學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡(luò)，進一步鞏固、深化所學(xué)知識.2.能熟練畫出幾何體的直觀圖或三視圖，能熟練地計算空間幾何體的表面積和體積，體會通過展開圖、截面化空間為平面的方法．1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其側(cè)面積和體積名稱定義圖形側(cè)面積體積多面體棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行S側(cè)＝Ch，C為底面的周長，h為高V＝Sh棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′，C為底面的周長，h′為斜高V＝eq\f(1,3)Sh，h為高棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分S正棱臺側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′，C，C′為底面的周長，h′為斜高V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h，h為高旋轉(zhuǎn)體圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體S側(cè)＝2πrh，r為底面半徑，h為高V＝Sh＝πr2h圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體S側(cè)＝πrl，r為底面半徑，h為高V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分S側(cè)＝π(r1＋r2)l，r1，r2為底面半徑，l為母線V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h球以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體S球面＝4πR2，R為球的半徑V＝eq\f(4,3)πR32．空間幾何體的三視圖與直觀圖(1)三視圖是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖三種．畫圖時要遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則．注意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，不可見輪廓線用虛線畫出．熟記常見幾何體的三視圖．畫組合體的三視圖時可先拆，后畫，再檢驗．(2)斜二測畫法：主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法．它的主要步驟：①畫軸；②畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x′、y′、z′軸的線段；③截線段：平行于x、z軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄晥D和直觀圖都是空間幾何體的不同表示形式，兩者之間可以互相轉(zhuǎn)化.(3)轉(zhuǎn)化思想在本章應(yīng)用較多，主要體現(xiàn)在以下幾個方面①曲面化平面，如幾何體的側(cè)面展開，把曲線(折線)化為線段．②等積變換，如三棱錐轉(zhuǎn)移頂點等．③復(fù)雜化簡單，把不規(guī)則幾何體通過分割，補體化為規(guī)則的幾何體等．類型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，說出幾何體的名稱．(1)由六個面圍成，其中一個面是凸五邊形，其余各面是有公共頂點的三角形；(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180°形成的封閉曲面所圍成的圖形；(3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體．解(1)如圖①，因為該幾何體的五個面是有公共頂點的三角形，所以是棱錐，又其底面是凸五邊形，所以是五棱錐．(2)如圖②，等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形，每個直角梯形旋轉(zhuǎn)180°形成半個圓臺，故該幾何體為圓臺．(3)如圖③，過直角梯形ABCD的頂點A作AO⊥CD于點O，將直角梯形分為一個直角三角形AOD和一個矩形AOCB，繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體，該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成．反思與感悟與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的解題技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．跟蹤訓(xùn)練1給出下列四種說法：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；④棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①連接上、下底面的圓周上兩點連線要與軸平行才是母線；③直角三角形繞著直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周才能形成圓錐；④棱臺的上、下底面，相似．故只有②正確．類型二三視圖與斜二測畫法例2(1)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為________．答案2eq\r(2)解析該三棱錐的直觀圖如圖所示，并且PB⊥平面ABC，PB＝2，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，PA＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，PC＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6)，故PA最長．(2)如圖，四邊形ABCD是一水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，AB∥CD，AD⊥CD，且BC與y軸平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2eq\r(2)，則原平面圖形的實際面積是________．答案20eq\r(2)解析將直觀圖中四邊形ABCD還原為原圖形四邊形A′B′C′D′，由斜二測畫法知B′C′⊥C′D′，B′C′＝4eq\r(2)，C′D′＝4，A′B′＝6，∴平面圖形的實際面積為eq\f(1,2)×4eq\r(2)×(4＋6)＝20eq\r(2).反思與感悟(1)空間幾何體的三視圖遵循“長對正，高平齊，寬相等”的原則，同時還要注意被擋住的輪廓線用虛線表示．(2)斜二測畫法：主要用于水平放置的平面圖畫法或立體圖形的畫法．