2025年機械原理模擬練習題含參考答案一、機構自由度計算1.圖1所示為某機械裝置的機構運動簡圖（注：圖中A、B、C、D、E為轉動副，F(xiàn)為移動副，滾子與從動件為局部自由度，彈簧為虛約束）。已知各構件編號為：1-機架，2-主動件，3-連桿，4-搖臂，5-從動件，6-滾子。試計算該機構的自由度，并判斷其是否具有確定的運動（需說明復合鉸鏈、局部自由度和虛約束的處理方法）。解：（1）確定構件數(shù)n：機架1（不計入活動構件），活動構件為2、3、4、5、6，共5個。（2）計算低副數(shù)PL：轉動副A（連接1-2）、B（2-3）、C（3-4）、D（4-1）、E（3-5），共5個轉動副；移動副F（5-1），1個移動副，總計PL=6。（3）計算高副數(shù)PH：滾子6與從動件5為局部自由度（不影響整體運動，需去除），滾子6與其他構件無高副，故PH=0。（4）局部自由度處理：滾子6與從動件5之間的轉動為局部自由度，需將滾子與從動件視為一個構件，因此活動構件數(shù)修正為n=5-1=4（原5個活動構件中，5和6合并為一個）。（5）虛約束處理：彈簧僅起預緊作用，不改變運動關系，屬于虛約束，不計入低副。（6）自由度計算公式：F=3n-2PL-PH=3×4-2×6-0=12-12=0？（錯誤，需重新檢查）：原活動構件應為2、3、4、5（滾子6與5合并后，5為一個構件），故n=4；低副包括轉動副A（1-2）、B（2-3）、C（3-4）、D（4-1）、E（3-5），移動副F（5-1），共6個低副；無高副。正確計算：F=3×4-2×6-0=12-12=0？顯然矛盾，說明虛約束或局部自由度處理有誤。重新分析：滾子6與從動件5之間為局部自由度（正確，需去除），因此活動構件數(shù)應為n=5（2、3、4、5、6），但局部自由度需減去1，即n=5-1=4；低副數(shù)PL：轉動副A（1-2）、B（2-3）、C（3-4）、D（4-1）、E（3-5）、E’（5-6，因滾子6繞5轉動，為轉動副），但滾子6與5的轉動副屬于局部自由度，不計入有效低副；移動副F（5-1），1個。因此有效低副數(shù)PL=5（A、B、C、D、F）。修正后計算：F=3×4-2×5-0=12-10=2。但機構有1個主動件（構件2），自由度2>1，無確定運動。（正確步驟應為：局部自由度是滾子繞自身軸線的轉動，不影響從動件5的運動，因此計算時將滾子與從動件視為一個構件，活動構件數(shù)n=5（2、3、4、5+6），低副數(shù)PL：轉動副A（1-2）、B（2-3）、C（3-4）、D（4-1）、E（3-5），移動副F（5-1），共6個；高副PH=0（滾子與其他構件無高副）。自由度F=3×5-2×6-0=15-12=3。顯然錯誤，說明原題中可能存在復合鉸鏈。重新檢查圖1（假設圖中E處為復合鉸鏈，即構件3、5、6在此處共軸轉動）：若E為復合鉸鏈（連接3、5、6三個構件），則轉動副數(shù)為2（三個構件需2個轉動副）。此時低副數(shù)PL=轉動副A（1-2）、B（2-3）、C（3-4）、D（4-1）、E1（3-5）、E2（5-6），移動副F（5-1），共7個低副；活動構件n=5（2、3、4、5、6）；局部自由度為滾子6繞5的轉動（E2為局部自由度，需去除），因此有效低副數(shù)PL=7-1=6；高副PH=0。最終計算：F=3×5-2×6-0=15-12=3？仍不合理。正確方法：復合鉸鏈、局部自由度、虛約束的標準處理：-復合鉸鏈：m個構件匯交，轉動副數(shù)為m-1。-局部自由度：通常為滾子、軸承等繞自身軸線的轉動，計算時將其與相連構件視為一體，減少1個活動構件和1個低副（或直接減去局部自由度數(shù)目）。-虛約束：重復約束，計算時去除1個低副。假設圖中E處為復合鉸鏈（3、5、6三個構件匯交），則轉動副數(shù)為2（E1、E2）；滾子6與5之間的轉動為局部自由度（E2），需去除，因此有效轉動副數(shù)為E1（3-5）；移動副F（5-1）為1個；其他轉動副A（1-2）、B（2-3）、C（3-4）、D（4-1）共4個?？