6.2等差數(shù)列

【考點梳理】

i.等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個賞數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做

等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，即斯一a“T=d(〃eN+,且”22)或?±匚

&=d("GN+).

2.等差中項三個數(shù)a,A,。成等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項.

3.等差數(shù)列的通項公式

若｛a.｝是等差數(shù)列，則其通項公式a“=ai+(〃-l)d.

單調(diào)性：d>0時，*一為單調(diào)遞增數(shù)列;d<0時，｛斯｝為單調(diào)遞減數(shù)列;d=0時，｛斯｝為常數(shù)列.

4.等差數(shù)列的前〃項和公式

(1)等差數(shù)列前n項和公式"%)『皿+〃上其推導(dǎo)方法是倒序相加法.

(2)｛斯｝成等差數(shù)列，求出的最值：

fCln__，_

若ai>0,d<0,且滿足一時，S,最大；(》0W0)

〔斯+1___

fCln__，_

若0<0,d>0,且滿足一時，S”最小；(40》0)

〔斯+1___

或利用二次函數(shù)求最值；或利用導(dǎo)數(shù)求最值.

5.等差數(shù)列的性質(zhì)

八、,、7Fin7〃根一

(l)a—a—(m—n)d,即d=.

mn-----m-n

(2)在等差數(shù)列中，若p-\-q—m+n,則有ap+aq=am+若2m=p+q,則有2azM=他+他(/?,q,m,ne

N*).但要注意：在等差數(shù)列a〃=切+Z?中，若機(jī)=p+q,易證得廝=他+為成立的充要條件是。=0,故對

一般等差數(shù)列而言，若m=p+q,則即=他+他并不一定成立.

(3)若｛為｝,｛勿｝均為等差數(shù)列,且公差分別為4,必,則數(shù)列｛2?”｝,｛斯+外,｛以土兒｝也為笠差數(shù)列，且公

差分別為pdi，d\,di+di.

(4)在等差數(shù)列中，按序等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即an,all+m,即+2小…為等差數(shù)列，公差

為md.

(5)等差數(shù)列的前“項和為S”,則S”Sln-Sn，S3.一…為等差數(shù)歹！J,公差為/d.

考點一等差數(shù)列及其通項公式

【例題】(1)下列數(shù)列不暈等差數(shù)列的是()

A.0,0,0,0,...B.—2,—1,0,...,n-3,.

C.1,3,5,…，2n—1D.0,1,3,

2

【答案】D

【解析】選項A中，后項減前項所得差均為0,是等差數(shù)列；選項B中，后項減前項所得差都是1,是等差

數(shù)列；選項C中，后項減前項所得差都是2,是等差數(shù)列；選項D中，1-0w3-1,不是等差數(shù)列，故選:

D.

(2)若。、6、c成等差數(shù)列，則()

A.2b=a+cB.2b=acC.b2=a+cD.b2=ac

【答案】A

【解析】因為。、b、c成等差數(shù)列，則6-a=c-6,可得2b=a+c,故選：A.

(3)已知等差數(shù)列｛4｝中首項q=2,公差d=2,則%=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【解析】因為等差數(shù)列｛4｝的首項q=2,公差d=2,所以％=%+(5-Dd=2+4x2=l。，故選：D.

(4)等差數(shù)列｛4｝中，若。3=6,4+%=6,則為等于()

A.-1B.0C.-2D.1

【答案】B

【解析】因為1+11=3+9,所以q+孫=%+%，所以%+6=6,所以q=0；故選：B

(5)已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,a"+|=a“+2(weN*),貝1].

【答案】32

【解析】由題意可知，對任意的“cN*,4+「4=2,故數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，所以，

.16=4+2x15=32,故答案為：32.

【變式】(1)在等差數(shù)列｛%｝中，若%=4,4=1。，則公差"=.

【答案】2

【解析】由題意3〃=%-%=1。-4=6,1=2,故答案為：2.

(2)等差數(shù)列｛〃“｝的前三項依次是。-1,a+2,2a+\,貝11。值為()

A.2B.1C.4D.8

【答案】C

【解析】由題意a-l+2a+l=2(a+2),解得。=4,故選：C.

(3)已知數(shù)列｛%｝滿足％=2,a.+「a”+l=0(/eN*),則此數(shù)列的通項公式為=.

