高中數(shù)學精編資源2/2《平面向量數(shù)量積的坐標表示》同步學案情境導入我們之前用坐標的形式表示了向量的加、減法和數(shù)乘運算,發(fā)現(xiàn)了向量的坐標表示在實際應用中很有用.除了上述的幾種運算外,我們還學習了向量的數(shù)量積,那么可以用坐標的形式表示向量的數(shù)量積嗎?具體形式又是什么呢?自主學習自學導引1.平面向量數(shù)量積的坐標表示.

若a=x1y1,b=即兩個向量的數(shù)量積等于它們.

2.兩個向量垂直的坐標表示.

設兩個向量a=x1y1,b=x2y2,

則a⊥b?.

3.平面向量的模(2)兩點間距離公式:如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為x1y1,x4.向量的夾角公式.設a,b都是非零向量,a=x1y1,b=x則cosθ==.

預習測評

1.已知a=-34,A.23B.7C.-23D.-7

2.已知向量a=-56,b=A.垂直B.不垂直也不平行

C.平行且同向D.平行且反向

3.已知a=3-1,b=1-2,則a與b的夾角θ為()

A.π6B.新知探究探究點1平面向量數(shù)量積的坐標表示知識詳解若a=x1y1,[特別提示]1.引入坐標后,實現(xiàn)了向量的數(shù)量積與兩向量的坐標的運算轉(zhuǎn)化,從而將它們聯(lián)系起來.2.由向量的坐標,可不用求兩向量的模和其夾角,直接求其數(shù)量積,簡化了數(shù)量積運算.典例探究例1已知a與b同向,b=(1)求a的坐標;(2)若c=2-1,求a方法技巧此類題目考查有關(guān)向量數(shù)量積的坐標運算,靈活應用基本公式是前提.設向量一般有兩種方法:一是直接設坐標,二是利用共線或直的關(guān)系設向量.通過本題第(2)問還可驗證一般情況下ab?c變式式練1向量a=1-1,b=A.-1B.0C.1D.2探究點2兩個向量垂直的坐標表示知識詳解設兩個向量a=x1y利用這個公式,可以很方便地判斷兩個向量是否垂直.值得注意的是,向量垂直的坐標表示和向量共線的坐標表示十分相似,在使用時不要把兩個式子混淆,在平時需要加強記憶.典例探究例2設a=24,b=22,方法技巧利用向量數(shù)量積的坐標表示解決垂直問題的實質(zhì)是把垂直條件代數(shù)化,即根據(jù)向量垂直列出方程求出未知數(shù)即可.變式式練2在ΔABC中,AB=12,AC=(3,2k),且ΔABC點撥:ΔABC中的哪一個內(nèi)角為直角并不明確,因此要分類討論,分類討論的時候要分類明確,做到不重不漏.探究點3向量的模、兩點間距離和兩向量夾角公式知識詳解1.向量的模的公式:設a=xy,則2.兩點間的距離公式:若Ax1y13.向量的夾角公式:設兩非零向量a=x1y1,b=x2y[特別提示]向量的模的坐標運算的實質(zhì):向量的模即為向量的長度,其大小應為平面直角坐標系中兩點間的距離,如a=xy,則在平面直角坐標系中,一定存在點Axy,使得OA=a=xy,∴|OA|=|a|=x2+y2,即典例探究例3平面直角坐標系xOy中,O是原點(如圖).已知點A16(1)求|OA(2)求∠OAB.方法技巧利用向量的數(shù)量積求兩向量夾角的一般步驟為:(1)利用向量的坐標求出這兩個向量的數(shù)量積;(2)利用|a|=(3)代入夾角公式求cosθ,并根據(jù)θ的范圍確定θ的值變式訓練3已知|a|=1,|b|=3,a+b=(3,1),求易錯易混解讀例已知向量a=-2-1,b=t1,且a與b的夾角θ為鈍角,求實數(shù)t的取值范圍.

錯解因為a與b的夾角θ為鈍角,所以cosθ=a?b|a||b|<0.則a?b=-2-1?t1=-2t-1<0,所以t>-12.

錯因分析本題容易漏考慮a與b反向時也有a?b<0,即則a?b=-2-1?若a//b,又a=-2此時a=-b,a與b反向,所成角為180°,故t=2所以t的取值范圍是122∪在處理向量夾角是鈍角或銳角問題時,一定要將向量共線考慮在內(nèi),避免漏解或多解.課堂快速檢測1.已知向量a=21,bA.-12B.-6C.6D.12

2.平面向量a與b的夾角為60°,a=20,|A.3B.23C.4D.12

3.已知向量a=1n,