專題7.26平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）（全章復(fù)習(xí)與鞏固）

（知識(shí)講解）

【知識(shí)要點(diǎn)一】三線八角：

兩條直線AB、CD與直線EF相交，交點(diǎn)分別為E、F,如圖，則稱直線AB、CD被直

線EF所截，直線EF為截線.兩條直線AB、CD被直線EF所截可得8個(gè)角，即所謂“三線八

角”.

（一）、這八個(gè)角中有：

1、對(duì)頂角：/I與/3,/2與/4,/5與N7,/6與/8.

2、鄰補(bǔ)角有：N1與N2,/2與N3,N3與N4,N4與Nl,N5與N6,/6與N7,

N7與/8,N8與N5.

（二）、同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角：

1、同位角：兩條直線被第三條直線所截，在二條直線的同側(cè)，且在第三條直線的同旁

的二個(gè)角叫同位角.

如圖中的N1與N5分別在直線AB、CD的上側(cè)，又在第三條直線EF的右側(cè)，所以N1

與N5是同位角，它們的位置相同，在圖中還有N2與/6,/4與N8,/3與N7也是同位

角.

2、內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截，在二條直線的內(nèi)側(cè)，且在第三條直線的兩旁

的二個(gè)角叫內(nèi)錯(cuò)角.

如上圖中N2與N8在直線AB、CD的內(nèi)側(cè)（即AB、CD之間），且在EF的兩旁，所

以N2與N8是內(nèi)錯(cuò)角.同理，N3與N5也是內(nèi)錯(cuò)角.

3、同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，在兩條直線的內(nèi)側(cè)，且在第三條直線的同

旁的兩個(gè)角叫同旁內(nèi)角.

如上圖中的N2與/5在直線AB、CD內(nèi)側(cè)又在EF的同旁，所以/2與/5是同旁內(nèi)角，

同理，/3與/8也是同旁內(nèi)角.

因此，兩條直線被第三條直線所截，共得4對(duì)同位角，2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2對(duì)同旁內(nèi)角.

【知識(shí)要點(diǎn)二】直線平行的判定：

1、兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行，簡(jiǎn)記為：

同位角相等，兩直線平行

2、兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行，簡(jiǎn)記為：

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

3、兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行，簡(jiǎn)記為：

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

【知識(shí)要點(diǎn)三】直線平行的性質(zhì)：

1、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)記：兩直線平行，同位角相等

2、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)記：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

3、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，簡(jiǎn)記：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

【知識(shí)要點(diǎn)四】平移：

一、平移的概念：

把圖形上所有點(diǎn)都按同一方向移動(dòng)相同的距離叫作平移。

△ABC向右平移相同距離得到其中A與A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線段AB與線段A'B'

是對(duì)應(yīng)線段，/A與/A，是對(duì)應(yīng)角.

二、平移的特征：

1、平移后的圖形與原來(lái)的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀、大

小都沒(méi)有發(fā)生改變，并且平移不改變直線的方向.

2、平移把直線變成與它平行的直線.

3、兩條平行線中的一條可以通過(guò)平移與另一條重合

三、平移作圖：

確定一個(gè)圖形平移后的位置所需條件為：

1、圖形原來(lái)的位置；2、平移的方向；3、平移的距離

四、兩直線之間的距離：

如果兩條直線互相平行，那么其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的距離相等，這個(gè)

距離稱為平行線之間的距離。

【知識(shí)要點(diǎn)五】三角形

一、三角形的定義:

1、由不在同一直線上的三條線段首位順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2、三角形有三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)和三個(gè)內(nèi)角.

記作：AABC

三角形的頂點(diǎn)：A、B、C；三角形的內(nèi)角:NA、NB、ZC；三角形的邊：AB、AC、

BC

A

（一）、分類：

1、三角形按邊分類:

‘不等邊三角形

三角形八,（腰和底不相等的等腰三角形

L等腰三角形等邊三角形

注：

等邊三角形是特殊的等腰三角形，切記不能將三角形按邊分成不等邊三角形、等腰三角

形和等邊三角形三類.

2、三角形按角分類：

銳角三角形銳角三角形

斜三角形，

三角形（鈍角三角形或三角形，立角三角形

直角三角形鈍角三角形

（1）三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形叫做銳角三角形.

（2）有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形叫做直角三角形.

在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC、BC叫做直角三角形的直角邊，AB叫做直角

三角形的斜邊.用“Rt”表示直角，直角三角形ABC可表示為：RtAABC.

直角三角形的兩個(gè)銳角互余.即ZA+ZB=90°.

（3）有一個(gè)內(nèi)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形.