【答案】一〃+3

【解析】因為4=2,an+l-an=-l,所以見=q+(”-l)x(-l)=2-〃+1=-"+3,故答案為：一〃+3

(4)已知｛。“｝為等差數(shù)列，/+%=28,則&=().

A.14B.16C.18D.20

【答案】A

【解析】因為%+%=28,所以愛=14,故選：A.

(5)在等差數(shù)列｛?｝中，若。3+%=12,“6=8,則數(shù)列｛g｝的公差d=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

[2a,+6d-12伉=3

【解析】由生+%=12,4=8,得一。，解得]?，故選：A.

[4+5d=8[d=l

考點二等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和

【例題】(1)記S,,為等差數(shù)列｛g｝的前〃項和，若S3=9,q=2,則%=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛6｝的公差為d，由$3=9,得3q+3d=9,即q+d=3,又％=2,所以d=l,故

4=2+4=6,故選：D.

(2)記S,為等差數(shù)列｛q｝的前"項和.若％=-2,a2+a6=2,則Sg=()

A.-54B.-18C.18D.36

【答案】C

【解析】設(shè)公差為d,則出+%=24+6d=-4+6d=2,解得[=1,所以a“=〃-3,所以

9(4+%)=9x(-2+6)=]8,故選：c.

922

(3)在等差數(shù)列｛%｝中，4+1+%=15,則此等差數(shù)列的前9項之和為()

A.5B.27C.45D.90

【答案】C

a

【解析】依題意q+a+&=15,即3q+12d=15,即3a5=15,所以品=/(弓+%)=9%=45，故選：C.

(4)設(shè)等差數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項和為5"，若S3=8，$6=20,貝-

【答案】36

f3q+3d=82049x8

【解析】由…M解得q=?,d=x，$9=9%+丁4=20+16=36,故答案為：36.

[6〃]+15d=20992

S

(5)設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，/=2%，則薩=()

?4

75

A.-B.-1C.1D.-

44

【答案】C

【解析】在等差數(shù)列｛4｝中，2%=4+。6，。4=2〃5，故4=。，又2%=%+%，故%=一〃5，

S

則邑=34+%+。6+〃7=§4，故寸=1，故選：C.

(6)一個等差數(shù)列的第4項為12,第8項為4,則此數(shù)列的第12項為.

【答案】Y

【解析】設(shè)等差數(shù)列為｛%｝，由題意，4=12,%=4,又4+12=2x8,所以由等差數(shù)列的性質(zhì)有限+%=2%，

即12+%=2X4,解得出=-4,故答案為:-4.

【變式】(1)等差數(shù)列也｝的前〃項和為弘若。3=4,既=18,則公差d=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

q+2d=4

【解析】由題可知L9x80na,=6

J11-1'故選：B

9q+-^—-<7=18

(2)設(shè)S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若4=1,公差d=2,S“=25,貝l]〃=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】因為％=1,d=2,所以S=〃+也二DX2="=25,解得〃=±5(舍負(fù))，故選：B.

“2

(3)記S,分別為等差數(shù)列｛%｝的前九項和，若%=21-2〃，則$=.

【答案】100

19+1

【解析】4=19馮。=1,所以前io項的和為/=.xl0=100,故答案為：100.

(4)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前w項和為S“，若Sg=90,貝!!%+%=.

【答案】20

【解析】由題意得為=("+%)*9=(2+/)義9.go,故出+4=20,故答案為：20.

22

(5)已知等差數(shù)列｛”“｝的前w項和為S“，若5”=2,8”=6,則邑“=()

A.8B.12C.14D.20

【答案】D

【解析】等差數(shù)列｛g｝的前〃項和為S“，S“=2,S2.-S,=6-2=4，則%S2n-Sn,S3n-S2n,S.-t

構(gòu)成首項為2,公差為2的等差數(shù)列，貝ijS.=Sn+(S2n-S?)+(S3?-52?)+(S4n-S3?)=2+4+6+8=20,故選:

D.

（6）已知等差數(shù)列｛%｝的前”項和為S“，若59=18,5“=240,a1=30,則〃的值為（)

A.18B.17C.16D.15

【答案】D

【解析】因為$9=9%=18,故%=2,又$="（%+*）=240,故“2+30）=240,所以“=15,故選：

22

D.

