高中數(shù)學數(shù)列專題復習講義一、數(shù)列的基本概念1.1數(shù)列的定義數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作$\{a_n\}$，其中$a_n$是第$n$項（通項），$n$是項數(shù)（正整數(shù)）。注：數(shù)列是特殊的函數(shù)，定義域為正整數(shù)集$\mathbb{N}^*$（或其有限子集），值域為實數(shù)集，對應法則為$a_n=f(n)$。1.2數(shù)列的表示方法通項公式：用$n$表示$a_n$的公式，如$a_n=2n-1$（等差數(shù)列）、$a_n=2^{n-1}$（等比數(shù)列）。遞推公式：用前一項（或前幾項）表示后一項的公式，如$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（遞推數(shù)列）。列表法：列出前幾項，如$1,3,5,7,\dots$。圖像法：以$(n,a_n)$為坐標的離散點，如等差數(shù)列的圖像是直線上的點。1.3數(shù)列的分類按項數(shù)：有限數(shù)列（如$1,2,3,4$）、無限數(shù)列（如所有正整數(shù)構成的數(shù)列）。按單調(diào)性：遞增數(shù)列（$a_{n+1}>a_n$，如$a_n=n$）、遞減數(shù)列（$a_{n+1}<a_n$，如$a_n=\frac{1}{n}$）、常數(shù)列（$a_{n+1}=a_n$，如$a_n=5$）、擺動數(shù)列（如$a_n=(-1)^n$）。按有界性：有界數(shù)列（存在$M>0$，使得$|a_n|\leqM$，如$a_n=\sinn$）、無界數(shù)列（如$a_n=n$）。1.4易錯點提醒數(shù)列的“順序”是關鍵，相同數(shù)字不同順序是不同數(shù)列（如$1,2$與$2,1$）。通項公式不唯一（如$a_n=\sin\frac{\pi}{2}n$與$a_n=1$（$n$為奇數(shù)）、$0$（$n$為偶數(shù)）表示同一數(shù)列）。遞推公式需明確初始條件（如僅給$a_{n+1}=2a_n$無法確定數(shù)列，需加$a_1=1$）。二、等差數(shù)列2.1定義從第2項起，每一項與前一項的差為常數(shù)的數(shù)列，記作$\{a_n\}$，常數(shù)稱為公差，記為$d$（$d\in\mathbb{R}$）。符號表示：$a_{n+1}-a_n=d$（$n\in\mathbb{N}^*$，$d$為常數(shù)）。2.2通項公式基本形式：$a_n=a_1+(n-1)d$（$a_1$為首項，$d$為公差）。推廣形式：$a_n=a_m+(n-m)d$（$m,n\in\mathbb{N}^*$）。注：通項公式是關于$n$的一次函數(shù)（$d\neq0$），斜率為$d$，截距為$a_1-d$。2.3前$n$項和公式基本形式：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$（倒序相加法推導）。展開形式：$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$（代入$a_n=a_1+(n-1)d$得）。注：前$n$項和公式是關于$n$的二次函數(shù)（$d\neq0$），形式為$S_n=An^2+Bn$（無常數(shù)項），其中$A=\fractfphblf{2}$，$B=a_1-\fracz7lh1pz{2}$。2.4性質(zhì)等差中項：若$a,b,c$成等差數(shù)列，則$b=\frac{a+c}{2}$（$b$為$a,c$的等差中項）。下標和性質(zhì)：若$m+n=p+q$（$m,n,p,q\in\mathbb{N}^*$），則$a_m+a_n=a_p+a_q$。特例：$m+n=2k$時，$a_m+a_n=2a_k$（$a_k$為$a_m,a_n$的等差中項）。前$n$項和性質(zhì)：（1）$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},\dots$成等差數(shù)列，公差為$n^2d$。（2）若項數(shù)為$2n$，則$S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$，且$S_{偶}-S_{奇}=nd$；若項數(shù)為$2n-1$，則$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$，且$S_{奇}-S_{偶}=a_n$。2.5判定方法定義法：$a_{n+1}-a_n=d$（常數(shù)）$\Leftrightarrow$$\{a_n\}$是等差數(shù)列。等差中項法：$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$（$n\in\mathbb{N}^*$）$\Leftrightarrow$$\{a_n\}$是等差數(shù)列。通項公式法：$a_n=kn+b$（$k,b$為常數(shù)）$\Leftrightarrow$$\{a_n\}$是等差數(shù)列（$k=d$，$b=a_1-d$）。前$n$項和公式法：$S_n=An^2+Bn$（$A,B$為常數(shù)，無常數(shù)項）$\Leftrightarrow$$\{a_n\}$是等差數(shù)列（$A=\fracf5t3df5{2}$，$B=a_1-\fraczf1v1lf{2}$）。