AA

B--------CB----------cCBC

三、三邊關(guān)系：

1、三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

（判斷三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形時(shí)，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第

三邊，其簡(jiǎn)便方法是看兩條較短線段的和是否大于第三條最長(zhǎng)的線段.）

四、三角形的性質(zhì)：

三角形具有穩(wěn)定性

【知識(shí)要點(diǎn)六】三角形三條重要線段

一、三角形的角平分線、中線和高：

如圖，點(diǎn)D、E、F都在AB上.

（一）、角平分線：

1、在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)間的線段叫

做三角形的角平分線.

2、^ZACE=ZECB=-ZACB（KPCEWZACB）,則CE是AABC的角平分線.

2

（二）、高：

1、從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三

角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高.

2、若CF_LAB（即/AFC=NBFC=90。），貝！JCF是AABC的高.

（三）、中線：

1、在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線.

2、若AD=BD='AB（即D是AB的中點(diǎn)）時(shí)，則CD是AABC的中線.

2

（四）、特別注意：

（1）三角形有三條角平分線，三條中線，三條高線（它們都是線段）

（2）三角形三條角平分線，三條中線都在三角形的內(nèi)部，但高不一定（鈍角三角形有兩

條在外部，直角三角形時(shí)有兩條恰好是兩條直角邊).

(3)三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，三條中線交于一點(diǎn)，三條中線所在的直線交于一

點(diǎn).

(四)、外角：

(1)三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角

(2)我們把兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做這個(gè)等腰三角形的

腰；把三邊都相等的三角形叫做等邊三角形(或正三角形).

三角形的中線三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

三角形的角平分線三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

銳角三角形的三條高交于三角形內(nèi)一點(diǎn)；

三角形的高直角三角形的三條高交于邊上；

鈍角三角形的三條高交于三角形外一點(diǎn)

二、三角形的內(nèi)角和定理：

1、三角形的內(nèi)角：

①三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.

②推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

2、三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角，叫做三角形的外角.

圖中的NCBD稱為AABC的一個(gè)外角

3、注意：

①“外角”是三角形的外角，不是它相鄰內(nèi)角的外角.對(duì)三角形的外角，稱某個(gè)角是某個(gè)三

形的外角,而不稱三角形某個(gè)角的外角

②三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的外角和等于360°.

特別說(shuō)明：

多邊形的外角：

（1）多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角，在

每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，它們的和叫做這個(gè)多邊形的外角和.

（2）任意多邊形的外角和等于360°.

多邊形的內(nèi)角：n邊形的內(nèi)角和等于（n—2）.180°

【典型例題】

類型一、平行＞??理解與識(shí)別

,1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.a、b、c是直線，若。_L6,6〃c,則q〃c

B.a、b、c是直線，若。_Lb,6_Lc,則。_Lc

C.a、b、c是直線，若?！ㄉ稀穇Lc,則a〃c

D.a、b、c是直線，若?！ㄍ?〃c,則a〃c

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定逐個(gè)判斷即可.

解：A.當(dāng)。，瓦6〃c時(shí)，a±c,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.在同一平面內(nèi)，當(dāng)時(shí)，a//c,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.當(dāng)。時(shí)，aLc,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.當(dāng)。〃46〃c時(shí)，a//c,故選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行公理和推論，平行線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用定理

進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵，此題比較好，但是比較容易出錯(cuò).

舉一反三：

【變式】在同一個(gè)平面內(nèi)的直線a,b,c,若?！╖?,a//c,則6與c的關(guān)系是（）

A.平行B.垂直C.相交D.不能確定

【答案】A

【分析】根據(jù)“同一個(gè)平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行”分析判斷即可.

解：根據(jù)“同一個(gè)平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行”可知，

在同一個(gè)平面內(nèi)的直線a,b,c,若a〃8,a//c,

則b〃c.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行公理推論，熟練掌握平行公理及其推論是解題關(guān)鍵.

類型二、三線八角＞?＞*內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角》＞*理解與識(shí)別

2.如圖，下列說(shuō)法不正確的是（）

A.N1與22是同位角B.22與N3是同位角

C.N1與—4是內(nèi)錯(cuò)角D.22與/4是同旁內(nèi)角

【答案】D

【分析】本題要根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義來(lái)判斷.

解：?..同位角是在截線同旁，被截線相同的一側(cè)的兩角，且同位角的邊構(gòu)成“k’形，

:.A,B正確；

?.?兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且?jiàn)A在兩條被截直線之

間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角，

選項(xiàng)正確，

D選項(xiàng)，，2與不是同旁內(nèi)角，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義，掌握內(nèi)錯(cuò)角、同位角以及同

旁內(nèi)角的定義是解題的關(guān)鍵.兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且?jiàn)A

在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角，兩條直線被第三條直線所截,

在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角，叫做同旁內(nèi)角，兩個(gè)角稱為同旁內(nèi)角；同位角是在截

線同旁，被截線相同的一側(cè)的兩角，且同位角的邊構(gòu)成“尸’形.

