專題01有理數(shù)及其運(yùn)算

3???

A思維導(dǎo)圖

r加法法則

r有理數(shù)的加法

加法運(yùn)算律

減法法則

-有理數(shù)的減法

減法運(yùn)算律

乘法法則

-有理數(shù)的乘法

乘法運(yùn)算律

有理數(shù)的運(yùn)算

除法法則

有理數(shù)的除法

除法運(yùn)算律

乘方法則

有理數(shù)的乘方

乘方運(yùn)算律

有理數(shù)的混合運(yùn)算

科學(xué)記數(shù)法

A核心考點(diǎn)聚焦

1.正負(fù)數(shù)，相反意義的量.

2.求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，絕對(duì)值，倒數(shù).

3.科學(xué)記數(shù)法表示大于1的數(shù).

4.有理數(shù)的混合運(yùn)算.

5.用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù).

6.有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用.

7.根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù).

8.借著數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值.

9.絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用.

10.分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值.

11.數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的追及問(wèn)題.

12.數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的最值問(wèn)題.

?a??

一、有理數(shù)

i.正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

大于0的數(shù)叫做正數(shù),在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)叫做負(fù)數(shù),一個(gè)數(shù)前面的號(hào)叫做它的符號(hào).。既不

是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù).

2.具有相反意義的量

一般地，對(duì)于具有相反意義的量,我們可以把其中一種意義的量規(guī)定為亞的，并用正數(shù)來(lái)表示,把與

它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的,并用負(fù)數(shù)來(lái)表示.

3.有理數(shù)的概念

正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù);正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù);整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).

4.有理數(shù)的分類

①按整數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類；②按正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)的關(guān)系分類.

二、數(shù)軸

1.數(shù)軸的概念與畫法

數(shù)軸的概念：規(guī)定了息點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的畫法：①在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)。，這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn),②通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方

向，從原點(diǎn)向左為負(fù)方向;③選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度,直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取

一個(gè)點(diǎn)，依次表示1,2,3,.......；從原點(diǎn)向左用類似的方法依次表示-1,-2,-3,.........

2.數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系

①每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的二點(diǎn)來(lái)表示，也可以說(shuō)每個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的二虎；

②一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長(zhǎng)度；

表示-a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊,與原點(diǎn)的距離是七個(gè)單位長(zhǎng)度.

三、相反數(shù)

1.相反數(shù)的概念及表示方法

相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).

相反數(shù)的表示方法：一般地，。和0互為相反數(shù)，這里的。表示任意一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù),也可

以是雯.特別地，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于它本身，這個(gè)數(shù)是雯.

2.相反數(shù)的性質(zhì)

若a與b互為相反數(shù)，那么”+。=0.

3.多重符號(hào)的化簡(jiǎn)

與“+，,個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“，號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“一”號(hào)，結(jié)果為正.

4.相反數(shù)的幾何意義

從數(shù)軸上看，除。外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等.

四、絕對(duì)值

1.絕對(duì)值的定義

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|。|.

2.絕對(duì)值的性質(zhì)

一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);。的絕對(duì)值是。.

3.絕對(duì)值的非負(fù)性

根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性”若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”,即若根|+|加=0,則|a|=0

且|切=0.

五、有理數(shù)的加法

1.定義：把兩個(gè)有理數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算叫做有理數(shù)的加法.

2.法則：

（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)

值.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0;

（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

要點(diǎn)：利用法則進(jìn)行加法運(yùn)算的步驟：

（1）判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)是同號(hào)、異號(hào)，還是有一個(gè)加數(shù)為零，以此來(lái)選擇用哪條法則.

（2）確定和的符號(hào)（是“+”還是“一”）.

（3）求各加數(shù)的絕對(duì)值，并確定和的絕對(duì)值（加數(shù)的絕對(duì)值是相加還是相減）.

3.運(yùn)算律：

加法文字語(yǔ)言兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變

有理交換

符號(hào)語(yǔ)言

數(shù)加律

法運(yùn)加法三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，

文字語(yǔ)言

算律結(jié)合和不變

律符號(hào)語(yǔ)言(4+b)+c=〃+(Z?+c)

要點(diǎn)：交換加數(shù)的位置時(shí)，不要忘記符號(hào).

