1.2.1矩形的性質(zhì)第一章

特殊的平行四邊形九年級上BS

1.

理解矩形的概念，了解矩形與平行四邊形之間的關(guān)系.2.

探索并證明矩形的性質(zhì).3.運用矩形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計算或證明問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)新課引入觀察以下圖形，它們有什么共同特征？都是矩形矩形

利用平行四邊形教具進行實驗，使該平行四邊形的一個內(nèi)角變化，觀察變化后構(gòu)成的圖形有什么特征.平行四邊形的四個角在變化，四條邊沒有變化探究1新知學(xué)習(xí)定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，也叫做長方形.平行四邊形矩形有一個角是直角注意：矩形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是矩形.矩形有哪些性質(zhì)呢？觀察與猜想ABCDO圖形ABCD是一個矩形，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：(1)矩形四個角都是直角(2)矩形對角線相等接下來我們一起證明這些結(jié)論！已知：如圖，四邊形

ABCD

是矩形,∠ABC=

90°，對角線AC與DB相交于點O.求證：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；證明：∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠ABC

=∠CDA，∠BCD

=∠DAB（矩形的對角相等），

AB∥DC（矩形的對邊平行），∴∠ABC+∠BCD=180°.又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.ABCDO證明矩形四個角都是直角求證：（2）AC=

DB.證明：∵四邊形

ABCD是矩形，

∴AB=

DC（矩形的對邊相等），

在

△ABC和

△DCB中，

∵AB=

DC，∠ABC=

∠DCB，BC=CB，

∴△ABC≌

△DCB.

∴AC=

DB.ABCDO證明矩形對角線相等（1）矩形是軸對稱圖形嗎？對稱軸是什么？（2）矩形還有哪些特殊的性質(zhì)呢？探究2是軸對稱圖形，對稱軸有2條，兩條對稱軸是互相垂直的兩條直線拿出一張矩形紙片，折一折，觀察并思考.歸納總結(jié)矩形性質(zhì)：(1)對邊平行且相等(2)對角相等鄰角互補，且四個角都是直角(3)對角線互相平分且相等(4)既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形例1矩形ABCD的對角線AC和BD交于點O，∠DOC=

60°，AC=15，求ABCD較短邊的長.解：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD=15，∴OD=OC=7.5，又∵∠COD=60，∴△COD是等邊三角形，∴

CD=7.5.例2如圖，在矩形ABCD

中，兩條對角線

AC

與BD相交于點O，AB=6，OA=4.求BD

與AD

的長.解：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等），∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴BD=2AO=8，△ABD為直角三角形在Rt△ABD

中，AD2+AB2=BD2，AD2+62=82，∴AD=.例3已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DF⊥AE于F，若AE=BC.求證：CE=EF.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC.∴∠1=∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°.∴∠B=∠AFD.你還有其他解法嗎？又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）.∴AF=BE.∴EF=EC.

一題多解：連接DE，證明△DEF≌△DEC即可.如圖，矩形

ABCD

的對角線

AC與

BD交于點

O，在△ABC中，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論.ABCDO矩形

ABCD

O為

AC，BD中點，AC=BD，∠ABC

=

90°

定理

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.BO=AC探究3已知：在

△ABC

中，OB為其中線，OB=AC，求證：△ABC為直角三角形.證明:OB是△ABC中線，∴AO=OC=OB，∴∠A=∠ABO，∠C=∠OBC，在

△ABC中∠A+∠ABO+∠C+∠OBC=180°，∴∠A+∠C=90°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴

△ABC為Rt

△ABC.OCBA“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”反過來結(jié)論是否成立？例1如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊

AC上的中線.(1)若

BD=3cm，則

AC=_____cm；(2)若∠C=30°，AB=5cm，則

AC=_____cm，BD=_____cm.(3)若兩條直角邊分別5和12，則BD為_____.ABCD61056.5例2如圖，矩形

ABCD的對角線

AC、BD相交于點

O，E、F、G、H分別是

AO、BO、CO、DO上的一點，且

AE=BF=CG=DH.求證：四邊形

EFGH是矩形.BCDEFGHOA證明：AO=BO=CO=DO（矩形的對角線互相平分）.∵四邊形

ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等)，∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH.∴四邊形

EFGH是平行四邊形，且

EG=FH.∴四邊形

EFGH是矩形.1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是()A.對角線相等B.對邊相等C.對角相等

D.對角線互相平分隨堂練習(xí)A2.如圖，在矩形ABCD中，O是BD的中點，E是CD的中點，若OE=3，OC=4，則△OBC的周長為()A.14B.11C.10D.7DECABOA3.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，把矩形折疊，使點D與點B重合，點C落在點E處，則折痕BF的長為________.分析：理解題意：明確折疊方式、次數(shù)、折疊前后的矩陣或圖案關(guān)系.想象折疊：腦海中構(gòu)建或使用紙張模擬折疊邏輯推理：根據(jù)折疊特點，推理出元素在折疊后的位置關(guān)系.標(biāo)記關(guān)鍵信息：標(biāo)記出對稱軸、折疊線等關(guān)鍵信息逐步推導(dǎo)：將折疊過程分解為多個步驟，逐步分析每個步驟驗證答案：嘗試從折疊后的形狀還原到原始矩陣，驗證答案的正確性.解：∵E、F分別是

AB、AC的中點，AB=10，AC=8

∵AD是

△ABC的高，∴四邊形

AEDF的周長=AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18.∴

AE=AB=5，AF=

AC=4，∴DE=AB=5，DF=AC=4(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，4.如圖，在

△ABC

中，AD是高，E、F分別是

AB、AC的中點.若

AB=10，AC=8，求四邊形

AEDF

的周長.5.如圖，在矩形ABCD中，兩對角線交于點O.(l)若∠BAC=2∠DAC，求△ABC三內(nèi)角的度數(shù);解:(1)∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°,AD//BC,∴∠DAC=∠ACB,∵∠BAC=2∠DAC,∠BAC+∠DAC=90°，∴∠BAC=60°,∠DAC=30°,∴∠DAC=∠ACB=30°，∴△ABC三內(nèi)角的度數(shù)為:∠BAC=60°，∠ABC=90°,∠ACB=30°;(2)若∠AOB=60°，AO=10cm，求矩形ABCD的對角線長及邊AB的長.(2)∵四邊形ABCD為矩形,∴OA=OC=OD=OB=

AC=

BD，（對角互相平分）∵AO=10cm,∴AC=BD=20