舉一反三：

【變式】如圖，下列判斷中正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）/A與/I是同位角；（2）NA和是同旁內(nèi)角；（3）/4和/I是內(nèi)錯(cuò)角；（4）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】準(zhǔn)確識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所

截.也就是說(shuō)，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線.

解：(1)NA與N1是同位角，正確，符合題意；

(2)/A與N2是同旁內(nèi)角.正確，符合題意；

(3)N4與N1是內(nèi)錯(cuò)角，正確，符合題意；

(4)/I與/3不是同位角，錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了三線八角，在復(fù)雜的圖形中識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角時(shí)，

應(yīng)當(dāng)沿著角的邊將圖形補(bǔ)全，或者把多余的線暫時(shí)略去，找到三線八角的基本圖形，進(jìn)而確

定這兩個(gè)角的位置關(guān)系.

類型三、平行線的判定證明★★求角度

^^3.如圖，直線C。、所交于點(diǎn)O,0A,分別平分/C0E和NDOE,已知

Zl+Z2=90°,且N2:N3=2:5.

(1)求ZBO歹的度數(shù)；

(2)試說(shuō)明ABCD的理由.

【答案】(1)/30/的度數(shù)為140。(2)見(jiàn)分析

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義推出N2+NAOC=90。，再根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)求解即可;

(2)結(jié)合等量代換得出4=/AOC,根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可得解.

(1)解：-：0A,08分別平分/COE和NDOE,

AZAOE=ZAOC=-ZCOE,Z2=ZBOE=-NDOE,

22

,?ZCOE+ZDOE=180°,

N2+ZAOC=90°,

ZCOE=Z3,

：.ZAOC=-Z3,

2

Z2+-Z3=90°,

2

N2:N3=2:5,

/.Z3=-Z2,

2

Z2+ix-Z2=90°,

22

/2=40°,

AZ3=100°,

ZBOF=Z2+Z3=140°；

(2)解：Zl+Z2=90°,N2+ZAOC=90°,

Z1=ZAOC,

ABCD.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，余角的性質(zhì)，熟記平

行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖AF與8。相交于點(diǎn)C,且CD平分/EC?求證：AB//CE.

請(qǐng)完成下列推理過(guò)程：

證明：'：CD平分NECF

ZECD=()

?:/ACB=/FCD()

/.ZECD=ZACB()

'：ZB=ZACB

—()

AB//CE().

【答案】ZFCD-,角平分線的定義；對(duì)頂角相等；等量代換；ECD；等量代換；同位

角相等，兩直線平行

【分析】首先根據(jù)角平分線的定義及對(duì)頂角的性質(zhì)，可證得再根據(jù)N

B=ZACB,即可證得N8=NEC。，最后根據(jù)平行線的判定定理即可填得.

解：平分NECF

/ECD=/(角平分線的定義)

NACB=/BCD(對(duì)頂角相等)

NECD=/ACB(等量代換)

,?NB=NACB

：.ZB=ZECD(等量代換)

(同位角相等，兩直線平行).

【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義、對(duì)頂角的性質(zhì)、平行線的判定定理，結(jié)合題意和

圖形證得是解決本題的關(guān)鍵.

C能動(dòng)手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)疊放在一起，其中/A=

30°,ZB=60°,ZD=ZE=45°.

(1)若/8。=150。，求/ACE的度數(shù)；

(2)試猜想N8CO與/ACE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若按住三角板A8C不動(dòng)，繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)三角板。CE,試探究當(dāng)C￡)〃AB時(shí)，ZBCD

等于多少度，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

圖①備用圖1備用圖2

【答案】(1)30。(2)/38+NACE=180。；理由見(jiàn)分析(3)當(dāng)NBCD=120?；?0°

時(shí)，CD//AB.理由見(jiàn)分析

【分析】(1)依據(jù)/BCD=NACB+/ACr)=90o+NACD,即可得到/BCZH/ACE的度

數(shù)；

(2)依據(jù)/BCO=NACB+NA(7。=90。+NACO,即可得到N8CD+NACE的度數(shù)；

(3)分兩種情況討論，依據(jù)平行線的判定，即可得到當(dāng)/8CO等于120?；?0。時(shí)，

CD//AB.

(1)解：VZBCD=ZACB+ZACD=90°+ZACD,

：.ZBCD+ZACE

=9Q°+ZACD+ZACE

=90°+90°

=180°

VZBC￡)=150°,

ZACE=180°-150°=30°.

