專題15.2畫軸對稱的圖形（知識梳理+13個考點講練+中考真題演練+難度分層練共51題）TOC\o"12"\h\u知識梳理技巧點撥 1知識點梳理01：軸對稱變換 1知識點梳理02：畫軸對稱圖形 2知識點梳理03：平面直角坐標(biāo)系中的軸對稱（難點） 2優(yōu)選題型考點講練 3考點1：畫軸對稱圖形 3考點2：設(shè)計軸對稱圖案 5考點3：坐標(biāo)系中的對稱 6考點4：坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱 9考點5：車牌號碼的鏡面對稱 12考點6：鐘表的鏡面對稱 12考點7：電子鐘示數(shù)的鏡面對稱 13考點8：線段問題（軸對稱綜合題） 14考點9：面積問題（軸對稱綜合題) 18考點10：角度問題（軸對稱綜合題） 22考點11：其他問題（軸對稱綜合題） 25考點12：畫對稱軸 27考點13：求對稱軸條數(shù) 29中考真題實戰(zhàn)演練 30難度分層拔尖沖刺 33基礎(chǔ)夯實 33培優(yōu)拔高 41知識點梳理01：軸對稱變換1.軸對稱變換由一個平面圖形可以得到與它關(guān)于一條直線l對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同,這種變換稱為軸對稱變換.2.軸對稱變換的性質(zhì)(1)新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于直線l的對稱點(2)連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分要點歸納：（1）成軸對稱的兩個圖形中任何一個圖形都可以看成是由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換得到的.（2）一個軸對稱圖形也可以看成是以它的一部分為基礎(chǔ)經(jīng)過軸對稱變換而得到的.知識點梳理02：畫軸對稱圖形幾何圖形都可以看作由點組成的,對于某些圖形,我們只要畫出圖形中的一些特殊點(如線段端點)關(guān)于某直線的對稱點,連接這些對稱點就可以得到原圖形的軸對稱圖形1.畫軸對稱圖形的依據(jù)如果兩個圖形關(guān)于某一條直線對稱,那么連接對稱點的線段被對稱軸垂直平分2.畫軸對稱圖形的方法(1)找——在原圖形上找特殊點(如線段的端點);(2)定——確定各個特殊點關(guān)于對稱軸的對稱點;(3)連——依次連接各對稱點要點歸納：（1）找特殊點對畫軸對稱圖形極為重要,找特殊點時,要把確定圖形形狀的特殊點找全,除線段的端點外,線與線的交點也是畫圖過程中的特殊點;（2）對稱軸上任意一點的對稱點是它本身知識點梳理03：平面直角坐標(biāo)系中的軸對稱（難點）1.關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征特征:橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)特征:橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等在平面直角坐標(biāo)系中畫軸對稱圖形的步驟(1)計算——計算對稱點的坐標(biāo)(2)描點——根據(jù)對稱點的坐標(biāo)描點;(3)連接——依次連接所描各點,即可得到成軸對稱的圖形考點1：畫軸對稱圖形【典例精講】（2425八年級上·寧夏固原·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A?3,2，B(?4,?3)，C(?1,?1)(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A(2)寫出點A1，B1，C1的坐標(biāo)：A1__________，(3)求△A【答案】(1)見解析(2)3,2，4,?3，1,?1(3)6.5【思路引導(dǎo)】本題考查了作圖—軸對稱變換，寫出平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，利用網(wǎng)格求三角形的面積，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)作出圖形即可；（2）根據(jù)圖形寫出坐標(biāo)即可；（3）利用割補法求三角形面積即可．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，△A（2）解：由圖可得A13,2，B1（3）解：由圖可得：△A1B【變式訓(xùn)練】（2425八年級上·廣東惠州·期中）如圖，已知△ABC．(1)分別畫出與△ABC關(guān)于x軸、y軸對稱的圖形△A1B(2)寫出△A1B(3)求△ABC的面積．【答案】(1)見解析(2)△A1B1C1(3)5【思路引導(dǎo)】本題考查了作關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱圖形，求點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)，割補法求圖形面積等知識點．（1）分別作出△ABC三個頂點關(guān)于x軸、y軸的對稱點，再依次連接即可；（2）根據(jù)所作的三角形即可寫出各頂點坐標(biāo)；（3）利用梯形面積減去兩個直角三角形的面積即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：作出的圖形如下：（2）解：由圖知，△A1B1C1三個頂點坐標(biāo)分別為（3）解：S△ABC考點2：設(shè)計軸對稱圖案【典例精講】（2425七年級下·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，在等邊三角形網(wǎng)格中，已有三個小等邊三角形被涂黑，再將圖中其余小等邊三角形一個，使整個被涂黑的圖案構(gòu)成一個軸對稱圖形，這樣的方法有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】D【思路引導(dǎo)】本題考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的概念解答即可．如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．【規(guī)范解答】解：如圖所示：故選：D．【變式訓(xùn)練】（2425七年級下·江蘇常州·期中）如圖，是由三個陰影的小正方形組成的圖形，請你在4×4的方格紙中，再補出一個有陰影的小正方形，使補畫后的圖形為軸對稱圖形，則有（

