第4章連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.1拉普拉斯變換4.2單邊拉普拉斯變換的重要性質(zhì)4.3拉普拉斯逆變換4.4應(yīng)用拉普拉斯變換分析電路與系統(tǒng)4.5系統(tǒng)函數(shù)分析4.6信號流圖、梅森公式與系統(tǒng)模擬

4.1拉普拉斯變換

4.1.1從傅里葉變換到雙邊拉普拉斯變換

由上一章可知，當(dāng)函數(shù)f(t)滿足下列絕對可積條件式

(4.1-1)

時(shí)，其傅里葉變換積分式

(4.1-2)

收斂，信號f(t)的傅里葉變換存在。設(shè)函數(shù)f(t)e－σt滿足式(4.1-1)的絕對可積條件，則

f(t)e－σt的傅里葉變換為

將復(fù)變量s＝σ＋jω代入上式，則上式可改寫為

(4.1-3)若將時(shí)間軸以t＝0為界劃分為左邊與右邊，由式(4.1-3)可見，積分區(qū)間包含著時(shí)間軸的左、右兩邊，所以稱Fb(s)為信號f(t)的雙邊拉氏變換，也稱為象函數(shù)，它是從信號f(t)e－σt

的傅里葉變換定義并引入復(fù)變量s＝σ＋jω導(dǎo)出的。相應(yīng)地，由傅里葉逆變換式知，f(t)e－σt可表示為將上式兩邊同乘以eσt，并考慮eσt與ω?zé)o關(guān)，可將其置于積分號內(nèi)，于是得

式中s＝σ＋jω，故有ds＝j(luò)dω，即dω＝ds／j；且當(dāng)

ω＝－∞時(shí)，s＝σ－j∞；當(dāng)ω＝∞時(shí)，s＝σ＋j∞。將這些關(guān)系代入上式，可得

(4.1-4)

式(4.1-4)稱為象函數(shù)Fb(s)的雙邊拉普拉斯逆變換式。式中，f(t)稱為Fb(s)的原函數(shù)。4.1.2單邊拉普拉斯變換

考慮到在實(shí)際工程問題中人們用物理手段和實(shí)驗(yàn)方法所能記錄與產(chǎn)生的一切信號都是有起始時(shí)刻的，如果令起始時(shí)刻記為時(shí)間原點(diǎn)即t＝0，并且考慮到信號f(t)在t＝0時(shí)刻可能包含有的沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)也能包含在變換式積分區(qū)間之內(nèi)，取積分的下限為0－，于是式(4.1-3)可改寫為

(4.1-5)應(yīng)當(dāng)明確：

(1)為適應(yīng)實(shí)際工程中使用的信號都有開始時(shí)刻，定義

了單邊拉氏變換，但在理論問題學(xué)習(xí)、研究中，可能遇到的信號就不單是因果信號，可能會有反因果信號、雙邊信號

(－∞＜t＜∞)、時(shí)限信號等，如圖4.1-1所示。對求單邊拉氏變換來說，積分區(qū)間都是從0－到∞，就是說，信號在t＜0的部分對求單邊拉氏變換是無貢獻(xiàn)的。只要0－到∞區(qū)間的函數(shù)形式相同，如果它們的拉氏變換存在，就具有相同的象函數(shù)。如4.1-1(a)圖(c)信號，在t＜0區(qū)間兩者不同，而在0－到∞區(qū)間二者的函數(shù)相同，所以有圖4.1-1(b)信號是反因果信號，在0－到∞區(qū)間f2(t)=0，所以F2(s)=0。對反因果信號求單邊拉氏變換就無什么意義了。圖4.1-1(d)信號，它的非零值區(qū)間是t＝－1到t＝2，但對它求單邊拉氏變換的積分限只能是從0－到2，即圖4.1-1幾種信號的波形(a)因果信號；(b)反因果信號；(c)雙邊信號；(d)時(shí)限信號

(2)若信號在t＝0處不包含沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，在求

該信號的單邊拉氏變換時(shí)，積分下限寫為“0－”或“0＋”是一

樣的。

(3)單邊拉氏變換的逆變換式同雙邊拉氏變換的逆變換式是一樣的，但求出的時(shí)間函數(shù)只適用于t≥0區(qū)間，即

(4.1-6)

通常拉氏變換與逆變換用簡記的形式表達(dá)，即

(4)關(guān)于拉氏變換的收斂域。若式(4.1-5)積分收斂，則

信號f(t)的單邊拉氏變換(習(xí)慣簡稱為拉氏變換)存在；否則，信號f(t)的拉氏變換不存在。保證變換積分式收斂，復(fù)變量

s在s復(fù)平面上的取值區(qū)域稱為象函數(shù)的收斂域(RegionofConvergence)。這一定義對研究單、雙邊拉氏變換的收斂域都是適用的。圍繞我們所討論問題的重點(diǎn)，下面舉例來看單邊拉氏變換的收斂域。

例4.1-1

求單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=eαtε(t)的象函數(shù)F(s)。式中，α為實(shí)常數(shù)。

解根據(jù)定義有

(4.1-7)由于s=σ+jω，故上式括號內(nèi)第二項(xiàng)可以寫為

(4.1-8)