(2)ZBC￡)+ZACE=180°,理由如下：

/BONACB+NA0)=90。+NACD

ZBCD+ZACE

=90°+ZACD+ZACE

=900+90°

=180°

(3)當(dāng)/BCQ=120?；?0。時(shí)，CD//AB.

如圖1所示，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行,

當(dāng)/8+/3(7。=180。時(shí)，CD//AB,

此時(shí)22。。=180°—/8=180°—60°=120°；

如圖2所示，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，

當(dāng)N3CZ)=NB=60。時(shí)，CD//AB.

綜上所述，NBCD=60?；?20°.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理,

并且能夠準(zhǔn)確識(shí)圖，是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】完成下面證明

如圖，已知在同一平面內(nèi)的三條直線a,b,c,a±b,a±c；求證：b//c.

證明：-：a±b

.?.Zl=90°()

同理/2=90。

；.()=()

：.b//c.().

【分析】由垂直的定義，得到/1=90。，然后由同位角相等，兩直線平行，即可得到結(jié)

：.Z1=9Q°（垂直的定義）

同理/2=90。

：.b//c.（同位角相等兩直線平行）

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確得到Nl=

Z2

類型四、平行線的性質(zhì)與判定＞??證明★★求角度

《^5.如圖，Zl+Z2=180°,ZB=Z3.

(1)求證：DE//BC；

(2)若/C=76。，ZAED=2Z3,求NCEF的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)分析（2）66°

【分析】（1）由已知條件可證得〃麻，從而有NB=NEFC,則得N3=/EFC,得

證DE〃BC；

（2）由（1）得DE〃BC,利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求解.

解：（1）證明：Zl+Z2=180°,22=24,

:.AB//EF,

:./B=/EFC,

ZB=Z3,

.\Z3=ZEFCf

:.DE//BC；

(2)解：DE//BC,NC=76。，

.-.ZC+Zr)EC=180o,ZAED=ZC=16°,

ZAED=2Z3,

/.Z3=38°

ZDEC=180°-ZC=104°,

/.ZCEF=ZDEC-Z3=104°-38°=66°.

【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件與性

質(zhì)并靈活運(yùn)用.

舉一反三：

【變式1】如圖，已知點(diǎn)區(qū)尸在直線相上，點(diǎn)G在線段8上，ED與FG交于點(diǎn)H,

/C=ZEFG,ZCED=ZGHD.

(1)求證：CE〃GF；

(2)試判斷/4ED與一。之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶若N￡7m=88。，/。=28。,求/4￡^的度數(shù).

【答案】(1)證明見(jiàn)分析；(2)NAED+ZD=180。，理由見(jiàn)分析；(3)116。

【分析】(1)依據(jù)同位角相等，即可得到兩直線平行；

(2)依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出//G0=NEFG,進(jìn)而判定ABCD,即可得出

ZAED+ZD=180°；

(3)依據(jù)已知條件求得NCG廠的度數(shù)，進(jìn)而利用平行的性質(zhì)得出/CE/的度數(shù)，依據(jù)

對(duì)頂角相等即可得到AAEM的度數(shù).

解：(1)證明：NCED=NGHD,

.-.CE//GF-,

(2)解：ZAED+ZD=180°;

理由：CE//GF,

:.NC=NFGD,

QNC=NEFG,

:.ZFGD=ZEFG,

:.AB//CD,

.-.ZAED+ZD=180°；

(3)解：-NGHDuZEHFugg。,ZD=28°,

ZCGF=ZGHD+Z￡>=88°+28°=116°,

又.CE//GF,

.-.ZC+ZCGF=180°,

.-.ZC=180°-116°=64°,

又.AB//CD,

:.ZAEC=ZC=64°,

ZAEM=180°-64°=116°.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判定兩

直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行線關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系.

【變式2】填空并完成以下證明：如圖，己知/l+N2=180。，N3=NB,試判斷—4￡D

與NC的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解：與NC的大小關(guān)系是

證明：VZ1+Z2=18O°(已知)

ZL=ZDFH()

___________=180°

/.EH//AB()

Z.Z3=ZADE()

---Z3=ZB

AZB=ZADE()

//BC()

AZAED=Z.C()

【答案】ZAED=ZC-,對(duì)頂角相等；ZDFH+Z2-,同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直

線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；DE-,同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相

等

【分析】由Nl+N2=180。，ZX^ZDFH,得到求得ZB=ZADE,得到

DE//BC,即可求得/AEE>=NC

解：/4ED與NC的大小關(guān)系是/AED=NC.

