專題限時(shí)集訓(xùn)(一)三角函數(shù)問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第81頁(yè))(限時(shí)：40分鐘)題型1三角函數(shù)的圖象問(wèn)題3,5,11題型2三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題1,4,6,7,8,12,13,14題型3三角恒等變換2,9,10一、選擇題1．(2017·洛陽(yáng)一模)下列函數(shù)中，是周期函數(shù)且最小正周期為π的是()A．y＝sinx＋cosx B．y＝sin2x－eq\r(3)cos2xC．y＝cos|x| D．y＝3sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)B[對(duì)于A，函數(shù)y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最小正周期是2π，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)y＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－cos2x))－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1－\r(3),2)－eq\f(1＋\r(3),2)cos2x的最小正周期是π，符合題意；對(duì)于C，y＝cos|x|＝cosx的最小正周期是2π，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)y＝3sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝eq\f(3,2)sinx的最小正周期是2π，不符合題意．故選B.]2．(2017·石家莊二模)若sin(π－α)＝eq\f(1,3)，且eq\f(π,2)≤α≤π，則sin2α的值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804006】A．－eq\f(4\r(2),9) B．－eq\f(2\r(2),9)C．eq\f(2\r(2),9) D．eq\f(4\r(2),9)A[因?yàn)閟in(π－α)＝sinα＝eq\f(1,3)，eq\f(π,2)≤α≤π，所以cosα＝－eq\f(2\r(2),3)，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))＝－eq\f(4\r(2),9)，故選A.]3．(2017·廣州畢業(yè)班模擬)若將函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x的圖象向左平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的最小正值是()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C．eq\f(3π,8) D．eq\f(3π,4)A[將函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象向左平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋φ＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2φ＋\f(π,4)))的圖象，∵所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴2φ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，∴φ＝eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，∴φ的最小正值是φ＝eq\f(π,8).]4．(2017·廣東惠州三調(diào))函數(shù)y＝cos2x＋2sinx的最大值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804007】A．eq\f(3,4) B．1C．eq\f(3,2) D．2C[y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1.設(shè)t＝sinx(－1≤t≤1)，則原函數(shù)可以化為y＝－2t2＋2t＋1＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,2)，∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)取得最大值eq\f(3,2).]5．(2017·武漢4月模擬)如圖1-5所示，某地一天6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的圖象，則這段曲線的函數(shù)解析式可以為()圖1-5A．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]B．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(5π,4)))＋20，x∈[6,14]C．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]D．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(5π,8)))＋20，x∈[6,14]A[由三角函數(shù)的圖象可知，b＝eq\f(10＋30,2)＝20，A＝eq\f(30－10,2)＝10，eq\f(T,2)＝14－6＝8?T＝16＝eq\f(2π,ω)?ω＝eq\f(π,8)，則y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))＋20，將(6,10)代入得10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6π,8)＋φ))＋20＝10?sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝－1?φ＝eq\f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)，故選A.]6．(2017·安徽百所重點(diǎn)中學(xué)二模聯(lián)考)將函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x＋1的圖象向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)y＝g(x)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)y＝g(x)的最小正周期為πB．函數(shù)y＝g(x)是奇函數(shù)C．函數(shù)y＝g(x)的圖象與直線x＝0，x＝eq\f(2π,3)，y＝0圍成的圖形的面積為eq\f(5\r(2),4)D．函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)D[f(x)＝sin2x－cos2x＋1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋1，將其圖象向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))－\f(π,4)))＋1＝eq\r(2)sin2x＋1的圖象，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)＝eq\r(2)sin2x的圖象，易知A，B正確；對(duì)于C，所求圖形面積S＝∫eq\f(π,2)0eq\r(2)sin2xdx－∫eq\f(2π,3)eq\f(π,2)eq\r(2)sin2xdx＝－eq\f(\r(2),2)cos2xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＋eq\f(\r(2),2)cos2xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),\f(π,2)))＝eq\f(5\r(2),4)，C正確；令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得－eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(π,4)＋kπ(k∈Z)，故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))(k∈Z)，D錯(cuò)誤．]7．