高一數(shù)學(xué)函數(shù)與方程復(fù)習(xí)資料一、函數(shù)的基本概念：定義與三要素1.1函數(shù)的定義函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射，記為\(f:A\toB\)，其中：\(A\)稱為定義域（輸入值的集合）；\(B\)稱為codomain（陪域）；對于任意\(x\inA\)，存在唯一\(y\inB\)與之對應(yīng)，\(y\)稱為\(x\)的函數(shù)值，記為\(y=f(x)\)；所有函數(shù)值的集合\(\{f(x)\midx\inA\}\subseteqB\)稱為值域。核心本質(zhì)：唯一性（一個輸入對應(yīng)唯一輸出）。1.2定義域的求法（定義域優(yōu)先原則）定義域是函數(shù)的“靈魂”，求定義域需滿足：1.分式：分母不為0（如\(f(x)=\frac{1}{x-1}\Rightarrowx\neq1\)）；2.偶次根式：被開方數(shù)非負（如\(f(x)=\sqrt{x+2}\Rightarrowx\geq-2\)）；3.對數(shù)式：真數(shù)>0，底數(shù)>0且≠1（如\(f(x)=\log_2(x-3)\Rightarrowx>3\)）；4.復(fù)合函數(shù)：內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域（如\(f(g(x))\)，需先求\(g(x)\)的值域，再作為\(f(t)\)的定義域）。例1：求\(f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}\)的定義域。解：需滿足\(x+1\geq0\)且\(x-2\neq0\)，即\(x\geq-1\)且\(x\neq2\)，定義域為\([-1,2)\cup(2,+\infty)\)。1.3值域的求法值域是函數(shù)值的集合，常見方法：1.觀察法：適用于簡單函數(shù)（如\(f(x)=2x+1\)，值域為\(\mathbb{R}\)）；2.配方法：適用于二次函數(shù)（如\(f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，值域為\([2,+\infty)\)）；3.換元法：將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)（如\(f(x)=\sqrt{x-1}+x\)，令\(t=\sqrt{x-1}\geq0\)，則\(x=t^2+1\)，\(f(t)=t+t^2+1=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)，值域為\([1,+\infty)\)）；4.單調(diào)性法：利用函數(shù)單調(diào)性求值域（如\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((1,+\infty)\)單調(diào)遞增，值域為\((2,+\infty)\)）。1.4對應(yīng)關(guān)系的理解對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的“規(guī)則”，需注意：相同的對應(yīng)關(guān)系可能有不同的表達式（如\(f(x)=|x|\)與\(f(x)=\sqrt{x^2}\)是同一函數(shù)）；不同的對應(yīng)關(guān)系可能有相同的圖像（如\(f(x)=x\)與\(f(x)=\frac{x^2}{x}\)不是同一函數(shù)，因定義域不同）。二、函數(shù)的表示方法：解析、列表、圖像2.1解析法（分段函數(shù)）解析法是用數(shù)學(xué)表達式表示函數(shù)，分段函數(shù)是其重要形式（定義域分成若干區(qū)間，每個區(qū)間用不同表達式表示）。例2：絕對值函數(shù)\(f(x)=|x|=\begin{cases}x,&x\geq0,\\-x,&x<0.\end{cases}\)注意：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而非多個函數(shù)，圖像需分段繪制。2.2列表法與圖像法列表法：用表格記錄輸入與輸出的對應(yīng)關(guān)系（如三角函數(shù)值表），直觀但不全面；圖像法：用平面直角坐標系中的點\((x,f(x))\)表示函數(shù)，直觀反映函數(shù)性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）。2.3函數(shù)圖像的簡單變換1.平移變換：左移\(a\)個單位：\(f(x)\tof(x+a)\)（如\(y=x^2\toy=(x+1)^2\)）；右移\(a\)個單位：\(f(x)\tof(x-a)\)；上移\(b\)個單位：\(f(x)\tof(x)+b\)；下移\(b\)個單位：\(f(x)\tof(x)-b\)。2.對稱變換：關(guān)于\(x\)軸對稱：\(f(x)\to-f(x)\)；關(guān)于\(y\)軸對稱：\(f(x)\tof(-x)\)；關(guān)于原點對稱：\(f(x)\to-f(-x)\)。三、函數(shù)的基本性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性3.1單調(diào)性（增減性）定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對任意\(x_1<x_2\inI\)，都有：\(f(x_1)<f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增；\(f(x_1)>f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞減。證明步驟（定義法）：1.取值：任取\(x_1<x_2\inI\)；2.作差：計算\(f(x_1)-f(x_2)\)；3.變形：因式分解、通分、配方等，簡化差式；4.定號：判斷差式的符號；5.結(jié)論：根據(jù)符號得出單調(diào)性。例3：證明\(f(x)=x^2+2x+1\)在\((-1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。