六、有理數(shù)的減法

1.定義：已知兩個(gè)數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法，例如：（-5）+?=7,求？

減法是加法的逆運(yùn)算.

要點(diǎn)：（1）任意兩個(gè)數(shù)都可以進(jìn)行減法運(yùn)算.

（2）幾個(gè)有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號(hào)；②數(shù)字（即數(shù)的絕對(duì)值）.

2.法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即有：a-b^a+（-b）.

要點(diǎn)：將減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，注意同時(shí)進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾?/p>

數(shù).如:

呼號(hào)變加學(xué)減號(hào)手加號(hào)

6-(-2)=6+(+2)(-2)-^3=(-2)1(-3)

I_____4

減數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)域數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)

七、有理數(shù)加減混合運(yùn)算

將加減法統(tǒng)一成加法運(yùn)算，適當(dāng)應(yīng)用加法運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算.

八、有理數(shù)的乘法

1.有理數(shù)的乘法法則：(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘;

(2)任何數(shù)同0相乘，都得0.

要點(diǎn)：(1)不為0的兩數(shù)相乘，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘.

(2)當(dāng)因數(shù)中有負(fù)號(hào)時(shí)，必須用括號(hào)括起來(lái),如-2與-3的乘積，應(yīng)列為G2)X(-3),不應(yīng)該寫成-2x-3.

2.有理數(shù)的乘法法則的推廣：(1)幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定.當(dāng)負(fù)因數(shù)

有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；

(2)幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為0,那么積就等于0.

要點(diǎn)：(1)在有理數(shù)的乘法中，每一個(gè)乘數(shù)都叫做一個(gè)因數(shù).

(2)幾個(gè)不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定積的符號(hào)，然后把各因數(shù)的絕對(duì)值相乘.

(3)幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為0,那么積就等于0.反之，如果積為0,那么至少有一個(gè)因數(shù)為0.

3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律：

(1)乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即：ab=ba.

(2)乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等.即：abc=(ab)c

~~d(^bc).

(3)乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加.即：

a(b+c)=ab+ac.

九、有理數(shù)的除法

1.倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

要點(diǎn)：

(1)“互為倒數(shù)”的兩個(gè)數(shù)是互相依存的.如-2的倒數(shù)是-；，-2和是互相依存的;

(2)0和任何數(shù)相乘都不等于1,因此0沒(méi)有倒數(shù)；

(3)倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)形式，使分母中不含小數(shù)和分?jǐn)?shù)；

(4)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)(同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)).

2.有理數(shù)除法法則：

法則一：除以一個(gè)不等于o的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即。+人=。?工3#0).

b

法則二：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.

要點(diǎn)：（1）一般在不能整除的情況下應(yīng)用法則一，在能整除時(shí)應(yīng)用法則二方便些.

（2）因?yàn)?。沒(méi)有倒數(shù)，所以0不能當(dāng)除數(shù).

（3）法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時(shí)先確定商的符號(hào)，再確定商的絕對(duì)值.

十、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算

由于乘除是同一級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左往右的順序計(jì)算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最

后算出結(jié)果.

十一、有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算

有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)，則按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如有括號(hào)，則先算括號(hào)

里面的.

十二、有理數(shù)乘方和科學(xué)記數(shù)法

1.有理數(shù)乘方的概念

求〃個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕.

即有：a-a....a=在中，。叫做底數(shù)，”叫做指數(shù).

左

2.有理數(shù)乘方的運(yùn)算

（1）正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；

（2）負(fù)數(shù)的奇次哥是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次暴是正數(shù)；

（3）。的任何正整數(shù)次事都是0；

（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定幕的符號(hào)，然后再計(jì)算事的絕對(duì)值.

3.偶次乘方的非負(fù)性

任何一個(gè)數(shù)的偶次嘉都是非負(fù)數(shù)，即儲(chǔ)之o.

4.含乘方的混合運(yùn)算

有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：（1）先乘方，再乘除，最后加減；（2）同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；（3）如有括號(hào)，

先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.

5.科學(xué)記數(shù)法的表示

（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成axlO"的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，”是正整

數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.（科學(xué)記數(shù)法形式：axlO",其中〃為正整數(shù)）

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中。的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1；按

此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，

只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào).