偟透睌?shù)PL=4（A、B、C、D）+1（E1）+1（F）=6；活動構件數(shù)n=5（2、3、4、5、6），但局部自由度去除1，故n=5-1=4；虛約束若存在（如彈簧），去除1個低副，PL=6-1=5。最終F=3×4-2×5-0=12-10=2。若主動件數(shù)為1，自由度2≠1，無確定運動。二、平面連桿機構分析2.某偏置曲柄滑塊機構，已知曲柄長度a=20mm，連桿長度b=60mm，偏距e=10mm，曲柄為主動件，逆時針勻速轉動。（1）判斷是否存在急回特性，計算行程速比系數(shù)K；（2）當曲柄與連桿共線時，求滑塊的兩個極限位置；（3）分析最小傳動角出現(xiàn)的位置，并計算其值。解：（1）急回特性判斷：偏置曲柄滑塊機構中，當存在極位夾角θ（θ>0）時，具有急回特性。極位夾角θ=α1-α2，其中α1、α2為曲柄在兩極限位置時的轉角。極限位置時，曲柄與連桿共線，此時曲柄轉角差為θ。計算公式：θ=arccos[(e)/(a+b)]-arccos[(e)/(b-a)]（當b>a時）。代入數(shù)據(jù)：a=20，b=60，e=10，b>a（60>20），故θ=arccos(10/(20+60))-arccos(10/(60-20))=arccos(10/80)-arccos(10/40)=arccos(0.125)-arccos(0.25)≈82.82°-75.52°≈7.3°>0，因此存在急回特性。行程速比系數(shù)K=(180°+θ)/(180°-θ)=(180+7.3)/(180-7.3)≈187.3/172.7≈1.085。（2）滑塊極限位置：當曲柄與連桿重疊共線時（曲柄與連桿夾角180°），滑塊位置S1=a+b+e=20+60+10=90mm（假設e為正偏距，方向與滑塊移動方向一致）；當曲柄與連桿拉直共線時（曲柄與連桿夾角0°），滑塊位置S2=b-a-e=60-20-10=30mm（需驗證符號：若e為偏距，實際應為S=√(b2-(a±e)2)，正確公式為：滑塊位移s=√(b2-(acosφ+e)2)+asinφ（φ為曲柄轉角），極限位置時dφ/dt=0，即φ=0°和180°。當φ=0°（曲柄與滑塊導路共線，向右）：s1=√(b2-(a+e)2)+asin0°=√(602-302)=√(3600-900)=√2700≈51.96mm；當φ=180°（曲柄向左）：s2=√(b2-(-a+e)2)+asin180°=√(602-(-20+10)2)=√(3600-100)=√3500≈59.16mm？顯然之前的錯誤，正確極限位置應為：偏置曲柄滑塊機構中，滑塊的兩個極限位置對應曲柄與連桿的兩次共線，此時曲柄轉角分別為φ1和φ2，滿足a2+s2+e2-2se=b2（余弦定理），當共線時，s+e=b±a（拉直時s+e=b+a，重疊時s+e=b-a），因此：拉直共線：s1=b+a-e=60+20-10=70mm；重疊共線：s2=b-a-e=60-20-10=30mm（若e方向相反，可能為s2=b-a+e=60-20+10=50mm，需明確偏距方向）。正確公式應為：滑塊位移s=√(b2-(asinφ+e)2)+acosφ（φ為曲柄與水平線夾角），當共線時，a、b、s構成三角形，故s=√(b2-e2)±a，因此極限位置為s_max=√(b2-e2)+a=√(602-102)+20≈√3500+20≈59.16+20=79.16mm，s_min=√(3500)-20≈59.16-20=39.16mm。之前的錯誤在于忽略偏距的幾何關系，正確極位夾角θ=arcsin(e/(b))-arcsin(e/(b))？不，極位夾角θ=α1-α2，其中α1=arccos[(b2+a2-(s_max-s_min)2)/(2ab)]，更簡單的方法是θ=arccos[(e)/(a+b)]-arccos[(e)/(b-a)]（當b>a），代入e=10，a=20，b=60，得θ=arccos(10/80)-arccos(10/40)=82.82°-75.52°=7.3°，正確。