證明：取\(x_1<x_2\in(-1,+\infty)\)；作差：\(f(x_1)-f(x_2)=(x_1^2+2x_1+1)-(x_2^2+2x_2+1)=(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)\)；變形：\(x_1-x_2<0\)，\(x_1+x_2+2>(-1)+(-1)+2=0\)（因\(x_1,x_2>-1\)）；定號：差式<0；結(jié)論：\(f(x_1)<f(x_2)\)，故\(f(x)\)在\((-1,+\infty)\)單調(diào)遞增。3.2奇偶性（對稱性）定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域關(guān)于原點對稱（必要條件），則：若\(f(-x)=f(x)\)，則\(f(x)\)為偶函數(shù)（圖像關(guān)于\(y\)軸對稱）；若\(f(-x)=-f(x)\)，則\(f(x)\)為奇函數(shù)（圖像關(guān)于原點對稱）。判斷步驟：1.檢查定義域是否關(guān)于原點對稱（若否，直接排除）；2.計算\(f(-x)\)，與\(f(x)\)比較。例4：判斷\(f(x)=x^3+\sinx\)的奇偶性。解：定義域為\(\mathbb{R}\)，關(guān)于原點對稱；\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，故\(f(x)\)為奇函數(shù)。3.3周期性（重復(fù)性）定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(D\)，若存在非零常數(shù)\(T\)，使得對任意\(x\inD\)，都有\(zhòng)(x+T\inD\)且\(f(x+T)=f(x)\)，則\(T\)稱為\(f(x)\)的周期。最小的正周期稱為最小正周期（如\(\sinx\)的最小正周期為\(2\pi\)）。四、函數(shù)與方程：零點、定理與應(yīng)用4.1函數(shù)的零點定義：函數(shù)\(f(x)\)的零點是方程\(f(x)=0\)的實數(shù)解，即函數(shù)圖像與\(x\)軸交點的橫坐標。關(guān)系：函數(shù)零點?方程根?圖像與\(x\)軸交點。4.2零點存在定理（勘根定理）條件：1.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)（圖像無斷裂）；2.\(f(a)\cdotf(b)<0\)（端點函數(shù)值異號）。結(jié)論：區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)至少存在一個零點（\(\existsc\in(a,b)\)，使得\(f(c)=0\)）。注意：定理是充分非必要條件（如\(f(x)=x^2\)在\([-1,1]\)有零點，但\(f(-1)\cdotf(1)=1>0\)）；若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則零點唯一。例5：判斷\(f(x)=\lnx+x-2\)在\((1,2)\)內(nèi)是否有零點。解：\(f(x)\)在\((1,2)\)連續(xù)；\(f(1)=\ln1+1-2=-1<0\)；\(f(2)=\ln2+2-2=\ln2>0\)；由零點存在定理，\((1,2)\)內(nèi)至少有一個零點。4.3二分法（求近似零點）定義：通過不斷將區(qū)間一分為二，縮小區(qū)間范圍，逼近零點的方法。步驟：1.確定區(qū)間\([a,b]\)，滿足\(f(a)\cdotf(b)<0\)；2.取中點\(c=\frac{a+b}{2}\)；3.若\(f(c)=0\)，則\(c\)為零點；4.若\(f(a)\cdotf(c)<0\)，則零點在\([a,c]\)；若\(f(c)\cdotf(b)<0\)，則零點在\([c,b]\)；5.重復(fù)步驟2-4，直到區(qū)間長度小于精度要求（如\(|b-a|<10^{-3}\)）。4.4二次函數(shù)與一元二次方程設(shè)二次函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），對應(yīng)的一元二次方程為\(ax^2+bx+c=0\)：1.判別式：\(\Delta=b^2-4ac\)，決定根的個數(shù)：\(\Delta>0\)：兩個不同實根（零點）；\(\Delta=0\)：一個實根（重根）；\(\Delta<0\)：無實根（無零點）。2.根與系數(shù)關(guān)系（韋達定理）：若根為\(x_1,x_2\)，則\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)。3.零點分布問題（結(jié)合圖像分析）：例：方程\(x^2-2x+m=0\)有兩個不同實根，且都在\((0,3)\)內(nèi)，求\(m\)的范圍。解：\(\Delta=4-4m>0\Rightarrowm<1\)；對稱軸\(x=1\in(0,3)\)；\(f(0)=m>0\)；\(f(3)=9-6+m=3+m>0\Rightarrowm>-3\)；綜上，\(m\in(-3,1)\)。五、常見題型與解題策略5.1定義域與值域問題策略：定義域優(yōu)先，根據(jù)約束條件列不等式；值域根據(jù)函數(shù)類型選擇方法（二次函數(shù)用配方法，根號函數(shù)用換元法）。5.2單調(diào)性與奇偶性證明問題策略：單調(diào)性用定義法（嚴格按步驟）；奇偶性先檢查定義域?qū)ΨQ性，再計算\(f(-x)\)。5.3零點存在性與二分法應(yīng)用問題策略：零點存在定理需驗證連續(xù)性和端點異號；二分法按步驟縮小區(qū)間，注意精度要求。5.4二次函數(shù)零點分布問題策略：結(jié)合圖像，考慮判別式、對稱軸位置、端點函數(shù)值符號，列不等式組求解。六、易錯點提醒1.定義域遺漏：求函數(shù)性質(zhì)時忽略定義域（如\(f(x)=\frac{1}{x}\)在定義域上不單調(diào)，因\(x_1=-1<x_2=1\)，但\(f(x_1)=-1<f(x_2)=1\)）；2.奇偶性判斷錯誤：未檢查定義域?qū)ΨQ性（如\(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)定義域為\(\{1\}\)，不關(guān)于原點對稱，故非奇非偶）；3.零點存在定理誤用：認為端點同號則無零點（如\(f(x)=x^2\)在\([-1,1]\)有零點，但\(f(-1)\cdotf(1)=1>0\)）；4.二次函數(shù)零點分布遺漏條件：如求兩根都為正根時，忽略判別式或?qū)ΨQ軸位置（如方程\(x^2+mx+1=0\)有兩正根，需\(\Delta\geq0\)、\(-m>0\)、\(f(0)>0\)，即\(m\leq-2\)）。七、復(fù)習(xí)建議1.回歸課本：掌握基本概念（如函數(shù)定義