【方法總結(jié)】

1.等差數(shù)列中，已知5個元素0，an,n,d,S.中的任意三個，便可求出其余兩個.除已知內(nèi)，d,及求

an,S“可以直接用公式外，其他情況一般都要列方程或方程組求解，因此這種問題蘊含著方程思想.注意,

我們把m，d叫做等差數(shù)列的基本元素.將所有其他元素都轉(zhuǎn)化成基本元素是解決等差數(shù)列問題的一個非常

重要的基本思想.

2.求等差數(shù)列｛詼｝前〃項的絕對值｛|叫｝之和，首先應(yīng)分清這個數(shù)列哪些項是負(fù)的，哪些項是非負(fù)的，然后

再分段求和.

3.等差數(shù)列前〃項和的最值通常是在正負(fù)項分界的位置產(chǎn)生，利用這一性質(zhì)可求其最值；另一種方法是利

用二次函數(shù)的性質(zhì).

4.靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)（如等差中項的性質(zhì)），可簡化運算.

6.2等差數(shù)列

一、選擇題

1.等差數(shù)列｛風(fēng)｝中，若q=T,g=5,則公差d=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】由4=-1,%=5得3d=。4-卬=6=>"=2,故選：A.

2.等差數(shù)列｛4｝的首項為=1,公差1=2,｛%｝的前”項和為S“，則％=（）

A.28B.31C.100D.145

【答案】C

【解析】由題意得%。=4+94=19,品=10（4；卬。）=ioo,故選：c.

3.已知在等差數(shù)列｛%｝中，%+%=2。,%=12,則%=（）

A.8B.10C.14D.16

【答案】D

d+3d+q+7d=20fa=0

【解析】設(shè)公差為d,則"仃io，解得」c，所以〃9=4+8。=16,故選:

[4+6d=12[a=2

D.

4.已知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，若〃]+%+%=15,則。2+4的值為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【解析】由題意得：%+。5+。9=3%=15,所以。5=5,故%+〃8=2%=1。，故選：D.

5.3.已知｛%｝是等差數(shù)列，其中。2=4,%=9,則數(shù)列｛4｝的前9項和為（）

117

A.—B.63C.126D.11

2

【答案】B

,、[ck+d=4[CL=3

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，因為g=4,%=9,所以1+64=9'解得[=1'

所以4=4+(〃-l)d=3+(〃一l)=〃+2,〃eN*,所以為=9+2=11,所以數(shù)列｛%｝的前9項

和為9（1+%）=9X（3+11）=63,

故選：B.

22

6.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和.若4邑=3邑+S’，%=5,則％。=（）

A.3B.7C.11D.15

【答案】D

【解析】由4邑=3星+54得：2q+3d=0,由%=5得：1+41=5,聯(lián)立兩式可得：

q=—3,d=2,所以a,=-3+=2〃-5,所以％°=20—5=15,故選：D.

7.等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S〃，若幾=10,則。5+4=（）

45

A.1B.-C.-D.4

33

【答案】B

［解析］因為九=1"“；&）=以3+%）=io,所以為+4=；故選：B.

8.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，為，須是方程f-3x-21=0的兩根，則數(shù)列｛風(fēng)｝的前20項

和為（）

A.-30B.-15C.15D.30

【答案】D

【解析】出，“16是方程d-3尤-21=0的兩根，所以％+%=3,又｛4｝是等差數(shù)列，所以

其前20項和為2°（卬+外）=20（%+外）=30,故選：D.

22

9.已知等差數(shù)列｛%｝的前5項和為15,則&+3g=（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】C

【解析】由$5=54=15,解得。3=3,設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為亂則

4+3%=4+5d+3%+3d=4%=12.

故選：C.

10.已知S“是等差數(shù)列｛七｝的前〃項和，且%>0,&+%<。則（）

A.數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列B.a8>0C.S”的最大值為S7D.S14>0

【答案】C

【解析】4+4=%+6<。，因為%>°,所以。8<°，所以B錯，公差d=<。,所以A錯，

因為前7項均為正，從第8項開始為負(fù)，所以S“的最大值為S7，所以C對，

幾=14(4；7(%+&)<0,所以D錯,故選：C.