6.近似數(shù)的表示

“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前者

可以體現(xiàn)出誤差絕對(duì)值的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)相對(duì)更精確一些.

1.有理數(shù)運(yùn)算注意事項(xiàng).

要點(diǎn)：(1)在交換因數(shù)的位置時(shí)，要連同符號(hào)一起交換.

(2)乘法運(yùn)算律可推廣為：三個(gè)以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個(gè)因數(shù)相

乘.如abcd=d(ac)b.一個(gè)數(shù)同幾個(gè)數(shù)的和相乘,等于把這個(gè)數(shù)分別同這幾個(gè)數(shù)相乘,再把積相加.如a(b+c+d)

(3)運(yùn)用運(yùn)算律的目的是“簡(jiǎn)化運(yùn)算”，有時(shí)，根據(jù)需要可以把運(yùn)算律“順用”，也可以把運(yùn)算律“逆用”.

a,a>0

2.化簡(jiǎn)絕對(duì)值：\a\=\

-a,a<0

3.點(diǎn)在數(shù)軸上的追及問(wèn)題.

A考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一、正負(fù)數(shù)，相反意義的量.

例1：《九章算術(shù)》中有注：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之."意思是：“今有兩數(shù)若其意義相反，則分

別叫做正數(shù)和負(fù)數(shù).”如果高于海平面260米記為+260米，那么低于海平面300米應(yīng)記為.

【答案】-300米

【解析】由高于海平面260米記為+260米可得，低于海平面300米記作-300米.故答案：-300米.

考點(diǎn)二、求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，絕對(duì)值，倒數(shù).

例2：2的相反數(shù)是,-3的絕對(duì)值是.

【答案】—2；3

【解析】2的相反數(shù)是-2,—3的絕對(duì)值是3.故答案為：-2,3

考點(diǎn)三、科學(xué)記數(shù)法表示大于1的數(shù).

例3：截止到12月12日16時(shí)45分，“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器在經(jīng)過(guò)約396000秒的奔月飛行后，達(dá)到月球附近,

數(shù)字396000用科學(xué)記數(shù)法可表示為()

A.0.396x10sB.3.96x10sC.396xlO3D.3.96xl05

【答案】D

【解析】396000=3.96xl05.故選D.

考點(diǎn)四、有理數(shù)的混合運(yùn)算.

例4：計(jì)算：

(1)(-8)+10+8-(-10)；⑵3)+3；

111184

⑶1xx一土一

32115

【解析】(1)(-8)+10+8-(-10)=10+10=20；

(2)-9x(-10)-(-3)-3=90-(-3)-3=-30-3=-10；

x----=—x

⑷_/(一：一4K=一|卷一64x(_.Y吟+8=一8+8=0.

考點(diǎn)五、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù).

例5：點(diǎn)A、8在數(shù)軸上的位置如圖所示：

AIIBIII

-5-4-3-2-10123456%

(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)B表示的數(shù)是；

17

(2)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0,-4-,-2,-；

(3)把(1)(2)中的六個(gè)有理數(shù)用“〈”號(hào)連接起來(lái).

【解析】(1)根據(jù)數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)是T，點(diǎn)B表示的數(shù)是1,故答案為：-4,1;

(2)在數(shù)軸上表示各數(shù)如下所示：

“17

-4露-2052

—??，?，■?1??1

-5-4-3-2-10123456x

(3)各數(shù)大小關(guān)系排列如下：

17

-4-<-4<-2<0<1<—.

32

考點(diǎn)六、有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用.

例6：有8筐白菜，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來(lái)表示，記錄如下:

編號(hào)12345678

與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值(單位：千克)-3-2-1.5012.5-1-3

(1)8筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？

(2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較，8筐白菜總計(jì)超過(guò)或不足多少千克？

(3)若白菜每千克售價(jià)2元，則出售這8筐白菜可賣多少元?

【解析】(1)2.5-(-3)=5.5(千克).

答：8筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重5.5千克.

(2)-3+(-2)+(-1.5)+0+1+2.5+(-1)+(-3)=-7(千克).

答：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量比較，8筐白菜總計(jì)不足7千克.

(3)解：這8筐白菜的總重量為：25x8-7=193(千克)，

若白菜每千克售價(jià)2元，則這8筐白菜總共可賣193x2=386(元).

