第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年陜西省榆林三中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2<4}，B={x|0<x<3}，則A∩B=A.(0,3) B.(0,2) C.(?2,3) D.(?2,0)2.已知復(fù)數(shù)z=?2+i，則(

)A.z的虛部為i B.|z|=5 C.z?=?2?i 3.已知平面向量a=(3,?2),b=(1,λ+1)，若a⊥bA.12 B.?13 C.?4.已知m，n，l為三條不同的直線(xiàn)，α，β為兩個(gè)不同的平面，若α∩β=l，m?α，n?β，且m與n異面，則(

)A.l至多與m，n中的一條相交 B.l與m，n均相交

C.l與m，n均平行 D.l至少與m，n中的一條相交5.已知a=log0.92025,b=2024A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A=π4，cosC=137，c=4A.723 B.12277.如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，若將它還原為正方體，則(

)A.AF⊥CH

B.CH//BD

C.EI與BG共面

D.AF與BG異面8.中國(guó)冶煉鑄鐵的技術(shù)起源于春秋時(shí)期，并在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期取得了顯著的進(jìn)步，推動(dòng)了當(dāng)時(shí)社會(huì)的發(fā)展.現(xiàn)將一個(gè)半徑為2cm的實(shí)心鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)圓臺(tái)狀的實(shí)心鐵錠(不考慮損耗)，若該圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的2倍，高為2cm，則該圓臺(tái)的表面積為(

)A.(40+1211)π7cm2 B.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列關(guān)于空間幾何體的敘述錯(cuò)誤的是(

)A.底面是正方形的棱錐是正四棱錐

B.任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面

C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

D.一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面10.已知三個(gè)非零向量a，b，c，則下列命題正確的是(

)A.若a=3b，則a|a|=b|b|

B.若|a+b|=|a?11.若z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.若|z1|=1，則1z1+z1∈R

B.若z13=z23，則z1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.用斜二測(cè)畫(huà)法作一個(gè)水平放置的平行四邊形的直觀(guān)圖，若直觀(guān)圖是一個(gè)角為45°，邊長(zhǎng)為2的菱形，則原來(lái)的平行四邊形的面積為_(kāi)_____．13.若tanθ=?3，則sin2θ=

．14.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，N為B1C1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z1=1+mi，z2=(m2?6m+7)?2i(m∈R,i為虛數(shù)單位)．

(1)若z=z1+z16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin2A+3sinBsinC=sin2B+sin2C.

(1)求角A17.(本小題15分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N，Q分別是PA，BD，PD的中點(diǎn)．

(1)求證：MN//平面PCD；

(2)求證：平面MNQ//平面PBC．18.(本小題17分)

已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(0)=2，函數(shù)g(x)滿(mǎn)足g(x?1)=4x?7，且不等式f(x)+g(x)<0的解集為(?1,12)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若關(guān)于x的不等式f(3x)≥(2m?1)19.(本小題17分)

如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段BC和DC上的動(dòng)點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)M，且BE=λBC，DF=(1?λ)DC，λ∈[0,1]．

(1)若AE?BC=0，求λ的值；

(2)當(dāng)λ=13時(shí)，求

答案解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={x|x2<4}=(?2,2)，B={x|0<x<3}，

得A∩B=(0,2)．

故選：B．

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合A2.【答案】C

【解析】解：由z=?2+i，得z的虛部為1，故A錯(cuò)誤；

|z|=(?2)2+12=5，故B錯(cuò)誤；

由共軛復(fù)數(shù)的定義可知z?=?2?i，故C正確；

由虛數(shù)不能比較大小可知，D錯(cuò)誤．

故選：C．

由已知可得z的虛部，即可判斷3.【答案】A

【解析】解：a=(3,?2),b=(1,λ+1)，

由a⊥b，得a?b=3?2(λ+1)=0，

所以λ=12．

故選：A4.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閙，n，l為三條不同的直線(xiàn)，α，β為兩個(gè)不同的平面，

又α∩β=l，m?α，n?β，且m與n異面，

所以m與l平行或相交，n與l平行或相交，但直線(xiàn)l與m，n不能同時(shí)平行，

若直線(xiàn)l與m，n同時(shí)平行，則m與n平行，與兩直線(xiàn)異面矛盾，

所以l與m，n中的一條相交或與m，n都相交．

故選：D．

根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)之間的位置關(guān)系分析即可．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．5.【答案】B

【解析】解：知a=log0.92025,b=20240.1,c=log20252024，

則log0.92025<log6.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，由cosC=137，C∈(0,π)，

得sinC=1?cos2C=1?(137)2=67，

由正弦定理得7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，畫(huà)出該正方體的直觀(guān)圖，

對(duì)于A：AC=AH=CH，△ACH為等邊三角形，AF與CH所成的角為π3，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：CH與BD異面，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：直線(xiàn)EI與BG相交，所以直線(xiàn)EI與BG共面，C正確；

對(duì)于D：AF/?/BG，直線(xiàn)AF與BG共面，D錯(cuò)誤．

故選：C．

畫(huà)出該正方體的直觀(guān)圖，根據(jù)直線(xiàn)共面，異面直線(xiàn)和直線(xiàn)夾角進(jìn)行判斷，得到答案．

本題考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．8.【答案】B

【解析】解：將一個(gè)半徑為2cm的實(shí)心鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)圓臺(tái)狀的實(shí)心鐵錠(不考慮損耗)，若該圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的2倍，高為2cm，

