第四節(jié)函數(shù)中的構(gòu)造問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點(diǎn)解讀

高考中有這樣一類題型，題目中不是給出具體的函數(shù)解析式，而是給

出函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)滿足的條件，這就需要根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用所

構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極值、最值等性質(zhì)解決問題.目錄CONTENTS考點(diǎn)·分類突破01.課時(shí)·跟蹤檢測02.PART01考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)（定向精析突破）考向1

利用f（x）與xn構(gòu)造

已知偶函數(shù)f（x）（x≠0）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f（－1）＝

0，當(dāng)x＞0時(shí)，2f（x）＞xf'（x），則使得f（x）＞0成立的x的取值范

圍是（

）A.

（－1，0）∪（0，1）B.

（－1，0）C.

（0，1）D.

（－1，1）√

解題技法利用f（x）與xn構(gòu)造函數(shù)（1）如果題目中出現(xiàn)nf（x）＋xf'（x）形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝xnf

（x）；

考向2

利用f（x）與ex構(gòu)造

〔多選〕已知f（x）是定義在（－∞，＋∞）上的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f'

（x）滿足f'（x）＜f（x）對于x∈R恒成立，則（

）A.

f（2）＜e2f（0）B.

f（2）＞e2f（0）C.e2f（－1）＞f（1）D.e2f（－1）＜f（1）√√

解題技法利用f（x）與ex構(gòu)造函數(shù)（1）對于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）＝enxf

（x）；

考向3

利用f（x）與sin

x，cos

x構(gòu)造

A.

（

，

）B.

（

，

）C.

（－

，－

）D.

（－

，－

）√

解題技法利用f（x）與sin

x，cos

x構(gòu)造函數(shù)的常見類型（1）F（x）＝f（x）sin

x，F(xiàn)'（x）＝f'（x）sin

x＋f（x）cos

x；

（3）F（x）＝f（x）cos

x，F(xiàn)'（x）＝f'（x）cos

x－f（x）sin

x；

1.

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（－1）＝2，對任意x∈R，f'（x）＞2，

則f（x）＞2x＋4的解集為（

）A.

（－1，1）B.

（－1，＋∞）C.

（－∞，－1）D.

（－∞，＋∞）解析：

令g（x）＝f（x）－2x－4，則g'（x）＝f'（x）－2＞0，

∴g（x）為R上的增函數(shù)，又∵g（－1）＝f（－1）－2×（－1）－4＝

0.∴f（x）＞2x＋4等價(jià)于g（x）＞g（－1），解得x＞－1.√

A.

a＜b＜cB.

b＜c＜aC.

c＜b＜aD.

c＜a＜b√

3.

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝

3，則f（x）＞3e3－x的解集為

?.解析：設(shè)F（x）＝f（x）·ex，則F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f

（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）在R上為增函數(shù).又f（3）＝3，則F

（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等價(jià)于f（x）·ex＞3e3，即F

（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集為（3，＋∞）.（3，＋∞）

同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)（定向精析突破）考向1

同結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)

（1）（2025·溫州高三統(tǒng)一測試）已知x，y∈R，則“x＞y＞1”是

“x－ln

x＞y－ln

y”的（

A

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件A

A.

b＜a＜cB.

a＜c＜bC.

b＜c＜aD.

c＜b＜aB

解題技法

根據(jù)所給代數(shù)式（等式、不等式）中數(shù)學(xué)運(yùn)算的相同點(diǎn)或者結(jié)構(gòu)形式

的相同點(diǎn)，構(gòu)造具體的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的性質(zhì)從而解決

問題.考向2

指對互化構(gòu)造函數(shù)

（2025·煙臺期末）已知函數(shù)f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝ln

x＋x

－2，若?x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），則x1x2的最小值為

?.

解題技法

利用恒等式x＝ln

ex和x＝eln

x，通過冪轉(zhuǎn)指或冪轉(zhuǎn)對進(jìn)行等價(jià)變形，

構(gòu)造函數(shù)，然后由構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究.

A.

c＜b＜aB.

b＜c＜aC.

c＜a＜bD.

a＜c＜b

√2.

設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若aea＜bln

b，則（

）A.

ab＞eB.

b＞eaC.

ab＜eD.

b＜ea解析：

由aea＜bln

b，得ealn

ea＜bln

b.設(shè)f（x）＝xln

x（x＞0），

因?yàn)閍＞0，則ea＞1，因?yàn)閎＞0，且bln

b＞aea＞0，則b＞1.當(dāng)x＞1

時(shí)，f'（x）＝ln

x＋1＞0，則f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，ealn

ea

＜bln

b，即f（ea）＜f（b），所以ea＜b.√PART02課時(shí)·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

A.

{x｜－1＜x＜1}B.

{x｜x＜－1}C.

{x｜x＜－1或x＞1}D.

{x｜x＞1}

√12345678910111213141516171819202022232425

A.

a＜b＜cB.

c＜a＜bC.

b＜a＜cD.

c＜b＜a

√

A.

α＞βB.

α2＞β2C.

α＜βD.

α＋β＞0

√

A.

[3，＋∞）B.

（3，＋∞）C.

[6，＋∞）D.

（6，＋∞）

√5.

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）＋f'（x）＞1，f（0）＝4，則

不等式exf（x）＞ex＋3（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（

）A.

（0，＋∞）B.

（－∞，0）∪（3，＋∞）C.

（－∞，0）∪（0，＋∞）D.

（3，＋∞）解析：

不等式f（x）＋f'（x）＞1可化為（ex）'f（x）＋exf'（x）＞

ex，即[exf（x）]'－ex＞0，所以函數(shù)g（x）＝exf（x）－ex是增函數(shù).

不等式exf（x）＞ex＋3，即exf（x）－ex＞3，即g（x）＞3＝g（0），

所以x＞0，故不等式exf（x）＞ex＋3的解集為（0，＋∞）.故選A.

√

A.

c＜b＜aB.

c＜a＜bC.

a＜b＜cD.

b＜a＜c√

7.

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f'（x）是其導(dǎo)函數(shù)，若f（x）＋f'（x）

＞0，f（1）＝1，則不等式f（x）＞e1－x的解集是（

）A.

（0，＋∞）B.

（1，＋∞）C.

（－∞，0）D.

（0，1）解析：

構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）·ex，則g'（x）＝[f'（x）＋f

（x）]·ex＞0，故g（x）在R上是增函數(shù)，g（1）＝e，f（x）＞e1－x可

化為g（x）＞e＝g（1），故原不等式的解集為（1，＋∞），故選B.

√8.

（2024·杭州期末）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）sin

x＋f'

（x）cos

x＞0，則（

）A.

f（

）＜

f（

）B.

f（

）＜

f（

）C.

f（

）＞

f（

）D.

f（

）＞

f（

）√

A.

x＞yB.

x＜yC.

x＋y＞1D.

x＋y＜1

√

A.

b＜c＜aB.

c＜b＜aC.

a＜c＜bD.

a＜b＜c√

（2，＋∞）

＞

A.

［

，＋∞）B.

（

，＋∞）C.

（

，＋∞）D.

［

，＋∞）√

14.

（2025·湖北十一名校第二次聯(lián)考）若對于任意正數(shù)x，y，不等式x

（1