）種不同補法．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱圖形的定義畫出圖形即可解答．【規(guī)范解答】解：如圖所示，一共有4種畫法，故選：A．考點3：坐標(biāo)系中的對稱【典例精講】（2425七年級下·廣西防城港·期中）如圖所示，左、右兩幅圖案關(guān)于y軸對稱，右邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是2,5和3,4．(1)試確定左邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)；(2)如果將右邊圖案沿x軸向右平移2個單位長度，那么它的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)將發(fā)生什么變化？【答案】(1)左邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是?3,4和?2,5；(2)它的左右兩朵花花心的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)不變，左、右兩朵花花心的坐標(biāo)將變?yōu)?,5和5,4．【思路引導(dǎo)】本題考查坐標(biāo)系中的對稱和平移，解題的關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征，以及點的坐標(biāo)平移規(guī)律．（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征即可得出左邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)；（2）根據(jù)平移規(guī)律，即可得出花心坐標(biāo)發(fā)生的變化，以及變化后的坐標(biāo)．【規(guī)范解答】（1）解：∵左、右兩幅圖案關(guān)于y軸對稱，右邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是2,5和3,4，∴左邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是?3,4和?2,5，答：左邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是?3,4和?2,5．（2）解：如果將右邊圖案沿x軸向右平移2個單位長度，那么它的左右兩朵花花心的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)不變，∵右邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是2,5和3,4，∴沿x軸向右平移2個單位長度后，右邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)將變?yōu)?,5和5,4，答：它的左右兩朵花花心的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)不變，左、右兩朵花花心的坐標(biāo)將變?yōu)?,5和5,4．【變式訓(xùn)練】（2425八年級上·河北邯鄲·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B，C，D的坐標(biāo)分別為2,4，1,2，5,3和?1,?2．(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1（點A1，B(2)在圖中的平面直角坐標(biāo)系中畫出點E，使得以D，E，A1，B1四點組成的四邊形是軸對稱圖形，且對稱軸是y軸，并寫出點【答案】(1)見詳解(2)見詳解，E【思路引導(dǎo)】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，軸對稱和軸對稱圖形，坐標(biāo)變換，解題的關(guān)鍵是正確理解坐標(biāo)系中對稱的性質(zhì)．（1）根據(jù)軸對稱的特征得出點A、B、C的位置再順次連接即可得解；（2）根據(jù)軸對稱的特征得出點E，再順次連接即可．【規(guī)范解答】（1）解：△ABC關(guān)于x軸對稱的△A由圖可知，C1（2）如圖2，四邊形ABDE即為所求，由圖可知，E?2,?4考點4：坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱【典例精講】（2425八年級上·河北滄州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中（不完整），每個小正方形的邊長均為1，△ABC與△DEF關(guān)于y軸對稱．(1)在圖中補全y軸和原點O，并直接寫出點E關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)；(2)若A,?B,?C是三個村莊，現(xiàn)要在公路邊（x軸上）建一貨棧P，向A,?B,?C三個村莊送農(nóng)用物資，路線是【答案】(1)補圖見解析，點E關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為?2,?5(2)存在，見解析【思路引導(dǎo)】本題考查了平面直角坐標(biāo)系，軸對稱的性質(zhì)，最短路徑等問題．（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可補全平面直角坐標(biāo)系以及求出點E關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)；（2）將問題化為PA+PC最小，過點A作x軸的對稱點A′，連接A′C與x【規(guī)范解答】（1）解：如圖，即為所求，∵點E?2,5∴點E關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為?2,?5；（2）解：存在，理由如下：∵AB+BC不變，∴送貨路線之和最短即為PA+PC最小，如圖：點P即為所求【變式訓(xùn)練】（2425八年級下·河北石家莊·期中）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、B、C三點都在格點上．(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1(2)畫出△ABC向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度得到的△A2B2C2；若點Mm,n(3)若點P是y軸上一點，且滿足△PAC的面積等于4，則點P的坐標(biāo)為______．【答案】(1)見解析，2,1，3,?2；(2)見解析，m?2,n+2，(3)0,?6或P0,2【思路引導(dǎo)】本題考查了作圖——軸對稱和平移，軸對稱和平移的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，絕對值方程，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，再寫出對應(yīng)坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，再根據(jù)平移方式寫出坐標(biāo)即可；（3）設(shè)P0,y，根據(jù)三角形面積公式列絕對值方程，求出y【規(guī)范解答】（1）解：如圖，△A1B1C（2）解：如圖，△A若點Mm,n為AB邊上一點，則點M按如上平移后的對應(yīng)點M2的坐標(biāo)為（3）解：∵點P是y軸上一點，∴設(shè)P0,y∴PC=y?∵△PAC的面積等于4，∴1解得：y=?6或y=2，∴點P的坐標(biāo)為0,?6或P0,2考點5：車牌號碼的鏡面對稱【典例精講】（2425七年級下·山東棗莊·階段練習(xí)）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，從鏡子中看到的汽車車牌的部分號碼如圖所示，則在該車牌的部分號碼為（）A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．利用鏡面對稱的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與“E6395”成軸對稱，則該汽車的號碼是E6395，故選：C．