1本章主要內(nèi)容時域離散信號的基本概念及典型序列時域離散系統(tǒng)的定義及其性質(zhì)模擬信號數(shù)字處理方法確定性信號的相關(guān)函數(shù)線性時不變系統(tǒng)的輸入/輸出

δ(n)求解法時域離散系統(tǒng)的輸入輸出法：線性常系數(shù)差分方程21.1引言信號的分類系統(tǒng)的分類3信號的分類時域連續(xù)信號（模擬信號）：信號的自變量和函數(shù)值都取連續(xù)值，例如語言信號、溫度信號等；時域離散信號：如果自變量取離散值，而函數(shù)值取連續(xù)值，這種信號通常來源于對模擬信號的采樣；數(shù)字信號：信號的自變量和函數(shù)值均取離散值。4

采樣間隔T=0.005s進行等間隔采樣，得時域離散信號x(n)，

={…

，0.0，0.6364，0.9，0.6364，0.0，-0.6364，-0.9，-0.6364，…}顯然,時域離散信號是時間離散化的模擬信號。如果用四位二進制數(shù)表示該時域離散信號，得到相應(yīng)的數(shù)字信號x［n］={…，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，…

}數(shù)字信號是幅度、時間均離散化的模擬信號，或者說是幅度離散化的時域離散信號。

模擬信號5系統(tǒng)的分類模擬系統(tǒng)時域離散系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)模擬網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的混合系統(tǒng)61.2時域離散信號—序列序列的定義及表示序列的基本運算常用的典型序列序列的周期性用單位脈沖序列表示任意序列71.2.1序列的定義及表示序列的定義數(shù)字序列：離散時間信號{-2,5,-6,8,3,-7}一般只在均勻間隔的離散時間nT上給出數(shù)值{…,x(-2T),X(-1T),X(0),X(T),X(2T),…}序列的表示用集合符號表示用公式表示用圖形表示8序列表示x(n)={x(n)}，-∞＜n＜+∞n代表nTnT指均勻間隔的離散時間點T采樣時間間隔n為非整數(shù)時沒有定義，不能認為此時x(n)的值是零

用集合符號表示x(n)={……,x(-2),x(-1),x(0),x(1),x(2),….}用公式表示9

序列表示用圖形表示101.2.1常用的典型序列單位脈沖序列單位階躍序列矩形序列實指數(shù)序列正弦序列復(fù)指數(shù)序列周期序列任意序列表示11單位脈沖序列δ(n)只在n=0時取確定值1，其它均為零δ(n)類似于δ(t)，注意二者的定義與區(qū)別δ(n-m)只有在n=m時取確定值1，而其余點取值均為零

12單位階躍序列u(n)類似于u(t)u(t)在t=0時常不定義u(n)在n=0時為u(0)=1

δ(n)和u(n)的關(guān)系：δ(n)=u(n)-u(n-1)

13矩形序列

N為矩形序列的長度

和u(n)、δ(n)的關(guān)系

：14實指數(shù)序列a為實數(shù)當(dāng)|a|＜1時序列收斂當(dāng)|a|＞1時序列發(fā)散

15正弦序列

A為幅度ω為數(shù)字域頻率φ為起始相位

設(shè)x(n)由x(t)=sinΩt取樣得到（A、φ與頻率無關(guān)

不考慮）x(n)=Asin(ωn+φ)

ω=ΩT=Ω/fs,ω與Ω線性關(guān)系,ω的單位為rad16復(fù)指數(shù)序列

ω為數(shù)字域頻率用實部與虛部表示

用極坐標表示

只考慮頻率令σ=0，序列頻率ω呈現(xiàn)以2π為周期的周期性后續(xù)研究中頻率域只考慮或就夠了17

周期序列

對于序列x(n)，如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，對任意整數(shù)m滿足x(n)=x(n+mN)則序列x(n)是周期序列，最小周期為N。以正弦序列為例討論周期性設(shè)x(n)=Asin(ωn+φ)

則有

x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φ)

若滿足條件ωN=2kπ，則x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φ)=x(n)18周期序列N、k為整數(shù)，k的取值滿足條件，且保證N最小正整數(shù)。其周期為