答：若白菜每千克售價(jià)2元，則出售這8筐白菜可賣386元.

考點(diǎn)七、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù).

例7：若有理數(shù)。，6在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是()

_I_?___>

-3-2-10123

A.b>—aB.a>—bC.|a|<|Z?|D.a+b<0

【答案】D

【解析】因?yàn)橐?<〃<一2<1<6<2,所以-a〉2>b,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合要求;

-b>-2>a,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合要求；

|。|>2>同，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合要求；

a+b<0,故選項(xiàng)D正確，符合要求；

故選D.

考點(diǎn)八、借著數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值.

例8：若數(shù)軸上的點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)。，b,c,。為原點(diǎn)，如圖所示.

ACOB

⑴用“>”或填空：a+b0,c-b0,c-a0；

(2)化簡(jiǎn)2c+|a+Z?|+|c-/?|-|c-a|.

【解析】(1)由圖可得：a<c<O<b,且同習(xí)

所以a+b<0,c-b<0,c-a>0；故答案為<,<,>；

(2)因?yàn)閍+Z?<0,c-b<0,c-a>0,

所以2(?+|4+"+|°_"一|<?-4|=20_4_6+6_(:”+"0.

考點(diǎn)九、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用.

例9：己知|x-l|+|y+3|=O,則y-x—；的值是()

A.-4-B.-2-C.-1-D.1

222

【答案】A

［角至析】因?yàn)椴穇1|+|)+3|=0,所以％_l=0,y+3=0,所以％=l,y=—3,

所以>-」=-3-」=一』.故選A.

222

考點(diǎn)十、分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值.

IQIa

例10：(1)若。>0,U=____；若Q<0,口=____；

a\a\

ab=0,則回=

(2)若n+百

hl\b\-ab

、」iabc

（3）右歷c<0,則同+忸+同=——

【答案】（1）1,-1；(2)1；(3)1或-3.

【解析】（1）因?yàn)?>o,所以所以忖=幺=1；

aa

,,aa

因?yàn)閍<0,所以同=-。，所以廠［=—=T，故答案為：1，-1：

（2）因?yàn)?+^=0,所以必<0,所以附=-血所以回=*=1,故答案為：1；

（3）因?yàn)閍bc<0,所以a,b,c符號(hào)有兩種情況：①一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)；②三個(gè)負(fù)數(shù).

當(dāng)a,b,c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)時(shí)，不妨設(shè)。<0力>0,c>0,

Jl?lHkl

abc,,,c

當(dāng)a,b,c中有三個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),同+葉甲TTT=。

故答案為：1或-3.

考點(diǎn)十一、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的追及問(wèn)題.

例11：如圖：在數(shù)軸上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是-3,點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的數(shù)是16,兩動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)從原點(diǎn)。出發(fā)，點(diǎn)

M以每秒1個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后停

留1秒，再?gòu)狞c(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為《0<1<16）秒.

AOB

-------------------A

-3016

⑴當(dāng)f=l時(shí)，線段MN的長(zhǎng)為（直接填空）；當(dāng)7=3時(shí)，線段的長(zhǎng)為（直接填空）；

（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，求/的值；

⑶當(dāng)線段MN的長(zhǎng)為7時(shí)，直接寫出f的值.

【解析】（1）解：當(dāng)7=1時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為1,點(diǎn)N表示的數(shù)為-3,

所以初V=1-（-3）=4：

當(dāng)r=3時(shí)，點(diǎn)N表示的數(shù)為-3+3x1=。，點(diǎn)M表示的數(shù)為3,

所以MV=3—0=3；

故答案為：4,3；

（2）解：由題意得，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，點(diǎn)N肯定是在從A向8的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，此時(shí)運(yùn)動(dòng)/秒后，點(diǎn)N

表示的數(shù)為-3+3（-2）=3"9,點(diǎn)”表示的數(shù)為r,

所以3t-9=f，

9

解得

(3)解：當(dāng)點(diǎn)N向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程時(shí)，由題意得”(-3。=7,

7

解得.=不符合題意；

4

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A停留時(shí)，由題意得，…(-3)=7,

解得1=4,不符合題意；

當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，且點(diǎn)N沒(méi)有追上班時(shí)，由題意得，-(3-9)=7,

解得/=1,不符合題意；

當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，且點(diǎn)N追上且點(diǎn)N為到達(dá)點(diǎn)8前，由題意得，3t-9-t=l,

解得f=8；

當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，且點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)8后停止運(yùn)動(dòng)，由題意得，16—=7,

解得t=9：

綜上所述，1=8或r=9.