【變式訓(xùn)練】（2024·湖南岳陽·二模）一平面鏡與水平面成45°角固定在水平桌面上，如圖所示，一小球以1m/sA．以1m/s的速度，做豎直向上運動 C．以2m/s的速度，做豎直向上運動 【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì)．利用鏡面對稱的性質(zhì)求解．鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【規(guī)范解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的順序與現(xiàn)實中的恰好相反，且關(guān)于鏡面對稱，則小球在平面鏡中的像是以1m故選：A．考點6：鐘表的鏡面對稱【典例精講】（2425八年級上·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖，小明的墻上掛著一個電子表，對面的墻上掛著一面鏡子，小明看到鏡子中的表的時間如圖所示，12:51那么實際的時間是．【答案】12:51【思路引導(dǎo)】本題考查鏡面對稱，解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【規(guī)范解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的圖片與12:51成軸對稱，所以此時實際時刻為12:51．故答案為：12:51．【變式訓(xùn)練】（2425八年級上·遼寧營口·期末）一平面鏡與水平面成45°角固定在水平桌面上，如圖所示，一小球以10cm/sA．以10cmB．以10cmC．以20cmD．以20cm【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查鏡面對稱．解題的關(guān)鍵是掌握鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：小球在平面鏡中的像是以10cm故選：A．考點7：電子鐘示數(shù)的鏡面對稱【典例精講】（2324八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在鏡子上看到時間是，那么實際時間為．【答案】10:51【思路引導(dǎo)】根據(jù)鏡面對稱的特征進行作答即可．【規(guī)范解答】解：在鏡子里看見的時間是，實際時間是10:51，故答案為：10:51．【考點剖析】本題考查了軸對稱內(nèi)容，涉及電子鐘示數(shù)的鏡面對稱，根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好是左右顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，難度中等，【變式訓(xùn)練】（2223八年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在鏡子中看到時鐘顯示的時間，則實際時間是．【答案】10:51【思路引導(dǎo)】實際時間和鏡子中的時間關(guān)于豎直的線成軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：由題意可知，實際時間和鏡子中的時間關(guān)于豎直的線成軸對稱，由軸對稱的性質(zhì)得：實際時間是10:51，故答案為：10:51．【考點剖析】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的有關(guān)性質(zhì)．考點8：線段問題（軸對稱綜合題）【典例精講】（2223七年級下·貴州貴陽·期末）已知點A，B在直線l兩側(cè)，點C，D在直線l上，點P為l上一動點，連接AP，BP，且CP=DB．(1)如圖（1）所示，當(dāng)點P在線段CD上時，若∠ACP=∠BDP=90°，∠PAC=∠BPD，則PAPB（選填“>”“<”或“=”）；(2)如圖（2）所示，當(dāng)點P在DC延長線上時，若∠ACP=∠BDP=90°，∠PAC=∠BPD，探究線段CD，AC，DB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖（3）所示，當(dāng)點P在線段CD上時，若∠ACP=∠BDP≠90°，將△PBD沿直線l對折得到△PB′D，此時∠ACP=∠APB′，探究線段CD【思路引導(dǎo)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）可證明△ACP≌△PDB從而得出結(jié)果；（2）可證明△ACP≌△PDB從而得出AC=PD，進而得出結(jié)論；（3）證明△ACP≌△PDB′從而得出AC=PD【規(guī)范解答】（1）解：∵∠ACP=∠BDP=90°，∠PAC=∠BPD，CP=DB，∴△ACP≌△PDBAAS∴PA=PB，故答案為：=；（2）解：AC=CD+BD，理由如下：∵∠ACP=∠BDP=90°，∠PAC=∠BPD，CP=DB，∴△ACP≌△PDBAAS∴AC=PD，∵PD=CD+CP=CD+BD，∴AC=CD+BD；（3）解：CD=AC+DB∵∠CAP+∠APC=180°?∠ACP，∠DPB″+∠APC=180°?∠AP∴∠CAP=∠DPB由折疊得：BD=DB′，∵CP=BD，∠BDP=∠ACP，∴CP=DB′，∴△ACP≌△PDB∴AC=PD，∴CD=PD+CP=AC+DB【變式訓(xùn)練】（2425八年級上·北京·期中）在△ABC中，∠BAC=110°,AC=AB，射線AD,AE的夾角為55°，過點B作BF⊥AD于點F，直線BF交AE于點G，連接CG．(1)如圖①，射線AD,AE都在∠BAC的內(nèi)部．①設(shè)∠BAD=α，則∠CAG=_______（用含有α的式子表示）；②在直線BG上取一點B′，使得FB′=FB，則線段(2)如圖②，射線AE在∠BAC的內(nèi)部，射線AD在∠BAC的外部，其他條件不變，用等式表示線段BF,BG,CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)①55°?α；②AC；(2)CG=BG+2BF，證明見解析．【思路引導(dǎo)】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．2①根據(jù)角的和與差可得∠CAG=180°?∠BAD?∠GAD，把∠BAD和∠GAD的度數(shù)代入計算即可；②根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AB=AB'，根據(jù)AB=AC，等量代換可得2在GF的延長線上截取FP=FB，連接AP，可證∠PAG=∠CAG，利用SAS可證△CAG≌△PAG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證CG=BG，根據(jù)GP=GB+2BF，可證【規(guī)范解答】（1）解：①∵∠BAD+∠DAE+∠CAG=∠BAC=110°，∴∠CAG=180°?∠BAD?∠GAD=180°?α?55°=55°?α，故答案為：55°?α；②如下圖所示，連接AB∵AD⊥BG，F(xiàn)B∴AB=AB又∵AB=AC，∴AB故答案為：AC；（2）解：CG=GB+2BF，證明：如下圖所示，在GF的延長線上截取FP=FB，連接AP，則有AB=AP，∠BAF=∠PAF，又∵AC=AB，∴AP=AC，設(shè)∠BAF=∠PAF=β，則∠BAG=∠DAG?∠BAF=55°?