2．3.2等比數(shù)列的通項公式學習目標1.靈活應用等比數(shù)列的定義及通項公式.2.熟悉等比數(shù)列的有關性質.3.系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法．知識點一等比數(shù)列通項公式的推廣思考1已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，如何表示an?思考2我們曾經(jīng)把等差數(shù)列的通項公式做過如下變形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等比數(shù)列也有類似變形嗎？思考3我們知道等差數(shù)列的通項公式可以變形為an＝dn＋a1－d，其單調性由公差的正負確定．等比數(shù)列的通項公式是否也可做類似變形？梳理公比為q的等比數(shù)列{an}中，an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn.{an}的單調性由a1，q共同確定如下：當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,q＞1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,0＜q＜1))時，{an}是遞增數(shù)列；當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,q＞1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,0＜q＜1))時，{an}是遞減數(shù)列；當q＜0時，{an}是擺動數(shù)列，當q＝1時，{an}是常數(shù)列．知識點二由等比數(shù)列衍生的等比數(shù)列思考等比數(shù)列{an}的前4項為1,2,4,8，下列判斷正確的是(1){3an}是等比數(shù)列；(2){3＋an}是等比數(shù)列；(3){eq\f(1,an)}是等比數(shù)列；(4){a2n}是等比數(shù)列．梳理(1)在等比數(shù)列{an}中按序號從小到大取出若干項：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差數(shù)列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比數(shù)列．(2)如果{an}，{bn}均為等比數(shù)列，那么數(shù)列{eq\f(1,an)}，{an·bn}，{eq\f(bn,an)}，{|an|}仍是等比數(shù)列．知識點三等比數(shù)列的性質思考在等比數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,5)＝a1a9是否成立？aeq\o\al(2,5)＝a3a7是否成立？aeq\o\al(2,n)＝an－2an＋2(n>2，n∈N*)是否成立？梳理一般地，在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝s＋t，則有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*)．若m＋n＝2k，則am·an＝aeq\o\al(2,k)(m，n，k∈N*)．類型一等比數(shù)列通項公式的應用命題角度1方程思想例1一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項．反思與感悟已知等比數(shù)列{an}的某兩項的值，求該數(shù)列的其他項或求該數(shù)列的通項常用方程思想，通過已知可以得到關于a1和q的兩個方程，從而解出a1和q，再求其他項或通項．跟蹤訓練1在等比數(shù)列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.命題角度2等比數(shù)列的實際應用例2某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經(jīng)過一年剩余的這種物質是原來的84%，這種物質的半衰期為多長？(精確到1年，放射性物質衰變到原來的一半所需時間稱為這種物質的半衰期)反思與感悟等比數(shù)列應用問題，在實際應用問題中較為常見，解題的關鍵是弄清楚等比數(shù)列模型中的首項a1，項數(shù)n所對應的實際含義．跟蹤訓練2某制糖廠2011年制糖5萬噸，如果從2011年起，平均每年的產(chǎn)量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開始超過30萬噸？(結果保留到個位，lg6≈0.778，lg1.2≈0.079)類型二等比數(shù)列的性質命題角度1序號的數(shù)字特征例3已知{an}為等比數(shù)列．(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．反思與感悟抓住各項序號的數(shù)字特征，靈活運用等比數(shù)列的性質，可以順利地解決問題．跟蹤訓練3在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a3a5＝4，則a1a2a3a4a5a6a7＝________.命題角度2未知量的設法技巧例4有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)．反思與感悟合理地設出未知數(shù)是解決此類問題的技巧．一般地，三個數(shù)成等比數(shù)列，可設為eq\f(a,q)，a，aq；三個數(shù)成等差數(shù)列，可設為a－d，a，a＋d.若四個同號的數(shù)成等比數(shù)列，可設為eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3；四個數(shù)成等差數(shù)列，可設為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.跟蹤訓練4有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項和為21，中間兩項和為18，求這四個數(shù)．1．在等比數(shù)列{an}中，a2＝8，a5＝64，則公比q為________．2．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9＝________.3．在1與2之間插入6個正數(shù)，使這8個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的6個數(shù)的積為________．4．已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq\f(4,3)，則an＝__________________________________.1．借助通項公式或其推廣形式列方程組是求等比數(shù)列基本量a1，q，n的常用方法．2．巧用等比數(shù)列的性質，減少計算量，這一點在解題中也非常重要．

答案精析問題導學知識點一思考1an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)…eq\f(an,an－1)＝a1·q·q…eq\o(q,\s\do4(n－1個))＝a1qn－1.思考2在等比數(shù)列中，由通項公式an＝a1qn－1，得eq\f(an,am)＝eq\f(a1qn－1,a1qm－1)＝qn－m，所以an＝amqn－m(n，m∈N*)．思考3設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q.則an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn，其形式類似于指數(shù)型函數(shù)，但q可以為負值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的單調性由a1，q，q－1的正負共同決定．知識點二思考由定義可判斷出(1)，(3)，(4)正確．知識點三思考∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝aeq\o\al(2,1)q8＝(a1q4)2＝aeq\o\al(2,5)，∴aeq\o\al(2,5)＝a1a9成立．同理aeq\o\al(2,5)＝a3a7成立，aeq\o\al(2,n)＝an－2an＋2也成立．題型探究例1解設這個等比數(shù)列的第1項是a1，公比是q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝12，①,a1q3＝18，②))②÷①，得q＝eq\f(3,2)，將q＝eq\f(3,2)代入①，得a1＝eq\f(16,3).因此，a2＝a1q＝eq\f(16,3)×eq\f(3,2)＝8.綜上，這個數(shù)列的第1項與第2項分別是eq\f(16,3)與8.跟蹤訓練1解(1)由等比數(shù)列的通項公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)設等比數(shù)列的公比為q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝20，,a1q5＝160，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝5.))所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.例2解設這種物質最初的質量是1，經(jīng)過n年，剩余量是an，由條件可得，數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列．其中a1＝0.84，q＝0.84，設an＝0.5，則0.84n＝0.5.兩邊取對數(shù)，得nlg0.84＝lg0.5，用計算器算得n≈4.答這種物質的半衰期大約為4年．跟蹤訓練2解記該糖廠每年制糖產(chǎn)量依次為a1，a2，a3，…，an，….則依題意可得a1＝5，eq\f(an,an－1)＝1.2(n≥2且n∈N*)，從而an＝5×1.2n－1，這里an＝30，故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝eq\f(lg6,lg1.2)＝eq\f(0.778,0.079)≈9.85.故n＝11.答從2021年開始，該糖廠年制糖量開始超過30萬噸．例3解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.跟蹤訓練3128解析∵a3a5＝aeq\o\al(2,4)＝4，an>0，∴a4＝2.∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4＝43×2＝128.例4解設這四個數(shù)依次為a－d，a，a＋d，eq\f(a＋d2,a)，由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9，,d＝－6.))所以當a＝4，d＝4時，所求的四個數(shù)為0,4,8,16；當a＝9，d＝－6時，所求的四個數(shù)為15,9,3,1.故所求的四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.跟蹤訓練4解設這四個數(shù)分別為x，y,18－y,21－x，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝x1