考點(diǎn)十二、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的最值問(wèn)題.

例12：我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要

思想方法.例如，代數(shù)式,-2|的幾何意義是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離：因?yàn)?/p>

|%+1|=|%-(-1)|,所以卜+1|的幾何意義就是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與一1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

(i)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：代數(shù)式,+1|+歸一2|的最小值是多少？

(ii)探究問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A,B,P分別表示數(shù)一1,2,尤，AB=3,

APB

_____1I111.1I11?

-4-3-2-10X1234

因?yàn)閨x+l|+|x-2|的幾何意義是線段熟與PB的長(zhǎng)度之和，

所以當(dāng)點(diǎn)尸在線段A3上時(shí)，E4+PB=3;

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA+PB>3；

所以+|x—Z的最小值是3.

請(qǐng)你根據(jù)上述自學(xué)材料，探究解決下列問(wèn)題：

(1)歸一3|+|尤+2］的最小值是；

(2)當(dāng)a為何值時(shí)，代數(shù)式|x+a|+|x-4|的最小值是2.

【解析】(1)因?yàn)椴芬?|+卜+2|=|無(wú)一3|+卜一(一2)|.

如圖，卜—3|+卜一(一2)|表示點(diǎn)尸到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離之和,

B

.5.4-3-2-1012345

當(dāng)點(diǎn)尸在線段43上時(shí)，PA+PB=5,

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA+PB>5,

所以|x-3|+|尤+2|的最小值是5；

（2）因?yàn)閿?shù)軸上表示數(shù)2的點(diǎn)到表示數(shù)4的點(diǎn)的距離為2,數(shù)軸上表示數(shù)6的點(diǎn)到表示數(shù)4的點(diǎn)的距離也

為2,

因此當(dāng)。為-2或-6時(shí)，原式的最小值是2.

A過(guò)關(guān)檢測(cè)

一、選擇題

1.在跳遠(yuǎn)測(cè)試中，小明的成績(jī)?yōu)?.1米，記作+0.5米.若小亮的成績(jī)記作-0.2米，則小亮的成績(jī)?yōu)椋ǎ?/p>

A.1.4米B.1.6米C.1.8米D.1.9米

【答案】A

【解析】由題意可得標(biāo)準(zhǔn)為2.1-0.5=1.6（米），

因?yàn)樾×恋某煽?jī)記作-0.2米，所以小亮的成績(jī)?yōu)?.6-0.2=14（米），故選A.

2.2023年我國(guó)高校畢業(yè)生高達(dá)1158萬(wàn)人，其中474萬(wàn)本科畢業(yè)生為了提升自己的學(xué)歷，好憑借更高的學(xué)

歷，跨過(guò)更高的職業(yè)門檻，選擇報(bào)考研究生，請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示報(bào)考研究生的人數(shù)（）

A.11.58xl06B.1.158xl07C.D.4.74xlO6

【答案】D

【解析】474萬(wàn)=4740000=4.74x106,故選D.

3.下列算式正確的是（）

A.-3-2=-6B.0-(-3)=3

心?臥12=11。-a12D.

|3-5|=-(5-3)

【答案】B

【解析】4、-3-2=-5,故原題計(jì)算錯(cuò)誤；

B、0-（-3）=3,故原題計(jì)算正確;

C、（-9xl2=f-10+」］xl2,故原題計(jì)算錯(cuò)誤;

D、|3-5|=5-3,故原題計(jì)算錯(cuò)誤;

故選8.

4.如圖，點(diǎn)M表示數(shù)加，點(diǎn)N表示數(shù)〃，下列結(jié)論中正確的是（）

MN

II

-101

A.m>nB,-<-C.-m>—nD.—m<—n

mn

【答案】C

【解析】由數(shù)軸知,0<m<n<l,所以一>—,故選C.

mn

5.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①若孫〈。，x+yv。，則x,y都為負(fù)數(shù)；

②已知abwO,則三+粵的值不可能為0；

|a|b

③若〃+b<0,Q<0,b>Q,則Q,—Q,的大小關(guān)系是a<—b<—〃<b；

_abcabc

④若a,b,c為有理數(shù)，^―+—+—=-1,則方^的值為T.