2π/ω為整數(shù)時，取k=1，保證為最小正整數(shù)。此時為周期序列，周期為2π/ω。

例1.4

序列，因為2π/ω=8，所以是一個周期序列，其周期N=8。

19周期序列2π/ω為有理數(shù)而非整數(shù)時，仍然是周期序列，周期大于2π/ω。例1.5

序列，2π/ω=8/3是有理數(shù)，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

2π/ω為無理數(shù)時，任何k都不能使N為正整數(shù)，這時正弦序列不是周期序列。例序列指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況相同。

20

用單位脈沖序列表示任意序列

任何序列都可以用單位脈沖序列的移位加權(quán)和來表示，即x(n)可看成是x(n)和δ(n)的卷積和，式中例1.6

211.2.2序列的基本運算和積移位標乘翻轉(zhuǎn)累加差分時間尺度變換序列能量卷積和22基本運算—序列的和

設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)+y(n)

表示兩個序列的和，定義為同序號的序列值逐項對應(yīng)相加。23例：序列的和例：

設(shè)序列計算序列的和x(n)+y(n)。解：24例：序列求和圖示25基本運算—序列的積

設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)?y(n)

表示兩個序列的積，定義為同序號的序列值逐項對應(yīng)相乘。26例：序列的積例：

設(shè)序列計算序列的和x(n)?y(n)。解：27例：序列求積圖示x(n)28基本運算—序列的移位

設(shè)序列為x(n)，則序列y(n)=x(n-m)表示將序列x(n)進行移位。

m為正時x(n-m)：x(n)逐項依次延時(右移)m位x(n+m)：x(n)逐項依次超前(左移)m位

m為負時，則相反。29例：序列的移位例：

設(shè)序列計算序列的和x(n+1)。解：30例：序列移位圖示x(n)31基本運算—序列的標乘

設(shè)序列為x(n)，a為常數(shù)(a≠0)，則序列y(n)=ax(n)

表示將序列x(n)的標乘，定義為各序列值均乘以a，使新序列的幅度為原序列的a倍。32例：序列的標乘例：

設(shè)序列計算序列4x(n)。解：33基本運算—序列的翻轉(zhuǎn)

設(shè)序列為x(n)，則序列y(n)=x(-n)

表示以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。34例：序列的翻轉(zhuǎn)例：

設(shè)序列計算序列x(-n)。解：35基本運算—序列的累加

設(shè)序列為x(n)，則序列

定義為對x(n)的累加，表示將n以前的所有x(n)值求和。36基本運算—序列的差分前向差分：將序列先進行左移，再相減Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：將序列先進行右移，再相減

▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此，容易得出▽x(n)=Δx(n-1)37基本運算—時間尺度(比例)變換

設(shè)序列為x(n)，m為正整數(shù)，則序列

抽取序列

y(n)=x(mn)

x(mn)和x(n/m)定義為對x(n)的時間尺度變換。

插值序列

38插值序列x(n/m)：對x(n)進行零值內(nèi)插運算表示在原序列x(n)相鄰兩點之間插入m-1個零值點

保留

x(0)39基本運算—序列的能量

設(shè)序列為x(n)，則序列

定義為序列的能量，表示序列各取樣值的平方之和；

若為復(fù)序列，取模值后再求平方和。401.3時域離散系統(tǒng)

時域離散系統(tǒng)的定義及表示

線性時不變系統(tǒng)

線性時不變系統(tǒng)h(n)與I/O關(guān)系線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)

系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

41時域離散系統(tǒng)的定義及表示時域離散系統(tǒng)定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的惟一變換或運算。以T[·]表示這種運算y(n)=T[x(n)]對變換T[·]加以不同的約束條件，所定義的系統(tǒng)就具有不同的特性和功能。線性時不變系統(tǒng):最重要、最常用，可表征許多物理過程。421.3.1、1.3.2線性時不變系統(tǒng)

線性系統(tǒng)滿足疊加原理疊加原理包含可加性和齊次性兩方面性質(zhì)

時不變系統(tǒng)系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號施加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)運算關(guān)系在整個運算過程中不隨時間而變化

線性時不變系統(tǒng)

既滿足疊加原理，又滿足時不變性的系統(tǒng)