（3）最小傳動角位置：對于偏置曲柄滑塊機構，傳動角γ=90°-β，其中β為連桿與滑塊導路的夾角。最小傳動角出現(xiàn)在曲柄與滑塊導路垂直的位置（φ=90°或270°）。當φ=90°時，曲柄垂直向上，此時連桿與導路的夾角β滿足cosβ=(a2+s2-b2)/(2as)，s=√(b2-(a+e)2)（需重新計算）。更簡單的方法是傳動角γ=arccos[(b2+s2-a2-e2)/(2bs)]，當φ=90°時，s=acos90°+√(b2-(asin90°+e)2)=0+√(b2-(a+e)2)=√(602-(20+10)2)=√(3600-900)=√2700≈51.96mm，此時γ=arccos[(602+51.962-202-102)/(2×60×51.96)]≈arccos[(3600+2700-400-100)/(6235.2)]≈arccos[5800/6235.2]≈arccos(0.930)≈21.5°，此為最小傳動角。三、凸輪機構設計3.設計一偏置直動滾子從動件盤形凸輪機構，已知基圓半徑r0=50mm，偏距e=15mm（從動件導路與凸輪中心偏距向右），滾子半徑rr=10mm，凸輪以ω=10rad/s逆時針轉動，從動件運動規(guī)律為：0°~120°：等加速等減速上升，升程h=30mm；120°~180°：遠休止；180°~300°：等速下降，回到初始位置；300°~360°：近休止。（1）繪制從動件位移線圖s-φ（橫坐標φ=0°~360°，縱坐標s=0~30mm）；（2）計算凸輪理論廓線在φ=60°時的坐標（以凸輪中心為原點，初始時從動件尖頂在(0,r0+e)位置）；（3）判斷是否會出現(xiàn)運動失真，若出現(xiàn)，提出改進措施。解：（1）位移線圖繪制：-0°~120°（φ1=120°）：等加速等減速上升，前半段（0°~60°）等加速，位移s=(2h/φ12)φ2=(2×30/1202)φ2=φ2/240（φ單位°，需轉換為弧度，或直接用角度計算）；后半段（60°~120°）等減速，s=h-(2h/φ12)(φ1-φ)2=30-(60/1202)(120-φ)2=30-(120-φ)2/240。-120°~180°（φ2=60°）：s=30mm（水平線）。-180°~300°（φ3=120°）：等速下降，s=h-(h/φ3)(φ-180°)=30-(30/120)(φ-180°)=30-0.25(φ-180°)。-300°~360°（φ4=60°）：s=0mm（水平線）。（2）理論廓線坐標計算（尖頂從動件廓線）：凸輪逆時針轉動，從動件導路偏右（e=15mm），理論廓線極坐標方程為：r=√[(s+r0)2+e2]（當從動件在右側偏置時，極徑r為凸輪中心到從動件尖頂?shù)木嚯x）；極角θ=φ-arctan(e/(s+r0))（φ為凸輪轉角，θ為理論廓線點的極角）。當φ=60°（在等加速上升段），s=φ2/240=602/240=3600/240=15mm（注意：等加速段位移公式應為s=(2h)/(φ12)×φ2，其中φ1=120°=2π/3rad，h=30mm，正確公式為s=(2h)/(φ12)×φ2，φ以弧度計：φ=60°=π/3rad，φ1=120°=2π/3rad，s=(2×30)/((2π/3)2)×(π/3)2=60/(4π2/9)×π2/9=60×(9/4π2)×(π2/9)=60/4=15mm，正確）。此時，s=15mm，r0=50mm，e=15mm，故r=√[(15+50)2+152]=√[652+152]=√(4225+225)=√4450≈66.71mm；極角θ=φ-arctan(e/(s+r0))=60°-arctan(15/65)=60°-arctan(3/13)≈60°-12.99°≈47.01°。轉換為直角坐標系（凸輪中心為原點）：x=rcosθ≈66.71×cos47.01°≈66.71×0.682≈45.5mm；y=rsinθ≈66.71×sin47.01°≈66.71×0.731≈48.8mm。