2.6前$n$項和的最值問題條件：若$d>0$，數(shù)列遞增，前$n$項和有最小值；若$d<0$，數(shù)列遞減，前$n$項和有最大值；$d=0$，常數(shù)列，無最值。求法：（1）二次函數(shù)法：將$S_n=An^2+Bn$視為二次函數(shù)，求頂點橫坐標對應的整數(shù)$n$。（2）通項法：求滿足$a_n\geq0$且$a_{n+1}\leq0$（最大值）或$a_n\leq0$且$a_{n+1}\geq0$（最小值）的$n$。2.7典型例題例1：已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_3=5$，$a_7=13$，求$a_{10}$和$S_{10}$。解：由通項公式得$\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+6d=13\end{cases}$，解得$a_1=1$，$d=2$。故$a_{10}=1+9\times2=19$，$S_{10}=\frac{10\times(1+19)}{2}=100$。例2：等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=25$，$S_{10}=100$，求$S_{15}$。解：由性質(zhì)，$S_5,S_{10}-S_5,S_{15}-S_{10}$成等差數(shù)列，即$25,75,S_{15}-100$成等差數(shù)列。故$2\times75=25+(S_{15}-100)$，解得$S_{15}=225$。三、等比數(shù)列3.1定義從第2項起，每一項與前一項的比為常數(shù)的數(shù)列，記作$\{a_n\}$，常數(shù)稱為公比，記為$q$（$q\neq0$）。符號表示：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（$n\in\mathbb{N}^*$，$q$為常數(shù)且$q\neq0$）。3.2通項公式基本形式：$a_n=a_1q^{n-1}$（$a_1$為首項，$q$為公比，$a_1\neq0$，$q\neq0$）。推廣形式：$a_n=a_mq^{n-m}$（$m,n\in\mathbb{N}^*$）。注：通項公式是關于$n$的指數(shù)函數(shù)（$q>0$且$q\neq1$），形式為$a_n=Aq^n$（$A=\frac{a_1}{q}$）。3.3前$n$項和公式當$q=1$時，$S_n=na_1$（常數(shù)列求和）。當$q\neq1$時，$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$（錯位相減法推導）。注：前$n$項和公式需嚴格討論$q=1$的情況，避免遺漏。3.4性質(zhì)等比中項：若$a,b,c$成等比數(shù)列，則$b^2=ac$（$b$為$a,c$的等比中項，$a,b,c\neq0$）。下標和性質(zhì)：若$m+n=p+q$（$m,n,p,q\in\mathbb{N}^*$），則$a_ma_n=a_pa_q$。特例：$m+n=2k$時，$a_ma_n=a_k^2$（$a_k$為$a_m,a_n$的等比中項）。前$n$項和性質(zhì)：（1）$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},\dots$成等比數(shù)列（$q\neq-1$且$S_n\neq0$），公比為$q^n$。（2）若項數(shù)為$2n$，則$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$（$S_{偶}$為偶數(shù)項和，$S_{奇}$為奇數(shù)項和）。3.5判定方法定義法：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（常數(shù)且$q\neq0$）$\Leftrightarrow$$\{a_n\}$是等比數(shù)列。等比中項法：$a_{n+1}^2=a_na_{n+2}$（$n\in\mathbb{N}^*$，$a_n\neq0$）$\Leftrightarrow$$\{a_n\}$是等比數(shù)列。通項公式法：$a_n=Aq^n$（$A\neq0$，$q\neq0$且$q\neq1$）$\Leftrightarrow$$\{a_n\}$是等比數(shù)列（$A=\frac{a_1}{q}$）。前$n$項和公式法：$S_n=A(1-q^n)$（$A\neq0$，$q\neq0$且$q\neq1$）$\Leftrightarrow$$\{a_n\}$是等比數(shù)列（$A=\frac{a_1}{1-q}$）。3.6易錯點提醒等比數(shù)列的首項和公比均不能為0（$a_1\neq0$，$q\neq0$）。求和時必須討論$q=1$的情況（如$S_n=2^n-1$是等比數(shù)列和，$q=2$；$S_n=3n$是等差數(shù)列和，$q=1$）。等比中項的平方等于前后項乘積，但前后項必須同號（如$-2,4,-8$成等比數(shù)列，等比中項為$\pm4$，但數(shù)列中實際為4）。3.7典型例題例3：已知等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_2=2$，$a_5=16$，求$a_8$和$S_8$。