43線性系統(tǒng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入序列與輸出分別為可加性:如果系統(tǒng)的輸入之和與輸出之和滿足齊次性(或比例性):設(shè)a為常數(shù)，系統(tǒng)的輸入增大a倍，輸出也增大a倍線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)（不滿足可加性與齊次性）44例：證明一個線性系統(tǒng)注意：必須證明系統(tǒng)同時滿足可加性和齊次性，且信號及比例常數(shù)都可以是復(fù)數(shù)。例：

試分析下列系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng)

(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M為正整數(shù)。不滿足疊加原理，非線性系統(tǒng)

滿足疊加原理，線性系統(tǒng)

45時不變系統(tǒng)

輸入序列x(n)移動任意m位后，輸出序列y(n)也移動m位，數(shù)值卻保持不變。

m為任意常整數(shù)

時不變系統(tǒng)也稱為移不變系統(tǒng)

46例：證明一個時不變系統(tǒng)例：

試分析下列系統(tǒng)的時不變性

(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M為正整數(shù)。二者相等，具有時不變性

時變系統(tǒng)

471.3.3線性時不變系統(tǒng)h(n)與I/O關(guān)系

單位脈沖響應(yīng)(單位取樣響應(yīng))h(n)=T[δ(n)]線性時不變系統(tǒng)輸入為δ(n)時的零狀態(tài)響應(yīng)線性時不變系統(tǒng)特性都可以用它的單位脈沖響應(yīng)h(n)來表征已知h(n)

可得到線性時不變系統(tǒng)對任意輸入的輸出

時域離散系統(tǒng)：

完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)48I/O關(guān)系推導(dǎo)

用δ(n)表示x(n)系統(tǒng)輸出

疊加原理

時不變性

I/O關(guān)系:

線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和單位脈沖響應(yīng)h(n)的卷積。

49

線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)

交換律結(jié)合律分配律可以推廣到多個系統(tǒng)的情況，由卷積和的定義可以很容易加以證明。

50

序列的卷積和

設(shè)序列為x(n)和z(n)，則序列

定義為x(n)和z(n)的卷積和。卷積和又稱為離散卷積或線性卷積，是很重要的公式。

線性時不變系統(tǒng)的I/O關(guān)系：

就是序列卷積和的運算！51卷積和計算的四個步驟(1)翻轉(zhuǎn)：x(m)，x(m)→x(-m)(2)移位：z(m)→

z(n-m)n為正數(shù)時，右移n位

n為負數(shù)時，左移n位

(3)相乘：x(m)z(n-m),（m值相同）

(4)相加：y(n)=∑x(m)z(n-m)52對應(yīng)點相乘！例：卷積和計算例

設(shè)序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：

n＜0時，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)=0。

0≤n≤4時，對應(yīng)點相乘！53例：卷積和計算

4＜n≤6時，6＜n≤10時，n＞10時，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)=0。

54

例：已知x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。解計算卷積的基本運算是翻轉(zhuǎn)、移位、相乘和相加。計算方法：圖解法、解析法線性時不變系統(tǒng)的I/O求解55例1.3線性卷積首先將h(n)用h(m)表示，并將波形翻轉(zhuǎn)，得到h(－m)，然后將h(－m)移位n，得到h(n－m)，n>0,序列右移；n<0，序列左移。如n=1，得到h(1-m)，接著將h(m)和h(n－m)相乘后，再相加,得到y(tǒng)(n)的一個值。對所有的n重復(fù)這種計算,最后得到卷積結(jié)果，如圖1.3.2(f)所示,y(n)表達式為y(n)={1,2,3,4,3,2,1}

圖解法56表1.3圖解法（列表法）

57

例：設(shè)x(n)=anu

(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解

關(guān)鍵：根據(jù)求和號內(nèi)的兩個信號乘積的非零值區(qū)間確定求和的上、下限。因為n≥m時，u(n-m)才能取非零值；0≤m≤3時，R4(m)取非零值；所以，求和區(qū)間中m要同時滿足下面兩式：

m≤n

0≤m≤3這樣求和限與n有關(guān)系，必須將n進行分段然后計算。解析法58n<0時，y(n)=00≤n≤3時，乘積的非零值范圍為0≤m≤n，因此n≥4時，乘積的非零區(qū)間為0≤m≤3，因此寫成統(tǒng)一表達式591.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性一般因果系統(tǒng)定義