(2017·沈陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實(shí)數(shù)，若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))對(duì)x∈R恒成立，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804008】A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)C[因?yàn)閒(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))對(duì)x∈R恒成立，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))))＝1，所以φ＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sinφ＜0，所以φ＝－eq\f(5,6)π＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5,6)π))，所以由三角函數(shù)的單調(diào)性知2x－eq\f(5π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)，故選C.]8．(2017·山西太原一模)已知函數(shù)f(x)＝sinωx－eq\r(3)cosωx(ω＞0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,6)，\f(7,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(25,6)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(25,6)，\f(11,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，\f(37,6)))B[因?yàn)閒(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))，方程2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＝－1在(0，π)上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)在(0，π)上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)t＝ωx－eq\f(π,3)，因?yàn)?＜x＜π，所以－eq\f(π,3)＜t＜ωπ－eq\f(π,3)，所以eq\f(19π,6)＜ωπ－eq\f(π,3)≤eq\f(23π,6)，解得eq\f(7,2)＜ω≤eq\f(25,6)，故選B.]二、填空題9．(2017·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角α的頂點(diǎn)和點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804009】－2－eq\r(3)[依題意得tanα＝eq\r(3)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(\r(3)＋1,1－\r(3))＝－2－eq\r(3).]10．(2017·合肥一模)已知sin2α－2＝2cos2α，則sin2α＋sin2α＝________.1或eq\f(8,5)[由sin2α－2＝2cos2α得sin2α＝2＋2cos2α，即2sinαcosα＝4cos2α，即cosα＝0或tanα＝2.當(dāng)cosα＝0時(shí)，sin2α＋sin2α＝1；當(dāng)tanα＝2時(shí)，sin2α＋sin2α＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(8,5).綜上，sin2α＋sin2α＝1或eq\f(8,5).]11．(2016·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖1-6所示，△EFG(點(diǎn)G在圖象的最高點(diǎn))是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則f(1)＝________.圖1-6－eq\r(3)[由函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函數(shù)可得φ＝eq\f(π,2)，則f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＝－Asinωx(A＞0，ω＞0)．又由△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形可得A＝eq\r(3)，最小正周期T＝4＝eq\f(2π,ω)，ω＝eq\f(π,2)，則f(x)＝－eq\r(3)sineq\f(π,2)x，f(1)＝－eq\r(3).]12．(2017·河北石家莊一模)若函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最小值是________．－eq\r(3)[f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋θ＋\f(π,6)))，則由題意，知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋θ＋\f(π,6)))＝0，又因?yàn)?＜θ＜π，所以eq\f(7π,6)＜π＋θ＋eq\f(π,6)＜eq\f(13π,6)，所以π＋θ＋eq\f(π,6)＝2π，所以θ＝eq\f(5π,6)，所以f(x)＝－2sin2x，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－2sineq\f(π,3)＝－eq\r(3).]三、解答題13．(2017·三湘名校4月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sinωx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804010】(1)若f(x)在[0，π]上的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，求ω的取值范圍；(2)若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)，且f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝0，求ω的值．[解]f(x)＝sinωx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3))).(1)由x∈[0，π]?ωx－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，ωπ－\f(π,3)))，又f(x)在[0，π]上的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，即最小值為eq\f(－\r(3),2)，最大值為1，則由正弦函數(shù)的圖象可知eq\f(π,2)≤ωπ－eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3)，得eq\f(5,6)≤ω≤eq\f(5,3).∴ω的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，\f(5,3))).(2)因?yàn)閒(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)，所以eq\f(T,2)≥eq\f(π,3)－0，則eq\f(π,ω)≥eq\f(π,3)，即ω≤3，又ω＞0，所以0＜ω≤3，由f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝0且f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))是f(x)圖象的對(duì)稱中心，∴eq\f(ωπ,6)－eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z?ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω≤3，∴ω＝2.14．(2017·合肥二模)已知a＝(sinx，eq\r(3)cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函數(shù)f(x)＝a·b＋eq\f(\r(3),2).(1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸方程；(2)若方