由式(4.1-8)可見，只要選擇σ>α，則e－(σ－α)t將隨時(shí)間t的增長而衰減。當(dāng)t→∞時(shí)，有從而式(4.1-7)的積分收斂，得到f(t)的象函數(shù)為

(4.1-9)

如果σ<α，顯然，e－(σ－α)t的值將隨時(shí)間t的增長而增大。當(dāng)t→∞時(shí)，式(4.1-8)將趨于無限大，從而式(4.1-7)的積分不收斂，f(t)的象函數(shù)不存在。圖4.1-2單邊拉氏變換的收斂域4.1.3常用函數(shù)的拉氏變換對

1.單位沖激函數(shù)

設(shè)f(t)=δ(t)，由式(4.1-5)并考慮δ(t)的采樣性質(zhì)，得

即

(4.1-10)

2.單位階躍函數(shù)

若令指數(shù)函數(shù)eαtε(t)中的α=0，則指數(shù)函數(shù)就成為階躍函數(shù)ε(t)。由式(4.1-9)可知，單位階躍函數(shù)的象函數(shù)為

(4.1-11)

3.單邊指數(shù)函數(shù)

例4.1-1中求得

(4.1-12)

顯然

(4.1-13)同理可得

(4.1-14)

4.t的一次函數(shù)

設(shè)f(t)=tε(t)，由單邊拉氏變換定義式，得

應(yīng)用分部積分，上式可寫為當(dāng)滿足Re［s］>0時(shí)，上式第一項(xiàng)等于零，上式第二

項(xiàng)為所以

即

(4.1-15)

4.2單邊拉普拉斯變換的重要性質(zhì)

如同傅里葉變換一樣，拉氏變換也有許多重要性質(zhì)。掌握好這些性質(zhì)，對求一些復(fù)雜信號的拉氏變換或由象函數(shù)求逆變換都是方便的。這些性質(zhì)也進(jìn)一步揭示了信號的時(shí)域特性與其復(fù)頻域特性之間的關(guān)系。4.2.1線性性質(zhì)

若

(4.2-1)

式中，a和b為任意常數(shù)。

例4.2-1

求正弦函數(shù)sin(ω0t)和余弦函數(shù)cos(ω0t)的象

函數(shù)。

解由于根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，利用式(4.1-14)，得

(4.2-2)

同理可得

(4.2-3)

例4.2-2

若f(t)=(1－e－αt)ε(t)，試求其象函數(shù)。

解根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，得

由式(4.1-11)和式(4.1-13)得4.2.2延時(shí)性質(zhì)

若

(4.2-4)

證明根據(jù)定義由于t<t0時(shí)，ε(t－t0)=0，故上式積分下限改為t0，令

τ=t－t0，則當(dāng)t=t0時(shí)，τ=0－，當(dāng)t→∞時(shí)，τ→∞，于是

這一性質(zhì)表明，如果信號f(t)在時(shí)域中遲延時(shí)間t0，那么它的拉氏變換應(yīng)乘以

例4.2-3

求圖4.2-1所示矩形脈沖的象函數(shù)。

解圖示矩形脈沖可看作兩個階躍函數(shù)之差，即

由于圖4.2-1例4.2-3用圖根據(jù)延時(shí)特性

故

(4.2-5)

例4.2-4

若f(t)為圖4.2-1所示矩形脈沖(τ>1)。試畫出下列函數(shù)的波形，并求其象函數(shù)。

(1)f(t－1)ε(t－1)；

(2)f(t)ε(t－1)。

解

(1)函數(shù)f(t－1)ε(t－1)的波形如圖4.2-2(a)所示。

根據(jù)延時(shí)特性，由式(4.2-5)，得圖4.2-2例4.2-4用圖

(2)函數(shù)f(t)ε(t－1)的波形如圖4.2-2(b)所示。其表達(dá)式可以寫做

故4.2.3復(fù)頻移性質(zhì)

若

(4.2-6)

證明根據(jù)定義

該特性表明，信號f(t)在時(shí)域乘以因子相當(dāng)于其象函數(shù)F(s)在復(fù)頻域右移s0。

例4.2-5

求函數(shù)e－αtsin(ω0t)和余弦函數(shù)e－αtcos(ω0t)的象函數(shù)。

解由于

根據(jù)復(fù)頻移特性，得同理

故有4.2.4尺度變換性質(zhì)

若

(4.2-7)

證明對于a>0，由于令4.2.5卷積定理

若

(4.2-8)

證明對于求單邊拉氏變換，函數(shù)f1(t)、f2(t)可以分別看做f1(t)ε(t)和f2(t)ε(t)，即認(rèn)為二信號為因果信號，故交換上式的積分次序，得

(4.2-9)

根據(jù)時(shí)移特性，上式括號中的積分為把上式代入式(4.2-9)，得

式(4.2-8)稱為時(shí)域卷積定理。該定理表明，兩個時(shí)間函數(shù)卷積的拉氏變換等于兩個時(shí)間函數(shù)各自拉氏變換的乘積。用類似的方法可以證明復(fù)頻域卷積，即

(4.2-10)

