專題05一元一次方程與二元一次方程組

考點(diǎn)01解一元一次方程

1．（2024·海南·中考真題）若代數(shù)式x3的值為5，則x等于（）

A．8B．8C．2D．2

a2b,a0,

2．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運(yùn)算：ab例如：24(2)240，

ab,a0,

3

23231．若x1，則x的值為．

4

3．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）已知2x11，則x．

7x4x1

4．（2023·浙江衢州·中考真題）小紅在解方程1時(shí)，第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤：

36

解：27x4x11，

……

(1)請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯(cuò)誤處．

(2)寫出你的解答過程．

aba2b

5．（2023·山東棗莊·中考真題）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：a※b，例如：

ab6(a2b)

3※1312，5※45463．根據(jù)上面的材料，請(qǐng)完成下列問題：

(1)4※3___________，(1)※(3)___________；

(2)若(3x2)※(x1)5，求x的值．

考點(diǎn)02一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用

1．（2025·北京·中考真題）北京風(fēng)箏制作技藝是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．為制作一只京燕風(fēng)箏，小明準(zhǔn)備

了五根直竹條（如圖1）：一根門條、兩根等長(zhǎng)的膀條和兩根等長(zhǎng)的尾條．他將門條和膀條分別烤彎后與尾

條一起扎成風(fēng)箏的骨架（如圖2），其頭部高、胸腹高與尾部高的比是1:1:2．已知單根膀條長(zhǎng)是胸腹高的

5

5倍，門條比單根膀條短10cm，圖1中BC的長(zhǎng)是門條長(zhǎng)的，AB，CD的長(zhǎng)均等于胸腹高．求這只風(fēng)箏的

9

骨架的總高．

2．（2024·陜西·中考真題）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進(jìn)行一次家庭衛(wèi)生大掃除．根據(jù)這次大掃除的

任務(wù)量，若小峰單獨(dú)完成，需4h；若爸爸單獨(dú)完成，需2h．當(dāng)天，小峰先單獨(dú)打掃了一段時(shí)間后，去參加

籃球訓(xùn)練，接著由爸爸單獨(dú)完成剩余的打掃任務(wù)．小峰和爸爸這次一共打掃了3h，求這次小峰打掃了多長(zhǎng)

時(shí)間．

3．（2023·四川巴中·中考真題）某學(xué)校課后興趣小組在開展手工制作活動(dòng)中，美術(shù)老師要求用14張卡紙制

作圓柱體包裝盒，準(zhǔn)備把這些卡紙分成兩部分，一部分做側(cè)面，另一部分做底面．已知每張卡紙可以裁出2

個(gè)側(cè)面，或者裁出3個(gè)底面，如果1個(gè)側(cè)面和2個(gè)底面可以做成一個(gè)包裝盒，這些卡紙最多可以做成包裝

盒的個(gè)數(shù)為（）

A．6B．8C．12D．16

4．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）學(xué)校準(zhǔn)備添置一批課桌椅，原訂購60套，每套100元．店方表示：如果多

購，可以優(yōu)惠．結(jié)果校方購了72套，每套減價(jià)3元，但商店獲得同樣多的利潤(rùn)．求每套課桌椅的成本．設(shè)

每套課桌椅的成本為x元，則可列方程為（）

A．72100x601003xB．60100x721003x

100x1003x

C．60100x721003xD．

6072

5．（2025·山東煙臺(tái)·中考真題）某商場(chǎng)打折銷售一款風(fēng)扇，若按標(biāo)價(jià)的六折出售，則每臺(tái)風(fēng)扇虧損10元；

若按標(biāo)價(jià)的九折出售，則每臺(tái)風(fēng)扇盈利95元．這款風(fēng)扇每臺(tái)的標(biāo)價(jià)為（）

A．350元B．320元C．270元D．220元

6．（2024·海南·中考真題）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．某商店售賣某品牌瘦肉粽和五

花肉粽．請(qǐng)依據(jù)以下對(duì)話，求促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽、五花肉粽的售價(jià)．

7．（2023·河北·中考真題）某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖．珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則

不計(jì)入次數(shù)，需重新投，計(jì)分規(guī)則如下：

投中位置A區(qū)B區(qū)脫靶

一次計(jì)分（分）312

在第一局中，珍珍投中A區(qū)4次，B區(qū)2次，脫靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分；

(2)第二局，珍珍投中A區(qū)k次，B區(qū)3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．

