八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（浙教版）

專題02二次根式分母有理化

【典型例題】

1.（山東中區(qū)?八年級期中）閱讀下面式子：

1lx（V2-l）_1lx（V3-V2）「廠i1X（75-2）「

—j=—=~r~r—\（—\=應(yīng)-L~r—r=T~r-----\T~r-----\?-叵，~r-----=T~F------\T~r----\=亞-2

V2+1（夜+1）（后-1）V3+V2（有+2）（若-2）V5+2（有+2）（君-2）

根據(jù)以上解法，試求：

（1）-^―~/=（"為正整數(shù)）的值；

7n+1+7n

11111

⑵17&+石京+西石+…+標(biāo)+聞+屈+皿的值

【答案】（1）而1-6；（2）9

【解析】

【分析】

（1）由題意根據(jù)材料所給出的解法進(jìn)行分析計算求解即可；

（2）根據(jù)題意直接依據(jù)材料所給出的解法得出規(guī)律進(jìn)行計算即可.

【詳解】

皿/＜、1y/n+1—y/ni-------[―

解：（1）,-----_T==,------『-1=-L=+；

\jn+l+yjn（＜?+1+V?）（V?+1-A/?）

]1]]]

1+V2+V2+V3+73+5/4++A/98+A/99+V99+V100

=V2-1+V3-V2+---+A/99-A/98+A/T00-A/99

=-1+10

=9.

【點睛】

本題考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵.

【專題訓(xùn)練】

一、解答題

1.（上海徐匯?八年級期末）計算：拒X底+播一宿?

【答案】3A/3+2A/6-4

【解析】

【分析】

先根據(jù)二次根式的乘法、分母有理化和完全平方公式化簡，再計算加減即可.

【詳解】

解：原式=2國有+1-5+2?,

=3若+2而-4.

【點睛】

本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運算順序和法則.

2.（上海普陀?八年級期末）計算：）（而'一1）+/廣一*.

V3+V2V8

【答案】6-2^2

【解析】

【分析】

先利用二次根式的乘法法則運算，再分母有理化，然后化簡后合并即可.

【詳解】

解：原式=J3xl2_石+石

=6-2&.

【點睛】

本題考查了二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則.

3.（上海市莘光學(xué)校八年級期中）計算：y/12-一（后+布）.

2-V3

【答案】-273-4

【解析】

【分析】

先計算二次根式的乘法與除法，再去括號，合并同類二次根式即可.

【詳解】

解：V12-一弓=-應(yīng)（瘋？+遍）

=2A/3-(2?3)-1-273

=-273-3-1

=-2^-4

【點睛】

本題考查的是二次根式的混合運算，掌握"二次根式的加減乘除運算的運算法則與混合運算的運算順序〃是解

本題的關(guān)鍵.

12

4.（上海奉賢區(qū)陽光外國語學(xué)校八年級期中）計算:-A/3(A/3-V6)+(1-A/3)

A/2-I

【答案】4A/2-2A/3+2

【解析】

【分析】

先分母有理化，同步進(jìn)行二次根式的乘法運算，再合并同類二次根式即可.

【詳解】

解:———石(目-向+(1-后

A/2-I

=嚴(yán)蕊可(.9+㈠9

=A/2+1-3+3-\/2+4-2^3

=4忘-2后+2

【點睛】

本題考查的是二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算的運算順序與運算法則是解題的關(guān)鍵.

5.（江西樂平?八年級期中）閱讀下列解題過程，并解答問題.

①一戶廠=勺后廠=也-貶

V3+V2(V3+V2)(V3-V2)(A/3)2-(V2)2

②而-而;而（而一廂）（而+而）1

]x（而+9）-（7iT+Vio）'

1

（1）直接寫出結(jié)果

y/n+1+y[n

（2）化簡：V27I+^772+V47V3+-+^Ootv99；

（3）比較大?。海?017-J2016與J2016-J2015.