式(4.2-10)表明，兩個時(shí)間函數(shù)乘積的拉氏變換等于兩個函數(shù)各自的拉氏變換在s域的卷積并乘以系數(shù)1/(2πj)。在時(shí)域分析中曾經(jīng)指出，線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響

應(yīng)為

式中，f(t)為輸入信號，h(t)是該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。若令根據(jù)卷積定理，得

Yf(s)=F(s)H(s)

(4.2-11)

所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

上述用拉氏變換分析線性時(shí)不變系統(tǒng)的過程如圖4.2-3所示，稱其為復(fù)頻域分析法。圖4.2-3復(fù)頻域分析法示意圖由式(4.2-11)可得

(4.2-12)

H(s)稱為該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或傳輸函數(shù)，它在復(fù)頻域中描

述了系統(tǒng)的特性。在系統(tǒng)分析中，系統(tǒng)函數(shù)占有十分重要

的地位。

例4.2-6

已知某線性時(shí)不變電路的激勵f(t)為幅度等于1，寬度等于1(τ=1)的矩形脈沖，如圖4.2-4所示，該電路

的沖激響應(yīng)為

求該電路的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。圖4.2-4例4.2-6用圖

解應(yīng)用線性、時(shí)移性質(zhì)及常用函數(shù)變換對容易求得f(t)的象函數(shù)為

電路的系統(tǒng)函數(shù)為根據(jù)式(4.2-11)，該電路的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為

(4.2-13)上式等號右邊的第一項(xiàng)可分解為

故式(4.2-13)右端的第二項(xiàng)比第一項(xiàng)多了因子e－s，它表示相應(yīng)的時(shí)間函數(shù)在時(shí)間上要延遲1，即

故該電路的零狀態(tài)響應(yīng)為4.2.6時(shí)域微分性質(zhì)

若

(4.2-14)

證明根據(jù)定義對上式進(jìn)行分部積分，令u=e－st，dv=df(t)，則

du=－se－stdt，v=f(t)，因此在收斂域內(nèi)，函數(shù)f(t)滿足

于是由式(4.2-14)可以推得d2f(t)/dt2的拉氏變換為

(4.2-15)用類似的方法，式(4.2-15)的結(jié)果可以推廣到n階導(dǎo)數(shù)，即

(4.2-16)對于因果函數(shù)，在t<0時(shí)，f(t)=0，則故式(4.2-14)和式(4.2-16)可簡化為

(4.2-17)

由于故得沖激偶δ′(t)的拉氏變換為

(4.2-18)

例4.2-7

f1(t)和f2(t)的波形分別如圖4.2-5(a)和(b)所示，求f1(t)和f2(t)的拉氏變換及其導(dǎo)數(shù)的拉氏變換。

解

(1)求f1(t)和f2(t)的拉氏變換。

f1(t)為矩形脈沖(τ=1)，根據(jù)式(4.2-5)，得圖4.2-5例4.2-7用圖由于單邊拉氏變換的積分是從t=0－開始的，故f2(t)的單邊拉氏變換應(yīng)從t=0－開始積分計(jì)時(shí)。因此，f2(t)的象函數(shù)

F2(s)與F1(s)相同，即

(2)求f1′

(t)和f2′

(t)的拉氏變換。

由于f1(t)可表示為

故f1(t)的一階導(dǎo)數(shù)f1′

(t)為其波形如圖4.2-5(c)所示。因

根據(jù)延時(shí)特性

故

(4.2-19)利用時(shí)域微分特性也可求出f1′

(t)的拉氏變換，即

由圖4.2-5(a)可知，f1(0－)=0，故

其結(jié)果與式(4.2-19)完全相同。由于f2(t)可表示為

故f2(t)的一階導(dǎo)數(shù)f2′

(t)為其波形如圖4.2-5(d)所示。由于δ(t+1)是處在t<0的區(qū)域，故

(4.2-20)

利用時(shí)域微分特性求f2′

(t)的拉氏變換，由圖4.2-5(b)可知，f2(0－)=1，故

其結(jié)果與式(4.2-20)完全相同。4.2.7時(shí)域積分性質(zhì)

若

(4.2-21)

證明由于設(shè)上式第一項(xiàng)的積分為常量，故

第二項(xiàng)根據(jù)拉氏變換的定義，有

(4.2-22)

對上式進(jìn)行分部積分，令

故把上述關(guān)系代入式(4.2-22)，得當(dāng)t=0－和t→∞時(shí)，上式等號右端的第一項(xiàng)均為0，故

所以對于因果函數(shù)，當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，因此

于是

(4.2-23)

例4.2-8

求圖4.2-6(a)所示三角波的象函數(shù)。

解首先寫出f(t)的表示式圖4.2-6例4.2-8用圖f(t)的一階導(dǎo)數(shù)f′(t)為

f′(t)的波形如圖4.2-6(b)所示。f′(t)也可以用階躍函數(shù)表示，即

對上式求導(dǎo)，得f(t)的二階導(dǎo)數(shù)為其波形如圖4.2-6(c)所示。其象函數(shù)為

因?yàn)閒(t)是因果函數(shù)，f(0－)=f′(0－)=0，于是故

例4.2-9

求tnε(t)的象函數(shù)。

解由于

因而

故依此類推，可以歸納求得

(4.2-24)4.2.8復(fù)頻域微分性質(zhì)