8．（2025·四川成都·中考真題）任意給一個(gè)數(shù)x，按下列程序進(jìn)行計(jì)算．若輸出的結(jié)果是15，則x的值

為．

9．（2024·江蘇宿遷·中考真題）我國(guó)古代問題：以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺：若將繩四折測(cè)之，

繩多一尺．繩長(zhǎng)、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四

折來量，井外余繩一尺．繩長(zhǎng)、井深各幾尺？若設(shè)繩長(zhǎng)為x尺，則可列方程為（）

1111

A．x4x1B．x4x1

3434

1111

C．x4x1D．x4x1

3434

10．（2025·天津·中考真題）《算學(xué)啟蒙》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作，其中有一道題：“今有良馬日行二百四

十里，駑馬日行一百五十里．駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之．”意思是：跑得快的馬每天走240

里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則可

以列出的方程為（）

A．240x150(x12)B．240x150(x12)

C．150x240(x12)D．150x240(x12)

11．（2024·山東威海·中考真題）定義

我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a，b的點(diǎn)A，B之間的距離

ABabab．特別的，當(dāng)a0時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于a0．當(dāng)a0時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)

與原點(diǎn)的距離等于0a．

應(yīng)用

如圖，在數(shù)軸上，動(dòng)點(diǎn)A從表示3的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)B

從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．

(1)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度？

(2)求點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值．

12．（2025·湖北·中考真題）幻方起源于中國(guó)，月歷常用于生活，它們有很多奧秘，探究并完成填空．

主

探究月歷與幻方的奧秘

題

圖1是某月的月歷，用方框選取了其中的9個(gè)數(shù)．

（1）移動(dòng)方框，若方框中的部分?jǐn)?shù)如圖2所示，則a是______，b是______；

（2）移動(dòng)方框，若方框中的部分?jǐn)?shù)如圖3所示，則c是______，d是______；

（注：用含n的代數(shù)式表示c和d．）

活

動(dòng)

一

移動(dòng)方框選取月歷中的9個(gè)數(shù)，調(diào)整它們的位置，使其滿足“三階幻方”分布規(guī)律：

活每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等．

動(dòng)（3）若方框選取的數(shù)如圖4所示，調(diào)整后，部分?jǐn)?shù)的位置如圖5所示，則e是______，

二f是______；

（4）若方框選取的數(shù)中最小的數(shù)是n，調(diào)整后，部分?jǐn)?shù)的位置如圖6所示，則g是

______（用含n的代數(shù)式表示g）．

13．（2025·吉林·中考真題）《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道題：今有三人共車，二車空：二人共車，九人

步．問車幾何？其譯文為：有若干人乘車，若每3人同乘一車，最終剩余2輛空車；若每2人同乘一車，

最終剩下9人因無車可乘而步行．問有多少輛車？為解決此問題，設(shè)共有x輛車，可列方程為．

考點(diǎn)03解二元一次方程組

1

1．（2025·山西·中考真題）（1）計(jì)算：632(84)

2

3x2y11①

（2）解方程組：

x2y1②

2

2．（2025·四川涼山·中考真題）若3x2y192xy110，則xy的平方根是（）

A．8B．8C．22D．22

3

3．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）點(diǎn)Px,y在直線yx4上，坐標(biāo)x,y是二元一次方程

4

5x6y33的解，則點(diǎn)P的位置在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

2xy5

4．（2024·浙江·中考真題）解方程組：

4x3y10

5．（2023·江蘇南通·中考真題）若實(shí)數(shù)x，y，m滿足xym6，3xym4，則代數(shù)式2xy1的

值可以是（）

53

A．3B．C．2D．

22

考點(diǎn)04二元一次方程組的應(yīng)用——古代問題

1．（2025·四川眉山·中考真題）我國(guó)古代算書《四元玉鑒》里有這樣一道題：“九百九十九文錢，甜果苦果

買一千，甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢，試問甜苦果幾個(gè)？”其大意是：用九百九十九文錢共買了一千

個(gè)甜果和苦果，其中十一文錢可以買甜果九個(gè)，四文錢可以買苦果七個(gè)，問甜果苦果各買幾個(gè)？若設(shè)買甜

果x個(gè)，苦果y個(gè)，根據(jù)題意可列方程組為（）

xy1000xy999

A．B．

9x7y99911x4y1000

xy1000xy1000

C．114D．97

xy999xy999

97114

2．（2024·四川南充·中考真題）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到

店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房

住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設(shè)該店有客房x間，房客y

人，則可列方程組為（）

7x7y7x7y

A．B．

9x1y9x1y

7x7y7x7y

C．D．

9x1y9x1y

3．（2024·天津·中考真題）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)典籍，其中有一道題：“今有木，不知長(zhǎng)短．引