系統(tǒng)某時刻的輸出y(n)只取決于此時刻x(n)和以前的輸入x(n-1)，x(n-2)，…，而和此時刻以后的輸入x(n+1)，x(n+2)，…無關(guān)。先因后果

因果系統(tǒng)的響應(yīng)不會出現(xiàn)于外加輸入之前。非因果系統(tǒng)

當(dāng)前的輸出還取決于未來的輸入，不符合因果關(guān)系。60因果性的充分必要條件

線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充要條件

h(n)=0，n＜0證明充分條件若n＜0時，h(n)=0，則m>n時，h(n)=0因而

n0時刻的輸出

可見，y(n0)只與m≤n0時的x(m)有關(guān)，因而是因果系統(tǒng)。61因果條件證明證明利用反證法證明必要條件假設(shè)因果系統(tǒng)，n＜0時h(n)≠0，則

在所設(shè)條件下，第二個求和式中至少有一項不為零，y(n)將至少和m＞n時的某一個x(n)值有關(guān)，這不符合因果性，假設(shè)不成立。62例：判斷因果系統(tǒng)例：

判斷差分系統(tǒng)的因果性。(1)前向差分系統(tǒng):y(n)=x(n+1)-x(n);(2)后向差分系統(tǒng):y(n)=x(n)-x(n-1)

。解

因為前向差分系統(tǒng)的y(n)決定于x(n+1)，故系統(tǒng)為非因果的。而后向差分系統(tǒng)定義為y(n)=x(n)-x(n-1)，顯然是因果的。63穩(wěn)定系統(tǒng)一般穩(wěn)定系統(tǒng)定義

系統(tǒng)的每個有界輸入，對應(yīng)產(chǎn)生的輸出都有界。如果輸入滿足|x(n)|≤M＜+∞(M為正常數(shù))，有輸出|y(n)|≤P＜+∞(P為正常數(shù))。

判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定只要找出一個特別的有界輸入，對應(yīng)的輸出是無界的，則該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。

判斷系統(tǒng)穩(wěn)定必須證明所有有界輸入，其輸出都是有界的。64穩(wěn)定性的充分必要條件

線性時不變系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的充要條件是其單位脈沖響應(yīng)絕對可和，即證明充分條件若式成立，對于所有n都有|x(n)|≤M，得

即輸出y(n)有界，系統(tǒng)穩(wěn)定。

65穩(wěn)定條件證明證明利用反證法證明必要條件假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，但單位脈沖響應(yīng)不絕對可和

定義一個有界輸入計算輸出，令n=0則有即y(0)無界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此假設(shè)不成立。

66例：判斷穩(wěn)定系統(tǒng)例：

判斷累加器系統(tǒng)的穩(wěn)定性解

考慮有界輸入x(n)=u(n)，累加器的輸出為

雖然n為有限值時，系統(tǒng)輸出也為有限值，但對于所有n值(包括+∞)不存在有限值P，使得(n+1)≤P＜+∞，故系統(tǒng)輸出無界。系統(tǒng)不穩(wěn)定

67例：判斷因果穩(wěn)定系統(tǒng)例：

已知線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)解

因為n＜0時，u(-n-1)=1，所以h(n)≠0，故系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。

所以|a|＞1時系統(tǒng)穩(wěn)定，|a|≤1時不穩(wěn)定。

式中a為實常數(shù)，討論其因果性和穩(wěn)定性。

收斂序列：如|a|＞1時，h(n)模值隨n加大而減小發(fā)散序列：如|a|≤1時，h(n)模值隨n加大而加大因為1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法

——線性常系數(shù)差分方程描述一個系統(tǒng)可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個黑盒子，只描述系統(tǒng)的輸出與輸入之間的關(guān)系，這種描述法被稱為輸入輸出描述法。微分方程模擬系統(tǒng)差分方程時域離散系統(tǒng)狀態(tài)變量描述法線性時不變系統(tǒng)線性常系數(shù)差分方程T[·]x(n)y(n)時域離散系統(tǒng)用方程來描述兩種不同的描述方法返回1.4.1線性常系數(shù)差分方程一個N階線性常系數(shù)差分方程用下式描述：或，a0=1式中，x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出，系數(shù)ai和bi均為常系數(shù)，且x(n-i)和y(n-i)只有次冪，也沒有相互交叉的線性相乘項，故稱為線性常系數(shù)差分方程。1.4.2線性常系數(shù)差分方程的求解已知系統(tǒng)的輸入信號和描述系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程，求解系統(tǒng)的輸出一般有三種方法：經(jīng)典解法:和求解微分方程解法類似，齊次解＋特解遞推解法：由初始值和輸入值遞推解出系統(tǒng)以后輸出值Z變換解法：適合計算機求解遞推解法：