\a\\b\|c|\abc\

A.0個(gè)5.1個(gè)C.2個(gè)D3個(gè)

【答案】A

【解析】①若孫v。，％+丁<0,則x,y異號(hào)，且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大，故①說(shuō)法錯(cuò)誤；

②已知力?。0,不妨設(shè)Q=Lb=-\,貝!―^+?=1-1=。，故②說(shuō)法錯(cuò)誤；

\a\b

③若a+Z?<0,a<0,&>0,則口,一〃，/?,-/?的大小關(guān)系是〃<一。</?<一〃，故③說(shuō)法錯(cuò)誤;

abc

④由題知〃，b,c為三個(gè)不為。的有理數(shù)，且;~~^+；77+j7=T，

所以eb,。中負(fù)數(shù)有2個(gè)，正數(shù)有1個(gè)，所以〃兒>0,

abc

所以的的值為1,故④說(shuō)法錯(cuò)誤.

所以說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是0.故選人

二、填空題

6.化簡(jiǎn)：①-+㈢=；②]的相反數(shù)是；③比較大小-0.5

21

【答案】—;;〉

【解析】一，T]=+m

因?yàn)?g=g,所以-g相反數(shù)是一:；

1Q2

因?yàn)椴?.5]==

2

故答案為：>.

7.早在公元前5世紀(jì)我國(guó)春秋戰(zhàn)國(guó)初期，魏國(guó)的相國(guó)李悝就在《法經(jīng)》一書中用“不足”來(lái)表示虧空.如果

盈余250兩記作+250兩，那么虧空100兩記作兩.

【答案】-100

【解析】因?yàn)橛?50兩記作+250兩，所以虧空100兩記作-100兩，故答案為：-100.

8.如圖，點(diǎn)A,B,C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a,b,c,A,8兩點(diǎn)間的距離表示為AB,B,C兩點(diǎn)間的距離

表示為2c.若AB=5,BC=6,6+c=0,貝Ua—6+c的值是.

ABC

---------1------------------1--------------------1-------->>

【答案】-2

【解析】因?yàn)閎+c=0,所以點(diǎn)用C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)應(yīng)的數(shù)字b,c互為相反數(shù)，

因?yàn)?6,所以b=-3,c=3,

因?yàn)锳8=5,所以a=—8,所以a—b+c=—8—(―3)+3=—2,

故答案為：-2.

9.細(xì)菌是靠分裂進(jìn)行生殖的，也就是1個(gè)細(xì)菌分裂成2個(gè)細(xì)菌，分裂完的細(xì)菌長(zhǎng)大以后又能進(jìn)行分裂.例

如，圖中所示為某種細(xì)菌分裂的電鏡照片，顯示這種細(xì)菌每20分鐘就能分裂一次.1個(gè)這種細(xì)菌經(jīng)過(guò)3個(gè)

小時(shí)可以分裂成個(gè)細(xì)菌.

細(xì)曲的分裂生殖

【答案】512

【解析】3小時(shí)=180分鐘，180+20=9(次).即1個(gè)這種細(xì)菌經(jīng)過(guò)3個(gè)小時(shí)可以分裂成的細(xì)菌個(gè)數(shù)為：29=512.

故答案為：512.

10.如圖所示，將圓的周長(zhǎng)分為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0,1,2,3,先讓

圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓圓沿著數(shù)軸按逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，

那么數(shù)軸上的數(shù)-2024將與圓周上的數(shù)字___________重合.

【答案】1

【解析】由題意可得，-2024+4=-506,

因?yàn)橛蓴?shù)軸可得：數(shù)軸上的1對(duì)應(yīng)圓周上的0,所以數(shù)軸上的0對(duì)應(yīng)圓周上的1,

所以-2024將與圓周上的數(shù)字1重合，故答案為：1.