解：由通項公式得$q^3=\frac{a_5}{a_2}=8$，故$q=2$，$a_1=\frac{a_2}{q}=1$。故$a_8=1\times2^7=128$，$S_8=\frac{1\times(1-2^8)}{1-2}=255$。例4：等比數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=7$，$S_6=63$，求$S_9$。解：由性質(zhì)（$q\neq-1$，因$S_3=7\neq0$），$S_3,S_6-S_3,S_9-S_6$成等比數(shù)列，即$7,56,S_9-63$成等比數(shù)列。故$56^2=7\times(S_9-63)$，解得$S_9=511$。四、數(shù)列通項公式的求解4.1觀察法（猜想法）通過觀察數(shù)列前幾項的規(guī)律，猜想通項公式，再用數(shù)學歸納法證明（可選）。例：數(shù)列$1,3,6,10,\dots$的前幾項為三角數(shù)，猜想$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$。4.2累加法（適用于$a_{n+1}-a_n=f(n)$）若遞推式為$a_{n+1}-a_n=f(n)$（$f(n)$可求和），則累加得：$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$$例5：已知$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，求$a_n$。解：累加得$a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}2k=1+2\times\frac{(n-1)n}{2}=n^2-n+1$。4.3累乘法（適用于$\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$）若遞推式為$\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$（$f(n)$可求積），則累乘得：$$a_n=a_1\cdot\prod_{k=1}^{n-1}f(k)$$例6：已知$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_n$，求$a_n$。解：累乘得$a_n=1\cdot\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}=1\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\dots\cdot\frac{n}{n-1}=n$。4.4構造法（轉化為等差/等比數(shù)列）4.4.1類型1：$a_{n+1}=pa_n+q$（$p\neq1$，$q\neq0$）構造方法：設$a_{n+1}+k=p(a_n+k)$，展開得$a_{n+1}=pa_n+(p-1)k$，與原式比較得$k=\frac{q}{p-1}$。故$\{a_n+k\}$是首項為$a_1+k$、公比為$p$的等比數(shù)列，進而求$a_n$。例7：已知$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求$a_n$。解：設$a_{n+1}+k=2(a_n+k)$，則$k=1$，故$\{a_n+1\}$是首項為$2$、公比為$2$的等比數(shù)列。故$a_n+1=2\times2^{n-1}=2^n$，即$a_n=2^n-1$。4.4.2類型2：$a_{n+1}=pa_n+q^n$（$p\neqq$，$p,q\neq0$）構造方法：兩邊除以$q^{n+1}$，得$\frac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\frac{p}{q}\cdot\frac{a_n}{q^n}+\frac{1}{q}$，令$b_n=\frac{a_n}{q^n}$，則轉化為類型1：$b_{n+1}=\frac{p}{q}b_n+\frac{1}{q}$。例8：已知$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$，求$a_n$。解：兩邊除以$3^{n+1}$，得$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}$，令$b_n=\frac{a_n}{3^n}$，則$b_{n+1}=\frac{2}{3}b_n+\frac{1}{3}$。設$b_{n+1}+k=\frac{2}{3}(b_n+k)$，得$k=-1$，故$\{b_n-1\}$是首項為$b_1-1=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$、公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列。故$b_n-1=-\frac{2}{3}\times(\frac{2}{3})^{n-1}=-(\frac{2}{3})^n$，即$b_n=1-(\frac{2}{3})^n$，故$a_n=3^n-2^n$。4.4.3類型3：$a_{n+1}=pa_n+qn+r$（$p\neq1$，$q\neq0$）構造方法：設$a_{n+1}+an+b=p(a_n+a(n-1)+b)$，展開后與原式比較系數(shù)，求$a,b$，轉化為等比數(shù)列。