章末小結(jié)選擇性必修第一冊

第一章《空間向量與立體幾何》知識網(wǎng)絡(luò)知識梳理——1.空間向量相關(guān)概念

知識梳理——1.空間向量相關(guān)概念9.共線(平行)向量：(定義1)若干有向線段所在直線互相平行或重合的空間向量；(定義2)若干方向相同或相反的空間向量；

11.共面向量：平行于同一個平面的向量.②任意兩個空間向量必共面.③任意三個空間向量可能共面，也可能不共面.注：①共面向量所在直線可能平行、重合、相交或異面.知識梳理——1.空間向量相關(guān)概念12.直線的方向向量：直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個．13.平面的法向量：直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量．位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0知識梳理——1.空間向量相關(guān)概念長度比+方向14.投影向量：知識梳理——1.空間向量相關(guān)概念15.空間直角坐標(biāo)系：

②通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.它們把空間分成8個部分.知識梳理——1.空間向量相關(guān)概念15.空間直角坐標(biāo)系：

知識梳理——1.空間向量相關(guān)概念

知識梳理——1.空間向量相關(guān)概念點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上xOy平面xOz平面yOz平面點(diǎn)的坐標(biāo)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(x,0,z)(0,y,z)已知點(diǎn)A(x,y,z)，則：①點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為A1___________;②點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為A2___________;③點(diǎn)A關(guān)于z軸對稱的點(diǎn)為A3___________.④點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為A4___________.⑤點(diǎn)A關(guān)于Oxy平面對稱的點(diǎn)為A5__________;⑥點(diǎn)A關(guān)于Oxz平面對稱的點(diǎn)為A6__________;⑦點(diǎn)A關(guān)于Oyz平面對稱的點(diǎn)為A7__________.(x

,y

,-z)(-x,y

,z)(x,-y,z)(x

,-y,-z)(-x,-y,z)(-x,y

,-z)(-x,-y,-z)規(guī)律：關(guān)于誰對稱，誰就不變！其余互為相反數(shù)。知識梳理——1.空間向量相關(guān)概念18.二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.①記作二面角α-l-β、α-AB-β、P-l-Q、C-AB-D②二面角θ的范圍是[0，π]19.平面與平面的夾角的定義：平面α與平面β相交所形成的4個二面角中，把其中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．知識梳理——2.空間向量相關(guān)定理1.共線向量定理：對于任意兩個空間向量

，

①作用：判定兩個向量是否共線(找λ).②推論：判定三點(diǎn)是否共線(同起點(diǎn)&系數(shù)和為1;或轉(zhuǎn)化為向量共線).知識梳理——2.空間向量相關(guān)定理2.共面向量定理：作用:判定三個向量是否共面(找x,y).推論:判定四點(diǎn)是否共面(同起點(diǎn)/系數(shù)和為1，或轉(zhuǎn)化為三個向量共面).知識梳理——2.空間向量相關(guān)定理

④若三個向量中存在一個向量可用另外兩個向量表示，則三向量共面，不可構(gòu)成基底.知識梳理——3.空間向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算)加法：(三角形法則，首尾接)(平行四邊形法則，同起點(diǎn))減法：

(三角形法則，同起點(diǎn)/指向被減向量)數(shù)乘：(結(jié)果仍是一個向量)交換律：結(jié)合律：分配律：同起點(diǎn)的兩個平面向量的和向量為平行四邊形的對角線所在向量；同起點(diǎn)的三個空間向量的和向量為平行六面體的體對角線所在向量.知識梳理——3.空間向量的運(yùn)算(數(shù)量積)OAB2.零向量與任意向量的數(shù)量積為0：1.向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個數(shù)；“·”不可省略3.求模：4.空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：如:知識梳理——3.空間向量的運(yùn)算(數(shù)量積)OAB1.找角：兩向量同起點(diǎn)2.范圍：3.求角：4.向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系：知識梳理——3.空間向量的運(yùn)算(坐標(biāo)運(yùn)算)

向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3知識梳理——3.空間向量的運(yùn)算(坐標(biāo)運(yùn)算)

方法歸納1.1基底的判斷：若三個向量不共面，則可作為空間向量的一個基底．①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；②存在一個向量可以用另外兩個向量表示，則三向量共面；②假設(shè)三向量共面，建立x,y的方程組，若無解，則不共面，若有解，則共面.1.2基底的構(gòu)建：常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對應(yīng)的向量為基底，并盡量選已知夾角和長度的向量．1.3用基底表示向量：結(jié)合向量的加減法運(yùn)算法則尋找目標(biāo)向量與基向量的關(guān)系.1.4基底的運(yùn)用：用基底法解決立體幾何中的垂直、共線、角度、模長等問題.方法歸納1.5基底的運(yùn)用：用基底法解決立體幾何中的垂直、共線、角度、模長等問題.首先根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，選擇一個基底，把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示．(1)若證明線線垂直，只需證明兩向量數(shù)量積為0．(2)若證明線線平行，只需證明兩向量共線．(3)若要求異面直線所成的角，則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補(bǔ)角)．方法歸納2.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角或距離的一般步驟

(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo)；

(3)坐標(biāo)運(yùn)算：結(jié)合公式進(jìn)行計算、論證；

(4)翻譯：將坐標(biāo)運(yùn)算的結(jié)果翻譯為夾角或距離等集合語言.方法歸納

求法：先求兩向量夾角余弦值→設(shè)空間角為θ→下結(jié)論(取絕對值or定正負(fù))方法歸納4.1求點(diǎn)到直線的距離：

②等面積法(將點(diǎn)線距離視為三角形的高)兩條平行直線m,l間的距離轉(zhuǎn)化為直線m上任一點(diǎn)到直線l的距離4.2求直線到直線的距離：方法歸納4.3求點(diǎn)到平面的距離：①等體積法(將點(diǎn)面距離看作三棱錐的高)

③找垂線法(過點(diǎn)找面的垂線)平行于平面的直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為線上任意一點(diǎn)到平面的距離兩個平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)任意一點(diǎn)到平面的距離方法歸納5.1證線線平行：①證平行四邊形得對邊平行；②中位線；③對應(yīng)線段成比例；④平行線的傳遞性；⑤線面平行的定義⑥兩直線的方向向量共線(直接法/基底法/坐標(biāo)法找λ)5.2證線面平行：①線面平行的判定定理：幾何法、基底法、坐標(biāo)法平面外的直線l與平面α內(nèi)的一條直線平行，則l//α.②法向量坐標(biāo)法：直線的方向向量與平面的法向量垂直③直線的方向向量與平面內(nèi)兩個不共線的向量共面.方法歸納5.3證面面平行：①面面平行的判定定理：幾何法、基底法、坐標(biāo)法(轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行)平面α內(nèi)的兩條相交直線均平行于平面β，則α//β.②法向量坐標(biāo)法：兩平面的法向量共線5.4證線面垂直：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②利用線面垂直的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．5.5證面面垂直：①證明兩個平面的法向量互相垂直；②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題．題型1

空間向量的線性運(yùn)算

題型2

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

BD