【答案】（1）VW+T-A/W；（2）9；（3）J2017-02016<J2016-J2015

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)所舉例子，分子、分母都乘以而斤-血，化簡即可；

（2）根據(jù)（1）中結(jié)論計算即可；

（3）把所給代數(shù)式式的分母看做是1,然后把分子、分母都乘以分子的有理化因式化簡后比較;

【詳解】

1Jn+l-GJ〃+l-冊

解:⑴4+1+”=（附+人）（附一〃）二（內(nèi)「（《『=附-而

（2）原式=拒-1+6-夜+/-昌+7100-799,

=-1+應(yīng)-夜+6-6+/+-^/99+^/[00=7100-1=9；

（3）V2017-V2016=.1.,A/2016-V2015=.1.,

V2017+V2016J2016+J2015

[1

J2017+J2016J2016+J2015'

J2017-V2016<72016-V2015

【點睛】

本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解答本題的關(guān)鍵，整式的乘法的運算公

式及運算法則對二次根式的運算同樣適應(yīng).

6.（全國?八年級期中）閱讀下列材料，然后回答問題

在進(jìn)行二次根式化簡時，我們有時會碰上如翥q

這樣的式子，我們可以將其分母有理化:

2=2x（百-1）=2x（6_l）=2（君-1）=石_]

石+「函+1）函-1廣（后-F―2

223-1（后-肝_（昌i）（舁1）」

還可以用以下方法分母有理化:

73+1石+1A/3+I-A/3+I-A/3+I-.

2

⑴請用不同的方法分母有理化:有+也;

⑵化簡：號r+武石+己方++.

【答案】⑴逐-石，見解析

（2）1

【解析】

【分析】

2（75-73）5-3_（如一石）（如+6）

（1）法一:;法二:,進(jìn)行求解即可;

原雙一（6+新函-亞有+百一75+73

6-1A/5-A/3幣-非3-近

（2）：原式二（百+1）阿-1）+旭+6）旭-@+（嶼+石）（近-石，（3+⑺（3-⑺化簡求解即可?

（1）

2

解：法一：再不

2（75-V3）

一（石+6）（6-&

=?-6；

法二:

5-3

一國6

（若一6）（。+6）

一A/5+A/3

=亞-出；

⑵

*x/^—]y/s5/3-"x/^3—

解：原式=（6+1）（石-「（1+⑹（逐-@+（近+逐）（S-灼+（3+⑺（3-⑺

A/3-I垂4-石3-77

=------1---------1---------1------

2222

=1.

【點睛】

本題考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法運算，平方差公式等知識.解題的關(guān)鍵在于正確的將

分式中的分母有理化.

2

7.（湖南雙峰?八年級期末）在進(jìn)行二次根式的化簡時，我們有時會碰上如這樣的式子，其實我們還

國1

需要將其進(jìn)一步化簡：2X(V3-1)=2G/3-1)^^_e以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

A/3+I(V3+1)(73-1)(V3)2-12

也可以用如下方法化簡：-r3—=^1=(#2T2"+?回1)=石_1

V3+1近+1V3+1V3+1

⑴請用兩種不同的方法化簡7/后；

⑵化簡：看+…+&+S&T.

【答案】⑴6-6

mJ2〃+1—1

2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)所提供的的兩種方法計算即可；

(2)根據(jù)題干提供的方法變形計算即可;

(1)

22X(辰揚_r-_r-

法一:

也+追一(舟向萌_?一

抄一2=5-3_(?2—(道)2_(若+百)(若一道)=六r-

=

?ZA—?:-—一產(chǎn)~'F產(chǎn)—YJ-YD?

V5+V3V5+V3V5+V3V5+V3

⑵

盾一(百-1),(小-后),(E后,,Q2n+172n-l)

八-(^+1)(73-1)(V5+73)(75-V3)而+病麗-&)Q2n+1+以-1)(3+1-4-1)

=1X(-1+V3-A/3+V5-V5+A/7----+V2/I+1)

J2/+1-1

2

【點睛】

本題考查的是分母有理化，關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題.

8.(湖南懷化?八年級期末)閱讀并解答問題:

72-1

1=72-1

V2+1(V2+1)(V2-1)

173-72

=5/3-A/2

A/3+V2(V3+>/2)(A/3-A/2)

=2_?