4.5倒數(shù)法（適用于$a_{n+1}=\frac{pa_n}{qa_n+r}$）構造方法：兩邊取倒數(shù)，得$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{r}{p}\cdot\frac{1}{a_n}+\frac{q}{p}$，轉化為類型1。例9：已知$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$，求$a_n$。解：取倒數(shù)得$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a_n}$，故$\{\frac{1}{a_n}\}$是首項為$1$、公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列。故$\frac{1}{a_n}=1+(n-1)\times\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}$，即$a_n=\frac{2}{n+1}$。4.6對數(shù)法（適用于$a_{n+1}=pa_n^k$，$p>0$，$a_n>0$）構造方法：兩邊取對數(shù)（常用自然對數(shù)或常用對數(shù)），得$\lna_{n+1}=k\lna_n+\lnp$，轉化為類型1。例10：已知$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n^2$，求$a_n$。解：取自然對數(shù)得$\lna_{n+1}=2\lna_n+\ln3$，令$b_n=\lna_n$，則$b_{n+1}=2b_n+\ln3$。設$b_{n+1}+k=2(b_n+k)$，得$k=\ln3$，故$\{b_n+\ln3\}$是首項為$\ln2+\ln3=\ln6$、公比為$2$的等比數(shù)列。故$b_n+\ln3=\ln6\times2^{n-1}=\ln6^{2^{n-1}}$，即$b_n=\ln(6^{2^{n-1}}/3)=\ln(2^{2^{n-1}}\times3^{2^{n-1}-1})$，故$a_n=2^{2^{n-1}}\times3^{2^{n-1}-1}$。4.7利用$S_n$與$a_n$的關系公式：$a_n=\begin{cases}S_1,&n=1\\S_n-S_{n-1},&n\geq2\end{cases}$注：需驗證$n=1$時是否滿足$n\geq2$的表達式，若滿足則合并，否則分開寫。例11：已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=n^2+2n$，求$a_n$。解：當$n=1$時，$a_1=S_1=3$；當$n\geq2$時，$a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1$。驗證$n=1$時，$2\times1+1=3$，故$a_n=2n+1$（$n\in\mathbb{N}^*$）。五、數(shù)列前$n$項和的求解5.1公式法直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式，或常見數(shù)列的求和公式（如平方和：$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$；立方和：$\sum_{k=1}^nk^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2$）。5.2倒序相加法適用類型：數(shù)列滿足$a_k+a_{n+1-k}=C$（常數(shù)），如等差數(shù)列求和。例12：求$S_n=1+2+3+\dots+n$。解：倒序得$S_n=n+(n-1)+\dots+1$，相加得$2S_n=n(n+1)$，故$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$。5.3錯位相減法適用類型：數(shù)列形如$\{a_nb_n\}$，其中$\{a_n\}$是等差數(shù)列，$\{b_n\}$是等比數(shù)列（公比$q\neq1$）。步驟：1.寫出$S_n=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n$；2.兩邊乘公比$q$，得$qS_n=a_1b_2+a_2b_3+\dots+a_nb_{n+1}$；3.兩式相減，得$(1-q)S_n=a_1b_1+(a_2-a_1)b_2+\dots+(a_n-a_{n-1})b_n-a_nb_{n+1}$；4.化簡右邊（中間項為等比數(shù)列和），求$S_n$。例13：求$S_n=1\times2+2\times2^2+3\times2^3+\dots+n\times2^n$。解：$S_n=1\times2+2\times2^2+\dots+n\times2^n$，$2S_n=1\times2^2+2\times2^3+\dots+n\times2^{n+1}$，相減得$-S_n=2+2^2+2^3+\dots+2^n-n\times2^{n+1}=\frac{2(1-2^n)}{1-2}-n\times2^{n+1}=(1-n)2^{n+1}-2$，故$S_n=(n-1)2^{n+1}+2$。