繩度之，余繩四尺五寸；屈繩度之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩

余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺．問木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，則可以列出

的方程組為（）

yx4.5yx4.5

A．B．

x0.5y1x0.5y1

xy4.5xy4.5

C．D．

xy1yx1

4．（2024·四川成都·中考真題）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)題目：今有共買琎，人

出半，盈四；人出少半，不足三．問人數(shù)，琎價(jià)各幾何？其大意是：今有人合伙買琎石，每人出1錢，會(huì)

2

1

多出4錢；每人出錢，又差了3錢．問人數(shù)，琎價(jià)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，琎價(jià)為y，則可列方程組為（）

3

1111

yx4yx4yx4yx4

2222

A．B．C．D．

1111

yx3yx3yx3yx3

3333

5．（2025·甘肅蘭州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)著作之一，“方程章”第11題大

意是：兩匹馬一頭牛總價(jià)超過1萬，超過部分等于半匹馬的價(jià)格；一匹馬兩頭牛的總價(jià)不足1萬，不足部

分等于半頭牛的價(jià)格，問一匹馬、一頭牛的價(jià)格分別是多少？若設(shè)一匹馬價(jià)格為x，一頭牛價(jià)格為y，則可

列方程組為（）

11

2xy10000x100002xyx

22

A．B．

11

10000x2yyx2y10000y

22

11

x2y10000x2xyx

22

C．D．

11

100002xyyx2yy

22

6．（2024·江蘇徐州·中考真題）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中有一道問題；“今有甲、乙懷錢，各不

知其數(shù)．甲得乙十錢，多乙余錢五倍．乙得甲十錢，適等．問甲、乙懷錢各幾何？”問題大意：甲、乙兩人

各有錢幣若干枚．若乙給甲10枚錢，此時(shí)甲的錢幣數(shù)比乙的錢幣數(shù)多出5倍，即甲的錢幣數(shù)是乙錢幣數(shù)的

6倍；若甲給乙10枚錢，此時(shí)兩人的錢幣數(shù)相等．問甲、乙原來各有多少枚錢幣？請(qǐng)用二元一次方程組解

答上述問題．

考點(diǎn)05二元一次方程組的應(yīng)用——現(xiàn)代問題

1．（2023·遼寧·中考真題）某禮品店經(jīng)銷A，B兩種禮品盒，第一次購進(jìn)A種禮品盒10盒，B種禮品盒15

盒，共花費(fèi)2800元；第二次購進(jìn)A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費(fèi)1200元

(1)求購進(jìn)A，B兩種禮品盒的單價(jià)分別是多少元；

(2)若該禮品店準(zhǔn)備再次購進(jìn)兩種禮品盒共40盒，總費(fèi)用不超過4500元，那么至少購進(jìn)A種禮品盒多少盒？

2．（2025·廣西·中考真題）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自駕游廣西的外省籍小客車，

可享受高速公路車輛通行費(fèi)（以下簡(jiǎn)稱高速費(fèi)）優(yōu)惠．小悅一家5月中旬從湖南自駕到廣西探親游玩，此

次全程所產(chǎn)生的高速費(fèi)享受的優(yōu)惠如下：

湖南境內(nèi)路段廣西境內(nèi)特定路段廣西境內(nèi)其他路段

周一至周四9.5折

周五至周日9.5折全免5折

(1)周六小悅一家從湖南Z市到廣西A市，所經(jīng)湖南境內(nèi)路段、廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的高速費(fèi)原價(jià)

分別為a元、b元和c元．求此行程的高速費(fèi)實(shí)付多少元？

(2)周日他們從A市到K市（全程在廣西境內(nèi)），高速費(fèi)實(shí)付27.55元；周一從K市原路返回到A市，高速

費(fèi)實(shí)付95.95元．求此行程中A市與K市間廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的單程高速費(fèi)原價(jià)分別是多少元．