若

(4.2-25)

證明寫單邊拉氏變換定義式

將上式對s求導(dǎo)并交換右端微分與積分次序，得再對照定義式即證得

同理可證n階導(dǎo)形式式(4.2-25)亦成立。4.2.9復(fù)頻域積分性質(zhì)

若

(4.2-26)

要求式中

證明寫單邊拉普拉斯變換的定義

對上式兩邊從s到∞積分，并交換積分次序得考慮

將其代入上式并對照拉氏變換式，得

例4.2-10

求信號

解由于

根據(jù)復(fù)頻域積分性質(zhì)，得4.2.10初值和終值定理

初值和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞)，而不必求出原函數(shù)f(t)。

1.初值定理

若信號f(t)不包含沖激函數(shù)δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，且有

則信號f(t)的初值為

(4.2-27)

2.終值定理

若f(t)在t→∞時(shí)的極限f(∞)存在，且有則信號f(t)的終值為

(4.2-28)

例4.2-11

已知f(t)=e－tcost

ε(t)，求f(0+)、f(∞)。

解由于

根據(jù)復(fù)頻移性質(zhì)，則有由初值定理得

由終值定理得

4.3拉普拉斯逆變換

為了求零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，必須對象函數(shù)Yf(s)進(jìn)行拉氏逆變換，即4.3.1查表法

1.直接查找

若遇求表格中已有變換對的象函數(shù)，可“對號入座”，直接套用得到原函數(shù)。

例4.3-1

已知拉氏變換象函數(shù)F(s)=1/(s+3)2，求原函數(shù)f(t)。

解查本書末附錄3表，由序號6的變換對可知：象函數(shù)F(s)=1/(s+α)2，對應(yīng)的原函數(shù)te－αtε(t)，令α=3代入即得

2.間接查找

例4.3-2

已知拉氏變換象函數(shù)

求原函數(shù)f(t)。

解

查本書末附錄3表序號11的變換對：象函數(shù)

對應(yīng)的原函數(shù)e－αtcos(ω0t)ε(t)，令α=1，ω0=3，再乘以系數(shù)3即得原函數(shù)4.3.2部分分式展開法

設(shè)象函數(shù)有理分式形式為

(4.3-1)

式中，分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，當(dāng)n>m且為正整數(shù)時(shí)，稱F(s)為有理真分式。當(dāng)n≤m時(shí)，稱F(s)為假分式(或代分式)。假分式可以利用長除法化為一個多項(xiàng)式與一個真分式之和的形式。例如利用長除法，得

故

1.A(s)=0具有n個單實(shí)根，即F(s)只有單極點(diǎn)

假設(shè)n個單極點(diǎn)p1，p2，…，pn均為實(shí)數(shù)，根據(jù)代數(shù)理論，F(xiàn)(s)可以展開為如下部分分式之和：

(4.3-2)

式中，Ki為待定常數(shù)。為了確定Ki，將上式等號兩端同乘以

s－pi，得當(dāng)s→pi時(shí)，上式右端各項(xiàng)除Ki以外均為0，故得

(4.3-3)

式(4.3-3)為嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義下決定部分分式展開系數(shù)的計(jì)算式。通常，在工程問題計(jì)算中不苛求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性，更習(xí)慣用下式計(jì)算Ki:

(4.3-4)觀察式(4.3-2)中Ki/(s－pi)項(xiàng)，它即是常用指數(shù)函數(shù)的拉氏變換。所以F(s)的原函數(shù)f(t)為

(4.3-5)

例4.3-3

解象函數(shù)F(s)的分母多項(xiàng)式的極點(diǎn)為p1=0，p2=－1，

p3=－2，所以F(s)可展開為根據(jù)式(4.3-4)，各常數(shù)分別為所以

由常用的指數(shù)函數(shù)拉氏變換對并考慮線性性質(zhì)，可直接寫得原函數(shù)

例4.3-4

已知象函數(shù)

求它的原函數(shù)f(t)。

解由F(s)式可知它是假分式，應(yīng)用長除法將它改寫為多項(xiàng)式與真分式之和，即

部分分式展開真分式部分式中

所以故得原函數(shù)

例4.3-5已知象函數(shù)

求原函數(shù)f(t)。

解本例中的象函數(shù)帶有時(shí)延因子，它不屬于有理真分式，不能直接應(yīng)用部分分式展開法。我們可這樣處理：先將時(shí)延因子去掉，令F1(s)=(s+5)/(s2+4s+3)，按部分分式展開，求得f1(t)，然后再考慮時(shí)延因子求得原函數(shù)f(t)=f1(t－2)。設(shè)

式中則

故得

考慮時(shí)延因子，所以

2.A(s)=0含有共軛復(fù)數(shù)的單根，即F(s)含有共軛復(fù)數(shù)單極點(diǎn)

因F(s)為實(shí)系數(shù)有理分式，所以當(dāng)F(s)有復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，

必定成共軛對形式出現(xiàn)。也就是說，每有一個復(fù)極點(diǎn)

p1=－α+jβ，一定會有另一個共軛復(fù)極點(diǎn)p2=－α－jβ與之對應(yīng)。這兩個共軛極點(diǎn)一階因子相乘之積是s的實(shí)系數(shù)二次多項(xiàng)式，即為了簡便起見，這里只假設(shè)含有一對共軛復(fù)根的情況，即