5.4裂項相消法適用類型：數(shù)列形如$\{\frac{1}{a_na_{n+1}}\}$（$a_n$為等差數(shù)列，公差$d\neq0$），或類似分式數(shù)列。常見裂項形式：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$；$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；$\frac{n}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$。例14：求$S_n=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$。解：裂項得$S_n=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。5.5分組求和法適用類型：數(shù)列形如$\{a_n+b_n\}$，其中$\{a_n\}$、$\{b_n\}$是易求和的數(shù)列（如等差、等比數(shù)列）。例15：求$S_n=(1+2)+(3+4)+\dots+(2n-1+2n)$。解：分組得$S_n=(1+3+\dots+2n-1)+(2+4+\dots+2n)=\frac{n(1+2n-1)}{2}+\frac{n(2+2n)}{2}=n^2+n(n+1)=2n^2+n$。5.6并項求和法適用類型：數(shù)列中相鄰項可以合并為常數(shù)或易求和的項（如擺動數(shù)列）。例16：求$S_n=1-2+3-4+\dots+(-1)^{n+1}n$。解：當$n$為偶數(shù)時，$S_n=(1-2)+(3-4)+\dots+(n-1-n)=-\frac{n}{2}$；當$n$為奇數(shù)時，$S_n=(1-2)+\dots+(n-2-n+1)+n=-\frac{n-1}{2}+n=\frac{n+1}{2}$；故$S_n=(-1)^{n+1}\frac{n+1}{2}$（或?qū)懗?\frac{1-(-1)^n(2n+1)}{4}$）。六、數(shù)列的綜合應用6.1數(shù)列與函數(shù)數(shù)列是特殊的函數(shù)，可利用函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、最值）研究數(shù)列。例17：已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=n+\frac{9}{n}$，求其最小值。解：令$f(x)=x+\frac{9}{x}$（$x>0$），則$f(x)$在$(0,3]$遞減，在$[3,+\infty)$遞增，故最小值在$x=3$時取得，$f(3)=6$。故數(shù)列$\{a_n\}$的最小值為$a_3=6$。6.2數(shù)列與不等式常見題型：證明數(shù)列和的不等式（如$S_n<M$，$M$為常數(shù)），或比較數(shù)列項的大小。方法：放縮法（裂項放縮、等比放縮）、數(shù)學歸納法。例18：證明$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{n^2}<2$（$n\in\mathbb{N}^*$）。證明：$\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$（$k\geq2$），故$S_n=1+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{n^2}<1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=2-\frac{1}{n}<2$。6.3數(shù)列與實際問題常見類型：增長率問題：如人口增長、產(chǎn)值增長，對應等比數(shù)列（$a_n=a_1(1+r)^{n-1}$，$r$為增長率）。分期付款問題：如貸款還款，對應等比數(shù)列和（$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，$q=1+r$，$r$為月利率）。遞推問題：如斐波那契數(shù)列（$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$），對應遞推數(shù)列。例19：某公司今年產(chǎn)值為100萬元，計劃今后每年產(chǎn)值增長10%，問5年后產(chǎn)值為多少？（精確到1萬元）解：產(chǎn)值構成等比數(shù)列，$a_1=100$，$q=1.1$，$n=5$，故$a_5=100\times1.1^4\approx146$（萬元）。（注：$n$年后對應第$n+1$項？需明確時間節(jié)點，本題“今后每年”指從明年開始，故5年后為第6項？需根據(jù)題意調(diào)整，此處以“今年為第1年，5年后為第6年”為例，$a_6=100\times1.1^5\approx161$萬元，需注意題目的時間描述。）七、易錯點總結1.等差/等比數(shù)列的基本量：等差數(shù)列的公差$d$可正可負可零，等比數(shù)列的公比$q$不能為零，首項不能為零。2.求和公式的討論：等比數(shù)列求和必須討論$q=1$的情況，否則會出錯。3.通項與前$n$項和的關系：用$S_n-S_{n-1}$求$a_n$時，必須驗證$n=1$的情況，避免漏項。4.裂項相消的項數(shù)：裂項后中間項