它的主要步驟：①畫軸；②畫平行于x，y，z軸的線段分別為平行于x′，y′，z′軸的線段；③截線段，平行于x，z軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄櫽?xùn)練2若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是()答案D解析A項的正視圖如圖(1)，B項的正視圖如圖(2)，故均不符合題意；C項的俯視圖如圖(3)，也不符合題意，故選D.類型三空間幾何體的體積和表面積例3(1)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)π B.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)πC.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π D．1＋eq\f(\r(2),6)π答案C解析由三視圖知，半球的半徑R＝eq\f(\r(2),2)，四棱錐為底面邊長為1，高為1的正四棱錐，∴V＝eq\f(1,3)×1×1×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π，故選C.(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A．8＋2eq\r(2) B．11＋2eq\r(2)C．14＋2eq\r(2) D．15答案B解析由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示．直角梯形斜腰長為eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以底面周長為4＋eq\r(2)，側(cè)面積為2×(4＋eq\r(2))＝8＋2eq\r(2)，兩底面的面積和為2×eq\f(1,2)×1×(1＋2)＝3，所以該幾何體的表面積為8＋2eq\r(2)＋3＝11＋2eq\r(2).反思與感悟(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積問題要注意銜接部分的處理．(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練3在四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M為AE的中點，設(shè)E—ABCD的體積為V，那么三棱錐M—EBC的體積為多少？解設(shè)點B到平面EMC的距離為h1，點D到平面EMC的距離為h2，連接MD.因為M是AE的中點，所以VM—ABCD＝eq\f(1,2)V，所以VE—MBC＝eq\f(1,2)V－VE—MDC.而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC，所以eq\f(VE—MBC,VE—MDC)＝eq\f(VB—EMC,VD—EMC)＝eq\f(h1,h2).因為B，D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以eq\f(h1,h2)＝eq\f(3,2).所以VE—MBC＝VM－EBC＝eq\f(3,10)V.類型四與幾何體有關(guān)的最值問題例4長方體ABCD—A1B1C1D1中，寬、長、高分別為3、4、5，現(xiàn)有一個小蟲從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C1來獲取食物，則其路程的最小值為________．答案eq\r(74)解析把長方體含AC1的面作展開圖，有三種情形如圖所示，利用勾股定理可得AC1的長分別為eq\r(90)、eq\r(74)、eq\r(80).由此可見圖②是最短路線，其路程的最小值為eq\r(74).反思與感悟求幾何體表面上兩點間的最短路徑的一般思路是化“曲”為“直”，其步驟為：(1)將幾何體沿著某條棱剪開后展開，畫出其表(側(cè))面展開圖；(2)將所求曲線(或折線)問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題；(3)結(jié)合已知條件求得．跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點從A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點的最短路徑的長為________．答案10解析如圖所示，將兩個三棱柱的側(cè)面沿側(cè)棱AA1展開并拼接，則最短路徑為l＝eq\r(62＋82)＝10.1．湖面上浮著一個球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個冰面直徑為24cm，深為8cm的空穴，則這個球的半徑為()A．8cmB．10cmC．12cmD．13cm答案D解析冰面空穴是球的一部分，截面圖如圖所示，設(shè)球心為O，冰面圓的圓心為O1，球半徑為R，由圖知OB＝R，O1B＝eq\f(1,2)AB＝12，OO1＝OC－O1C＝R－8，在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝(R－8)2＋122，解得R＝13(cm)．2．將長方體截去一個四棱錐后，得到的幾何體的直觀圖如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()答案C解析俯視圖從圖形的上邊向下邊看，看到一個正方形的底面，在底面上有一條對角線，對角線是由左上角到右下角的線，故選C.3．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為()A．1∶2B．1∶eq\r(3)C.eq\r(3)∶2D．1∶eq\r(5)答案D解析若圓錐的高等于底面直徑，則h＝2r，則母線l＝eq\r(h2＋r2)＝eq\r(5)r，而圓錐的底面面積為πr2，圓錐的側(cè)面積為πrl＝eq\r(5)πr2，故圓錐的底面積與側(cè)面積之比為1∶eq\r(5).4．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是______cm2，體積是________cm3.答案8040解析由三視圖可知該幾何體由一個正方體和一個長方體組合而成，上面正方體的邊長為2cm，下面長方體的底面邊長為4cm，高為2cm，其直觀圖如圖所示，其表面積S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)．體積V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．5．如圖所示，在所有棱長均為1的正三棱柱上，有一只螞蟻從點A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)A′點，求爬行的最短路程．解將三棱柱沿AA′展開，如圖所示，則AD′的長為最短路程，即AD′＝eq\r(AD2＋DD′2)＝eq\r(10).1．研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時可以通過作截面把空間幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題來解決．