證明：VZ1+Z2=18O°(已知)

ZL=ZDFH(對(duì)頂角相等)

ZD/7/+Z2=180°

/.EH//AB(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)

：.Z3=ZADE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

N3=NB

：.ZB=ZADE(等量代換)

：.DE//BC(同位角相等，兩直線平行)

；.ZAED=NC(兩直線平行，同位角相等)

【點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

?>6.有兩個(gè)/AO3與NEDC,/EDC保持不動(dòng)，且N￡DC的一邊CD〃AO,另一

邊。E與直線。3相交于點(diǎn)?若NAC?=40。，ZEDC=55°,解答下列問(wèn)題：

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E、0、。在同一條直線上，即點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合，求/30E的度數(shù).

(2)當(dāng)點(diǎn)E、0、。不在同一條直線上，直接寫(xiě)出的E的度數(shù).

E

B

【答案】(1)15。(2)15?；?5。

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求NAQ￡=NO=55。，再根據(jù)NAQB=40。即可求

(2)當(dāng)點(diǎn)區(qū)。、。不在同一條直線上時(shí)，過(guò)尸作G分AO,根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得

NAO￡=NO=55。，ZGFB=ZAOB=40°,再根據(jù)NBFE=NGFE—NBFG或

ZBFE=Z.GFE+ABFG即可求.

(1)解：VCD//AO,且N￡DC=55。，

JZAOE=ZD=55°,

ZAOB=40°,

???ZBOE=ZAOE-ZAOB=55°-40°=15°；

(2)①如圖，當(dāng)點(diǎn)E、O、。不在同一條直線上時(shí)，過(guò)耳作G尸AO,

?:CD//AO,

J.GF//CD,

：.ZGFE=ZD=55°,ZGFB=ZAOB=40°,

???ZBFE=ZGFE-ZBFG=55°-40°=15°,

②如圖，當(dāng)點(diǎn)E、O、。不在同一條直線上時(shí)，過(guò)方作G尸AO,

CD

■:CD//AO,

GF//CD,

：.ZGFE=ND=55°,ZGFB=ZAOB=40°,

NBFE=ZGFE+/BFG=55°+40°=95°,

故答案為：15。或95°

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，正確作出平行線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1］（1）【問(wèn)題】如圖1,若AB〃CD,ZBEP=25°,ZPFD=30°.則/EPF=

（2）【問(wèn)題歸納】如圖1,若AB〃C￡）,請(qǐng)猜想N3EP,ZPFD,NEP尸之間有何數(shù)量

關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）【聯(lián)想拓展】如圖2,AB//CD,點(diǎn)P在AB的上方，問(wèn)NPE4,NPFC,乙EPFZ

間有何數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論.

P

［答案】（1）55。；（2）ZEPF=NBEP+NPFD,理由見(jiàn)分析；（3）ZPFC=ZPEA+ZFPE.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)尸作尸?！ˋ8,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NEPQ=/PFD=30。，

NBEP=NEPQ=25°,進(jìn)而可求解；

（2）借助（1）的思路即可證明N￡P(guān)F=NB￡P(guān)+NP￡D；

⑶過(guò)尸點(diǎn)作PNAB,則PNCD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/PE4=NM>E,即可

得NFPN=NPEA+NFPE,結(jié)合PNCO可求解.

解：（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作PQ〃AB,

：.CDPQ.

：.NFPQ=NPFD=30°

XVPQ//AB,

.?.ZBEP=ZEPQ=25°,

：./EPF=ZEPQ+ZFPQ=250+30°=55°；

故答案為：55°.

(2)猜想：ZEPF=ZBEP+ZPFD,理由如下:

如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作R2〃A5,

：.CDPQ.

：.ZFPQ=ZPFD

XVPQ//AB,

：./BEP=/EPQ,

ZEPF=ZEPQ+ZFPQ=Z.BEP+ZPFD.

(3)/PFC=NPEA+/FPE,

理由：如圖2,過(guò)2點(diǎn)作/WAB,則尸NCD,

圖2

：.ZPEA=ZNPE,

???ZFPN=ZNPE+ZFPE,

???ZFPN=NPEA+NFPE,

,:PNCD,

:?/FPN=ZPFC,

：.ZPFC=/PEA+/FPE.

【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，添加輔助線，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【變式2］如圖，已知AB〃CD,ZE4E=30°,ZDCE=6O°fEF、EG三等分/AEC(即

ZAEF=ZFEG=ZGEC).

(1)求上4￡F的度數(shù)；

（2）EF〃AB嗎?為什么？

【答案】（1）-30。；（2）￡F〃AB,理由見(jiàn)分析.