β，∴∠PAG=∠PAD+∠BAD+∠BAG=55°+β，又∵∠BAC=110°，∴∠CAG=∠BAC+∠BAF?∠DAG=55°+β，∴∠PAG=∠CAG，在△CAG和△PAG中，AG=AG∠PAG=∠CAG∴△CAG≌∴CG=BG，又∵GP=GB+BF+BP，∴GP=GB+2BF，∴CG=GB+2BF考點9：面積問題（軸對稱綜合題)【典例精講】．（2425八年級上·江西撫州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A2,2，B3,0，(1)請在下圖中畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的△A(2)求△ABC的面積；(3)在x軸上是否存在點P，使得S△A′【答案】(1)作圖見解析(2)4(3)存在，?7,0或1,0【思路引導(dǎo)】本題考查了作圖—軸對稱變換、利用網(wǎng)格求三角形面積、坐標(biāo)與圖形，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的特征作出點A′、B′、（2）利用割補法求三角形面積即可；（3）設(shè)Px,0【規(guī)范解答】（1）解：如圖，△A（2）如圖所示：（3）存在，理由如下設(shè)點P的坐標(biāo)為x,0，由（1）得A′?2,2，則△A′B′PS△∵S△∴12∴x+3=4當(dāng)x+3=4時，x=1；當(dāng)x+3=?4時，x=7；所以點P的坐標(biāo)為?7,0或1,0．【變式訓(xùn)練】（2324七年級下·吉林長春·期中）如圖1，已知長方形ABCD中，AB=CD=6cm,AD=BC=8cm，連結(jié)BD，動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A→B→C的方向運動向終點C運動，連結(jié)PD．設(shè)(1)當(dāng)t=2時，BP=_____cm；當(dāng)t=4時，BP=______cm．(2)在點P的運動過程中，當(dāng)PD平分△ABD或△BCD的面積時，求t的值．(3)如圖2，當(dāng)點P不與點B重合時，作點P關(guān)于BD的對稱點P′，分別連結(jié)①當(dāng)DP′最短時，直接寫出此時四邊形②當(dāng)四邊形PBP′D的面積是長方形ABCD的面積1【答案】(1)2，(2)t=32(3)①48cm2；②t=2.25【思路引導(dǎo)】本題考查了一元一次方程與幾何應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，三角形的面積，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)運動速度和時間列式得出AP，再結(jié)合AB=CD=6cm（2）先算出長方形的面積為48cm2，則△ABD或△BCD的面積為24cm2，結(jié)合PD平分（3）①結(jié)合垂線段最短，找出DP′最短，即點P與點C重合，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得出S四邊形PBP′D②由得出S△BDP=6cm2，然后進行分類討論，即當(dāng)點P在AB上時和點【規(guī)范解答】（1）解：∵動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A→B→C的方向運動向終點C∴當(dāng)t=2時，則AP=2×2=4∵AB=CD=6∴BP=6?4=2∴當(dāng)t=4時，則2×4=8∴BP=8?6=2故答案為：2，（2）解：∵長方形ABCD中，AB=CD=6∴△ABD等于△BCD的面積，即S△ABD∵PD平分△ABD的面積，

∴S△APD即12解得t=3∵PD平分△BCD的面積，

∴S△BPD即12解得t=5．∴t=32（3）解：①∵當(dāng)點P不與點B重合時，作點P關(guān)于BD的對稱點P′，分別連結(jié)∴DP′最短時，即此時DP⊥BC（垂線段最短），即點P與點C重合∴S②∵邊形PBP′D的面積是長方形∴S∵S∴S當(dāng)點P在AB上時

∴S解出t=2.25；當(dāng)點P在CB上時

∴S解出t=4；綜上：t=2.25或t=4．考點10：角度問題（軸對稱綜合題）【典例精講】（2324七年級下·吉林長春·期中）如圖，已知△ABC與△DCB關(guān)于直線MN成軸對稱，∠A=90°，(1)當(dāng)∠DBC=34°時，求∠ABC的度數(shù)；(2)若AB=12，BM=13，則△BCM的面積為________.【答案】(1)∠ABC=56°(2)78【思路引導(dǎo)】本題考查了對稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握對稱的性質(zhì)．（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)可得∠ACB=34°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解；（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)可得CD=AB=12，∠D=∠A=90°，利用三角形的面積公式即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：∵△ABC與△DCB關(guān)于直線MN成軸對稱，∴∠ACB=∠DBC=34°，∵∠A=90°，∴∠ABC=180°?∠A?∠ACB=180°?90°?34°=56°;（2）∵△ABC與△DCB關(guān)于直線MN成軸對稱，∴CD=AB=12，∠D=∠A=90°，即BD⊥CD，∵BM=13，∴S△BCM故答案為：78．【變式訓(xùn)練】（2223七年級上·山東煙臺·期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD=45°，∠B=∠D=90°，(1)若△AEF的周長最小，利用無刻度直尺和圓規(guī)確定點E，(2)在(1)的條件下，求∠EAF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)90°【思路引導(dǎo)】(1)先利用四邊形的內(nèi)角和求得∠BAD，要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′(2)由(1)可得出∠A′+∠【規(guī)范解答】（1）解：如圖作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′連接A′A″，交BC于E，交CD于F則A′A″（2）∵∠C=45°，∴∠DAB=135°，∴∠A∵∠∴∠BAE+∠FAD=45°∴∠EAF=135°?45°=90°.∴∠EAF=90°．【考點剖析】本題考查的是軸對稱最短路線問題，同時考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)軸對稱得出E，考點11：其他問題（軸對稱綜合題）【典例精講】（2324七年級下·河南鄭州·期末）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點A、B、C在小正方形的頂點上．(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A(2)△ABC的面積為______；(3)以AB為邊作與△ABC全等的三角形（頂點在格點上，不包括△ABC），可作出______個．