2．圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，我們都是通過展開圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問題通常也是由截面把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決．課時作業(yè)一、選擇題1．給出下列命題中正確的是()A．棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱B．底面是矩形的平行六面體是長方體C．棱柱的底面一定是平行四邊形D．棱錐的底面一定是三角形答案A解析平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成兩個棱柱，故A正確；三棱柱的底面是三角形，故C錯誤；底面是矩形的平行六面體的側(cè)面不一定是矩形，故它也不一定是長方體，故B錯誤；四棱錐的底面是四邊形，故D錯誤．故選A.2．一個簡單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖不可能為：①長方形；②正方形；③圓．其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案B解析根據(jù)畫三視圖的規(guī)則“長對正，高平齊，寬相等”可知，幾何體的俯視圖不可能是圓和正方形．3．《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“禾蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈eq\f(7,264)L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為()A.eq\f(157,50)B.eq\f(25,8)C.eq\f(23,7)D.eq\f(22,7)答案D解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的底面周長L＝2πr，∴r＝eq\f(L,2π)，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(L2h,12π).令eq\f(L2h,12π)＝eq\f(7,264)L2h，提π＝eq\f(22,7)，故選D.4．某幾何體的正視圖如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()答案D解析根據(jù)幾何體的正視圖，得當(dāng)幾何體是球體與圓柱體的組合體，且球半徑與底面圓半徑相等時，俯視圖是A；當(dāng)幾何體上部為平放的圓柱體，下部為正方體的組合體，圓柱的高與底面圓直徑都等于正方體的棱長時，俯視圖是B；當(dāng)幾何體的上部為球體，下部為正方體的組合體，且球為正方體的內(nèi)切球時，其俯視圖是C；D為俯視圖時，與正視圖矛盾，所以不成立．故選D.5．已知一個半徑為eq\r(6)的球的內(nèi)接正四棱柱的高為4，則該正四棱柱的表面積為()A．24B．32C．40D．46答案C解析設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，則2a2＋16＝24，∴a＝2，∴該正四棱柱的表面積為2×22＋4×2×4＝40，故選C.6．某個幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓)，則該幾何體的體積為()A．80＋5π B．80＋10πC．92＋14π D．120＋10π答案B解析由三視圖知，幾何體是半圓柱與長方體的組合體，下面長方體的長、寬、高分別是4、5、4，體積為4×5×4＝80，上面半圓柱的半徑為2，高為5，體積為eq\f(1,2)·π·4·5＝10π，∴幾何體的體積V＝V半圓柱＋V長方體＝80＋10π，故選B.7．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．48B．57C．63D．68答案C解析由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個長方體和三棱柱的組合體，其表面積相當(dāng)于長方體的表面積和三棱柱的側(cè)面積和，故S＝2×(4×3＋4×eq\f(3,2)＋3×eq\f(3,2))＋(3＋4＋eq\r(32＋42))×eq\f(3,2)＝63，故選C.二、填空題8．如圖，正方形ABCD的邊長為1，所對的圓心角∠CDE＝90°，將圖形ABCE繞AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的表面積為________．答案5π解析由題意知，形成的幾何體是組合體：上面是半球、下面是圓柱，∵正方形ABCD的邊長為1，∠CDE＝90°，∴球的半徑是1，圓柱的底面半徑是1，母線長是1，∴形成的幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×1＋eq\f(1,2)×4π×12＝5π，故答案為5π.9.一個水平放置的圓柱形儲油桶(如圖所示)，桶內(nèi)有油部分所在圓弧占底面圓周長的eq\f(1,4)，則油桶直立時，油的高度與桶的高度的比值是________．答案eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)解析設(shè)圓柱桶的底面半徑為R，高為h，油桶直立時油面的高度為x，由題意知，油部分所在圓弧對應(yīng)的扇形的圓心角為eq\f(π,2)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)πR2－\f(1,2)R2))h＝πR2x，所以eq\f(x,h)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).10．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為______，其表面積為________．答案8π＋eq\f(64,3)12π＋16＋16eq\r(2)解析由三視圖可知，此幾何體是由上下兩部分組成的，上面是一個橫放的半圓柱，下面是一個四棱錐，可得該幾何體的體積為eq\f(1,2)×π×22×4＋eq\f(1,3)×42×4＝8π＋eq\f(64,3)，其表面積為π×2×4＋π×22＋eq\f(1,2)×42×2＋eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)×2＝12π＋16＋16eq\r(2).11．如圖，在上、下底面對應(yīng)邊的比為1∶2的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱CC1的平面A1B1EF，這個平面分三棱臺成兩部分，這兩部分的體積之比為________．答案3∶4(或4∶3)解析設(shè)三棱臺的上底面面積為S0，則下底面面積為4S0，高為h，則設(shè)剩余的幾何體的體積為V，則V＝eq\f(7,3)S0h－S0h＝eq\f(4,3)S0h，所以體積之比為3∶4或4∶3.三、解答題12．如圖，已知點P在圓柱OO1的底面圓O上，AB為圓O的直徑，圓柱的側(cè)面積為1