一對共軛復(fù)極點(diǎn)分別為：p1=－α+jβ，p2=－α－jβ。p1、p2仍為單階極點(diǎn)，故仍可應(yīng)用式(4.3-4)計(jì)算部分分式展開系數(shù)，仍可應(yīng)用式(4.3-5)書寫與之對應(yīng)的時(shí)間函數(shù)。

例4.3-6

已知象函數(shù)F(s)=(s+2)/(s2+2s+2)，求原函數(shù)f(t)。

解令A(yù)(s)=s2+2s+2=0，解得根p1，2=－1±j1，展開F(s)，即式中將K1、K2代入展開式中，得

由指數(shù)常用函數(shù)拉氏變換對，得應(yīng)用歐拉公式可以將f(t)寫為更簡潔的形式，即

(4.3-6)考慮共軛復(fù)極點(diǎn)對應(yīng)的展開系數(shù)亦呈共軛復(fù)數(shù)的特點(diǎn)，以后若遇此類問題，亦不必經(jīng)如上繁瑣的計(jì)算過程，而只需套用如下的式(4.3-7)便可直接寫出相應(yīng)的時(shí)間函數(shù)。

(4.3-7)

式中，|K1|、θ1分別為共軛復(fù)極點(diǎn)對應(yīng)展開項(xiàng)一系數(shù)的模和輻角；α、β分別為復(fù)極點(diǎn)實(shí)部與虛部的大小。若應(yīng)用正弦、余弦常用函數(shù)拉氏變換對及復(fù)頻移性質(zhì)，求解例4.3-6就更為簡便。改寫F(s)為

所以

3.A(s)=0含有重根，即F(s)含有多重極點(diǎn)

如果A(s)=0只含有一個m重根p1，也就是說，F(xiàn)(s)只含有一個m階極點(diǎn)，這時(shí)，將F(s)展開為部分分式，可得

(4.3-8)為了確定常數(shù)K1m，K1，m－1，…，K11，采用不苛求數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的工程法計(jì)算，可以先將上式兩端同乘以(s－p1)m，得

(4.3-9)

當(dāng)s=p1時(shí)，得

(4.3-10)然而，求常數(shù)K1，m－1，…，K11不能再采用類似求K1m的方法，因?yàn)檫@樣做會使式(4.3-8)中的分母出現(xiàn)零值，從而得不到結(jié)果。因此，我們將式(4.3-9)對s求導(dǎo)數(shù)，得

(4.3-11)

當(dāng)s=p1時(shí)，得

(4.3-12)同理，對式(4.3-11)求導(dǎo)數(shù)，得

(4.3-13)

依此類推，可得一般公式

(4.3-14)

在求得K1m，K1，m－1，…，K11后，便可根據(jù)式(4.3-8)求得式中各項(xiàng)的拉氏逆變換。

現(xiàn)以為例，說明其拉氏逆變換的求法。

根據(jù)式(4.2-24)可知利用復(fù)頻移特性，則有

故如果F(s)在s=p1處具有m階極點(diǎn)，而另外n－m個極點(diǎn)pm+1，pm+2，…，pn為單極點(diǎn)，則F(s)可展開成

(4.3-15)

例4.3-7

已知象函數(shù)

求原函數(shù)f(t)。

解由F(s)式可知極點(diǎn)：p1，2=－2(二重根)，p3=0，

p4=－1。將F(s)部分分式展開為式中所以

故得原函數(shù)

例4.3-8

已知象函數(shù)F(s)=8/s2(s2+4)，求原函數(shù)f(t)。

解因A(s)=s2(s2+4)=0，故其有四個根，即二重零根和一對共軛復(fù)根。如按上述部分分式展開求系數(shù)，其計(jì)算過程會很麻煩。這里可先令x=s2，對x函數(shù)按前述的方法部分分式展開，展開以后再將x代為s2，然后應(yīng)用tε(t)及正弦、余弦函數(shù)常用拉氏變換對，求得逆變換。則則

所以原函數(shù)

4.4應(yīng)用拉普拉斯變換分析電路與系統(tǒng)

拉氏變換是分析線性電路與系統(tǒng)的有力工具，它將描述電路、系統(tǒng)的時(shí)域微分方程變換為s域的代數(shù)方程，便于運(yùn)算和求解；同時(shí)它將電路與系統(tǒng)的起始狀態(tài)自然地包含于象函數(shù)方程中，既可以分別求得零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)，也可一舉求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。另一方面，運(yùn)用拉氏變換及其性質(zhì)將電路、系統(tǒng)元件的時(shí)域模型轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的s域模型，就可應(yīng)用電路分析的方法，譬如網(wǎng)孔法、節(jié)點(diǎn)法、戴維寧定理等，求解出所求響應(yīng)的象函數(shù)，再經(jīng)逆變換即得所求響應(yīng)的時(shí)域函數(shù)。4.4.1應(yīng)用拉氏變換求解微分方程

設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入為f(t)，輸出為y(t)，描述n階系統(tǒng)的輸入輸出微分方程的一般形式可寫為