【答案】(1)作圖見詳解(2)5(3)3【思路引導(dǎo)】（1）分別作出A、B、C三點關(guān)于直線l的對稱點A′、B′、（2）利用分割法求三角形面積即可；（3）用軸對稱思想，即可求解，本題考查了，畫軸對稱圖形，分割法計算三角形面積，夠造全等三角形，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握軸對稱的性質(zhì)．【規(guī)范解答】（1）解：如圖△A（2）解：S△ABC故答案為：5，（3）解：根據(jù)軸對稱，確定全等三角形如下：共有3個，故答案為：3．【變式訓(xùn)練】（2324八年級上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，在所給正方形網(wǎng)格（每個小網(wǎng)格的邊長是1）圖中完成下列各題．(1)畫出格點△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A(2)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作△ABC中AB邊上的高；（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在MN上畫出點P，使PA+PB最?。敬鸢浮?1)見解析(2)見解析(3)見解析【思路引導(dǎo)】本題主要考查了軸對稱作圖，尺規(guī)作圖—作垂線，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和作圖步驟是解題的關(guān)鍵．（1）先畫出點A、B、C關(guān)于MN對稱的對應(yīng)點，再依次連接即可；（2）以點C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于一點，再以該點和點B為圓心，大于該點到點B距離的一半為半徑畫弧，兩弧相交于一點，連接點C和兩弧交點，交AB于點H，CH即為所求；（3）連接A、B1，AB1與MN【規(guī)范解答】（1）解：如圖所示，△A（2）解：如圖所示，CH即為所求；（3）解：如圖所示，點P即為所求．考點12：畫對稱軸【典例精講】（2425八年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知∠ABC、線段PQ、線段MN，小明利用尺規(guī)畫出它們的對稱軸，如圖所示（②中O為PQ外任一點），則不一定正確的是（

）A．① B．② C．③ D．①和②【答案】B【思路引導(dǎo)】本題考查尺規(guī)作圖，軸對稱圖形的對稱軸的判斷，解題的關(guān)鍵的掌握五個基本作圖（作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，過一點作已知直線的垂線，作角的角平分線，作線段的垂直平分線），據(jù)此分析即可作出判斷．【規(guī)范解答】解：①如圖是作∠ABC的角平分線，則該射線所在的直線為∠ABC的對稱軸，故該作圖不符合題意；②如圖是過一點作線段PQ所在直線的垂線，則該垂線不一定平分線段PQ，即該垂線不一定是線段PQ的垂直平分線，則該垂線不一定是線段PQ的對稱軸，故該作圖符合題意；③如圖是作線段MN的垂直平分線，則該垂線所在的直線為MN的對稱軸，故該作圖不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練】（2425八年級上·貴州貴陽·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△DEF的頂點均在格點上．(1)△ABC三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別是：A：，B：，C：；(2)△ABC和△DEF關(guān)于對稱（填“x軸”或“y軸”）；(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出△DEF向下平移5個單位的圖形．【答案】(1)1,1，3,2，2,4(2)y軸(3)見解析【思路引導(dǎo)】本題考查了平面直角坐標(biāo)系以及對稱軸、平移的性質(zhì)．（1）根據(jù)題意寫出A、B、C的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行判斷；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)找到．D、E、F的對應(yīng)點，順次連接其對應(yīng)點可得到所求作圖形【規(guī)范解答】（1）解：由圖可得A1,1，B3,2，故答案為：1,1，3,2，2,4；（2）解：由圖可得△ABC和△DEF關(guān)于y軸對稱，故答案為：y軸（3）解：如圖，△D考點13：求對稱軸條數(shù)【典例精講】（1920七年級上·全國·單元測試）矩形有條對稱軸．【答案】2【規(guī)范解答】本題考查了軸對稱的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是確定軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)．【注意】解：如圖，矩形有2條對稱軸，故答案為：2．【變式訓(xùn)練】（2024八年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖①②③所示的圖案是用黑白兩種顏色的正方形紙片拼成的．(1)如圖①所示的圖案是軸對稱圖形嗎？若是，有幾條對稱軸？(2)如圖②，③所示圖案是否是軸對稱圖形？若是，有幾條對稱軸？(3)請你推斷，按此規(guī)律下去，第n個圖案是否是軸對稱圖形？若是，有幾條對稱軸？【答案】(1)圖案是軸對稱圖形，有4條對稱軸(2)圖②是軸對稱圖形，都有2條對稱軸；圖③是軸對稱圖形，有2條對稱軸(3)第n個圖案是軸對稱圖形，有2條對稱軸【思路引導(dǎo)】本題考查的是軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可．【規(guī)范解答】（1）圖案是軸對稱圖形，有4條對稱軸；（2）圖②是軸對稱圖形，都有2條對稱軸；圖③是軸對稱圖形，有2條對稱軸．（3）第n個圖案是軸對稱圖形，有2條對稱軸．1．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將點P1,?1向右平移2個單位后，得到的點P1關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是（A．1,1 B．3,1 C．3,?1 D．1,?1【答案】B【思路引導(dǎo)】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標(biāo)，再利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)得出答案．【規(guī)范解答】解：∵將點P(1,?1)向右平移2個單位后，∴平移后的坐標(biāo)為(3,?1)，∴得到的點P1關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是(3,1)故選：B．2．（2024·吉林長春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對稱圖形且點C、D均在格點上．(1)在圖①中，四邊形ABCD面積為2；(2)在圖②中，四邊形ABCD面積為3；(3)在圖③中，四邊形ABCD面積為4．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【思路引導(dǎo)】本題考查網(wǎng)格作圖、設(shè)計圖案、軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識點，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為2四邊形ABCD即可．（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為3四邊形ABCD即可．（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為4四邊形ABCD即可．【規(guī)范解答】（1）解：如圖①：四邊形ABCD即為所求；（2）解：如圖②：四邊形ABCD即為所求；（不唯一）．（3）解：如圖③：四邊形ABCD即為所求；3．（2020·四川涼山·中考真題）點P2,3關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（

