15.1.1線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)第1課時(shí)

線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定1.理解并掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定.（重點(diǎn)）2.能運(yùn)用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問(wèn)題.（難點(diǎn))3.掌握逆命題及逆定理的概念，會(huì)判定命題的逆命題及逆命題是否成立.軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸是連接其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，為作出對(duì)稱(chēng)軸，需要研究線(xiàn)段的重直平分線(xiàn)的性質(zhì).我們類(lèi)比角的平分線(xiàn)研究線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).角的平分線(xiàn)的性質(zhì)反應(yīng)了角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離的關(guān)系，類(lèi)似地，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離有什么關(guān)系？如圖,直線(xiàn)l垂直平分線(xiàn)段AB,點(diǎn)P1,P2,P3,…在l上,分別比較點(diǎn)P1,P2,P3,…與點(diǎn)A的距離和這些點(diǎn)與點(diǎn)B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？ABlP1P2P3P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)：＝＝＝ABlP1P2P3我把線(xiàn)段AB沿著直線(xiàn)l對(duì)折，發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段P1A與P1B，線(xiàn)段P2A與P2B，線(xiàn)段P3A與P3B……都是重合的，因此它們也分別相等.?思考

由此你能得到什么結(jié)論？?思考

你能證明這個(gè)性質(zhì)嗎？?歸納

線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.符號(hào)表示：如圖,直線(xiàn)l⊥AB,垂足為C，AC=BC，點(diǎn)P在l上，則有PA=PB.ABlCP如圖,直線(xiàn)l⊥AB,垂足為C，AC=BC，點(diǎn)P在l上.求證：PA=PB.ABlCP當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合時(shí)，∵

l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB.又AC=BC，PC=PC，∴△PAC≌△PBC（SAS）.∴PA=PB.證明：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，顯然成立.ABP如圖，線(xiàn)段AB外任意一點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等.求證：點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上.把上面線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論反過(guò)來(lái)，得到的命題還成立嗎？即如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上呢？證明：過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l，使得l⊥AB，垂足為O.ABPlO∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°,

∴點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上.∵l⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°.在Rt△PAO和Rt△PBO中，

PA=PB，

PO=PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.

∴AO=BO.ABlOP?歸納

線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定：與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.符號(hào)表示：如圖，已知線(xiàn)段AB，∵PA=PB，∴點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上.從上面兩個(gè)結(jié)論可以看出，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;反過(guò)來(lái)，與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看成與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.例1

如圖，直線(xiàn)AE是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，垂足為E，D為AE上一點(diǎn)，求證：∠ABD=∠ACD.EBCDA在△ABD和△ACD中，

AB=AC，

BD=CD，

AD=AD，證明：∵AE是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，D為AE上一點(diǎn)，∴AB=AC，BD=DC.∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠ABD=∠ACD.

?思考

分析前面關(guān)于線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的兩個(gè)命題，它們的題設(shè)和結(jié)論有什么關(guān)系？你還學(xué)習(xí)過(guò)其他具有類(lèi)似關(guān)系的命題嗎？線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定：與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.這兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反.?歸納

前面的兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作互逆命題.如果把其中一個(gè)命題叫作原命題，那么另一個(gè)命題叫作它的逆命題.例2

寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立？（1）對(duì)頂角相等；（2）兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.解：（1）如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角.不成立.（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行.成立.1.如圖是“一帶一路”示意圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，分別連接AB，AC，BC，形成了一個(gè)三角形．若想建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)倉(cāng)，使其到A，B，C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉(cāng)的位置應(yīng)選在(

)A.三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)B.三邊中線(xiàn)的交點(diǎn)C.三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)D.三邊上高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)A2.下列命題的逆命題是成立的是的是（

）A．同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行B．角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等C．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等D．對(duì)頂角相等D3.如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線(xiàn)．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長(zhǎng)是________．13解析：∵DE是BC的垂直平分線(xiàn)，∴BD＝CD，∴AC＝AD＋CD＝AD＋BD.∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝5＋8＝13.4.如圖，C是△ABE的邊BE上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AE上，D是BC的中點(diǎn)，且AB＝AC＝CE，給出下列結(jié)論：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE.其中正確的結(jié)論有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)B解析：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.又∵AB＝AC，∴直線(xiàn)AD是BC的垂直平分線(xiàn)．故①正確．∵AB＝CE，∴AB＋BD＝CE＋CD＝DE.故④正確．②③不能得出．故選B.5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，BD＝BC，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，連接BE.求證：BE垂直平分CD.證明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°.∵BD＝BC，BE＝BE，∴R