觀察上式，如果已知輸入信號x(n)，求n時刻的輸出，需要知道輸入信號x(n)，以及n時刻以前的N個輸出信號值：y(n-1)，y(n-2)，y(n-3)，…，y(n-N)。這N個輸出信號值就構(gòu)成初始條件。可以看到，上式是一個遞推方程。如果已知輸入信號x(n)和N個初始條件，就可以求出n個時刻的輸出；如果將這公式中的n用n+1代替，就可求出n+1時刻的輸出，依此類推，可求出各個時刻的輸出。線性常系數(shù)差分方程的遞推解法72【例2.14】設(shè)系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求輸出序列y(n)。解：該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個初始條件。遞推法求差分方程

（1）設(shè)初始條件:（2）設(shè)初始條件:

731.5模擬信號數(shù)字處理方法74

1.5.1采樣定理及A/D變換式中δ(t)是單位沖激信號，在上式中只有當(dāng)t=nT時，才可能有非零值，因此寫成下式：75對進行傅里葉變換，得到式中，Ωs=2π/T，稱為采樣角頻率，單位是rad/s76理想采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率Ωs重復(fù)出現(xiàn)一次，或者說理想采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜以Ωs為周期，進行周期性延拓而成的。77圖1.5.3采樣信號的頻譜78采樣恢復(fù)79采樣恢復(fù)圖1.5.4采樣恢復(fù)80設(shè)xa(t)是帶限信號，最高頻率為Ωc，其頻譜Xa(jΩ)如圖1.5.3(a)所示。pδ(t)的頻譜Pδ(jΩ)如圖1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式，的頻譜

如圖1.5.3(c)所示，圖中原模擬信號的頻譜稱為基帶頻譜。如果滿足Ωs≥2Ωc，或者用頻率表示該式，即滿足Fs≥2fc，基帶譜與其它周期延拓形成的譜不重疊，如圖1.5.3(c)所示情況，可以用理想低通濾波器G(jΩ)從采樣信號中不失真地提取原模擬信號，如圖1.5.4所示。但如果選擇采樣頻率太低，或者說信號最高截止頻率過高，使Fs<2fc,Xa(jΩ)按照采樣頻率Fs周期延拓時，形成頻譜混疊現(xiàn)象，用圖1.5.3(d)表示。這種情況下，再用圖1.5.4所示的理想低通濾波器對Xa(t)進行濾波，得到的是失真了的模擬信號。81折疊頻率Fs/2這里需要說明的是，一般頻譜函數(shù)是復(fù)函數(shù)，相加應(yīng)是復(fù)數(shù)相加，圖1.5.3和圖1.5.4僅是示意圖。一般稱Fs/2為折疊頻率，只有當(dāng)信號最高頻率不超過Fs/2時，才不會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，否則超過Fs/2的頻譜會折疊回來而形成混疊現(xiàn)象，因此頻率混疊在Fs/2附近最嚴重。82

采樣定理（1）對連續(xù)信號進行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率Ωs為周期進行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。（2）設(shè)連續(xù)信號xa(t)屬帶限信號，最高截止頻率為Ωc，如果采樣角頻率Ωs≥2Ωc，那么讓采樣信號通過一個增益為T、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號xa(t)。否則,Ωs<2Ωc會造成采樣信號中的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無失真地恢復(fù)原連續(xù)信號。83

實際中對模擬信號進行采樣，需根據(jù)模擬信號的截止頻率，按照采樣定理的要求選擇采樣頻率，即Ωs≥2Ωc，但考慮到理想濾波器G（jΩ)不可實現(xiàn)，要有一定的過渡帶，為此可選Ωs=(3~4)Ωc。另外，可以在采樣之前加一抗混疊的低通濾波器，濾去高于Ωs/2的一些無用的高頻分量，以及濾除其它的一些雜散信號。這就是在圖1.5.1中采樣之前加預(yù)濾的原因。