A．2,?3 B．?2,3 C．2,3 D．?2,?3【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查坐標(biāo)與軸對稱，根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的特征：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，進行求解即可．【規(guī)范解答】解：點P2,3關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是2,?3故選A．4．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）點Q的橫坐標(biāo)為一元一次方程3x+7=32?2x的解，縱坐標(biāo)為a+b的值，其中a，b滿足二元一次方程組2a?b=4?a+2b=?8，則點Q關(guān)于y軸對稱點Q′的坐標(biāo)為【答案】?5,?4【思路引導(dǎo)】先分別解一元一次方程3x+7=32?2x和二元一次方程組2a?b=4?a+2b=?8，求得點Q【規(guī)范解答】解：3x+7=32?2x，移項合并同類項得，5x=25，系數(shù)化為1得，x=5，∴點Q的橫坐標(biāo)為5，∵2a?b=4①由①+2×②得，3b=?12，解得：把b=?4代入①得，2a+4=4，解得：a=0，∴a+b=0?4=?4，∴點Q的縱坐標(biāo)為?4，∴點Q的坐標(biāo)為5,?4，∴點Q關(guān)于y軸對稱點Q′的坐標(biāo)為?5,?4故答案為：?5,?4．【考點剖析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱，解一元一次方程和解二元一次方程組、代數(shù)值求值、直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的規(guī)律，熟練掌握解一元一次方程和解二元一次方程組的方法求得點Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．（2020·吉林·中考真題）如圖①、圖②、圖③都是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．A，B，C均為格點．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條不與AB重合的線段MN，使MN與AB關(guān)于某條直線對稱，且M，N為格點．（2）在圖②中，畫一條不與AC重合的線段PQ，使PQ與AC關(guān)于某條直線對稱，且P，Q為格點．（3）在圖③中，畫一個ΔDEF，使ΔDEF與ΔABC關(guān)于某條直線對稱，且D，E，F(xiàn)為格點．【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析；（3）圖見解析．【思路引導(dǎo)】（1）先畫出一條3×3的正方形網(wǎng)格的對稱軸，根據(jù)對稱性即可在圖①中，描出點AB的對稱點MN，它們一定在格點上，再連接MN即可．（2）同（1）方法可解；（3）同（1）方法可解；【規(guī)范解答】解：（1）如圖①，3×3的正方形網(wǎng)格的對稱軸l，描出點AB關(guān)于直線l的對稱點MN，連接MN即為所求；（2）如圖②，同理（1）可得，PQ即為所求；（3）如圖③，同理（1）可得，ΔDEF即為所求．【考點剖析】本題考查了作圖?軸對稱變換，解決本題的關(guān)鍵是找到圖形對稱軸的位置．基礎(chǔ)夯實1．（2425七年級下·江蘇連云港·期中）如圖，在△ABC中，AB=6，△ABC的面積為15，BD平分∠ABC，若M、N分別是BD、BC上的動點，點N關(guān)于BD的對稱點是點N′，連接CM、MN、MN′，由角的軸對稱性可得MN=MN′A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短．明確和的最小值的情況是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出，CM+MN=CM+MN′，可知當(dāng)C、M、N′三點共線，且CN′⊥AB時，CM+MN的值最小，作CF⊥AB于F【規(guī)范解答】解：∵BD平分∠ABC，點N關(guān)于BD的對稱點是點N′，M∴CM+MN=CM+MN∴當(dāng)C、M、N′三點共線，且CN如圖，作CF⊥AB于F，則CM+MN的最小值為CF，∵S△ABC=12AB×CF∴CM+MN的最小值為5，故選：C．2．（2425八年級下·湖南衡陽·期中）點P3,2關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標(biāo)是（A．3,2 B．?3,2 C．?3,?2 D．3,?2【答案】D【思路引導(dǎo)】本題考查關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)規(guī)律．根據(jù)對稱的性質(zhì)，關(guān)于x軸對稱的點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【規(guī)范解答】解：點P3,2關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標(biāo)是故選：D．3．（2425八年級上·寧夏固原·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點P(2,?3)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為（