(4.4-1)

式中，系數(shù)ai(i=0，1，…，n)、bj(j=0，1，…，m)均為實(shí)數(shù)，設(shè)系統(tǒng)的起始狀態(tài)為y(0－)，y′(0－)，…，y(n－1)(0－)。令根據(jù)時(shí)域微分定理，y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為

(4.4-2)

若f(t)是在t=0時(shí)接入的，則在t=0－時(shí)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零，即f(j)(0－)=0(j=0，1，…，m)。所以f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為

(4.4-3)對式(4.4-1)取拉氏變換并將式(4.4-2)、式(4.4-3)代入，得

即由上式解得

(4.4-4)觀察式(4.4-4)可以看出，其第(Ⅰ)項(xiàng)僅與系統(tǒng)的起始狀態(tài)有關(guān)而與輸入無關(guān)，因而是零輸入響應(yīng)yx(t)的象函數(shù)Yx(s)；其第(Ⅱ)項(xiàng)僅與輸入有關(guān)而與系統(tǒng)的起始狀態(tài)無關(guān)，因而是零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的象函數(shù)Yf(s)。于是式(4.4-4)可寫為

(4.4-5)

取上式的逆變換，得系統(tǒng)的全響應(yīng)為

(4.4-6)

例4.4-1

描述某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為

已知輸入f(t)=ε(t)，起始狀態(tài)y(0－)=2，y′(0－)=1，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和全響應(yīng)y(t)。

解對微分方程取拉氏變換，有

即解上式，得

(4.4-7)

將和已知的各起始值代入上式，得對以上二式取拉氏逆變換，得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為

系統(tǒng)的全響應(yīng)為本題如果只求全響應(yīng)，可將各起始狀態(tài)和F(s)代入式(4.4-7)，經(jīng)整理可得

取其逆變換就得到全響應(yīng)y(t)，結(jié)果同上。

例4.4-2

描述某線性時(shí)不變系統(tǒng)的高階微分方程為

求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。

解假設(shè)零狀態(tài)條件，即y″(0－)=y′(0－)=y(0－)=0，對方程取拉氏變換，得

解得由式(4.2-12)得系統(tǒng)函數(shù)

所以沖激響應(yīng)

例4.4-3

描述某線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為

已知輸入f(t)=2e－2tε(t)，y(0+)=1，y′(0+)=7。求:

(1)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)；

(2)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。

解

(1)設(shè)零狀態(tài)，對方程取拉氏變換，有

所以

又所以

故得

(2)由yf(t)函數(shù)式算得yf(0+)=0，y′f(0+)=2，則

由H(s)的分母多項(xiàng)式可知極點(diǎn)λ1=－1，λ2=－3。設(shè)將

所以4.4.2應(yīng)用拉氏變換法分析電路

1.電路元件的s域模型

設(shè)電阻R上電流、電壓的參考方向如圖4.4-1(a)所示。在任意時(shí)刻，電阻R的伏安關(guān)系為

對上式兩邊取拉氏變換，并令

得

(4.4-8)圖4.4-1電阻元件的時(shí)域模型和s域模型在任意時(shí)刻，線性時(shí)不變電感L的伏安關(guān)系為

其電流、電壓的參考方向如圖4.4-2(a)所示。對上式兩邊取拉氏變換，并令

得

(4.4-9)將式(4.4-9)改寫為

(4.4-10)

式中，iL(0－)/s看作s域中的電流源。由式(4.4-10)畫出電感L的s域模型如圖4.4-2(c)所示，稱為電感L并聯(lián)形式的s域模型。不難看出，利用電壓源和電流源互換，圖4.4-2的(b)和(c)是等效的。圖4.4-2電感元件的時(shí)域模型和s域模型在任何時(shí)刻，電容C的伏安關(guān)系為

其電流、電壓的參考方向如圖4.4-3(a)所示。對上式兩邊取拉氏變換，并令得

(4.4-11)

將式(4.4-11)改寫為

(4.4-12)圖4.4-3電容元件的時(shí)域模型和s域模型

2.基爾霍夫定律的s域形式

在時(shí)域中，KCL的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

利用拉氏變換的線性性質(zhì)，對上式取拉氏變換，得

(4.4-13)同理，可得KVL的s域形式為

(4.4-14)

即沿任意閉合回路，各段象電壓的代數(shù)和等于零。

例4.4-4

圖4.4-4(a)所示電路,已知輸入信號us(t)=10(t)V,R1=0.2Ω，R2=1Ω，C=1F，L=0.5H，求電路的零狀態(tài)響應(yīng)if(t)。圖4.4-4例4.4-4用圖

解

(1)求輸入信號的象函數(shù):

(2)計(jì)算運(yùn)算阻抗:

(3)畫s域模型電路:

