專題01集合【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或說(shuō)明：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無(wú)序性：組成集合的元素間沒(méi)有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運(yùn)算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合的補(bǔ)集，記作，即．4、集合的運(yùn)算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．【方法技巧與總結(jié)】（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【題型歸納目錄】題型一：集合的表示：列舉法、描述法題型二：集合元素的三大特征題型三：集合與集合之間的關(guān)系題型四：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算題型五：集合與排列組合的密切結(jié)合題型六：集合的創(chuàng)新定義【題型一】集合的表示：列舉法、描述法【典例例題】例1．（2022·安徽·蕪湖一中三模（理））已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】1.列舉法，注意元素互異性和無(wú)序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀、一目了然.2.描述法，注意代表元素.例2．（2022·山東聊城·二模）已知集合，，則集合中元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例3．（2022·安徽·壽縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)集合，，則集合中元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．無(wú)數(shù)個(gè)例4．（2022·湖南·岳陽(yáng)一中一模）定義集合的一種運(yùn)算：，若，，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知集合，，，則C中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù)，定義，已知集合，，且，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合S，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【題型二】集合元素的三大特征【典例例題】例7．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則集合（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】1.研究集合問(wèn)題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無(wú)序性。2.研究?jī)蓚€(gè)或者多個(gè)集合的關(guān)系時(shí)，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．8 C．5 D．4例9．（2022··模擬預(yù)測(cè)（理））已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例10．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，，則集合元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，則集合元素的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)例12．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為_(kāi)_____．【題型三】集合與集合之間的關(guān)系【典例例題】例13．（2022·江蘇南京·高三開(kāi)學(xué)考試）已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A． B．8 C． D．【方法技巧與總結(jié)】1.注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.2.判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：（1）定義法進(jìn)行判斷（2）數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷例14．（2022·四川攀枝花·三模（理））設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）．A． B．C． D．例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若集合，實(shí)數(shù)a滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．例16．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知，，若集合，則的值為（

）A． B． C． D．（多選題）例17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，若集合A有且僅有2個(gè)子集，則a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1例18．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)集合A={}，B={x}，且AB，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________(寫(xiě)成集合形式).【題型四】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算【典例例題】（多選題）例19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?均為實(shí)數(shù)集的子集，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】1.注意交集與并集之間的關(guān)系2.全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個(gè)概念例20．（2022·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例21．（2022·天津和平·二模）已知全集為，集合，集合，則（

）A． B．C． D．例22．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）已知集合，全集，則（

）A． B． C． D．例23．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）如圖，已知集合，，，，，則圖中的陰影部分表示的集合為（

）A．， B．，， C．， D．，，（多選題）例24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．C． D．例25．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知集合，則_______________例26．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知全集，集合，，則下列Venn圖中陰影部分的集合為_(kāi)__________．【題型五】集合與排列組合的密切結(jié)合【典例例題】例27．（2022·浙江溫州·三模）設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法例28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)A是集合的子集，只含有3個(gè)元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集A的個(gè)數(shù)為（

）A．32 B．56 C．72 D．84例29．（2022·安徽蚌埠·三模（理））設(shè)集合，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．16 C．32 D．64例30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)），若表示集合中元素的個(gè)數(shù)，則_______，則_______．例31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知有限集合，定義集合中的元素的個(gè)數(shù)為集合的“容量”，記為．若集合，則______；若集合，且，則正整數(shù)的值是______．【題型六】集合的創(chuàng)新定義【典例例題】例32．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中）設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果任意的，有，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若、是Z的兩個(gè)沒(méi)有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同時(shí)，任意的，有，則下列結(jié)論恒成立的是(

)A．、中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的B．、中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的C．、中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的D．、中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的【方法技巧與總結(jié)】1.集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識(shí)，一般情況下，它所涉及到的知識(shí)和方法并不難，難在轉(zhuǎn)化.2.集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計(jì)算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)為了有助于理解，還可以用類比的方法進(jìn)行理解。例33．（2022·上海市松江二中高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)集合中，至少有兩個(gè)元素，且滿足：①對(duì)于任意，若，都有；②對(duì)于任意，若，則.若有4個(gè)元素，則有___________個(gè)元素.例34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即.給出下列四個(gè)結(jié)論.①；②；③；④“整數(shù)屬于同一“類””的充要條件是“”.其中正確的結(jié)論是__________（填所有正確的結(jié)論的序號(hào)）.例35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個(gè)集合有公共元素，且互不為對(duì)方子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“蠶食”，對(duì)于集合，，若這兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為_(kāi)____.例36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)集．若存在，使得對(duì)任意都有，則稱A為完美集，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得為完美集；②存在，使得為完美集；③如果，那么一定不為完美集；④使得A為完美集的所有的值之和為-2．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，則（

）A． B． C． D．2．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．3．（2022·江蘇鹽城·三模）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．4．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．5．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．96．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)全集，，，則（

）A． B． C． D．7．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·四川攀枝花·三模（理））設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）．A． B．C． D．二、多選題9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，滿足，，全集，則下列說(shuō)法中可能正確的有（

）A．沒(méi)有最大元素，有一個(gè)最小元素 B．有一個(gè)最大元素，沒(méi)有最小元素C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素 D．沒(méi)有最大元素，也沒(méi)有最小元素10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，已知集合，，則（

）A． B．C． D．11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A．0 B． C． D．212．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)任意A，，記，則稱為集合A，B的對(duì)稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（

）A．若A，且，則B．若A，且，則C．若A，且，則D．存在A，，使得三、填空題13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，則______.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來(lái)精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開(kāi)國(guó)大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開(kāi)國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開(kāi)國(guó)大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為_(kāi)_______.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即.給出下列四個(gè)結(jié)論.①；②；③；④“整數(shù)屬于同一“類””的充要條件是“”.其中正確的結(jié)論是__________（填所有正確的結(jié)論的序號(hào)）.四、解答題17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，.(1)若，求圖中陰影部分；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，.(1)若，求；(2)是的___________條件，若實(shí)數(shù)的值存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由