【分析X1）過(guò)點(diǎn)E作EF'//AB,根據(jù)AB〃C￡>可知ZF'EA=30°,EF'//CD,AF'EC=60°,

從而可求得NAEC=90。，再根據(jù)NAEF=/EEG=NGEC可求得—AEF的度數(shù)；4

（2）由（1）可知ZFE4=30。，ZBAE=30°,可得EF〃AB.

解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF'〃AB,則44E=N歹E4=30。，

AB//CD,

：.EF7/CD,

：.ZDCE=ZFrEC=60°

又NAEC=ZF'EA+ZF'EC,

/.ZAEC=90°,

,:EF、EG三等6NAEC(即/AEF=NEEG=NGEC)

Zz4EF=30°.

(2)由(1)知Z4EF=30。，

/.ZAEF=ZBAE,

：.EF//AB.

【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵在于通過(guò)構(gòu)造輔助線，轉(zhuǎn)化角度之間的關(guān)

系.

類型五、平行線a?平行線之間距離>??*證明★★求角度

?^7.如圖，直線與分別相交于點(diǎn)A,8,且AC，AB,AC交直線6于點(diǎn)C.

2

(1)若Nl=70。，求N2的度數(shù)；

(2)若AC=3,AB=4,BC=5,求直線4與6的距離.

12

【答案】(1)20。；(2)y

【分析】(1)依據(jù)直線2〃13,ACXAB,即可得到/2=90。一/3=20。；

(2)設(shè)三角形ABC中BC邊上的高為"依據(jù)？AAACMLBC/,即可得到

22

ABAC3x412

BC一丁。，

(1)解：因?yàn)閍//6,XI=10°

BC

所以/3=/1=70°,

又因?yàn)锳C_LAB,

所以/2+/3=90。，

所以/2=90°-70°=20°

(2)設(shè)三角形ABC中3c邊上的高為"

因?yàn)?c邊上的高線垂直于5c

又因?yàn)椤?/6，點(diǎn)A在直線。，

所以3c邊上的高即為直線。與人的距離,

因?yàn)長(zhǎng)AB-AC=LBC-/7,

22

所以直線。與b的距離為

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握：從一條

平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的距離.

舉一反三：

【變式】如圖，已知/C+NCED=180°,NC=NEDF,AF1DE于點(diǎn)G,DH_LBC于

H,AG=DH=3.

(1)求證：DE//BC；

(2)求點(diǎn)A到BC的距離.

【答案】(1)見(jiàn)分析(2)6

【分析】(1)根據(jù)已知求證NCED+/￡Z*=180。即可；

(2)根據(jù)平行公理得出Ab」BC,從而得出"即為點(diǎn)A到8c的距離，再根據(jù)線段的

和即可得出答案.

解：(1)VZC+ZCFD=180°,ZC=ZEDF,

：.ZCfD+ZEDF=180°,

DE//BC；

(2)AFYDE,DE//BC

AFIBC,

二AF即為點(diǎn)A到8C的距離，

AFIBC,DH1,BC,

：.DH=GF=3,

:.AF=AG+GF=6,

故點(diǎn)A到BC的距離為6.

【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的判定，點(diǎn)到直線的距離，平行線間的距離，熟知平行線

的判定定理以及平行線間距離處處相等時(shí)解題的關(guān)鍵.

類型六、平行線>??平移證明★★求線段長(zhǎng)

?>8.如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)ABC,按要求進(jìn)行下列作圖.

(1)過(guò)點(diǎn)B畫(huà)出AC的平行線；

(2)將2ABe進(jìn)行平移，使點(diǎn)A經(jīng)平移后所得的圖形是點(diǎn)。，點(diǎn)B與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)請(qǐng)畫(huà)

出平移后得到的.DE尸.

【答案】(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合網(wǎng)格即可求解;

(2)根據(jù)平移的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可求解.

(1)解：(1)如圖所示，直線即為所求；

(2)解：如圖所示，DE尸即為所求.

【點(diǎn)撥】本題考查了平移變換的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平移變換的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖，已知三角形4見(jiàn)，AC是的平分線，平移三角形ABC,使點(diǎn)C移

動(dòng)到點(diǎn)。，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是尸.

(1)在圖中畫(huà)出平移后的三角形EED；

(2)畫(huà)出點(diǎn)A到線段的垂線段A0；

(3)若/ZMB=70。，所與相交于點(diǎn)則°,ZDHF=

【答案】(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析(3)35°110°

【分析】(1)根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可；

(2)根據(jù)三角形的高的定義畫(huà)出圖形即可；

(3)利用角平分線的定義，平行線的性質(zhì)求解即可.

