,所以4=：

4

TT

所以AB與平面SCO所成的角為=：,故A正確;

AB=\lAE2+BE2=夜，故B錯誤；

TT

在與AB相交的6條棱中，與42所成的角是§的棱有4條，又這4條棱中，每一條棱都有3條平行的棱,

故與A8所成的角是。的棱共有16條，故C正確；

由半正多面體的對稱性可知，其對稱中心與相應的正方體的對稱中心是同一點，其對稱中心為正方體的體

對角線的中點。，點。在平面4近的投影點為。一

則有OO1=1,AQ=1,所以40=Joo；=后,

故該半正多面體的外接球的半徑為垃，面積為47rx=8無，故D錯誤；

故選：AC.

8.（2022?重慶?一模）如圖，在棱長為2的正方體A8C。-AAG。中，點“在線段BG（不包含端點）上

運動，則下列結論正確的是.（填序號）

①正方體A3CO-ABG2的外接球表面積為48萬；②異面直線AM與AQ所成角的取值范圍是③

直線AM//平面ACDt.④三棱錐R-AMC的體積隨著點M的運動而變化.

【答案】②③

【解析】正方體對角線長為2石，即這外接球直徑，因此球半徑為r=g,球表面積為S=4萬產=12萬，①

錯；

正方體中AB與GQ平行且相等，A8G。是平行四邊形，ADJ/BC、,94足￡是正三角形，與BQ的

夾角（銳角或直角）的范圍是因此②正確；

32

由②上知BCi//ADl，而8G①平面ACD,，叫u平面ACD,，所以8G〃平面ACR