第10講勾股定理與勾股定理逆定理

考點一勾股定理

【知識點睛】

?直角三角形勾股定理

\在Rt^ABC中，兩直角邊的平方和=斜邊的平方，即

bV常見變形:°?="+/；0=J"/；.=42—/

cH—

?注意事項：當(dāng)直角三角形的給出的兩邊沒有說明是什么邊長時，利用勾股定理求長度

時通常需要分類討論

?直角三角形求長度其他常用相關(guān)性質(zhì)有：

直角三角形斜邊上的中線小斜邊長

等腰三角形的兩腰長相等；

等腰三角形的“三線合一”

中垂線的性質(zhì)定理；

1.直角三角形的兩條邊長a,b滿足|3-aIW^R=0，則其斜邊長為（）

A.5B.V?C.4或5D.V7或5

2.如圖，在RtZXABC中，/C=90,AC=3,BC=4,C￡>是△ABC的中線，則A。的長為

)

A.2B.2.5C.4D.5

3.如圖，在3X3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1,則任意兩個格點間的距離不可

B.2&C.V5D.V7

4.我國是最早了解勾股定理的國家之一.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的證明是在商代

由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理

作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明.古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很

重視對勾股定理的研究和應(yīng)用.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

5.如圖，有一個水池，水面是一邊長為8尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水

面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池的一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根

A.7.5B.8D.9

6.為預(yù)防新冠疫情，學(xué)校大門入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測

溫儀離地面的距離A8=2.3米，當(dāng)人體進入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報告

人體體溫.當(dāng)身高為1.7米的學(xué)生CD正對門緩慢走到離門0.8米處時（即BC^0.8米）,

測溫儀自動顯示體溫，此時人頭頂?shù)綔y溫儀的距離AO等于(）

A.1.0米B.1.25米C.1.2米D.1.5米

7.如圖，在四邊形ABC。中，ZDAB=ZBCD=90a,分別以四邊形48C。的四條邊為邊

向外作四個正方形，面積分別為Si,S2,S3,S4.若Si=48,S2+S3=135,則&=()

C.119D.81

8.如圖Rt^ABC中，ZB=90°,8C=10,點尸是54延長線上一點，過點尸作FZ)〃BC,

交CA延長線于點點￡是CD的中點，若8尸=12,DF=5,則的長是()

A.3B.5C.6.5D.6

9.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,CD1AB,若AC+8C=3.5,46=2.5,則C。的

長為（）

A.1B.1.2C.1.25D.1.5

10.代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，構(gòu)造了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，

大正方形ABC。由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，若即，AD

=4旄，則△AOE的面積為（)

A.24B.6C.245D.2^10

11.勾股定理在平面幾何中有著不可替代的重要地位，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若

勾三，股四，則弦五”的記載,如圖1是由邊長均為1的小正方形和Rt/VIBC構(gòu)成，可

以用其面積關(guān)系驗證勾股定理,將圖1按圖2所示“嵌入”長方形LMJK,則該長方形的

面積為（）

12.如圖，將一副三角尺疊放在一起，若AB=2c%,則的長為

13.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形A8CZ）,

若A￡>=3,BC=5,則AB2+c￡)2=

14.如圖，一架梯子A8斜靠在某個胡同豎直的左墻上，頂端在點A處，底端在水平地面的

點8處，保持梯子底端8的位置不變，將梯子斜靠在豎直的右墻上，此時梯子的頂端在

點E處.已知頂端A距離地面的高度AC為2米，為1.5米.

（1）梯子的長為一米；

（2）若頂端E距離地面的高度所比AC多0.4米，則胡同的寬C尸為米.

15.如圖，已知，ZMON=ZBAC=90°,且點A在。M上運動，點8在ON上運動，若

AB=8,AC=6,則。C的最大值為.

16.如圖，在RtZ\A8C中，ZABC=9Q°,BC=?，AC=4j5，分別以的三條邊

AC、AB,BC為直徑畫半圓，則兩個月牙形圖案的面積之和（陰影部分）為一.

17.在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A,B,其中AB=AC,

由于某種原由，C到A的路現(xiàn)在己經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取

水點H（A,H,8在一條直線上），并新修一條路CH,測得C8=3hw,CH=2Akm,BH

=l.Skm.求原來的路線AC的長.

c

18.如圖，在△ABC中，AC=BC=6,E為BC邊上一點,,且CE=2,AE=2A/10.

（1）求A2的長；

（2）點尸為A8邊上的動點，當(dāng)△SEP為等腰三角形時，求AF的長.

19.如圖，在中，/。=90°,DE=16cm,EF=20cm,P,。是△。所的邊上的兩

個動點，其中點P從點E開始沿方向運動，且速度為每秒1C7",點。從點。開始

沿DfF-E方向運動,且速度為每秒2",它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為相

（1）DF=cm.

（2）當(dāng)點尸在邊的垂直平分線上時，f=s.

（3）當(dāng)點。在邊EF上時，求使△OF。成為等腰三角形的運動時間.

考點二勾股定理的逆定理

【知識點睛】

?勾股定理的逆定理

在aABC中，若兩邊的平方和=第三邊的平方，則該△為直角三角形

即在△ABC中，若〃+/=。2,則△ABC為直角三角形，且NC為直角

【類題訓(xùn)練】

1.以下列各組線段為邊作三角形，不能作出直角三角形的是（）

A.3,7,8B.6,8,10

C.1,2,V5D.0.3,0.4,0.5

2.如圖，小正方形的邊長均為1,A、B、C是小正方形的頂點，則NACB的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.如圖，某海域有相距10海里的兩個小島A和C,甲船先由A島沿北偏東70°方向走了

8海里到達8島，然后再從8島走了6海里到達C島，此時甲船位于B島的（）

A.北偏東20°方向上B.北偏西20°方向上

C.北偏西30°方向上D.北偏西40°方向上

4.如圖，正方形網(wǎng)格中每一個小正方形的邊長為1,小正方形的頂點為格點，點A,8,C

為格點，點。為AC與網(wǎng)格線的交點，則

5.如圖，四邊形A8CD中，AB1.BC,AB=4,BC=3,AD=12,CZ)=13,則四邊形ABC。

的面積是

，D

A

B

6.如圖，點A、B、C在正方形網(wǎng)格點上，則NABC+NACB=

II4II

4--J

B-

7.如圖，方格中的點A、B、C、D、E稱為“格點”（格線的交點），以這5個格點中的3

點為頂點畫三角形，共可以畫一個直角三角形.

8.如圖，點8為x軸上的一個動點，點A的坐標為（0,4）,點C的坐標為（4,1）,CE

軸于E點，當(dāng)點8的坐標為時，△ABC為直角三角形.

9.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B,連接A3,在網(wǎng)格中再找一個格點C,

使得△ABC是等腰直角三角形,

10.如圖所示，四邊形ABC。，ZA=90°,AB=3m,

CD-13m,DA—4m.