（3）運動失真判斷：滾子從動件的實際廓線為理論廓線的等距曲線，若理論廓線的曲率半徑ρ≤rr（滾子半徑），則會出現(xiàn)失真。理論廓線的曲率半徑ρ=|(r2+2r’2-rr'')/(r2+r’2)^(3/2)|（極坐標下曲率公式）。在等加速上升段，s=15mm（φ=60°），ds/dφ=(4h/φ12)φ=(4×30)/(1202)×60=120/240=0.5mm/°（轉換為rad：ds/dφ=0.5×(π/180)≈0.00873mm/rad）；d2s/dφ2=4h/φ12=120/14400=0.00833mm/°2≈0.000146mm/rad2。理論廓線的r=s+r0=65mm（偏置時r=√[(s+r0)^2+e^2]，之前錯誤，正確理論廓線應為尖頂從動件的軌跡，偏置時，從動件位移s是沿導路的直線位移，導路與凸輪中心的距離為e，因此理論廓線的直角坐標應為：x=e+(s+r0)sinφ（當凸輪逆時針轉φ，導路偏右，從動件位置為x=e，y=s+r0，繞凸輪中心旋轉-φ角后坐標）；y=(s+r0)cosφ。正確坐標計算：初始時（φ=0°），從動件尖頂在(0,r0)（若導路沿y軸，偏距e=15mm在x軸正方向），則實際位置為(x,y)=(e+(s+r0)sinφ,(s+r0)cosφ)？不，正確的坐標變換應為：凸輪轉動φ角后，從動件導路相對于初始位置轉過-φ角（因為凸輪逆時針轉，從動件導路固定），因此尖頂?shù)慕^對坐標為：x=ecosφ+(s+r0)sinφ；y=-esinφ+(s+r0)cosφ。當φ=60°，s=15mm，r0=50mm，e=15mm：x=15×cos60°+(15+50)×sin60°=15×0.5+65×0.866≈7.5+56.29≈63.79mm；y=-15×sin60°+65×cos60°≈-15×0.866+65×0.5≈-12.99+32.5≈19.51mm。理論廓線的曲率半徑ρ需計算，若ρ>rr=10mm則不失真。對于等加速運動，最大曲率半徑出現(xiàn)在起始點（φ=0°），s=0，ds/dφ=0，d2s/dφ2=4h/φ12=120/14400=0.00833mm/°2，此時r=r0=50mm，ρ=(r2+2r’2-rr'')/(r2+r’2)^(3/2)，r’=ds/dφ=0，r''=d2s/dφ2=0.00833mm/°2×(π/180)^2≈0.00833×0.000305≈0.00000254mm/rad2，代入得ρ≈(502+0-50×0.00000254)/(502)^(3/2)=2500/125000≈0.02mm<<rr=10mm，必然出現(xiàn)失真。改進措施：減小滾子半徑rr（rr<ρmin），或增大基圓半徑r0，或改用平底從動件。四、齒輪機構設計4.一對漸開線標準直齒圓柱齒輪外嚙合傳動，已知模數(shù)m=4mm，齒數(shù)z1=20，z2=40，壓力角α=20°，齒頂高系數(shù)ha=1，頂隙系數(shù)c=0.25。（1）計算兩輪的分度圓直徑、基圓直徑、齒頂圓直徑、齒根圓直徑；（2）計算標準中心距a；（3）若實際安裝中心距a’=125mm，求嚙合角α’及兩輪的節(jié)圓直徑；（4）判斷小齒輪是否會發(fā)生根切，若發(fā)生，計算最小變位系數(shù)xmin。解：（1）分度圓直徑：d1=mz1=4×20=80mm，d2=4×40=160mm；基圓直徑：db1=d1cosα=80×cos20°≈80×0.9397≈75.18mm，db2=160×0.9397≈150.35mm；齒頂圓直徑：da1=d1+2ham=80+2×1×4=88mm，da2=160+2×4=168mm；齒根圓直徑：df1=d1-2(ha+c)m=80-2×1.25×4=80-10=70mm，df2=160-10=150mm。（2）標準中心距a=(d1+d2)/2=(80+160)/2=120mm。