）A．?2,?3 B．2,3 C．?3,?2 D．3,?2【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查了點的坐標(biāo)—軸對稱，根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)規(guī)律，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，直接計算即可，熟練掌握點的坐標(biāo)的關(guān)于y對稱的特點是解此題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】解：點P2,?3關(guān)于y軸對稱時，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，即?2，縱坐標(biāo)保持不變，仍為?3，因此對稱點的坐標(biāo)為?2,?3故選：A．4．（2425八年級上·新疆烏魯木齊·期中）如果點Aa,?5和點B4,b關(guān)于x軸對稱，則ab=【答案】20【思路引導(dǎo)】本題考查了點坐標(biāo)與軸對稱“在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對稱的兩個點的橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”，熟練掌握點坐標(biāo)與軸對稱變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對稱的兩個點的橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)求出a,b的值，代入計算即可得．【規(guī)范解答】解：∵點Aa,?5和點B4,b關(guān)于∴a=4,b=5∴ab=4×5=20故答案為：20．5．（2025·遼寧鐵嶺·模擬預(yù)測）若點P2?m,3m+1在y軸上，點Q與點P關(guān)于x軸對稱，則點Q的坐標(biāo)是【答案】0,?7【思路引導(dǎo)】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征，根據(jù)y軸上的點橫坐標(biāo)為0求出m的值，即得點P的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)即可求出點Q的坐標(biāo)，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】解：∵點P2?m,3m+1在y∴2?m=0，∴m=2，∴3m+1=3×2+1=7，∴點P0,7∵點Q與點P關(guān)于x軸對稱，∴點Q的坐標(biāo)是0,?7，故答案為：0,?7．6．（2425八年級上·江西上饒·期中）請在下面的這一組圖形符號中找出它們所蘊含的內(nèi)在規(guī)律，然后在橫線上的空白處，填上適當(dāng)?shù)膱D形．【答案】?6【思路引導(dǎo)】根據(jù)已知可以得出此圖形是連續(xù)的數(shù)字，得出空白處是6并且是軸對稱圖形，據(jù)此即可解答．【規(guī)范解答】解：根據(jù)已知可以得出此圖形是連續(xù)的數(shù)字并且是軸對稱圖形，則橫線上的空白處的圖形是：?6．故答案為：?6．7．（2425八年級上·廣西欽州·期中）如圖是蠟燭平面鏡成像原理圖，若以平面為x軸，鏡面?zhèn)让鏋閥軸（鏡面厚度忽路不計）建立平面直角坐標(biāo)系，若某時刻火焰頂尖S點的坐標(biāo)是x?2,2．此時對應(yīng)的虛像S′的坐標(biāo)是3,y，則3x+y=【答案】?1【思路引導(dǎo)】本題主要考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征、代數(shù)式求值等知識點，掌握關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)、縱坐標(biāo)相等成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)點S和S′關(guān)于y軸對稱得出x=?1、y=2【規(guī)范解答】解：∵點S和S′關(guān)于y軸對稱，∴x?2=?3，y=2∴x=?1、y=2，∴3x+y=3×?1故答案為：?1．8．（2425八年級上·安徽六安·期末）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A，B，C三點在格點上．(1)作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A(2)在y軸上求作點D，使得AD+BD的值最小，點D的坐標(biāo)為______．【答案】(1)見解析(2)0,2【思路引導(dǎo)】本題考查作圖軸對稱變換、軸對稱最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．（2）取點B關(guān)于y軸的對稱點B′，連接AB′，交y軸于點D【規(guī)范解答】（1）解：如圖，△A（2）解：如圖，取點B關(guān)于y軸的對稱點B′，連接AB′，交y軸于點D此時AD+BD=AD+B則點D即為所求．由圖可得，點D的坐標(biāo)為0,2故答案為：0,29．（2425八年級上·新疆烏魯木齊·期末）作圖題：(不寫作法)．已知：如圖所示．求作：(1)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B(2)在x軸上確定點P，使PA+PC最?。敬鸢浮?1)作圖見解析；A(2)見解析【思路引導(dǎo)】本題考查的是作圖——軸對稱變換，寫出點的坐標(biāo)，軸對稱的性質(zhì)求線段和的最值問題．（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特點畫出△A1B（2）作A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′C交x軸于點P【規(guī)范解答】（1）解：如圖所示，△A則A1（2）解：如圖所示，作A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′C交x軸于點P10．（2425八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知，∠AOB=45°，在射線OB上取一點C，作點C關(guān)于直線AO的對稱點為D，連接DO，點E在射線CD上，連接EO，過點C作CG⊥EO于G，過點D作DF⊥EO于F．(1)若點E在點D的上方，①依題意，在圖中補全圖形；②若DF=2,CG=6，求FG的長；(2)當(dāng)點E在射線CD上運動時，請畫出圖形，標(biāo)注字母，并直接用等式表示DF、CG、FG之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．【答案】(1)①見解析；②8(2)圖見解析，當(dāng)點E在線段CD外時，F(xiàn)G=CG+DF；當(dāng)點E在線段CD上時，F(xiàn)G=CG?DF【思路引導(dǎo)】（1）①根據(jù)題意作出圖形即可得解；②證明△ODF≌△COG，利用全等三角形的性質(zhì)及線段和差即可得解；（2）分點E在線段CD外時當(dāng)點E在線段CD上，證明△ODF≌△COG，利用全等三角形的性質(zhì)及線段和差即可得解．【規(guī)范解答】（1）解：①如圖所示，②∵∠AOB=45°，在射線OB上取一點C，作點C關(guān)于直線AO的對稱點為D，連接DO，∴∠BOD=2∠AOB=90°，OD=OC，∴∠DOF+∠COG=90°，∵CG⊥EO于G，DF⊥EO于F．∴∠DOF+∠ODF=90°，∠DFO=∠OGC=90°，∴∠ODF=∠COG，∴△ODF≌△COGAAS∴OG=DF=2，OF=CG=6，∴FG=OF+OG=2+6=8；（2）解：當(dāng)點E在線段CD外時，如圖3，∵∠AOB=45°，在射線OB上取一點C，作點C關(guān)于直線AO的對稱點為D，連接DO，∴∠BOD=2∠AOB=90°，OD=OC，∴∠DOF+∠COG=90°，∵CG⊥EO于G，DF⊥EO于F．