三、計(jì)算題

11.計(jì)算：

351

(1)-14-(2)-4+6+Kx(-24)；

43I233

(3)-1+164-x—?(4)-I-2+(-4)一:

4'o

【解析】⑴-14(-6討

79

=-14-6+------

510

=-19-；

2

357

(2)---1--1—x(_24)

468

357

=-4X(-2"+%x(-24)+-x(-24)

=18-20-21

=-23；

=—10；

12.已知有理數(shù)：0,-3.5,3-,-3,+5,-|-2|.

2

(1)在數(shù)軸上表示這些有理數(shù)；

I_______I_______II______I______II_______II______II_______II

-6-5-4-3-2-10123456

(2)將上述有理數(shù)用“v”連接起來(lái)；

⑶將上述有理數(shù)填入下圖中相應(yīng)的圓圈內(nèi)(每個(gè)數(shù)只能寫在一個(gè)對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)).

負(fù)數(shù)集合整數(shù)集合正數(shù)集合

【解析】(1)在數(shù)軸上表示這些有理數(shù)如圖所示：

-3.5-3~\~2\03~+5

?JiJJ|?：

-6-5-4-3-2-10123456

(2)-3.5<-3<-|-2|<0<31<+5；

(3)負(fù)數(shù)集合為：{-3.5,-3,十2|},整數(shù)集合為：{-3,+2|,0,+5},正數(shù)集合為：科,+5

如圖所示：

負(fù)數(shù)集合整數(shù)集合正數(shù)集合

13.為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，零陵區(qū)委區(qū)政府打造特色經(jīng)濟(jì)作物產(chǎn)業(yè)，根據(jù)我區(qū)地域優(yōu)勢(shì)發(fā)展種植“四季水果

園”.黃田鋪鎮(zhèn)的萬(wàn)畝紐荷爾臍橙便是其中精品項(xiàng)目之一，紐荷爾臍橙質(zhì)優(yōu)價(jià)美，深受大家喜愛(ài).下面是小

明家種植的一塊地所采摘的20袋臍橙，小明在記錄重量時(shí)采用了如下記錄方法，以25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)或

不足部分分別用正，負(fù)數(shù)表示，記錄如下：

與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量差值-2-1.5-1012

袋數(shù)541334

(1)請(qǐng)求出20袋臍橙中最重一袋比最輕一袋重__________千克；

(2)與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比，20袋臍橙總質(zhì)量超過(guò)或不足多少千克？

(3)若這批臍橙每千克售價(jià)為5元，那么這20袋臍橙可賣多少元？

【解析】(1)因?yàn)椤?<-1.5<—1<0<1<2,

所以20袋臍橙中，最重的一袋比最輕的一袋重：2-(-2)=4(千克)，

故答案為：4；

(2)—2x5+(—1.5)x4+(—1)xl+0x3+lx3+2x4=-6(千克)，

答：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比，20袋臍橙總質(zhì)量不足6千克；

(3)(20x25-6)x5=2470(元).

答：這20袋臍橙可賣2470元.

14.我們知道數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，利用數(shù)軸及絕對(duì)值知識(shí)結(jié)合數(shù)形結(jié)合、

分類討論思想可以解決一些問(wèn)題.

求解下列問(wèn)題：

(1)若a=—5時(shí)，忖的值為；

a

⑵若卜+5|=卜-9|成立，則"=；

...a\b\cabc

(3)右詆<0,貝?。荨?工-+［+］「［=__________；

|a|b\c\|abc\

(4)當(dāng)式子|x+3|+|x-4|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是,最小值是

【解析】(1)。=一5時(shí)，區(qū)=一1,故答案為：T；

-5

(2)|。+5|=卜-9|表示數(shù)軸上數(shù)a的點(diǎn)到-5的距離與到9的距離相等，

因?yàn)?5與9的距離為9+5=14,所以中點(diǎn)到-5的距離為7,

所以-5+7=2,所以a=2,故答案為：2；

(3)因?yàn)獒輈<0,所以a,b,c符號(hào)有兩種情況：①一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)；②三個(gè)負(fù)數(shù).

/7IhIccihc

①不妨設(shè)a>0，6>0,c<0,貝L+1+1?+「^=1+1-1-1=0；

|a|b\c\|abc\

②當(dāng)a<0,6<O,c<0時(shí)，卷+粵+吉+注+=；

|a|b\c\|abc\

綜上可得：三+