第9講直角三角形的性質(zhì)與判定

考點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)睛】

?直角三角形的性質(zhì)：

兩銳角互余；

斜邊上的中線(xiàn)一斜邊長(zhǎng)

30°角所對(duì)的直角邊=%斜邊長(zhǎng)

直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用常結(jié)合相關(guān)性質(zhì)有：

直角三角形

垂直的意義；

平行線(xiàn)的性質(zhì)；

等腰三角形等邊對(duì)等角；

角平分線(xiàn)的性質(zhì)；

三角形內(nèi)角和與外角和定理；

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

?Rt△中求角度時(shí)，有時(shí)是直角三角形性質(zhì)的單獨(dú)應(yīng)用，有時(shí)也是三角形有關(guān)角度性質(zhì)的

綜合考察；NA

?注意事項(xiàng)：如右圖，當(dāng)Rt△斜邊上的中線(xiàn)的條件出現(xiàn)時(shí)，常見(jiàn)考察方向有：R

①CD=%AB（或AB=2CD）；②A(yíng)D=CD=BD,即^ACD、Z\BCD均為等腰三角形；X

【類(lèi)題訓(xùn)練】

1.已知，在直角△ABC中，NC為直角，是/A的2倍，則NA的度數(shù)是（）

A.30°B.50°C.70°D.90°

2.如圖，已知RtZ\ABC和RtZXQEF,ZBAC=ZEDF=90°，點(diǎn)、F、A、D、C共線(xiàn)，AB.

E尸相交于點(diǎn)且EfUBC,則圖中與/￡相等的角有（）個(gè).

3.如圖，在中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為D.下列結(jié)論中，不一定成立

的是（）

B

D

A.NA與/I互余B.與/2互余C.ZA=Z2D.Z1=Z2

4.一個(gè)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)為5,斜邊上的高為4,則此三角形的面積為（）

A.40B.30C.20D.10

5.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,平分/CAB,且/B=30°,49=4,點(diǎn)E是AB

上一動(dòng)點(diǎn)，則。，E之間的最小距離為（）

C.2D.1

6.如圖，木桿A2斜靠在墻壁上，尸是的中點(diǎn)，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí),

木桿的底端B也隨之沿著射線(xiàn)方向滑動(dòng),則下滑過(guò)程中OP的長(zhǎng)度變化情況是（）

B.不斷變小

C.不變D.先變大再變小

7.如圖，在△ABC中，AE_L8C于點(diǎn)E,BO_LAC于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是4B的中點(diǎn)，連接。F、

EF,設(shè)/DFE=a,則NC的度數(shù)可表示為（）

C

A.aB.2aC.90°-aD.90°-Aa

2

8.如圖，在等邊AABC中，AB=10,P為8C上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)8,C重合），過(guò)點(diǎn)P

分別作POLAB于點(diǎn)D,PELAC于點(diǎn)E.若PE=2^，則PD的長(zhǎng)為（)

A

A.3B.C.5V3-6D.373

9.在△ABC中，NA=90°,ZB-ZC=14",則NB=0,NC=0.

10.如圖，在直角三角形ABC和直角三角形A3。中，ZACB=ZADB=90°,AB=10,M

是A8的中點(diǎn)，連接MC,MD,CD,若CD=6,則三角形MCD的面積為.

11.在Rt^ABC中，ZC=90°,其中一個(gè)銳角為60°,AB=10.若點(diǎn)°在直線(xiàn)AB上(不

與點(diǎn)A、8重合)，當(dāng)/QCB=30°時(shí)，C。的長(zhǎng)為.

12.將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過(guò)點(diǎn)C作C/〃交于點(diǎn)足

(1)求證：CF平分/DCE；

(2)求/。FC的度數(shù).

13.已知：如圖，△ABC中，/54C與NACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)D的AC的平行線(xiàn)

分別交A8于E,交BC于F.

(1)求證：EF^AE+CF；

(2)若NACB=90°，N2AC=30°,BC=3,求△BEF的周長(zhǎng).

14.如圖，在△ABC中，/C=90°,點(diǎn)尸在A(yíng)C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在A(yíng)B上，PD始終保持與

E4相等，DELPD交BC于點(diǎn)、E.

(1)求證：點(diǎn)E在8。的垂直平分線(xiàn)上；

(2)若/DEB=cc,

①求NCPD的度數(shù)；(用含a的式子表示)

②當(dāng)a=UO°時(shí)，求乙4的度數(shù).

15.如圖，BN,CM分別是AABC的兩條高，點(diǎn)。，E分別是BC,的中點(diǎn).

(1)求證：DE1MN；

(2)若8C=26,MN=\O,求OE的長(zhǎng).