∴∠DOF+∠ODF=90°，∠DFO=∠OGC=90°，∴∠ODF=∠COG，∴△ODF≌△COGAAS∴OG=DF，OF=CG，∴FG=OF+OG=CG+DF；當(dāng)點E在線段CD上時，如圖4，∵∠AOB=45°，在射線OB上取一點C，作點C關(guān)于直線AO的對稱點為D，連接DO，∴∠BOD=2∠AOB=90°，OD=OC，∴∠DOF+∠COG=90°，∵CG⊥EO于G，DF⊥EO于F．∴∠DOF+∠ODF=90°，∠DFO=∠OGC=90°，∴∠ODF=∠COG，∴△ODF≌△COGAAS∴OG=DF，OF=CG，∴FG=OF?OG=CG?DF．【考點剖析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定及性質(zhì)，補角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)拔高11．（2425八年級上·安徽六安·期末）關(guān)于一次函數(shù)y=a?2①當(dāng)a>2時，y的值隨著x值的增大而增大；②將該函數(shù)圖象向下平移2個單位長度后得到直線y=2x+1，則a=4，b=?1；③若點m,3+b和m+1,3a?7均在該函數(shù)圖象上，則a=1④若該函數(shù)的圖象與直線y=?2x+1關(guān)于y軸對稱，則a=4，b=1．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．①③④【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)；由k=a?2>0及一次函數(shù)的增減性質(zhì)即可判斷①；由一次函數(shù)平移的性質(zhì)知，a?2=2，b?2=1，從而可確定a與b的值，進而可判定②；把兩點坐標(biāo)代入函數(shù)式中，消去m即可得a與b的關(guān)系，進而可判定③；由對稱知，(0,1)是兩對稱直線的公共點，則可求得b；再在直線y=?2x+1上取點(1,?1)，其對稱點在y=a?2【規(guī)范解答】解：當(dāng)a>2時，則k=a?2>0，y的值隨著x值的增大而增大，故①正確；將該函數(shù)圖象向下平移2個單位后得到直線y=2x+1，則a?2=2，∴a=4，若點m,3+b和m+1,3a?7均在該函數(shù)圖象上，則有(a?2)m+b=3+b(a?2)(m+1)+b=3a?7兩式相減消去m，并整理得：a=1若該函數(shù)的圖象與直線y=?2x+1關(guān)于y軸對稱，顯然(0,1)是兩對稱直線的公共點，則b=1；在直線y=?2x+1上取點(1,?1)，則它關(guān)于y軸的對稱點(?1,?1)在直線y=a?2x+b上，即?(a?2)+1=?1，∴a=4，故a=4，∴正確的有①④；故選：C．12．（2425九年級上·貴州黔東南·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A3,2，連接OA，作如下變換：第一次：將點A繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點A1；第二次：作點A1關(guān)于x軸的對稱點A2；第三次：將點A2繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到A3；第四次：作點A3關(guān)于xA．?3,2 B．?2,3 C．?2,?3 D．3,?2【答案】B【思路引導(dǎo)】本題考查了作圖軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)，找規(guī)律等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換和軸對稱變換的定義和性質(zhì)，并找出規(guī)律．先根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換和軸對稱變換得出A1(?2,3)、A2(?2,?3)、A3【規(guī)范解答】解：過點A1作A1M⊥y軸于M，過點A作AN⊥x由題意得∠AOA1∴∠A∴∠A∵∠∴△A∴A1∴A1(?2,3)，則同上可求A3(3,?2)、A4∴每4個點的坐標(biāo)為一周期循環(huán)，∵2025÷4=506余1，∴點A2025的坐標(biāo)與點A1的坐標(biāo)一致，為故選：B．13．（2324八年級下·河南三門峽·期末）如圖，直線l:y=34x+6與x軸、y軸分別交于點A、B，點C為直線l上一點，且縱坐標(biāo)為3，點D為OB的中點，點P為OA上一動點，當(dāng)PC+PD最小時，點PA．?8,0 B．?4,0 C．?2,0 D．?1,0【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查了坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．作點D關(guān)于原點的對稱點D′，連接CD′、D′P，由軸對稱的性質(zhì)得出PC+PD=PC+PD′≥CD′，即當(dāng)點B、P、D′三點共線時，PC+PD最小，此時BD′【規(guī)范解答】解：如圖，作點D關(guān)于原點的對稱點D′，連接CD′∴DP=D∴PC+PD=PC+PD∴當(dāng)點B、P、D′三點共線時，PC+PD最小，此時BD′與x∵直線l:y=34x+6與y當(dāng)x=0時，y=6，∴B0,6∵點D為OB的中點，∴D0,3∴D∵點C為直線l上一點，且縱坐標(biāo)為3，∴34x+6=3∴C?4,3設(shè)直線CD′的解析式為則?4k+b=3b=?3，解得：k=?∴直線CD′的解析式為當(dāng)y=0時，y=?32x?3=0∴點P的坐標(biāo)是?2,0，故選：C14．（2223八年級上·廣西河池·期末）已知點Ma,3與點N2,b關(guān)于y軸對稱，則ba【答案】1【思路引導(dǎo)】本題考查了關(guān)于x，y軸對稱點的坐標(biāo)特點，根據(jù)已知得出a，b的值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出a，b的值，進而得出答案．【規(guī)范解答】解：由題意可得a=?2，b=3∴ba故答案為：1915．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(0,2),B(2,2),N(n,?n),其中n<0．若在線段AB上存在點Q,使得點N,Q關(guān)于正比例函數(shù)y=mxm≠0的圖象對稱,則n的取值范圍是【答案】?2<n≤?【思路引導(dǎo)】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)圖象的有關(guān)內(nèi)容，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)圖象的有關(guān)知識進行分析，熟練掌握一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征是本題的解題關(guān)鍵．【規(guī)范解答】因為N(n,?n)，則點N在函數(shù)y=?x的圖象上，當(dāng)n<0時，點N在第二象限．若m>0，則y=?xx<0的圖象關(guān)于直線y=mx的對稱圖象與線段AB所以m<0．

①當(dāng)y=mxm≠0與y軸正半軸的夾角是22.5°時，點A關(guān)于y=mxm≠0的對稱點A′且OA′可得a?02解得a1則A′(?2②當(dāng)y=mxm≠0與y軸正半軸的夾角大于22.