令因電路狀態(tài)為零，所以畫s域模型電路如圖4.4-4(b)所示。

(4)求響應(yīng)象函數(shù)：

由圖4.4－4(b)，應(yīng)用運(yùn)算阻抗串、并聯(lián)等效求得

(5)求拉氏逆變換，得響應(yīng)時(shí)間函數(shù)為

例4.4-5

電路如圖4.4-5(a)所示。已知R=1Ω，L=2H，C=(1/2)F，激勵源us(t)=ε(t)V，初始條件為iL(0－)=2A，

uC(0－)=1V。求電容電壓uC(t)。圖4.4-5例4.4-5用圖

解首先畫出電路的s域模型，如圖4.4-5(b)所示。圖中，Us(s)=L［us(t)]=1/s。用節(jié)點(diǎn)法求UC(s)。由圖4.4-5(b)可知，節(jié)點(diǎn)電壓u1(t)的象函數(shù)U1(s)=UC(s)。節(jié)點(diǎn)方程為

代入元件參數(shù)和初始條件，得解上式，得

把UC(s)展開成部分分式，得式中，各常數(shù)分別為故

于是

例4.4-6

電路和激勵us(t)如圖4.4-6(a)所示。已知

R1=6Ω，R2=4Ω，L=0.2H，C=0.1F。求零狀態(tài)響應(yīng)uo(t)。圖4.4-6例4.4-6用圖

解激勵us(t)看作兩個階躍函數(shù)之和，即

令先求出us1(t)作用于電路時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)。

由于是零狀態(tài)響應(yīng)，初始狀態(tài)為零，s域模型電路如圖4.4-6(b)所示。圖中us1(t)=2/s。利用網(wǎng)孔法求I2(s)，列寫出網(wǎng)孔方程為代入元件參數(shù)，得解得設(shè)電阻R2上的電壓uo1(t)的象函數(shù)為Uo1(s)，則

把Uo1(s)展開成部分分式，得式中常數(shù)分別為

故us1(t)作用于電路產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為根據(jù)時(shí)不變電路的延時(shí)不變性，激勵us2(t)產(chǎn)生的響應(yīng)為

因此，零狀態(tài)響應(yīng)為

4.5系統(tǒng)函數(shù)分析

若知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t),則對它取拉氏變換即得系統(tǒng)函數(shù)

(4.5-1)

若知描述系統(tǒng)的微分方程，則假設(shè)零狀態(tài)條件，對方程取拉氏變換，應(yīng)用零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)與輸入象函數(shù)之比就得到系統(tǒng)函數(shù)

(4.5-2)4.5.1系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零、極點(diǎn)

對單輸入單輸出LTI系統(tǒng)，零狀態(tài)即是輸出y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0－時(shí)刻的值均為零。設(shè)f(t)為因果信號，輸入信號

f(t)和輸出信號y(t)之間的關(guān)系可以由n階常系數(shù)線性微分方程描述，即設(shè)零狀態(tài)，對上式兩邊取拉氏變換，并運(yùn)用微分性質(zhì)，有

則應(yīng)用式(4.5-2)得

(4.5-3)通常系統(tǒng)函數(shù)H(s)的分母多項(xiàng)式為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，令

分子多項(xiàng)式為把H(s)的分子、分母進(jìn)行因式分解，寫為線性因子的乘積，即

(4.5-4)

式中，ξ1，ξ2，…，ξm為系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)；p1，p2，…，pn為系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)；H0為一常系數(shù)。零、極點(diǎn)對系統(tǒng)特性起著重要的作用。

例4.5-1

某系統(tǒng)函數(shù)為

畫出其零、極點(diǎn)分布圖。

解將分子分母分解因式得

故其極點(diǎn)為

二階極點(diǎn)：p1=－1；

一階共軛極點(diǎn)：p2=－2－j1，p3=－2+j1。

零點(diǎn)為

一階零點(diǎn)：ξ1=0，ξ2=－3。

該系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布圖如圖4.5-1所示。圖4.5-1例4.5-1用圖4.5.2零、極點(diǎn)分布與時(shí)域響應(yīng)

系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)反映出系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)特性，在LTI系統(tǒng)理論中有其重要的地位。由于復(fù)頻域的系統(tǒng)函數(shù)H(s)對應(yīng)著時(shí)域的系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)，故極點(diǎn)在s平面上的位置決定著沖激響應(yīng)h(t)的函數(shù)形式。

若H(s)的部分分式有以下形式：式中各項(xiàng)對應(yīng)的沖激響應(yīng)分量分別為則系統(tǒng)函數(shù)H(s)對應(yīng)的沖激響應(yīng)為

由此可見，H(s)的極點(diǎn)位置與沖激響應(yīng)的函數(shù)形式之間有著密切的關(guān)系。圖4.5-2H(s)的一階極點(diǎn)與對應(yīng)h(t)中各分量的波形圖4.5.3系統(tǒng)的穩(wěn)定性與羅斯-霍爾維茲(R-H)準(zhǔn)則

1.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

可以證明，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是沖激響應(yīng)h(t)絕對可積，即

(4.5-5)

對于因果系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可改寫為

(4.5-6)

例4.5-2

圖4.5-3所示為反饋系統(tǒng)的s域模擬框圖，已知圖中

K為實(shí)常數(shù)。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定K值的允許范圍。

解設(shè)X(s)如圖4.5-3所示，求系統(tǒng)的H(s)。由圖知圖4.5-3例4.5-2用圖稍加整理上述兩式，得

式中將G(s)代入H(s)并化簡，得

H(s)的極點(diǎn)為

由上式可以看出，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，極點(diǎn)應(yīng)全部處在s左半開平面，即要求4－K>0，則K<4。