考點(diǎn)二直角三角形的判定

【知識(shí)點(diǎn)睛】

?直角三角形判定的方法：

①有一個(gè)角為直角的△是直角三角形；

②有兩個(gè)內(nèi)角互余的△是直角三角形

③一邊上的中線(xiàn)=這邊長(zhǎng)度的一半的△是直角三角形；

④30°角所對(duì)的邊長(zhǎng)=30。角臨邊的一半的△是直角三角形

⑤勾股定理逆定理也可用于判定直角三角形

?注意事項(xiàng)：

①上面直角三角形判定方法中，在綜合問(wèn)題中，第③條需要利用等邊對(duì)等角與內(nèi)角和

證明之后才能用，選擇填空可以直接應(yīng)用；

②常見(jiàn)利用角度證明直角三角形的類(lèi)型有：ZA+ZB=90°；ZA+ZB=ZC；NA也/

B=1A/C；ZA：ZB：ZC=a：b：c且a+b=c；

【類(lèi)題訓(xùn)練】

1.在△ABC中，滿(mǎn)足下列條件：

①/A=60。；

?ZA=ZC-ZB；

③/A：ZB：NC=1：1：2；

④/A=90°-NC.

其中，判定AABC是直角三角形的有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在邊BC上(不與點(diǎn)8,點(diǎn)C重合)，()

A.若N3AC=90°,ZBAP=ZB,貝l|AC=PC

B.若/BAC=90°,ZBAP=ZC,貝UAP_LBC

C.若AP_LBC,PB=PC,則/ft4c=90°

D.若PB=PC,ZBAP=ZCAP,則N8AC=90°

3.如圖，在由25個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的網(wǎng)格中以AB為邊畫(huà)RCABC,使點(diǎn)C在格

點(diǎn)上，滿(mǎn)足這樣條件的點(diǎn)C共()個(gè).

4.如圖，已知點(diǎn)P是射線(xiàn)ON上一動(dòng)點(diǎn)(即P可在射線(xiàn)ON上運(yùn)動(dòng))，ZAON=40°,

(1)當(dāng)NA=時(shí)，△AO尸為直角三角形；

(2)當(dāng)NA滿(mǎn)足時(shí)，ZVIOP為鈍角三角形.

5.如圖，已知。是線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，ZACD=ZACB,ZCOD=ZB,求證：△

AOE是直角三角形.

6.如圖，在△ABC中，NA=30°,/B=60°,CE平分NACB.

(1)求NACE的度數(shù).

(2)若COL42于點(diǎn)。，NCDF=15°,求證：△CfD是直角三角形.

c

7.如果三角形中任意兩個(gè)內(nèi)角Na與N0滿(mǎn)足2/a+/|3=90°,那么我們稱(chēng)這樣的三角形

為“準(zhǔn)直角三角形”.

（1）在A(yíng)ABC中，若NA=100°,ZB=70°,試判斷△ABC是否是“準(zhǔn)直角三角形”,

并說(shuō)明理由；

（2）如果△ABC是“準(zhǔn)直角三角形"，那么△ABC是—；（從下列四個(gè)選項(xiàng)中選擇，

填寫(xiě)符合條件的序號(hào)）（①銳角三角形；②直角三角形；③鈍角三角形；④都有可能）

（3）如圖，在△ABC中，NA=25°,/C=75°,2。平分NABC交AC于點(diǎn)D

①若DE〃BC交AB于點(diǎn)E,在①△ADE,②A(yíng)BDE,③ABDC,④△A3。中“準(zhǔn)直角

三角形”是—（填寫(xiě)序號(hào)），并說(shuō)明理由；

②在直線(xiàn)AB上取一點(diǎn)尸，當(dāng)△8FD是“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，求出NQEB的度數(shù).

【綜合練習(xí)】

1.如圖，公路AC,8c互相垂直，公路的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開(kāi)，若測(cè)得48的長(zhǎng)為

2.8km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為（

A.1.5kmB.2.8kmC.1AkmD.1.9km

2.如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°,點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A(yíng)C上，S.AE=BE,

連接C。交BE于點(diǎn)孔若/A=25°,則NQEE的度數(shù)（)

A.65°B.70°C.75°D.80°

3.如圖，在RtZkABC中，D,E為斜邊A3上的兩個(gè)點(diǎn)，且BD=BC,AE^AC,則/。CE

的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.45°D.48°

4.如圖，小明在計(jì)算機(jī)上用“幾何畫(huà)板”畫(huà)了一個(gè)RtAABC,ZC=90°,并畫(huà)出了兩銳

角的角平分線(xiàn)A。，BE及其交點(diǎn)凡小明發(fā)現(xiàn)，無(wú)論怎樣變動(dòng)RtaABC的形狀和大小，

ZAFB的度數(shù)是定值.這個(gè)定值為一.

5.如圖，在△ABC中，AB=AC=10,ZABC=15°,則△ABC的面積為

6.由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，ZAOB=ZBOC^-=ZLOM

=30°.若OA=16,則OK的長(zhǎng)為

D

7.如圖，在RtZxABC中，AB=CB,ZAB