2+石(2+⑹(2一司

上面的計算過程叫做“分母有理化”，仿照上述計算過程，解答下列問題：

⑴將在士的分母有理化；

⑵已知"UFb=h,求j的值；

⑶計算-T^—+L1L+…+~j=——1=+1-t=

V2+16+及V99+V98V100+V98

【答案】⑴百-2

（2）277

（3）4+3布一:血

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)所給"分母有理化"的規(guī)律即可求解；

（2）根據(jù)所給"分母有理化"的規(guī)律分別求出。和b的值，再相加即可.

（3）根據(jù)所給“分母有理化"去分母，再進(jìn)行加減混合計算即可.

⑴

華1____耳-2____=亞_2

解：笠+2一（石+2）（0一2）一''

⑵

1#i-瓜=%11近+而二

解：,一百南一（7+甸（6一網(wǎng)一"‘一"二百一（嶼_旬（6+旬一

??67+Z?—y/y-y/3+?

（3）

解—----1----1------1---1-----1-------1-----1-------

V2+16+收回+廊VWO+A/98?

=^-1+V3-A/2+---+V99-A/98+|（-7100-A/98）,

=-1+A/99+-V100--798,

22

=-1+5+3>/11-->/2,

2

=4+3A/TT--V2.

2

【點睛】

本題考查二次根式的混合運算，利用平方差公式分母有理化，讀懂題干，掌握分母有理化的方法和規(guī)律，

注意分母中被開方數(shù)差1與被開方數(shù)差2的不同結(jié)果是解答本題的關(guān)鍵.

9.（湖南岳陽?八年級期末）王老師讓同學(xué)們根據(jù)二次根式的相關(guān)內(nèi)容編寫一道題，以下是王老師選出的兩

道題和她自己編寫的一道題.先閱讀，再回答問題.

（1）小青編的題，觀察下列等式：

百M（0+1）（至1）=（可_仔=3一1

直接寫出以下算式的結(jié)果:

（〃為正整數(shù)）

A/7+A/5+1+—1

（2）小明編的題，由二次根式的乘法可知：

（肉1『=4+2后，（肉可=8+2厲，（布+時=a+6+2疝

再根據(jù)平方根的定義可得

^4+2-\/3=+1，+2A/15=yfs+5/3'Ja+6+2jab=\[a+s[b（a>0,>0）

直接寫出以下算式的結(jié)果：

y）6+2A/5=,64-2有=，+4A/3=:

（3）王老師編的題，根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成以下計算：

f+廠二廣+J+2+2_}.J12+2&T

1^73+1V5+V3<7+V5V9+V7+V9J

【答案】（1）幣-亞,而TT-歷（"為正整數(shù)）；（2）75+1,A/3-I,2+6；⑶10

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題干提供的方法進(jìn)行分母有理化即可；

（2）分別把每個被開方數(shù)化為某個數(shù)的平方，再化簡即可；

（3）先把括號內(nèi)每一項分母有理化，再合并同類二次根式，同步化簡42+2而，最后利用平方差公式計

算即可.

【詳解】

2（77-^）

=不-非，

解:⑴后3

2（j2〃+l-12〃-1）

2

J27z+1+J2w-1（J2〃+1+J21）（J2〃+1-A/2〃-1）

2（以+1-<2n-1）

A/2H+1-y/2n-1.

2〃+l-2〃+l

故答案為：近-0，^/2^i-^/2^T（〃為正整數(shù)）

（2）J6+26=灼、26+F=,（6+1）2=5+1,

，4-28={（可-2&+仔=/&可=^3-1,

77+473=上+4舟（⑹2=*2+6j=2+亞

故答案為：A/5+I,6-1,2+5/3

（3）{—；=--F—j=—7=+—j=—1=+—j=—1=+—；=—7=]?A/12+2\/11

<v3+lV5+V3V7+V5V9+V7V11+V9）

=（百-1+君-石+近_占+囪-6+而-碼（而+1）=（而_1）（而+1）=10

【點睛】

本題考查的是分母有理化，二次根式的化簡，掌握"分母有理化，二