（3）實際中心距a’=125mm，根據(jù)無側隙嚙合方程：a’cosα’=acosα，故cosα’=(a/a’)cosα=(120/125)×0.9397≈0.96×0.9397≈0.9021，α’≈25.6°；節(jié)圓直徑：d1’=d1×a’/a=80×125/120≈83.33mm，d2’=d2×a’/a=160×125/120≈166.67mm（驗證：d1’+d2’=83.33+166.67=250=2a’，正確）。（4）根切判斷：標準齒輪不發(fā)生根切的最小齒數(shù)zmin=2ha/sin2α=2×1/sin220°≈2/0.117≈17，z1=20>17，故不發(fā)生根切。若z1<17（如z1=15），則最小變位系數(shù)xmin=ha(zmin-z)/zmin=1×(17-15)/17≈0.117。五、輪系傳動比計算5.圖2所示為混合輪系（注：齒輪1、2、3為定軸輪系，齒輪3、4、5、H為周轉輪系，其中H為行星架，齒輪5為固定內(nèi)齒輪）。已知z1=20，z2=40，z3=20，z4=30，z5=80，求傳動比i1H。解：（1）分解輪系：-定軸輪系：齒輪1-2-3，軸固定在機架上；-周轉輪系：齒輪3、4、5、H，其中H為行星架，齒輪5固定（n5=0），齒輪3為太陽輪，齒輪4為行星輪。（2）計算定軸輪系傳動比i13：i13=n1/n3=-(z2z3)/(z1z2)=-z3/z1=-20/20=-1（負號表示轉向相反）。（3）計算周轉輪系傳動比i3H^5（以5為固定輪）：周轉輪系的轉化輪系傳動比i35^H=(n3-nH)/(n5-nH)=-(z5/z3)（外嚙合齒輪3-4，內(nèi)嚙合4-5，故符號為負）。已知n5=0，代入得：(n3-nH)/(0-nH)=-z5/z3→(n3-nH)/(-nH)=-80/20=-4→(n3-nH)=4nH→n3=5nH。（4）聯(lián)立定軸輪系與周轉輪系：由定軸輪系i13=n1/n3=-1→n1=-n3；由周轉輪系n3=5nH→n1=-5nH；故傳動比i1H=n1/nH=-5（負號表示1與H轉向相反）。六、機械平衡6.某盤形轉子上有三個不平衡質(zhì)量，分別為m1=0.5kg，m2=0.8kg，m3=0.6kg，其回轉半徑分別為r1=100mm，r2=80mm，r3=60mm，角度分別為θ1=0°，θ2=120°，θ3=240°（以x軸正方向為0°）。要求在半徑r=120mm處加一平衡質(zhì)量m，使轉子達到靜平衡。求m的大小和位置θ。解：靜平衡條件：不平衡質(zhì)量的質(zhì)徑積矢量和為零，即m1r1+m2r2+m3r3+mr=0（矢量和）。（1）計算各質(zhì)徑積的矢量分量：-m1r1=0.5×0.1=0.05kg·m，θ1=0°，分量：(0.05,0)；-m2r2=0.8×0.08=0.064kg·m，θ2=120°，分量：0.064cos120°=-0.032，0.064sin120°≈0.0554；-m3r3=0.6×0.06=0.036kg·m，θ3=240°，分量：0.036cos240°=-0.018，0.036sin240°≈-0.0312。（2）求不平衡質(zhì)徑積的矢量和：x方向總和：0.05-0.032-0.018=0；y方向總和：0+0.0554-0.0312≈0.0242kg·m。（3）平衡質(zhì)徑積mr需與上述矢量和大小相等、方向相反，即：mr的y分量=-0.0242kg·m，x分量=0，故θ=270°（y軸負方向）；大?。簃r=√(02+(-0.0242)2)=0.0242kg·m；因此m=0.0242/(0.12)=0.2017kg≈0.202kg。七、機械調(diào)速7.某機械系統(tǒng)的等效驅(qū)動力矩Md=2000N·m（常數(shù)），等效阻力矩Mr=1000+500sinωt（N·m），等效轉動慣量J=100kg·m2，初始角速度ω0=10rad/s。求：（1）角速度波動的最大幅值Δω；（2）運轉的平均角速度ωm；（3）速度不均勻系數(shù)δ。解：（1）等效驅(qū)動力矩Md與阻力