84例如：模擬信號xa(t)=sin(2πft+π/8)，式中f=50Hz,選采樣頻率Fs=200Hz，將t=nT代入xa(t)中，得到采樣數(shù)據(jù)：

A/DC模/數(shù)轉(zhuǎn)換器模/數(shù)轉(zhuǎn)換器原理框圖85當(dāng)

時，得到序列x(n)如下：

x(n)={,0.382683,0.923879,－0.382683,－0.923879,}如果A/DC按照M=6進行量化編碼，即上面的采樣數(shù)據(jù)均用6位二進制碼表示，其中一位為符號位，則數(shù)字信號用表示：

={,0.01100,0.11101,1.01100,1.11101,}用十進制數(shù)表示的為

={,0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625,}顯然量化編碼以后的和原x(n)不同。這樣產(chǎn)生的誤差稱為量化誤差，這種量化誤差的影響稱為量化效應(yīng)，這部分內(nèi)容將在第9章介紹。86我們已經(jīng)知道模擬信號xa(t)經(jīng)過理想采樣，得到采樣信號,xa(t)和之間的關(guān)系用（1.5.2）式描述。如果選擇采樣頻率Fs滿足采樣定理，的頻譜沒有頻譜混疊現(xiàn)象，可用一個傳輸函數(shù)為G（jω)的理想低通濾波器不失真地將原模擬信號xa(t)恢復(fù)出來，這是一種理想恢復(fù)。下面先分析推導(dǎo)該理想低通濾波器的輸入和輸出之間的關(guān)系，以便了解理想低通濾波器是如何由采樣信號恢復(fù)原模擬信號的，然后再介紹在實際中數(shù)字信號如何轉(zhuǎn)換成模擬信號。1.5.2將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成模擬信號87由低通濾波器的傳輸函數(shù)G(jΩ）推導(dǎo)其單位沖激響應(yīng)g(t)：因為Ωs=2πFs=2π/T，因此g(t)也可以用下式表示：理想低想濾波器的輸入、輸出分別為和ya(t)，將（1.5.7）式表示的g(t)和（1.5.2）式表示的代入上式，得到：88（1.5.8）

理想恢復(fù)89由于滿足采樣定理，ya(t)=xa(t)，因此得到：（1.5.9）式中，當(dāng)n=

,－1,0,1,2,時，xa(nT)是一串離散的采樣值，而xa(t)是模擬信號，t取連續(xù)值，g(t)的波形如圖1.5.6所示。其特點是:t=0時，g(0)=1;t=nT(n≠0)時，g(t)=0。在（1.5.9）式中，g(t)保證了在各個采樣點上，即t=nT時，恢復(fù)的xa(t)等于原采樣值，而在采樣點之間，則是各采樣值乘以g(t－nT)的波形伸展疊加而成的。90

圖1.5.6內(nèi)插函數(shù)g(t)波形

理想恢復(fù)91這種伸展波形疊加的情況如圖1.5.7所示。g(t)函數(shù)所起的作用是在各采樣點之間內(nèi)插，因此稱為內(nèi)插函數(shù)，而（1.5.9）式則稱為內(nèi)插公式。這種用理想低通濾波器恢復(fù)的模擬信號完全等于原模擬信號xa(t)，是一種無失真的恢復(fù)。但由于g(t)是非因果的，因此理想低通濾波器是非因果不可實現(xiàn)的。下面介紹實際的數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換。

理想恢復(fù)92

圖1.5.7理想恢復(fù)93實際中采用D/AC（Digital/AnalogConverter）完成數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換。D/AC包括三部分，即解碼器、零階保持器和平滑濾波器，D/AC方框圖如圖1.5.8所示。解碼器的作用是將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成時域離散信號xa(nT)，零階保持器和平滑濾波器則將xa(nT)變成模擬信號。