二、填空題

11.已知等差數(shù)列｛?！埃?q=3,%=7,則％=.

【答案】5

【解析】由題意2a3=4+%=1。，%=5,故答案為：5.

12.若6是2,8的等差中項，則。=.

【答案】5

OIQ

【解析】由題意，若6是2,8的等差中項，則6=望=5,故答案為：5.

13.已知數(shù)列｛%｝中，4=1,=2(”eN*),貝!Ja“=.

【答案】2n-l

【解析】因為。“+「％=2(”eN*),所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，公差d=2,又％=1,所以

?！?1+2(〃-1)=2?—1.

故答案為：2n-l.

14.已知等差數(shù)列｛%｝中，4，出021分另1」是方程月一4工一1=0的兩個根，則?廣.

【答案】2

【解析】由。1，出021分別是方程爐-4》-1=0的兩個根，得生+為021=4,因為｛?！埃堑炔顢?shù)

列，所以q°u=gg=；=2,故答案為：2.

15.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且%=3,$5=25,則數(shù)列｛4“｝的公差

d=.

【答案】2

5x4

【解析】由題意知，a｝=a2-d=3-d,1=54+;一1=5(3-〃)+10〃=25,解得d=2,

故答案為：2.

16.設(shè)S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若邑=4,邑=16,則臬=.

【答案】36

【解析】因為S,,為等差數(shù)列也,｝的前a項和，所以S2，S「S2，S6-S,也成等差數(shù)列，即

4,12,$6-16成等差數(shù)列，所以2xl2=￡-16+4nS6=36,故答案為：36.

17.三數(shù)成等差數(shù)列，首末兩數(shù)之積比中間項的平方小16,則公差為.

【答案】±4

【解析】由等差數(shù)列,設(shè)三數(shù)依次為。-。+d,d為公差，由題意得：(。-4)(a+d)=a2-\6,

解得d=±4,故答案為：±4.

18.設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，且％=2,%=6,若數(shù)歹U｛瘋｝是等差數(shù)列，則

J=?

【答案】32

【解析】匾=夜,6=20,所以等差數(shù)歹U｛底｝的首項為夜，公差為痣，所以

店=4也邑=32.

故答案為：32.

三、解答題

19.已知等差數(shù)列｛4｝中，/=2,4+%=6.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列的｛q｝前〃項和S”.

【答案】(1必=〃；(2)S?=|n2+1n.

,、[a.+d=2

【解析】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，因為電=2,4+%=6,所以j1+4d=6,

解得q=d=1,

所以4=1+(〃-1)="；

-n(n-\\1021

(2)Sn=naxH——、--d=—n+—n.

20.在等差數(shù)列｛4｝中，a2+a5=24,%=66.

(1)求。2021的值;

(2)2022是否為數(shù)列｛%｝中的項？若是，則為第幾項？

【答案】(1)8082(2)2022是數(shù)列｛%｝中的第506項

【解析】解：(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列｛?！ǎ氖醉棡?,公差為d,由出+%=24,%=66,

+d+q+4d=24,[a.=2,,、

即;a+16d=66解得|；=4,所以，數(shù)列｛《，｝的通項公式為4=2+4(〃-1)=4〃-2,

所以“2021=4x2021-2=8082.

(2)令。,=4〃-2=2022,解得“=506,所以，2022是數(shù)列｛q｝中的第506項.

21.已知S“是等差數(shù)列｛4｝的前"項和，％=-5,%+/=。.

(D求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若5“=40,求”的值.

【答案】(1)4=2“一7(2)10

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,因為q=-5,所以

%+%=(4+2d)+(q+3d)=2q+5d=—10+5d=0,角阜^^d=2,以

an=%=2n-7.

(2)s」―5+(2”_7)｝”“2_6〃,因為Sn=40,所以〃2_6〃=40,解得“=10或"=T,

〃2

因為〃$N*,所以〃=10.

22.已知數(shù)歹！]｛4｝中a“+i=%-4,且q=13.

(1)求知;

(2)求數(shù)列｛4｝的前w項和S”的最大值.

【答案】(1)?！?-4”+17；(2)28.

【解析】解：⑴