解：(1)如圖，三角形EED即為所求；

FA

(2)如圖，線段A〃即為所求；

(3)AC是NIMB的平分線，

ZDAC=-ZDAB」x70。=35。，

22

又,FEAB,

:.ZDHE=ZDAB=10°,ZFDA=ZDAC=35°,

ZDHF=180°-ZDHE=180°-70°=110°.

故答案為35。，no。

【點(diǎn)撥】本題考查平移變換，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵掌握

平移變換的性質(zhì).

類型七、認(rèn)識(shí)三角形三角形的邊>??求構(gòu)成條件會(huì)食求取值范圍

O.已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是4cm和9cm

(1)求第三邊的取值范圍；

(2)若第三邊的長(zhǎng)是偶數(shù)，求第三邊的長(zhǎng)；

(3)求周長(zhǎng)的取值范圍(第三邊的長(zhǎng)是整數(shù)).

【答案】(1)第三邊的取值范圍是5cm<X<13cm(2)第三邊的長(zhǎng)為6cm,8cm,10cm,

12cm.(3)18cm〈周長(zhǎng)<26cm

【分析】(1)根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊和三角形兩邊之差小于第三邊即可得到解

答；

(2)根據(jù)第三邊的取值范圍選出偶數(shù)即可；

(3)利用第三邊的取值范圍再加上已知的三角形兩邊長(zhǎng)即可求得.

解：(1)設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm,

9-4=5(cm),

9+4=13(cm),

???第三邊的取值范圍是5cm<x<13cm；

(2)由題意可知，其中偶數(shù)為6,8,10,12,

二.第三邊的長(zhǎng)為6cm,8cm,10cm,12cm.

(3)周長(zhǎng)=4+9+第三邊，

*.*5cm<第三邊<13cm,

；.]8cm〈周長(zhǎng)<26cm.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形三邊的三邊關(guān)系，解決此題的關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍：大

于已知兩邊的差，小于兩邊的和.

舉一反三：

【變式1】如圖，在△8C。中，BC=4,BD=5.

(1)求C。的取值范圍；

(2)若ZA=50°,ZBDE=l30°,求/C的度數(shù).

【答案】(1)1<C￡><9(2)80°

【分析】(1)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，據(jù)此可得。

的取值范圍；

(2)先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到NAM的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到/

C的度數(shù).

(1)解：:△BCD中，BC=4,BD=5,

.,.5-4<C￡><5+4,

；.CQ的取值范圍是：1<C￡><9；

(2)解：'：AE//BD,

：.ZAEF^NBDE=130°,

NAEP是AACE的外角，

NC=ZAEF-ZA^130°-50°=80°.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題

時(shí)注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊.

【變式2]已知在，AFC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別為a、b、c.

(1)化簡(jiǎn)代數(shù)式\a+b-c\+\b-a—c|=.

(2)若N3=NA+18。，ZC=ZB+18°,求ABC的各內(nèi)角度數(shù)；

【答案】(1)2。(2)42°,60°,78°

【分析】(1)根據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可去掉絕對(duì)值符號(hào)，再進(jìn)行整式的加減運(yùn)算即可

求得；

(2)首先把/B=/A+18。代入/C=/3+18。，可得/C=NA+36。，再根據(jù)三角形內(nèi)角

和定理，即可求得.

(1)解：在qABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別為。、b、c,

:.a+b>c,b-a<c,

—c>0,b—a—c〈0,

Q+Z7—c|+1Z?—a—c|

=a+Z?—?！?/7一〃—c)

=a+b-c-b+a->rc

=2。，

故答案為：2a?,

(2)解：ZB=ZA+18。，ZC=ZB+18°,

.?.ZC=ZA+18°+18°=ZA+36°,

ZA+ZB+ZC=18O°,

.*.ZA+ZA+18°+ZA+36°=18O°,

解得NA=42。，

故/3=42。+18。=60。，ZC=60°+18°=78°,

故ABC的各內(nèi)角度數(shù)分別為42。，60°,78°.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形三邊的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理，整式的加減運(yùn)算，熟練掌

握和運(yùn)用三角形三邊關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵.

類型八、認(rèn)識(shí)三角形>?>*三角形三條重要線段邊長(zhǎng)★★面積(周長(zhǎng))角度

^^10.如圖，已知AD、AE分別是ABC的高和中線AB=9cm,AC=12cm,

3C=15cm,ABAC=90°.試求：

(1)的面積；

(2)AD的長(zhǎng)度；

(3)/XACE與一池￡1的周長(zhǎng)的差.

【答案】(D27cn?；⑵《cm；(3)3cm.