D/AC數(shù)模轉(zhuǎn)換器圖1.5.8

D/AC方框圖94由時域離散信號xa(nT)恢復(fù)模擬信號的過程是在采樣點內(nèi)插的過程。理想低通濾波的方法是用g(t)函數(shù)作內(nèi)插函數(shù)，還可以用一階線性函數(shù)作內(nèi)插。零階保持器是將前一個采樣值進行保持，一直到下一個采樣值來到，再跳到新的采樣值并保持，因此相當(dāng)于進行常數(shù)內(nèi)插。零階保持器的單位沖激函數(shù)h(t)以及輸出波形如圖1.5.9所示。對h(t)進行傅里葉變換，得到其傳輸函數(shù)：（1.5.10）95圖1.5.9零階保持器的輸出波形96其幅度特性和相位特性如圖1.5.10所示。由該圖看到,零階保持器是一個低通濾波器，能夠起到將時域離散信號恢復(fù)成模擬信號的作用。圖中虛線表示理想低通濾波器的幅度特性。零階保持器的幅度特性與其有明顯的差別，主要是在|Ω|>π/T區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時域上，就是恢復(fù)出的模擬信號是臺階形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對時間波形起平滑作用，這也就是在圖1.5.1模擬信號數(shù)字處理框中，最后加平滑濾波器的原因。雖然這種零階保持器恢復(fù)的模擬信號有些失真，但簡單、易實現(xiàn)，是經(jīng)常使用的方法。實際中，將解碼器與零階保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。97圖1.5.10零階保持器的頻率特性981.6確定性信號的相關(guān)函數(shù)1.6.1信號的互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)1.6.2周期信號的相關(guān)性1.6.3相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1.6.4輸入信號與輸出信號的相關(guān)函數(shù)1.6.5相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用1.6.6用MATLAB計算相關(guān)函數(shù)991.6確定性信號的相關(guān)函數(shù)1.6.1信號的互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)定義為信號x(n)和y(n)的互相關(guān)函數(shù)。

100與序列卷積運算相比較,相關(guān)運算僅缺少了將y(n)翻轉(zhuǎn)變成y(-n)的步驟,其他運算過程完全相同。所以因此,用于卷積的計算過程和程序都可以直接用于計算序列的相關(guān)函數(shù)。

101

如果式(1.6.1)中y(n)=x(n),則上面定義的互相關(guān)函數(shù)即變成x(n)的自相關(guān)函數(shù),記為rxx(m),即自相關(guān)函數(shù)表示了信號x(n)與其自身移位后的x(n-m)的相似程度。為了表示簡單,一般將自相關(guān)函數(shù)記為rx(m)。102

式(1.6.4)說明,rx(0)表示x(n)的能量,記為Ex。當(dāng)Ex<∞時,信號x(n)稱為能量信號;當(dāng)Ex=∞時,信號x(n)稱為能量無限信號。對能量無限信號,我們主要研究其平均功率。信號x(n)的功率定義為

當(dāng)Px<∞時,稱x(n)為功率信號。功率信號是工程實際和理論研究中的常用信號,如周期信號。

103當(dāng)輸入序列是有限長序列,或只能獲得無限長序列的有限個序列值時,通常將互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)表示成有限和的形式。特別是當(dāng)x(n)和y(n)是長度為N的因果序列時,互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)可以表示為

104上述對相關(guān)函數(shù)的定義都是針對實信號的,如果x(n)和y(n)是復(fù)信號,其相關(guān)函數(shù)也是復(fù)信號,此時定義式(1.6.1)和式(1.6.3)應(yīng)該為105

【例1.6.1】設(shè)信號為x(n)=anu(n),0<a<1。求其自相關(guān)函數(shù)。

解由于x(n))是無限時寬的,所以rx(m)也是無限時寬的。下面分m≥0和m<0兩種情況來求解。當(dāng)m≥0時,由圖1.6.1可見:因為a<1,無限級數(shù)收斂,所以有106當(dāng)m<0時,由圖1.6.1可見:因為m<0時,a-m=a|m|,于是,rx(m)的上述兩段表示式可以合并為自相關(guān)函數(shù)rx(m)如圖1.6.1所示。107

圖1.6.1信號x(n)=anu(n)的自相關(guān)函數(shù)運算示意圖108

【例1.6.2】已知序列x(n)和y(n)分別為求x(n)和y(n)的互相關(guān)函數(shù)rxy(m)。109

解序列x(n)和y(n)均為有限長序列,但不是因果序列,所以不能直接套用式(1.6.6),必須用式(1.6.1)計算。

(1)當(dāng)m=0時,乘積序列對于n的所有值,對乘積序列各項求和,可得

110(2)當(dāng)m>0時,只要將y(n)相對x(n)向右平移m個時間單位,得到y(tǒng)(n-m),再計算乘積序列vm(n)=x(n)y(n-m),最后求可得111(3)當(dāng)m<0時,只要將y(n)相對x(n)向左平移|m|個采樣間隔,再進行同樣的計算可得綜上可得x(n)和x(n)的互相關(guān)函數(shù)rxy(m)為