3．（2025·江西·中考真題）系文物考古研究院用1:1復(fù)原的青銅蒸餾器進(jìn)行了蒸餾酒實(shí)驗(yàn)．用復(fù)原的青銅蒸

出酒量

餾器蒸餾糧食酒和芋頭酒，需要的原材料與出酒率（出酒率100%）如下表：

糟醅量

出酒

類別原材料

率

糧食

糧食糟醅（含大米、糯米、谷殼、大曲和蒸餾水30%

酒

芋頭

芋頭糟醅（含芋頭、小曲和蒸餾水）20%

酒

如果第一次實(shí)驗(yàn)分別蒸餾出糧食酒和芋頭酒共16公斤；第二次實(shí)驗(yàn)分別蒸餾出糧食酒和芋頭酒共36公斤，

且所用的糧食糟醅量是第一次的2倍，芋頭糟醅量是第一次的3倍．

(1)求第一次實(shí)驗(yàn)分別用了多少公斤糧食糟醅和芋頭糟醅？

(2)受限于當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)條件，古代青銅裝餾器的出酒量約為現(xiàn)代復(fù)原品的80%．若糧食糟醅中大米占比約為

1，請(qǐng)問，在古代要想蒸餾出這兩次實(shí)驗(yàn)得到的糧食酒總量，需要準(zhǔn)備多少公斤大米？

4

4．（2023·山西·中考真題）風(fēng)陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞．該大橋限重標(biāo)

志牌顯示，載重后總質(zhì)量超過30噸的車輛禁止通行．現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要運(yùn)輸若干套某種設(shè)備，

每套設(shè)備由1個(gè)A部件和3個(gè)B部件組成，這種設(shè)備必須成套運(yùn)輸．已知1個(gè)A部件和2個(gè)B部件的總質(zhì)

量為2.8噸，2個(gè)A部件和3個(gè)B部件的質(zhì)量相等．

(1)求1個(gè)A部件和1個(gè)B部件的質(zhì)量各是多少；

(2)卡車一次最多可運(yùn)輸多少套這種設(shè)備通過此大橋？

5．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）2025年春節(jié)期間，我國(guó)國(guó)產(chǎn)動(dòng)畫電影《哪吒之魔童鬧?！匪⑿铝酥袊?guó)電影

票房的新紀(jì)錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀(jì)念品．已知購進(jìn)A款200個(gè)，B款300個(gè)，需花費(fèi)14000

元；購進(jìn)A款100個(gè)，B款200個(gè)，需花費(fèi)8000元．

(1)求A、B兩款“哪吒”紀(jì)念品每個(gè)進(jìn)價(jià)分別為多少元？

(2)根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，如果該商家計(jì)劃用不超過12000元的資金購進(jìn)A、B兩款“哪吒”紀(jì)念品共400個(gè)，

那么至少需要購進(jìn)B款紀(jì)念品多少個(gè)？

(3)在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)每個(gè)A款紀(jì)念品售價(jià)60元時(shí)，可售出200個(gè)，售價(jià)每增加1元，銷售量將減少5

個(gè)．設(shè)每個(gè)A款紀(jì)念品售價(jià)a60a100元，W表示該商家銷售A款紀(jì)念品的利潤(rùn)（單位：元），求W

關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并求出W的最大值．

6．（2025·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）為落實(shí)科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動(dòng)農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向

精加工轉(zhuǎn)變．根據(jù)市場(chǎng)需求，該食品企業(yè)將收購的農(nóng)產(chǎn)品加工成A，B兩種等級(jí)的農(nóng)產(chǎn)品對(duì)外銷售，已知銷

售6千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入112元，銷售4千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級(jí)農(nóng)

產(chǎn)品共收入68元．（不考慮加工損耗）

(1)求每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別為多少元？

(2)若該食品企業(yè)以每千克8元購進(jìn)6000千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對(duì)外銷售，要求總利潤(rùn)不低于16000元，

則至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品多少千克？

7．（2023·湖北恩施·中考真題）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長(zhǎng)·書香恩施”的號(hào)召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加

朗誦比賽，因活動(dòng)需要，計(jì)劃給每個(gè)學(xué)生購買一套服裝．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，購買1套男裝和1套女裝共需

220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費(fèi)用相同．

(1)男裝、女裝的單價(jià)各是多少？

2

(2)如果參加活動(dòng)的男生人數(shù)不超過女生人數(shù)的，購買服裝的總費(fèi)用不超過17000元，那么學(xué)校有幾種購

3

買方案？怎樣購買才能使費(fèi)用最低，最低