【分析】⑴先根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出%因=54加2,然后利用鉆是邊BC的中

線，得到S.BE=2S.8C；

(2)利用面積法得到［AO-BCulAaAC,即可求出AD的長(zhǎng)；

22

(3)由ZVICE的周長(zhǎng)一ABE的周長(zhǎng)=AC-AB,即可求得答案.

(1)解：ABC是直角三角形，ABAC=90°,AB=9cm,AC=12cm,

2

SMJiC=—x9xl2=54(cm),

AE是BC上的中線,

:.BE=EC,

(2)解：za4c=90°,AT＞是BC上的高,

:.-ADBC=-ABAC,

22

(3)解：AE是BC邊上的中線，

:.BE=CE,

ZkACE的周長(zhǎng)——ABE的周長(zhǎng)=AC+AE+CE—(AB+3E+AE)=

AC-AB=12-9=3(cm),

即/XACE和dABE的周長(zhǎng)差是3cm.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積公式，以及三角形的中線將三角形分成面積相等的兩

部分，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與公式是解決此題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，在ABC中，AE是邊2C上的高.

⑴若AD是邊上的中線，AE^5cm,5ABe=30cm+求DC的長(zhǎng).

(2)若A。是「ABC的角平分線，4=40。，ZC=50°,求ND4E的大小.

DE

【答案】(1)CD=6cm(2)NZME=5。

【分析】(1)利用三角形的中線平分三角形面積得出Z3c=15cm2,進(jìn)而利用三角形

面積得出8的長(zhǎng).

(2)依據(jù)4=40。，ZC=50°,可知為直角三角形，再根據(jù)AD為中線，即可

得到△ABD為等腰三角形，即可得到4DE的度數(shù)，進(jìn)而得出ZZME的度數(shù).

解：（1）AD,AE分別是邊3c上的中線和高，AE=5cm,5ABC=30cnr,

SADC=15cm,

:.—xAExCD=15,

2

—x5xCD=15,

2

解得：Cr）=6（cm）；

（2）ZB=40°,ZC=50°,

ABAC=90°,

又?A。為N84C的角平分線，

.-.ZZMC=45°,

又iAE_L3C,ZC=50°,

ZE4c=40。,

:.ZDAE=ZDAC-ZEAC=5°.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了三角形的面積以及三角形中線以及高線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出

SAWC是解題關(guān)鍵.

【變式2】按下列要求畫(huà)圖并回答問(wèn)題：

（1）在圖1中將ABC的面積分成1：3的兩部分，并描述你的作法；

圖1

（2）在圖2中，完成以下問(wèn)題:

圖2

①作ABC的高3。，CE；

②比較ZABD/ACE的大小（用填空）；

③請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺（只能畫(huà)直線）作出2C邊上的高AF,描述他的作法.

【答案】（1）作圖見(jiàn)分析，作法：找到線段2C的四等分點(diǎn)E,連接AE；（2）①作圖見(jiàn)

分析；②二;③見(jiàn)分析，延長(zhǎng)BO,CE交于點(diǎn)、0,連接。4并延長(zhǎng)，交3c于點(diǎn)尸，則AF為

BC邊上的高.

【分析】(1)若將,ABC的面積分成1：3的兩部分，找到BC的四等分點(diǎn)，利用三角形

面積計(jì)算公式即可解答；

(2)①根據(jù)高線的作法作圖即可；

②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案；

③根據(jù)三角形的三條高線交于一點(diǎn)，先作出交點(diǎn)，進(jìn)而可得高線

(1)解：如圖所示，

圖1

13

找到線段BC的四等分點(diǎn)E,連接AE,則53櫥SACE=^S

?q?q—i-3

(2)解：①作圖如下：

如圖，BD,CE分別為，ABC邊AC和邊A3上的高，

作法：過(guò)點(diǎn)2作C4的垂線交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作54的垂線交瓦1的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E,垂足分別為點(diǎn)。和點(diǎn)E,線段8D,CE即為所求；

②：NBDA=NCEA=90。,ZBAD=NCAE,

：.ZABD^ZACE,

故答案為：=；

③如圖，延長(zhǎng)8￡>,CE交于點(diǎn)。，連接Q4并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F,則"為BC邊上

的高.

理由：?..點(diǎn)。為，ABC邊AC和邊A2上的高線的交點(diǎn)，

高線鉆過(guò)點(diǎn)O,

連接。4并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)尸，AF為2C邊上的高.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積，三角形高線的作法和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知

識(shí)，掌握三角形三條高線交于一點(diǎn)(即垂心)是解題的關(guān)鍵.

類型九、認(rèn)識(shí)三角形”**三角形內(nèi)角和“》?平行線★★角平分線

▼11.(1)如圖1,三角形ABC中，試用平行線的知識(shí)證明/A+/8+/C=180。；

(2)如圖2