1121.6.2周期信號的相關(guān)性設(shè)x(n)和y(n)是兩個功率信號,其互相關(guān)函數(shù)定義為當(dāng)y(n)=x(n)時,功率信號的自相關(guān)函數(shù)定義為113

特別是,如果x(n)和y(n)是兩個周期為N的周期信號,則式(1.6.11)和式(1.6.12)中有限區(qū)間上的平均值就等于一個周期上的平均值,因此,式(1.6.11)和式(1.6.12)就可以簡化為114由周期信號的定義可得所以,周期為N的周期信號的自相關(guān)函數(shù)也是以N為周期的。這樣,如果一個周期信號的周期未知,我們可以根據(jù)其自相關(guān)函數(shù)的周期性質(zhì),估計其周期。115

【例1.6.3】已知x(n)=sin(ωn),其周期為N,即ω=2π/N,求x(n)的自相關(guān)函數(shù)。

解由式(1.6.14)得116由于第二項中第一項中所以由此可見,正弦序列的自相關(guān)函數(shù)是同頻率的余弦序列,顯然自相關(guān)函數(shù)與原序列周期相同。1171.6.3相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1.互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)

(1)rxy(m)不是偶函數(shù),而且rxy(m)≠rxy(m),但有

118

(2)rxy(m)滿足證明生成線性組合序列119其中,a和b為任意常數(shù),m為整數(shù)(表示延時)。該線性組合序列的能量可以表示為我們知道能量是非負的,所以下式成立:120121

2.自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)

(1)若x(n)是實信號,rx(m)是實偶函數(shù),即當(dāng)式(1.6.16)中y(n)=x(n)時,即可得式(1.6.22)。若x(n)是復(fù)信號,則rx(m)是共軛對稱函數(shù),即rx(m)=rx*(-m)。122

123

(3)對于能量信號x(n),將x(n)相對自身移至無窮遠處,則二者不相關(guān)。即124

假設(shè)系統(tǒng)輸入信號x(n)的自相關(guān)函數(shù)rx(m)已知,系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n),系統(tǒng)輸出信號為1.6.4輸入信號與輸出信號的相關(guān)函數(shù)125

由式(1.6.2)可知,輸出信號與輸入信號的互相關(guān)函數(shù)可表示為126由式(1.6.25)可見,輸出信號與輸入信號的互相關(guān)函數(shù)等于系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(m)與輸入信號自相關(guān)函數(shù)rx(m)的卷積。所以,ryx(m)可以看成線性時不變系統(tǒng)對輸入序列rx(m)的響應(yīng)輸出,如圖1.6.2所示。圖1.6.2ryx(m)的輸入與輸出關(guān)系127在式(1.6.2)中令x(n)=y(n),再利用卷積的性質(zhì),可以得到系統(tǒng)輸出信號的自相關(guān)函數(shù)ry(m):128如果系統(tǒng)穩(wěn)定,則h(n)為能量信號,rh(m)存在。這樣,如果rx(m)存在,則ry(m)存在,即輸出信號也是能量信號。在式(1.6.26)中令m=0,可得輸出信號的能量為1291.6.5相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用

1.相關(guān)函數(shù)在雷達和主動聲吶系統(tǒng)中的的應(yīng)用假設(shè)信號序列x(n)和y(n)是我們需要比較的兩路信號,在雷達和主動聲吶系統(tǒng)中,

x(n)一般是發(fā)射信號的采樣,而(n)表示接收端A/D變換器輸出的信號。如果目標是某個被雷達或聲吶搜索的物體,則接收信號(n)由發(fā)射信號被目標反射,并經(jīng)加性噪聲污染后的延遲信號組成。雷達目標檢測示意圖如圖1.6.3所示130

圖1.6.3雷達目標檢測示意圖131接收信號y(n)可以表示為

其中,a是衰減因子,表示發(fā)射信號x(n)在發(fā)射信