故當(dāng)K<4時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2.羅斯-霍爾維茲(R-H)準(zhǔn)則

對于高階系統(tǒng)，若不解出系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)可否判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定？羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則告訴我們這種情況判別的簡便方法。這個準(zhǔn)則只需根據(jù)H(s)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)就可判別因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)n階線性連續(xù)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

(4.5-7)

H(s)的分母多項(xiàng)式為

(4.5-8)

H(s)的極點(diǎn)就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在s左半開平面，則該多項(xiàng)式稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件是：A(s)的各項(xiàng)系數(shù)ai均不等于零，且為同符號的實(shí)系數(shù)，即是說，ai全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。如果ai全為負(fù)實(shí)數(shù)，可把負(fù)號歸于H(s)的分子多項(xiàng)式B(s)中，所以也有教科書中將該必要條件表示為ai＞0。顯然，若A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式，則該因果系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。若n為偶數(shù)，則第二行最后一列元素補(bǔ)零。表中：

(4.5-9)

(4.5-10)

第n+1行的第一列元素一般不為零，其余元素均為零。

例4.5-3

因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為

試判別它們的穩(wěn)定性。

解

H1(s)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)a4=0，即缺少s4項(xiàng)，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。H2(s)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)不為同號，a5=－7，a3=－9，其余系數(shù)都大于零，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。H3(s)的分母多項(xiàng)式無缺項(xiàng)且系數(shù)全為正值，故需排R陣列做進(jìn)一步判別。H3(s)的分母多項(xiàng)式為

A3(s)的系數(shù)組成的R陣列的行數(shù)n+1=4，其R陣列為由式(4.5-9)、式(4.5-10)分別算得

因所排R陣列第一列元素均大于零，所以該系統(tǒng)穩(wěn)定。4.5.4H(s)與H(jω)的關(guān)系

(1)若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的所有極點(diǎn)均在s左半開平面(收斂域包含jω虛軸)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。單位沖激響應(yīng)h(t)滿足絕對可積條件，因而它存在傅里葉變換H(jω)，即穩(wěn)定系統(tǒng)存在頻響函數(shù)H(jω)。這時(shí)

(4.5-11)

(2)若系統(tǒng)函數(shù)H(s)只要有極點(diǎn)在s右半開平面(收斂域不包含jω虛軸)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。單位沖激響應(yīng)h(t)不存在傅里葉變換H(jω)，即不穩(wěn)定系統(tǒng)不存在頻響函數(shù)H(jω)，不能套用式(4.5-11)求H(jω)。

(3)若已知系統(tǒng)的頻響函數(shù)H(jω)，則系統(tǒng)的s域系統(tǒng)函數(shù)一定存在，將jω代換為s即得H(s)，即

(4.5-12)

4.6信號流圖、梅森公式與系統(tǒng)模擬

4.6.1信號流圖

1.信號流圖的定義

信號流圖是由節(jié)點(diǎn)與支路構(gòu)成的表征系統(tǒng)中信號流動方向與系統(tǒng)功能的圖。信號流圖常用來簡化系統(tǒng)框圖表示，將加法器用節(jié)點(diǎn)表示，將方框用有向線段表示，信號流向用線段上的箭頭清晰表示。如圖4.6-1(a)所示的s域框圖，用信號流圖表示為圖(b)。圖4.6-1系統(tǒng)s域框圖及其對應(yīng)的信號流圖

2.信號流圖中的幾個常用術(shù)語

節(jié)點(diǎn)：

支路：

源點(diǎn)：

匯點(diǎn)：

通路：

回路(環(huán)路)：

前向通路(開通路)：

3.信號流圖的運(yùn)算規(guī)則

(1)信號只能按支路上所標(biāo)箭頭方向傳輸(流動)。

(2)某節(jié)點(diǎn)的信號值，等于流入該節(jié)點(diǎn)諸支路的信號代數(shù)和，與流出的支路信號無關(guān)。

如圖4.6-1(b)中：X1(s)=1×F(s)+H2(s)X2(s)，X2(s)=

H1(s)X1(s)，Yf(s)=H3(s)X2(s)。

(3)既有入支路又有出支路的節(jié)點(diǎn)，可通過增加一條傳輸增益為1的輸出支路變成輸出節(jié)點(diǎn)來處理。如圖4.6-1(b)中虛線所示增益為1的增加支路，X2(s)即可作為輸出節(jié)點(diǎn)。4.6.2梅森公式(Mason’sRule)

梅森公式可助我們做到這一點(diǎn)。梅森公式為

(4.6-1)

式中，Δ稱為信號流圖的特征行列式，表示為

(4.6-2)

例4.6-1

已知連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖如圖4.6-2所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。

解觀察該系統(tǒng)的信號流圖，可見共有4個回路，它們的回路傳輸函數(shù)分別為圖4.6-2例4.6-1之信號流圖兩兩不接觸回路有兩組，它們的兩兩回路增益乘積分別為

該系統(tǒng)信號流圖不存在三三、四四及更多的不接觸回路。系統(tǒng)信號流圖中從F(s)到Y(jié)(s)