可得圓臺(tái)體積V=43πR3=32π3cm3，

如圖所示，設(shè)圓臺(tái)較大的底面半徑為O1A=2r，則較小的底面半徑為O2B=r，

于是V=13(πr2+4πr2+2πr2)?2=32π3，解得r=49.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正方形的中心的四棱錐是正四棱錐，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，球沒(méi)有頂點(diǎn)和棱，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，將兩個(gè)相同的棱臺(tái)的底面重合得到的多面體滿(mǎn)足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺(tái)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，棱柱的底面至少有3條邊，所以一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面，D正確．

故選：ABC．

根據(jù)空間幾何體的定義和特點(diǎn)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．

本題考查棱錐、棱臺(tái)、棱柱的結(jié)構(gòu)特征，注意棱錐、棱臺(tái)、棱柱的定義，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】ABD

【解析】解：已知三個(gè)非零向量a，b，c，

對(duì)于A，因?yàn)閍=3b，

又a≠0，所以a|a|=3b|3b|=b|b|，

故A正確；

對(duì)于B，因?yàn)閨a+b|=|a?b|，

所以(a+b)2=(a?b)2，

即a2+b2+2a?b=a2+b2?2a?b，

所以a?b=0，11.【答案】BCD

【解析】解：A選項(xiàng)，設(shè)z1=a+bi，a，b∈R，由|z1|=1，

得a2+b2=1,z1+1z1=a+bi+1a+bi=a+bi+a?bia2+b2=2a∈R，故A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)z1=1,z2=?12+32i時(shí)，滿(mǎn)足z13=z2312.【答案】8

【解析】解：根據(jù)題意，直觀(guān)圖是一個(gè)角為45°，邊長(zhǎng)為2的菱形，則直觀(guān)圖的面積S′=2(12×2×2×sin45°)=22，

故原來(lái)的平行四邊形的面積S=22S′=8．13.【答案】?3【解析】【分析】本題主要考查正余弦齊次式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

由已知結(jié)合二倍角公式及同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【解答】

解：因?yàn)閠anθ=?3，

則sin2θ=2sinθcosθsin2θ+cos14.【答案】2【解析】解：根據(jù)題意可知，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，N為B1C1的中點(diǎn)，

如圖，取BC的中點(diǎn)E，A1D1的中點(diǎn)F，連接DE，B1E，B1F，F(xiàn)D，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，A1D1的中點(diǎn)，所以FD1//B1N，F(xiàn)D1=B1N，

所以四邊形FD1NB1是平行四邊形，所以FB1//D1N，

又因?yàn)镈1N?平面CND1，F(xiàn)B1?平面CND1，所以FB1//平面CND1，

同理B1E//平面CND1，

又B1E∩FB115.【答案】4；

(?1,1)．

【解析】(1)解：由復(fù)數(shù)z1=1+mi，z2=(m2?6m+7)?2i，

得z=z1+z2=1+mi+(m2?6m+7)?2i=(m2?6m+8)+(m?2)i，

∵復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，∴m2?6m+8=0m?2≠0，解得m=4；

(2)解：由z1=1+mi，

得ω=z11+i=1+mi1+i16.【答案】解：(1)在△ABC中，因?yàn)閟in2A+3sinBsinC=sin2B+sin2C，

所以由正弦定理得a2=b2+c2?3bc，

余弦定理得cosA=b2+【解析】(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得a2=b2+c2?3bc，利用余弦定理可求17.【答案】證明：(1)由題意：四棱錐P?ABCD的底面ABCD為平行四邊形，

點(diǎn)M，N，Q分別是PA，BD，PD的中點(diǎn)，

∴N是AC的中點(diǎn)，

∴MN/?/PC，

又∵PC?平面PCD，MN?平面PCD，

∴MN/?/平面PCD．

(2)由(1)，知MN//PC，

∵M(jìn)，Q分別是PA，PD的中點(diǎn)，

∴MQ//AD//BC，

又∵BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC=C，

MQ?平面MNQ，MN?平面MNQ，MQ∩MN=M，

∴平面MNQ/?/平面PBC．

【解析】(1)推導(dǎo)出四棱錐P?ABCD的底面ABCD為平行四邊形，MN//PC，由此能證明MN/?/平面PCD．

(2)推導(dǎo)出MN//PC，MQ//AD//BC，由此能證明平面MNQ/?/平面PBC．

本題考查線(xiàn)面平行、面面平行的證明，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18.【答案】f(x)=2x2?3x+2；

【解析】解：(1)根據(jù)題目所給：已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(0)=2，

函數(shù)g(x)滿(mǎn)足g(x?1)=4x?7，且不等式f(x)+g(x)<0的解集為(?1,12)．

由g(x?1)=4x?7，得g(x?1)=4(x?1)?3，則g(x)=4x?3，

由二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(0)=2，設(shè)f(x)=ax2+bx+2(a≠0)，

不等式f(x)+g(x)<0，即ax2+(b+4)x?1<0，

依題意，?1,12是方程ax2+(b+4)x?1=0的二實(shí)根，且a>0，

于是?1+12=?b+4a,?1×12=?1a，解得a=2，b=?3，

所以f(x)的解析式為f(x)=2x2?3x+2．

(2)由(1)知，f(x)=2x2?3x+2，

不等式f(3x)≥(2m?1)?3x+9x?2(3x)19.【答案】λ=34；

DM